古典概型-2021年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

若翼就型

【命題解讀】

古典概型是高考中的?？贾R點，其背景一般較為新穎，常與排列、組合、統(tǒng)計知識

交匯出題，多以選擇或者填空為主，與現(xiàn)實結(jié)合較為緊密，難度以中低難度為主。

【命題預(yù)測】

預(yù)計2021年的高考古典概型出題多與其它知識相聯(lián)系出題，利用古典概型的概率計算

公式求解。

【復(fù)習(xí)建議】

1.理解什么是古典概型；

2.能計算古典概型中簡單隨機事件的概率。

考向一古典概型的概率問題

1.基本事件的特點

(1)任何兩個基本事件是互斥的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型

具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個.

(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

3.如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一個基

本事件的概率都是;;如果某個事件A包括的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A)=

A包含的基本事件的個數(shù)

4.古典概型的概率公式:P(A)=~基本事件的總數(shù)-,

口典例劇折

1.【2020全國高三專題練習(xí)】中國古代“五行”學(xué)說認為：物質(zhì)分“金、木、水、火、土”五

種屬性，并認為：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.從五種不同屬性的物質(zhì)中

隨機抽取2種，則抽到的兩種物質(zhì)不相生的概率為（

【答案】D

【解析】從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取2種，共=10種，

而相生的有5種，則抽到的兩種物質(zhì)不相生的概率尸=1-2=，

102

故選：D

2.【2020全國高三（文）】2020年初，湖北成為全國新冠疫情最嚴重的省份,面臨醫(yī)務(wù)人員

不足，醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，全國人民心系湖北，志愿者紛紛馳援.若某醫(yī)疔團隊從甲，乙,

丙，丁4名醫(yī)生志愿者中，隨機選取2名醫(yī)生赴湖北支援,則甲被選中的概率為.

【答案】|

【解析】某醫(yī)療團隊從甲，乙，丙，丁4名醫(yī)生志愿者中，隨機選取2名醫(yī)生赴湖北支援，

基本事件有（甲,乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，?。┕?個.

甲被選中包含的基本事件有（甲，乙），（甲，丙），（甲，?。┕?個，

31

???甲被選中的概率為p=—=—,

62

故答案為：—.

2

考向二古典概型與其它知識點的結(jié)合

"典例制中

1.【2020全國高三專題練習(xí)】已知直線（：龍一2y-1=0,直線"：ax-by+l=0,

其中〃，bG{1,2,3,4,5,6}.則直線l與12的交點位于第一象限的概率為

【答案】7

6

x—2y—1—0、

【解析】由，0此（{1,2,3,4,5,6},

辦―by+l=01

b+2

x->0

b-2a

解得：<

-1-a

y=>0

2a-b

解得：b>2a,

所以當(dāng)。=1時，b=3,4,5,6；

當(dāng)a=2時，b=5,6；共6種，

尸—.........-—

6x66

故答案為：—.

6

2.【2020全國高三其他模擬（理）】二項式6+—k的展開式中，二項式系數(shù)的和

I2密）

為256,把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰的概率為.

【答案】V

12

【解析】因為二項式系數(shù)的和為2〃=256，解得〃=8,

CjY

所以二項式Vx+的展開式的通項為

2近,

如Y（?）點=瑞出產(chǎn),

其中當(dāng)左=0,3,6時為有理項.

因為二項式的展開式中共有9項，所以全排列有用種排法,

其中3項為有理項，6項為非有理項，且有理項要求互不相鄰,

可先將6項非有理項全排列，共或種排法，

然后將3項有理項插入6項非有理項產(chǎn)生的7個空隙中，共用種插法,

8走5

所以有理項都互不相鄰的概率為尸=與在=0.

故答案為：—

12

3.12020全國高三專題練習(xí)】我校5位同學(xué)報考了北京大學(xué)“強基計劃”第/專業(yè)組，并順

利通過各項考核，已知5位同學(xué)將根據(jù)綜合成績和志愿順序隨機地進入教學(xué)類、物理學(xué)類、

力學(xué)類這三個專業(yè)中的某一個專業(yè),則這三個專業(yè)都有我校學(xué)生的概率是（結(jié)果

用最簡分數(shù)表示）.

【答案】iT

【解析】：將5位同學(xué)將根據(jù)綜合成績和志愿順序隨機地進入教學(xué)類、物理學(xué)類、力學(xué)類這三

個專業(yè)中的某一個專業(yè)，所有的不同分配方式有3x3x3x3x3=243種，

三個專業(yè)都有我校學(xué)生的概率：——=一,

24381

故答案為：——.

