高中數(shù)學(xué) 數(shù)列的概念 專項(xiàng)訓(xùn)練

專題01數(shù)列的概念

目錄

題型一：數(shù)列的通項(xiàng).................................................................3

題型二：已知Sn=f(n)求通項(xiàng)公式....................................................4

題型三：數(shù)列的單調(diào)性...............................................................5

題型四：數(shù)列的最值.................................................................8

題型五：數(shù)列的周期性..............................................................12

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.數(shù)列的概念

概念含義

數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列

數(shù)列

數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，其中第1項(xiàng)也叫首項(xiàng)

的項(xiàng)

通項(xiàng)

如果數(shù)列A的第〃項(xiàng)服與它的序號(hào)〃之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這

個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

公式

前n

數(shù)列｛斯｝從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，記作Sn

項(xiàng)和

2.數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型含義

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列

按項(xiàng)數(shù)

無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列

從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列，即恒有a?+i>an(n

遞增數(shù)列

GN*)

按項(xiàng)的

從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列，即恒有an+\<an(n

遞減數(shù)列

變化趨勢(shì)

GN*)

常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列，即恒有an+i=an(nGN*)

3.數(shù)列的表示法

表示法定義

列表法列出表格表示n與斯的對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖象法把點(diǎn)(〃，0,)畫在平面直角坐標(biāo)系中

公通項(xiàng)公式斯=75)

式

如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式

遞推公式

子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.如斯+1=｛斯)，a=f(a_\,即+1)(〃22)等

法nn

4a”與S”的關(guān)系

'Si,n=\,

數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和S,之間的關(guān)系為an=

Sn-Sn-l,心2.

Clna〃+1?

5.數(shù)列最值：若(〃22),則?！ㄗ畲?若(〃22),則斯最小.

fln三dn—\a〃〃—1

例題精講

題型一：數(shù)列的通項(xiàng)

【要點(diǎn)講解】給出數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)時(shí)，主要從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：①熟悉一些常見數(shù)

列的通項(xiàng)公式，如{〃},{2n},{(—1)"),{2"},{話},{2〃-1}等;②分式形式的數(shù)列，分子、

分母分別求通項(xiàng)，較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系；③若第〃項(xiàng)和第〃+1項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò),

那么用符號(hào)(一1)"或(一1)#1來(lái)適配；④對(duì)于較復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式，可使用添項(xiàng)、通分、

分割等方法，將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個(gè)常見數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的“和”“差”“積”“商”后再

進(jìn)行歸納；⑤注意通項(xiàng)公式的形式不一定是唯一的，如數(shù)列1,0,1,0,…的通項(xiàng)公式可寫成

_1+(—1)"+1_^_|sin^|_[1，〃是奇數(shù),

%=或cin~I2I,甚至分段形式—■寸.

2[0,n是偶數(shù)

【例1】數(shù)歹1]2,5,11,20,x,47,…中的工值為()

A.28B.32C.33D.27

【解答】解：由題意知，數(shù)列2,5,11,20,x,47,

.-.5-2=3,11-5=6,20-11=9,

貝l]x-20=12,解得x=32,

故選：B.

【變式訓(xùn)練1】數(shù)列-4,7,-10,13,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()

A.a.=(-l)"(3"+4)B.%=(一1)"(3〃+1)

C.。，=(一1)向(3〃+4)D.%=(-1)向(3〃+1)

【解答】解：由符號(hào)來(lái)看，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以通項(xiàng)公式中應(yīng)該是

數(shù)值4,7,10,13,…滿足3〃+1,所以通項(xiàng)公式可以是〃"=(-1)0(3〃+1).

故選：B.

【變式訓(xùn)練2】數(shù)列3,2」,2,…的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是()

2468

A2n-\「+1八2n-\門2〃+l

A.(ci—B?ci-C?ci-13(ci-

〃2〃〃2〃"2〃〃2n

【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列3上」,2,…,

2468

nn2x1+12x2+12x3+12x4+1

2x12x22x32x4

故該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為生匚.

2n

故選：D.

題型二：已知Sn=f(n)求通項(xiàng)公式

【要點(diǎn)講解】S“與詼關(guān)系問(wèn)題的求解思路

方向1：利用a〃=S“一S“_i(〃22)轉(zhuǎn)化為只含S“，S-i的關(guān)系式，再求解.

方向2：利用S“一5“_1=%("22)轉(zhuǎn)化為只含斯，的關(guān)系式，再求解.

值得注意的是：最后要么確定首項(xiàng)m,要么就是驗(yàn)證處是否滿足"22時(shí)得到的通項(xiàng)，滿足

的話，可以“合并統(tǒng)一”，不滿足只能寫成分段形式.

