6.4.1平面幾何中的向量方法（6大題型）

平面幾何中的向量方法1、能運(yùn)用向量的模長(zhǎng)公式求解平面圖形中的線段長(zhǎng)度問(wèn)題；2、能運(yùn)用向量的夾角公式求解平面圖形中的角度計(jì)算問(wèn)題；3、能運(yùn)用向量共線與垂直的充要條件求解平面圖形中有關(guān)平行與垂直的問(wèn)題。一、用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：（1）建立平面幾何與向量的關(guān)系，用向量表示問(wèn)題中涉及到的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。二、利用向量證明平面幾何的兩種經(jīng)典方法及步驟：1、線性運(yùn)算法（1）選取合適的基底（一般選擇夾角和模長(zhǎng)已知的兩個(gè)向量）；（2）利用基底表示相關(guān)向量；（3）利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；（4）把計(jì)算結(jié)果“翻譯”為幾何問(wèn)題。2、坐標(biāo)運(yùn)算法（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（盡可能讓更多的點(diǎn)在坐標(biāo)系上）；（2）把相關(guān)向量坐標(biāo)化；（3）用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；（4）利用向量關(guān)系回答幾何問(wèn)題。二、平面幾何中證明問(wèn)題的具體轉(zhuǎn)化方法1、證明線段，可轉(zhuǎn)化為證明；2、證明線段，只需證明存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使成立；3、證明兩線段，只需證明數(shù)量積；4、證明三點(diǎn)共線，只需證明存在一個(gè)，使成立。題型一利用向量證明線段垂直【例1】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）用向量的方法證明在等腰三角形ABC中，，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，求證：．【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】由題意得，，故，因?yàn)?，所以，?【變式11】（2023·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)與相交于點(diǎn).（1）請(qǐng)用、表示向量；（2）設(shè)和的夾角為，若，且，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）.（2），，.【變式12】（2023·海南·高一?？计谥校┤鐖D所示，已知在正方形中，E，F(xiàn)分別是邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)M.（1）設(shè)，，用，表示，；（2）猜想與的位置關(guān)系，寫出你的猜想并用向量法證明你的猜想.【答案】（1），；（2），證明見(jiàn)解析【解析】（1），；（2），證明如下：由（1）知，，所以，設(shè)，則，所以，所以，得證.【變式13】（2023·山東濟(jì)南·高一山東師范大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，(且)，D為AB的中點(diǎn)，E為的重心，F(xiàn)為的外心．（1）求重心E的坐標(biāo)；（2）用向量法證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）如圖，∵，，，∴，則由重心坐標(biāo)公式，得；（2）．易知的外心F在y軸上，可設(shè)為．由，得，∴，即．∴．∴，∴，即．題型二利用向量證明線段平行【例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD所在的直線上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使BE=DF．用向量方法證明：四邊形AECF是平行四邊形．【答案】見(jiàn)解析【解析】如圖，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所?又在直線上,所以,從而,所以,即與平行且相等，所以四邊形是平行四邊形.【變式21】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)P，Q分別是梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD的中點(diǎn)（1）試用向量證明：PQAB；（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）∵Q為BD中點(diǎn)，∴，又P為AC中點(diǎn)，∴；∴2()，又向量與共線，設(shè)向量，則2(1+λ)，∴①，又梯形ABCD中||≠|(zhì)|，∴λ≠﹣1，∴，即PQAB；（2）∵向量與反向，且||=3||；所以，即λ代入①式，得，∴PQ：AB.【變式22】（2023·河北保定·高一校聯(lián)考期中）已知，如圖，在中，點(diǎn)滿足，是線段上一點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且三點(diǎn)共線．（1）求的最小值．（2）若點(diǎn)滿足，證明：．【答案】（1）4；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由題可知，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為4.（2）由，則，即，，所以，又三點(diǎn)不共線，所以．【變式23】（2023·廣東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三點(diǎn)不共線，，，設(shè)，.（1）試用表示向量；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，試證明三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1），，三點(diǎn)共線，，①同理，，，三點(diǎn)共線，可得，②比較①，②，得解得，，．（2），，，，，，，，三點(diǎn)共線．題型三利用向量求線段的長(zhǎng)度【例3】（2023·福建·高一校聯(lián)考期中）在中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，，，，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖所示，由題意可得：，即，解之得.故選：A【變式31】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在平面內(nèi)，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)條件知A，B1，P，B2構(gòu)成一個(gè)矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)|AB1|＝a，|AB2|＝b，點(diǎn)O的坐標(biāo)為(x，y)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b)，.由得則又由，得，則，即①.又，得，則；同理由，得，即有②.由①②知，所以.而，所以，故選：D.【變式32】（2023·遼寧鞍山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，，點(diǎn)D在邊上且，則長(zhǎng)度為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】中，點(diǎn)D在邊上且，則又，，，則，即長(zhǎng)度為，故選：D【變式33】（2022·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期中）已知兩點(diǎn)分別是四邊形的邊的中點(diǎn)，且，，，，則線段的長(zhǎng)為是【答案】【解析】作，交于點(diǎn)，則，，則；，，又，，，，.題型四利用向量求幾何夾角【例4】（2023·福建廈門·高一?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于M，則.【答案】【解析】設(shè)，，則，，又，，所以.【變式41】（2023·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，，，是的中點(diǎn)，，設(shè)與相交于點(diǎn)，則．【答案】【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，，所以，所?【變式42】（2023·湖南懷化·高一統(tǒng)考期末）在中，已知，，，和邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則的余弦值為【答案】【解析】由已知得即為向量與的夾角.因?yàn)镸、N分別是，邊上的中點(diǎn)，所以，.又因?yàn)椋裕?,所以.【變式43】（2022·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，，，且.求.【答案】【解析】由題意得，的夾角為，，則，又，所以，故，同理于是，，，.題型五判斷三角形的形狀【例5】（2023·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，若，則一定為（）A．等腰三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．銳角三角形【答案】B【解析】由得：，，為直角三角形，故選：B.【變式51】（2023·廣西·高一校聯(lián)考期中）若非零向量與滿足，且，則為（）A．三邊均不等的三角形B．直角三角形C．底邊和腰不相等的等腰三角形D．等邊三角形【答案】C【解析】，的角平分線與BC垂直，，，則是頂角為的等腰三角形，故選：C.【變式52】（2023·北京順義·高一北京市順義區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的形狀是（）A．等邊三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形【答案】C【解析】因?yàn)?，由可得，可得，整理可得，，所以，為直角三角形，故選：C.【變式53】（2023·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）在中，是邊的中點(diǎn)，且對(duì)于邊上任意一點(diǎn)，恒有，則一定是（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形【答案】A【解析】如下圖所示，取的中點(diǎn)，顯然，，同理，，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,所以，所以一定是直角三角形，故選：A題型六平面幾何中的最值及問(wèn)題【例6】（2023·高一單元測(cè)試）已知向量共面，且均為單位向量，，則的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄抗裁?，且均為單位向量，，可設(shè)，，，如圖，所以，當(dāng)與同向時(shí)，此時(shí)有最大值，為，故選：A.【變式61】（2022·甘肅白銀·高一?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是半徑為的扇形圓弧上一點(diǎn)，，若，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，由得：，，，其中，，，，當(dāng)時(shí)，，故選：B.【變式62】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，在中，D為的中點(diǎn)，，，是圓心為C、半徑為1的圓的動(dòng)直徑，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，又，且，所以．設(shè)與的夾角為，則．因?yàn)?，所以，故選：C．【變式63】（2023·山西朔州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量滿足，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，則的最小值為