銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題練習(xí)（教師版）

專題25銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（解析版）

第一部分典例割析

類(lèi)型一與學(xué)科間相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

典例1（2022?泰州）小強(qiáng)在物理課上學(xué)過(guò)平面鏡成像知識(shí)后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn).如圖,

老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN,MN與墻面48所成的角NMM3=118°,廠房高AB=8m房頂

AM與水平地面平行，小強(qiáng)在點(diǎn)M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距

離8是多少?（結(jié)果精確到0.1〃?，參考數(shù)據(jù)：sin34o≈?0.56,tan340≈?0.68,tan560F.48）

思路引領(lǐng)：連接MC,過(guò)點(diǎn)M作HΛ∕J"NM,根據(jù)題意可得NoMC=2NCMH,NMCD=NHMN=90°,

AB=MC=Sm,AB//MC,從而利用平行線的性質(zhì)求出∕CMN=62°,進(jìn)而求出NCM4=28°,然后在

RtACMD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

解：連接MC,過(guò)點(diǎn)M作“MJ_MW,

由題意得：

NDMC=2NCMH,NMCD=NHMN=90°,AB=MC=Sm,AB//MC,

.?.∕CMN=180°-ZMWB=180°-118°=62°,

.?.ZCMH=ZHMN-ZCMN=28°,

，NOMC=2NCM”=56°,

在RtaCMO中，Co=CW?tan56°≈8×1.48=≡I1.8（米），

/.能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD約為11.8米.

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題

的關(guān)鍵.

類(lèi)型二與坡度、坡角相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題

典例2（2021秋?寧德期末）自卸式貨車(chē)可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)卸貨，其原理是通過(guò)液壓臂的伸縮來(lái)改變貨廂的傾斜

角度，如圖1、圖2是某款自卸式貨車(chē)卸貨時(shí)的截面示意圖，其液壓臂底座A與車(chē)廂轉(zhuǎn)軸O的距離AO

=24",伸縮臂支點(diǎn)B與車(chē)廂轉(zhuǎn)軸O的距離30=2〃?，當(dāng)車(chē)廂底座與車(chē)架底座的夾角NAO8=37°時(shí)，

求液壓臂AB的長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)sin37°=∣,cos37°=g,tan37°=M）

圖1圖2

思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)B作BcLLoA于C,先在RtaOBC中求出8C,OC,再求出AC,然后在RtZXABC中求

出AB即可解決問(wèn)題.

解：過(guò)點(diǎn)B作BClOA于C,如圖.

在Rt408C中，NOCB=90°,∕B0C=3T,BO=I,

二BC=08?sinNBOC=2X|=|,

48

OC=OB?cosZB0C^2×1=自

84

.?AC=OA-OC=2.4-∣=*

在RlZ?ABC中，VZACB=90o,

：.AB=>∕AC2+BC2=J($2+急2=怨支

故液壓臂AB的長(zhǎng)為q?n.

圖2

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形，解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把

實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.

類(lèi)型三與方向角相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題

典例3（2021秋?和平區(qū)校級(jí)月考）如圖，甲船以每小時(shí)30√Σ海里的速度向正北方向航行.當(dāng)甲船位于4

處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75°方向的Bl處，且乙船從Bl處沿北偏東15°方向勻速直線航行.經(jīng)過(guò)

20分鐘后，甲船由4處航行到上處，乙船航行到甲船位置（即A2處）的南偏西60°方向的汝處，此

時(shí)兩船相距10√Σ海里，求乙船每小時(shí)航行多少海里.

思路引領(lǐng)：根據(jù)甲船的速度和行駛時(shí)間求出442,可得4AιA282是等邊三角形，作52"L4I8I于根

據(jù)題意求出N8∣4B2=45°,ZAIBIB2=60O,根據(jù)正弦的定義求出B1B2,計(jì)算即可.

解：Y甲船以每小時(shí)30√Σ海里的速度向正北方向航行，航行20分鐘到達(dá)A2,

ΛAIA2=30√2×∣=10√2（海里），

VA2B2=IO√2（海里）,

.?A]A2=A2B2^乂NAIA282=6?！?