【例2】已知數(shù)列0｝的前〃項(xiàng)和S.=〃2-2〃+1,則%=()

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：因?yàn)閿?shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和S”=-2〃+1,

所以能二邑—§2=(9—6+1)—(4—4+1)=3.

故選：B.

【變式訓(xùn)練1]若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S"=/T,貝U%=()

A.7B.8C.9D.17

【解答】解：?.?數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和S〃=1-1,

/.6Z4=S4-53=(16-1)-(9-1)=7.

故選：A.

【變式訓(xùn)練2】設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和則為的值為()

A.15B.17C.49D.64

【解答】解:數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S〃=",則々9=89-58=81-64=17.

故選：B.

設(shè)數(shù)列｛0｝前〃項(xiàng)和為S“，5〃="+〃+5,求數(shù)列化｝的通項(xiàng)公式.

【解答】解：由S'="+〃+5.

當(dāng)〃=1時(shí)，4=S]=7；

當(dāng)兒.2時(shí)，=S/一S〃_]=*+〃+5—[(〃—I)2+(w—1)+5]=2n.

7,n=1

＜q=7不適合上式.a

n2n,n..2

【變式訓(xùn)練3】已知數(shù)列｛%」的前〃項(xiàng)和為S"=2〃2-30”.

（1）求出｛%,｝的通項(xiàng)公式；

（2）求S“的最小值及取最小值時(shí)〃的值.

【解答】解：（1）因?yàn)?2〃2_30〃，所以當(dāng)力=1時(shí)，a,=5,=2xl2-30xl=-28；

2

當(dāng)加.2時(shí)，an=Sn-=（2]-30H）-[2（H-I）-30（〃-1）]=4M-32；

顯然”=1是，也滿足a“=4〃—32,所以a。=4:z—32；

(2)=2?2-30n=2(n-—)2--

“22

又neN*,所以當(dāng)〃=7或〃=8時(shí)，]取得最小值-112.

題型三：數(shù)列的單調(diào)性

【要點(diǎn)講解】數(shù)列是特殊函數(shù)，研究其性質(zhì)一般都離不開函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.解決數(shù)列

單調(diào)性的方法主要有：作差比較、作商比較及結(jié)合相應(yīng)函數(shù)直觀判斷，求最大項(xiàng)可通過(guò)列不

等式組來(lái)求，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷時(shí)，要時(shí)刻注意“dN*取值的離散性.

【例3】下列通項(xiàng)公式中，對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）

A.ci=\—nB.凡二—

〃+3,〃，2,

C.a-2n-5H+1D.a

nnr-\n>2

【解答】解：對(duì)于/，8選項(xiàng)對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞減數(shù)列；

對(duì)于C選項(xiàng)，.,.數(shù)列｛%,｝是遞增數(shù)列；

對(duì)于。選項(xiàng)，???啰＞/，：?數(shù)列｛%｝不是遞增數(shù)列.

故選：C.

【變式訓(xùn)練1】已知數(shù)列缶,｝的前〃項(xiàng)的積為北，且＜2,3,…），則數(shù)列｛%｝（

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

【解答】解：當(dāng)〃=1時(shí)％=刀=1,當(dāng)九.2時(shí)%=Z^=/-=1+」一,

T〃_in-1n-1

所以外>。3>%…>1，而q=1,

故可為最小項(xiàng)，出為最大項(xiàng).

故選：A.

【變式訓(xùn)練2】己知數(shù)列缶"｝中，％=〃2-5〃+4,則數(shù)列出J的最小項(xiàng)是()

A.第1項(xiàng)B.第3項(xiàng)、第4項(xiàng)C.第4項(xiàng)D.第2項(xiàng)、第3項(xiàng)

2

【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列｛%｝中，an=n-5n+4,則

a〃+i-%=(〃+1)2—5(〃+1)+4-+5〃-4=2rl—4,

當(dāng)〃<2時(shí)，有?！?1—冊(cè),0，則有可>出，

當(dāng)〃=2時(shí)，有an+｛-an=0,則有電=%，

當(dāng)〃>2時(shí)，有an+l-an>0,則有生<%<...，

故數(shù)列｛凡｝的最小項(xiàng)是第2項(xiàng)、第3項(xiàng).

故選：D.

【變式訓(xùn)練3】寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列S"｝的通項(xiàng)公式：4=_kn(k>0)

(符合此種形式即可).

①-a?(m>n,m,neN*)；

②｛凡｝單調(diào)遞增.