81

裝檢測訓(xùn)練

題組一（真題在線）

1.【2019年高考全國II卷文數(shù)】生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標(biāo),

若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為

2.【2020年高考江蘇】將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則

點數(shù)和為5的概率是.

3.【2020年高考浙江】盒中有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球.從盒中隨機取

球，每次取1個,不放回，直到取出紅球為止.設(shè)此過程中取到黃球的個數(shù)為4,則P?=0）=

,E?=.

4.【2020年高考全國I卷文數(shù)】設(shè)。為正方形ABCD的中心，在。，A,B,C,。中任取3

點，則取到的3點共線的概率為

2

5

4

5

題組二

1.【2020全國高三其他模擬】《易?系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華

文化、陰陽五行術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在

左，四、九在右，五、十背中，如圖，其中白圓點表示陽數(shù)，陽數(shù)皆為奇數(shù)，黑圓點表示

陰數(shù)，陰數(shù)皆為偶數(shù).若從這10個數(shù)中任取2個數(shù)，則取出的2個數(shù)中至少有1個偶數(shù)的

概率為（）

2.【2020全國高三專題練習(xí)（理）】琵琶、二胡、編鐘、簫笛、瑟、琴、以、笙和鼓這十

種民族樂器被稱為“中國古代十大樂器為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校以這十種樂器為題

材，在周末學(xué)生興趣活動中開展了“中國古代樂器”知識講座，共連續(xù)安排八節(jié)課，一節(jié)課

只講一種樂器，一種樂器最多安排一節(jié)課，則琵琶、二胡、編鐘一定安排，且這三種樂器

互不相鄰的概率為（）

1171

A.-----B.-C.—D.—

36061515

3.【2020全國高三專題練習(xí)（理）】如圖，《宋人撲棗圖軸》是作于宋朝的中國古畫，現(xiàn)收

藏于中國臺北故宮博物院.有甲、乙兩人想根據(jù)該圖編排一個舞蹈，舞蹈中他們要模仿該

圖中小孩撲棗的爬、扶、撿、頂中的兩個動作，每人模仿一個動作，若他們采用抽簽的方

式來決定誰模仿哪個動作，則甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“撿”的概率是

)

4.【2020全國高三專題練習(xí)（理）】《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象

變化.如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻

組成，其中“一””表示一個陽爻，“表示一個陰爻）.若從八卦中任取兩卦，這兩

卦的六個爻中恰有一個陽爻的概率為（）

5.【2020全國高三專題練習(xí)】算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，其形長方，周為木框，內(nèi)貫直

柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一.算珠梁上

部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位檔撥上一顆上珠和一顆下珠，個位檔撥上一

顆上珠，則表示數(shù)字65,若在個、十、百、千位檔中隨機選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機

選擇兩個檔位各撥一顆上珠，則所撥數(shù)字小于600的概率為（）

6.12020全國高三專題練習(xí)】將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)則直線

砒+少=0與圓（X-2/+產(chǎn)=2有公共點的概率為.

7.【2020全國高三專題練習(xí)（理）】輻子是客家傳統(tǒng)農(nóng)具，南方農(nóng)民犁開田地后，仍有大

的土塊.農(nóng)人便用六片葉齒組成輻軸，兩側(cè)裝上木板，人跨開兩腳站立，既能掌握平衡，又

能增加重量，讓牛拉動輻軸前進，壓碎土塊，以利于耕種.這六片葉齒又對應(yīng)著菩薩六度，

即布施、持戒、忍辱、精進、禪定與般若.若甲、乙每人依次有放回地從這六片葉齒中隨機取一

片，則這兩人選的葉齒對應(yīng)的“度”相同的概率為.

8.12020上海高三一?！恳粋€袋中裝有同樣大小、質(zhì)量的10個球，其中2個紅色、3個

藍色、5個黑色.經(jīng)過充分混合后，若從此袋中任意取出4個球，則三種顏色的球均取到

的概率為.

9.【2020江蘇南通市高三月考】《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是由商

高發(fā)現(xiàn)，故又稱勾股定理為商高定理.我們把可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱

為勾股數(shù).現(xiàn)從6、7、8、9、10這5個正整數(shù)中隨機抽取3個數(shù)，則恰好構(gòu)成勾股數(shù)的

概率為.