...△A1A2B2是等邊三角形；

如圖，過(guò)點(diǎn)82作B24J?4B∣于H,

北

乙

根據(jù)題意可知：N48ιC=NS4O=75°,NCBlB2=15°,

：.ZΛ∣β∣B2=75o-15°=60°.

?.?△A1A2B2是等邊三角形，

.?.ZA2A∣B2=6O0,AιB2=AιA2=lθV2（海里），

ΛZBIAIB2=180O-75°-60°=45°.

在48∣A182中，AIB2=10√2（海里），Zβ∣Aιfi2=45°,NA∣8∣82=6O°,

、萬(wàn)

ΛBzH=-2A1B2=10（海里），

.?B?H20Λ∕3/、`扃田、

??βnlβ2=?=-（海里）,

則乙船每小時(shí)航行：÷-=20√3（海里）.

33

總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題、等邊三角形的判定，掌握方向角的概念、

熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

典例4（2022?豐潤(rùn)區(qū)二模）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔50海里的A處，它

沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東45°方向上的8處，此時(shí)8處與燈塔P的距離

為—海里；AB=海里（結(jié)果保留根號(hào)）.

A

思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)P作PC_LAB于C,解RtZ?APC求出AC、PC,再解RtABPC求出P8、BC,進(jìn)而得到

AB.

解：過(guò)P作尸CLAB于C,如圖所示：

由題意得：ZAPC=30°,NBPC=45°,7?=5O海里,

在RtZiAPC中，VZACP=90°,ZAPC=30°,

.?.AC=^?=25海里，PC=KAC=25次海里，

在Rt△尸CB中，VZBCP=90o,NBPC=45°,

.?.8C=PC=25√I海里，8尸=或改=25n海里，

.?AB=AC+βC=(25+25√3)海里.

故答案為：25√6,(25+25√3).

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，求三角形的邊或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解

直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線.

類(lèi)型四與不易策略相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題

典例5(2022秋?靖江市期中)如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)4、8之間的距離，在河岸這邊取點(diǎn)C、D測(cè)得

CD=IOO米，NAeD=90°,NBCD=45°,ZADC=19o17,,NBDC=56°19'.設(shè)A、B、C、D

在同一平面內(nèi).

(1)求AC的長(zhǎng)；

(2)求A、B兩點(diǎn)之間的距離.(參考數(shù)據(jù)：tanl9°17,≈?≈0.35,tan56019,F.50.)

思路引領(lǐng)：（1）在RtZXACO中利用直角三角形的邊角間關(guān)系直接求出AC；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BELCD,過(guò)點(diǎn)A作AFJ構(gòu)造矩形4CEF和直角三角形.先說(shuō)明ABCE是等腰直角

三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到CE、BE間關(guān)系，在Rt45EZ）中，利用直角三角形的邊角間關(guān)系

求出BE、CE,再利用線段的和差關(guān)系求出8F,最后在RlZ?4BF中利用勾股定理求出A&

解：（1）在RtZvtCD中，

ΛΓ

：NAOC=19°17',CZ）=IOO米，IanNAOC=冷，

ΛAC=tanl9o17'×CD≈?0.35×100=35（米）.

答：AC的長(zhǎng)約是35米；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)8作BELCD,垂足為點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)4作AFLBE,垂足為點(diǎn)尸.

VZACD=90°,

四邊形ACEF是矩形.

.?.M=AC=35米，AF=CE.

VZBCD=45o,BELCD,

...△8CE是等腰直角三角形.

設(shè)CE=X米，則A尸=BE=X米，ED=(IOo-X)米,

在RtABED中，

BF

:FanNBOC=翁N(yùn)BDC=56019,,

RFX

Λtan56o19'=??,即------≈1.50,

EDIOO-X

∕?x=6(),

.??4b=3E=60米，

.?BF=BE-EF=60-35=25(米).

?RtAABF中，

AB=y∕AF2+BF2=√602+252=65(米).

答：A、8兩點(diǎn)之間的距離約是65米.