【解答】解：假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,首項(xiàng)為外,

由性質(zhì)①可得：ax+(m-n-l)d=ax+(jn-l)d-ax-(n-V)d=>%=d,

即an=a｛+(n-l)d=dn,

再根據(jù)②可知，公差d〉Q,顯然%=切(左>0)滿足題意.

故答案為：W>0)(符合此種形式即可).

【例4】已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為a“=〃+4,且｛%｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)2

n

的取值范圍是—(-8,2)—.

【解答】解：?.?數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為?！?〃+4,且數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)歹U,

n

%=〃+i+2一"一2=^_+i>o

一〃￡N*恒成立,

“+1nn(n+1)

即幾EN*怛成立,

而"+〃，隨〃的增大而增大，

即當(dāng)〃=1時(shí)，獷+幾，取得最小值2,則％<2,

所以實(shí)數(shù)力的取值范圍是(-8,2),

故答案為：(-8,2).

【變式訓(xùn)練1】設(shè)a>0且21，已知數(shù)列也｝滿足6“=[(：；")”[2,4,6,且｛“｝是遞增數(shù)

a>6

列，則。的取值范圍是(2,3)

3>0

【解答】解：因?yàn)椋?｝是遞增數(shù)列，所以。>1，解得2<。<3,

(3-a)x6-2<a7-5

即a的取值范圍是(2,3).

故答案為：(2,3).

8,

【變式訓(xùn)練2】已知數(shù)列｛3｝滿足1neN*，若對(duì)于任意“eN*都有

(§-〃)〃+2/>8,

%>%，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是(11)?

【解答】解：???對(duì)于任意的〃￡N*都有4〉4日，

數(shù)列｛〃〃｝單調(diào)遞減，可知

①當(dāng):<Q<1時(shí)，孔>8,。〃=(；一Q)〃+2單調(diào)遞減,

而為=優(yōu)-7仇,8)單調(diào)遞減，

/.(—―Q)X9+2<Q87,角舉得a>5,

因此：—<a<\.

2

②當(dāng)0<a<；時(shí)，幾>8,%=(；—+2單調(diào)遞增,應(yīng)舍去.

綜上可知：實(shí)數(shù)。的取值范圍是g,1).

故答案為：(g,1).

【變式訓(xùn)練3]若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是%=(〃+2)?1)",且冊(cè)，%恒成立(%加€"*),則

8

m=.

7

【解答】解：因?yàn)椤ā?(幾+2)?(―)〃，

8

貝IJa用一a“=(n+3)-((嚴(yán)-("+2).(：)"=(1)".?，

OOOO

所以％</<?<%<>。7>■…，

故當(dāng)〃=5或6時(shí)，%取得最大項(xiàng)，

因?yàn)閮?cè),%,恒成立，

則〃=5或6.

故答案為：5或6.

【變式訓(xùn)練4】已知數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，其前〃項(xiàng)和S“=-川+2〃+小，則實(shí)數(shù)加的取值

范圍是(-2,+co).

2

【解答】解：①當(dāng)”=1時(shí)，a1=5l=-l+2+m=l+m,

(2)當(dāng).2時(shí)，an=S"—S“_]=—+2〃+〃？一[—(〃-1)~+2(〃—1)+TYI\=—2〃+3，

a〃+]—Un—[—2(〃+1)+3]—(—2n+3)=—2<0，

當(dāng).2時(shí),an+l<an,數(shù)列｛a“｝遞減,

綜上所述，若使｛%｝為遞減數(shù)列，只需滿足出<%，即-2x2+3<l+m,

解得m>—2,

故答案為：(-2,+oo).

題型四：數(shù)列的最值

【要點(diǎn)講解】數(shù)列的最值一般包括“項(xiàng)的最值”和“和的最值”.解決“項(xiàng)的最值”問(wèn)題，

dndn_19

一般有兩種角度：(1)通過(guò)不等式組研究，如求最大項(xiàng)，則需滿足?

通過(guò)解不等式組得到〃的范圍，再結(jié)合“GN*,確定具體項(xiàng)；(2)從項(xiàng)的“函數(shù)性”出發(fā)，以

函數(shù)的視角從單調(diào)性出發(fā)得到最值.

解決“和的最值”問(wèn)題，一般有兩種角度：（1）從“通項(xiàng)”著手，研究通項(xiàng)的函數(shù)單調(diào)性和

“變號(hào)”情況，從而確定“和的最值”；（2）從“和”的函數(shù)單調(diào)性出發(fā)，直接根據(jù)單調(diào)性

得到最值.

【例5】在數(shù)列位“｝中，an=（2〃-1）（夕，則數(shù)列｛a,,｝中的最大項(xiàng)是第項(xiàng).