10.【2020全國高二課時練習(xí)（理）】某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該

產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

單價M元）88.28.48.68.89

銷量y（件）908483807568

由表中數(shù)據(jù),求得線性回歸方程為y=-20.什6.若在這些樣本中任取一點，則它在回歸直線左

下方的概率為.

學(xué)答案解析

題組一

1.B

【解析】設(shè)其中做過測試的3只兔子為a,4c,剩余的2只為A8,則從這5只中任取3只

的所有取法有

{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B],{a,c,A},{a,c,B],{a,A,B},{b,c,A},

{b,c,B],{b,A,B},{c,A,B],共10種.

其中恰有2只做過測試的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B}，{仇c,A},{b,c,B},

共6種，

所以恰有2只做過測試的概率為指=|,故選B.

【解析】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為6x6=36個.

點數(shù)和為5的基本事件有（1,4）,（4,1）,（2,3）,（3,2）共4個.

41

出現(xiàn)向上的點數(shù)和為5的概率為P=—=—.

369

故答案為：—.

11.1

'3'

【解析】因為4=0對應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球,

所以=0）=—I—X—=—,

4433

隨機變量。=。，1,2,

…八212111211

P(c-1)=—X—+—X—X—+—X—X—,

434324323

所以E(J)=0x；+lxg+2xg=l.

故答案為：—；1-

4.A

【解析】如圖，從。AAC,05個點中任取3個有:

｛。3,。｝,｛。。,。｝,｛43,。｝,｛48,。｝,｛AC￡>｝,｛8,C。｝共10種不同取法,

3點共線只有｛A。。｝與｛瓦。。｝共2種情況，

由古典概型的概率計算公式知，取到3點共線的概率為g=g.

故選A.

題組二

1.D【解析】由題可知，這10個數(shù)中5個奇數(shù)5個偶數(shù),

所以取出的2個數(shù)中至少有1個是偶數(shù)的概率P=

故選：D

2.B【解析】從這十種樂器中挑八種全排列，有情況種數(shù)為A3從除琵琶、二胡、編鐘三

種樂器外的七種樂器中挑五種全排列，有用種情況，再從排好的五種樂器形成的6個空中

挑3個插入琵琶、二胡、編鐘三種樂器，有用種情況，故琵琶、二胡、編鐘一定安排，且

這三種樂器互不相鄰的情況種數(shù)為耳耳.

所以所求的概率p==—>

Ao6

故選：B.

3.C【解析】依題意，基本事件總數(shù)是禺=24,設(shè)事件A表示甲只能模仿“爬”或“扶”且乙

只能模仿“扶”或“撿”，

①若甲模仿“爬”，則乙能模仿“扶”或“撿”，有2種選擇，剩余的2人全排列用=2種排

法，故有2x2=4種排法；

②若甲模仿“扶”，則乙只能模仿“撿”，剩余的2人全排列尺=2種排法，故有1x2=2

種排法，

故A包含4+2=6個基本事件，P（A）=—=-.

\/OAA

故選：c.

4.B【解析】從八卦中任取兩卦的基本事件有=28圭卜,

由圖可知，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，沒有陽爻的是坤卦,

所以兩卦的六個爻中恰有一個陽爻的基本事件有3x1=3卦,

33

所以兩卦的六個爻中恰有一個陽爻的概率P=k==?

Co2d

故選：B

【解析】在個、十、百、千位檔中隨機選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機選擇兩個檔位各撥

一顆上珠，所有的數(shù)有c：c：=24個，其中小于600的有C；C；-=7個,

7

.??所求概率為P.

【解析】將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a力可得“=6x6=36種結(jié)果，由直線與圓

2Q

(x—2『+V=2有公共點可得/2"RV0na<少，故滿足a<b的結(jié)果有

m=6+5+4+3+2+1=21種，由古典概型的計算公式可得：直線依+外=0與圓

(九一2)2+/=2有公共點的概率為尸='=—=’,應(yīng)填答案—.

n3612

6

【解析】記布施，持戒，忍辱，精進，禪定，般若分別為。，b,c,d,e,f,

則基本事件有(a,a),(a,b),(a,c),(a,e),(a,f),

(b,a),(b,b),{b,c),(b,d),(b,e),(b,/),

(c,?),(c,c),(c,d),(c,e),(c,/),

(d,A),(d,c),(d,d),(d,e),

(e,a),(e,c),(e,d),(e,e),(e,f),

(/,a)，(fc)，(/,d)，(/>),(/,/),

共36個，其中符合條件的有6個，故所求概率尸=?=!.