總結(jié)提升：本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)和

判定、矩形的性質(zhì)和判定及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

類(lèi)型五與可調(diào)節(jié)的滑動(dòng)懸桿相關(guān)的問(wèn)題

典例6（2022?岳陽(yáng)模擬）某種落地?zé)羧鐖D1所示，立桿AB垂直于地面，其高為120C*,BC為支桿，它可

繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，其中BC長(zhǎng)為30C7”,Cr）為懸桿，滑動(dòng)懸桿可調(diào)節(jié)CO的長(zhǎng)度，支桿BC與懸桿CO之間的

夾角NBCD為70°.

（1）如圖2,當(dāng)A、8、C三點(diǎn)共線且CQ=50c機(jī)時(shí)，求燈泡懸掛點(diǎn)。距離地面的高度；

（2）在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿BC繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°,同時(shí)調(diào)節(jié)Cz）的長(zhǎng)（如圖3）,此時(shí)測(cè)

得燈泡懸掛點(diǎn)力到地面的距離為160CVn,求CD的長(zhǎng).（結(jié)果精確到lew,參考數(shù)據(jù)：sin70°^0.94,cos70o

~0.34,tan70o≈2.75,sin50o七0.77,cos50o80.64,tan50o≈1.19）

思路引領(lǐng)：⑴過(guò)點(diǎn)。作OEJ_AC于點(diǎn)E,在RtACDE中，Zcos70o=器=翳皿34,即可得出CE.

（2）過(guò)點(diǎn)。向地面作垂線，垂足為F,過(guò)點(diǎn)C作CGLC尸于點(diǎn)G,延長(zhǎng)AB交CG于點(diǎn)4,在RtZ?BC4

中，cos50°=??=器a≈0.64,解得54=19.2,則FG=4"=A8+B4=139.2（tro）,Z）G=OF-FG=20.8

Ccm）,在RtZiCCG中，NDCG=7Q°-（90°-50°）=30o,sin30o=黑=需=2，即可得CD

解：（1）過(guò)點(diǎn)。作。E_L4C于點(diǎn)￡

C

B

A

在RtZ?Ci>E中，NBCD=70°，CD=SOcm,

cos70°=CD=5O≈O?34,

解得CE=17,

燈泡懸掛點(diǎn)。距離地面的高度為120+30-17=133(cm).

(2)過(guò)點(diǎn)。向地面作垂線，垂足為凡過(guò)點(diǎn)C作CGLDP于點(diǎn)G,延長(zhǎng)A8交CG于點(diǎn)H.

在RlZ?BCH中，ZCBW=50o,BC=30cm,

cos50o=I^=鋁=0.64,

解得BH=19.2,

FG=AH=AB+BH=120+19.2=139.2(Cm),

.?DG=DF-FG^160-139.2=20.8(cm),

在RtZ?CDG中，ZDCG=70°-(90°-50°)=30°,

.DG20.81

s*n30=CD=-CD=2'

解得CQ=41.6≈≈42,

,CD的長(zhǎng)為42a〃.

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

典例7(2022?鹽城)2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射.如圖

是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，OA是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，AB.BC為機(jī)械臂，OA

=?m,AB=5m,BC=2m,ZABC=143°.機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CO=6m.

(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離；

(2)求OO長(zhǎng).

(結(jié)果精確至∣JO.lnz,參考數(shù)據(jù)：sin37o?=0.60,cos37o^0.80,tan37o七0.75,√5≈2.24)

B

思路引領(lǐng)：（1）過(guò)點(diǎn)4作AEI.CB,垂足為￡在Rt/MBE中，由AB=5∕n,NABE=37°,可求4E和

BE,即可得出AC的長(zhǎng);

（2）過(guò)點(diǎn)A作AF_LCO,垂足為F,在RtZ?ACf中，由勾股定理可求出AF,即。。的長(zhǎng).

解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)4作4E_LC8,垂足為E,

在RtZiABE中，AB=5m,NABE=37°,

APQP

VsinZABE=而，cosΛABE=麗

?AEBE

=0.60,—=0.80,

-55

.?AE=3m,BE=4m,

??CE=6/77?

