特殊化與一般化

高等數(shù)學(xué)在線開(kāi)放課程數(shù)學(xué)思想與方法——特殊化與一般化特殊化與一般化特殊化一般化認(rèn)識(shí)事物的兩個(gè)側(cè)面解題的兩種基本策略相輔相成，辯證統(tǒng)一特殊化與一般化特殊化一般化特殊問(wèn)題簡(jiǎn)單、直觀，容易認(rèn)識(shí)，容易把握特殊問(wèn)題的個(gè)別特性可能會(huì)掩蓋事物的本質(zhì)屬性有時(shí)求解一般性問(wèn)題，反而來(lái)得簡(jiǎn)便、明快特殊問(wèn)題一般化當(dāng)我們面臨的是一個(gè)計(jì)算比較復(fù)雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特殊問(wèn)題時(shí)，要設(shè)法把特殊問(wèn)題一般化，找出一個(gè)能夠揭示事物本質(zhì)屬性的一般性問(wèn)題，以便利用解決一般情形的方法、技巧或結(jié)果，順利解出原題，這就是一般化策略。特殊問(wèn)題一般原型例題：分析?證明將上述命題一般化，即證明這是有關(guān)自然數(shù)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。例題：證明?證明例題：證明?證明特殊問(wèn)題一般化方程、不等式的解可理解為對(duì)應(yīng)函數(shù)處在某特定狀態(tài)時(shí)的自變量的值，其個(gè)數(shù)、大小、范圍都與函數(shù)性質(zhì)有密切的聯(lián)系。方程不等式函數(shù)特殊形式一般形式因此，當(dāng)我們研究方程或不等式時(shí)，可用一般化策略，把它們置身于函數(shù)之中，使我們能在更一般，更廣闊的領(lǐng)域，在變化之中尋求化歸的途徑。例題：分析?已知

是實(shí)數(shù)，且

，其中

是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。證明：要證

，只須證

，即考慮函數(shù)不等式函數(shù)例題：分析?已知

是實(shí)數(shù)，且

，其中

是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。證明：∵∴函數(shù)

在

上是單調(diào)遞減函數(shù)。又即∴從而命題得證。一般問(wèn)題特殊化從特殊到一般是人類(lèi)認(rèn)識(shí)客觀事物的一種規(guī)律。

對(duì)于一個(gè)一般性的問(wèn)題,先研究它的某些特殊情形,從而獲得解決問(wèn)題的途徑,使問(wèn)題得以“突破”，這種解決問(wèn)題的策略稱(chēng)為特殊化策略。例題：分析?已知：證明：解決本題的關(guān)鍵在于利用已知條件，而其中是抽象的字母，為此，不妨用具體的數(shù)字來(lái)替代。例題：分析?已知：證明：由此產(chǎn)生猜想：滿足已知條件的

中，至少有兩個(gè)互為相反數(shù)。把

看做已知數(shù)，解關(guān)于

的方程，