在RtAACE中，由勾股定理AC=√32+62=3√5≈6.7m.

（2）過(guò)點(diǎn)4作4FJ_C￡）,垂足為尸，

.,.FD=AO=Im,

:?CF=5m,

在Rt?ACF中，由勾股定理AF=√45-25=2√5∕π.

ΛOD=2√5≈4.5m.

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理等知識(shí)：正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題

的關(guān)鍵.

類(lèi)型六“觸礁甄別”類(lèi)型試題

8.（2021春?海門(mén)市期中）如圖，海中有一小島P,在以P為圓心、半徑為166〃加/e的圓形海域內(nèi)有暗礁.一

輪船自西向東航行，它在A處時(shí)測(cè)得小島尸位于北偏東60°的方向上，且A、P之間的距離為32nmile.若

輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明.如果有危險(xiǎn)，輪船自A處開(kāi)始沿

南偏東至多多少度方向航行才能安全通過(guò)這一海域？

南S

思路引領(lǐng)：過(guò)P作PBlAM于B,則PC的長(zhǎng)是A沿4M方向距離P點(diǎn)的最短距離，求出尸C長(zhǎng)和16百比

較即可，第二間設(shè)出航行方向，利用特殊角的三角函數(shù)值確定答案.

.,.PB=^AP=j×32=16海里，

V16<I6√3,

故輪船有觸礁危險(xiǎn).

為了安全，應(yīng)改變航行方向，并且保證點(diǎn)尸到航線的距離不小于暗礁的半徑160海里，即這個(gè)距離至少

為16遍海里，

設(shè)安全航向?yàn)锳C,作PDlAC于點(diǎn)D,

由題意得，AP=32海里，PD=I66海里,

?smN%C=而=烹=2,

，在Rt△司。中，Z∕?C=60o,

：.ZBAC^ZPAC-ZPAB=GOQ-30°=30°.

答：若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有觸礁危險(xiǎn).輪船自A處開(kāi)始沿南偏東至多60。度方向航行才能

安全通過(guò)這一海域.

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形-方向角問(wèn)題，掌握的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練

1.（2022秋?寬城區(qū)校級(jí)期末）如圖是長(zhǎng)春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場(chǎng)的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，該起

重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B,A0垂直地面，垂足為點(diǎn)。，BClAD,垂足為點(diǎn)

C.設(shè)NABC=α,下列關(guān)系式正確的是（）

A

變幅索

D

?,ABn.ABCBCCAC

A.Slna=前B.tana=C.cosa=麗D.cosa=麗

思路引領(lǐng)：由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論

解：在RtZXABC中，NACB=90°,NABC=a,

?ΓAr

Λsina=sinZABC=而，tana=tanZABC=前，CoSa=CoSNABC=而,

故選項(xiàng)A、B、。不符合題意，選項(xiàng)。符合題意,

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?包頭期末）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹(shù)A8,當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線

成45°角沿斜坡照下時(shí)，在斜坡上的樹(shù)影3C長(zhǎng)為〃?，則大樹(shù)43的高為二—.（請(qǐng)用含〃?，a的式子

表示）

水平地面

思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)C作水平地面的平行線，交AB的延長(zhǎng)線于。，根據(jù)正弦的定義求出B。，根據(jù)余弦的定

義求出CD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AO,計(jì)算即可.

解：過(guò)點(diǎn)C作水平地面的平行線，交48的延長(zhǎng)線于。，

則∕8CO=a,

在RtΔβCZ)中，BC-ITiy/BCD=a,

則BD=BC*sinZBCD=m*sma,CD—BC*cosZBCD—m?cosa,

在RtZ?4CD中，NACD=45°,

則AD=CD=Wcosa,

.".AB-AD-BD=mcosa-msina=m(cosa-sina),

總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度是坡面的鉛直高度/?和水平寬

度/的比是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?湖北）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點(diǎn)處測(cè)得乙建筑物。點(diǎn)的俯角a為45°,C點(diǎn)

的俯角B為58°,BC為兩座建筑物的水平距離.已知乙建筑物的高度CQ為6”，則甲建筑物的高度AB

為

m.

(sin58o=O.85,cos58o≈0.53,tan58oF.60,結(jié)果保留整數(shù)).

思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)。作。E_LAB于點(diǎn)E,則BE=CD=6相，NADE=45°,NACB=58°,在Rt??AOE中，

NADE=45°,設(shè)AE=第”，則。E=XBC=xm,AB=AE+BE=(6+x)m,在RtZSABC中，tanNACB

=tan58o=鏢=竽°1.60,解得X=I0,進(jìn)而可得出答案.

解：過(guò)點(diǎn)。作CE,AB于點(diǎn)E,如圖.

BC

則BE=CD=6/小NAOE=45°,ZACB=58o,

在RtZ?AQE中，NADE=45°,

設(shè)AE=XB∣JDE—xm,

：.BC=xm,AB=AE+BE=(6+x)m,

在RtAABC中，

tanZACβ≈tan58o=淺=第a1.60,

解得X=I0,

ΛAB=16m.

故答案為：16.

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的

關(guān)鍵.

4.（2022?連云港）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔一一阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古

老的寶塔.小明與小亮要測(cè)量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點(diǎn)A處測(cè)得阿育王塔最高點(diǎn)C的仰角

NCAE=45°,再沿正對(duì)阿育王塔方向前進(jìn)至B處測(cè)得最高點(diǎn)C的仰角∕CBE=53°,AB=10/?；小亮

在點(diǎn)G處豎立標(biāo)桿FG,小亮的所在位置點(diǎn)D、標(biāo)桿頂F、最高點(diǎn)C在一條直線上，F(xiàn)G=1.5m,GD=2m.

(1)求阿育王塔的高度CE;

(2)求小亮與阿育王塔之間的距離EZX

(注：結(jié)果精確到0.01〃?，參考數(shù)據(jù)：sin53oQo.799,cos53o≈0.602,tan53o?1.327)

思路引領(lǐng)：(1)由∕C4E=45°,AB=IOm,可得BE=AE-Io=CE-10,在RtZXCEB中，可得tan/

C8E=tan53°=??≈7≠÷∩,即可解得阿育王塔的高度CE約為40.58m；

DE.Cc-IU

152

(2)由aFGOSz?CEZ),可得而藐=訪，可解得小亮與阿育王塔之間的距離Ez)是54.1加.

解：(1)在RtZXCAE中，

YNCAE=45°,

CE=AE,

?,AB=10m,

：.BE=AE-IO=CE-10,

在RtACEB中,

tanZCBE=tan53°=器=(3。,

CF

Λ,?327≈CE=40'

解得CE?=40.58(布)；

答：阿育王塔的高度CE約為40.58"?；

(2)由題意知：NCED==NFGD,NFDG=NCDE,

：ZGDSXCE3

FGGD1.52

--=---,即-----=---,

CEED40.58ED

解得ED=54.11（m）,

答：小亮與阿育王塔之間的距離ED約是54.ll/n.

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形-仰角問(wèn)題，涉及三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，

列出關(guān)于CE的方程求出CE的長(zhǎng).

5.（2021?徐州）如圖，斜坡AB的坡角NBAC=I3°,計(jì)劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板.前排光伏

板的一端位于點(diǎn)A,過(guò)其另一端。安裝支架。￡OE所在的直線垂直于水平線AC,垂足為點(diǎn)尸，E為

力廠與AB的交點(diǎn).已知AO=IOoαw,前排光伏板的坡角∕D4C=28°.

（1）求AE的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）；

（2）冬至日正午，經(jīng)過(guò)點(diǎn)。的太陽(yáng)光線與AC所成的角NQGA=32°,后排光伏板的前端，在AB上.此

時(shí)，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則EH的最小值為多少（結(jié)果取整數(shù)）？

參考數(shù)據(jù):√2≈1.41,√3≈1.73,√6≈2.45.

銳角A13°28°32°

三角函數(shù)

SinA0.22