【解答】解：根據(jù)題意知：（2〃-1）（，>（2〃+1）（［嚴(yán)，解得心”；

65Z

7717

（2〃-1）（廿>（2〃-3）（"解得〃<一,

oo2

所以"?〈幾<"?,neN*,

22

所以〃=8.

故答案為：8.

【變式訓(xùn)練1】在數(shù)列缶〃｝中，4=則.”的最大值是（）

"/+14

A.巫B.132

C.—D.—

2882315

【解答】解：由題意可得出=一^=—

nn+一

n

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，7=—^4在（0,4了）上遞增，在“值,+00）上遞減，

XH--

所以在｛%｝中，ax<a2<a39a4>a5>a6>--

小々口注14233

H=In=3oj，〃H----=—，ci-,=—；

n3323

*/I14152

芻〃=4呵,nH----=——.a=—；

n2A415

rrixr2315二匚32

因?yàn)橐?gt;一，所以一<一，

322315

?一.?

所以的取大值是&二百.

故選：D.

【變式訓(xùn)練2］若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=——（〃eN*）,則這個(gè)數(shù)列中的最大項(xiàng)是（

?2+196

）

A.第12項(xiàng)B.第13項(xiàng)C.第14項(xiàng)D.第15項(xiàng)

n1

【解答】解:

“2+196-，196

n+—

n

196

nH----

n

當(dāng)且僅當(dāng)〃=史9,即〃=14時(shí)，取等號(hào),

n

11

，當(dāng)"=14時(shí)，Y/取得最大值

,19628

nH----

n

故選：C.

【變式訓(xùn)練3】若％=-2/+31〃，則數(shù)列｛a,,｝的最大項(xiàng)是第項(xiàng).

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)/(X)=-2X2+31X,是開口向下，對(duì)稱軸為x="的二次函數(shù),

距離對(duì)稱軸最近的正整數(shù)為8,

若見=-2〃2+31〃，該數(shù)列中最大項(xiàng)是第8項(xiàng).

故答案為：8.

【變式訓(xùn)練4】已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=(-令".曾1,設(shè)數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)

分別為“，N,則"+N=.

【解答］解：當(dāng)"=2左-1/eN*)時(shí)，a?<0,

(，產(chǎn).左

25k1/曰，16

由4二--------------->]，得左>一,

〃2%+1(_3)2%+1.左+]16(女+1)9

5

則當(dāng)左.2且左EN*時(shí)，a2k_{<a2k+x,

_4

..可525

?—=------—=—<1,<0,

生2x(-里)32

125

當(dāng)〃=2k(keN*)時(shí)，4>0，

2左+l

由a2k=_________2_=25(21+1)>],

得先>ll,

a2k+2(_42H22左+316(%+3)

52

則當(dāng)左.2且左￡N*時(shí)，a2k>a2k+2，

163

—x—i<

又2=252="<]128

，出<。4>。6>。8…，?二川=%

?4256*5-16125

6252

:.M+N=^區(qū)0

125125

故答案為：0.

【變式訓(xùn)練5】記與為數(shù)列口｝的前〃項(xiàng)和.若%=〃(8-")(〃=1,2,則()

A.｛%｝有最大項(xiàng)，｛5｝有最大項(xiàng)B.｛%｝有最大項(xiàng)，｛S｝有最小項(xiàng)

C.｛%｝有最小項(xiàng)，｛*｝有最大項(xiàng)D.｛為｝有最小項(xiàng)，｛S,J有最小項(xiàng)

2

【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列｛%｝,an=n(8-n)=8n-n,

對(duì)于二次函數(shù)，j=-x2+8x,其開口向下，對(duì)稱軸為x=4,即當(dāng)x=4時(shí)，y=取

得最大值，

對(duì)于｛。“｝,〃=4時(shí)，最大；

且當(dāng)L,”<8時(shí)，a?>0,當(dāng)〃=8時(shí)，an=0,當(dāng)〃>8時(shí)，an<0,

故當(dāng)〃=7或8時(shí)，S”最大，

故｛%｝有最大項(xiàng)，｛S“｝有最大項(xiàng)；

故選：A.

【例6］己知數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和S"=I/+11〃.

(1)求與的最大值；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

【解答】解：(1)數(shù)歹”｛%｝的前〃項(xiàng)和邑=一2〃2+11〃.

對(duì)稱軸為——--=—,

2x(-2)4

因?yàn)椤╡N*,將”=2,〃=3代入得了2=14,邑=15,S2<S3,

所以當(dāng)”=3時(shí)，S.取得最大值15.

(2)當(dāng)”=1時(shí)，/=E=-2+11=9,

2

當(dāng).2時(shí)，an=Sn-Sy=(-2/+lln)-[-2(?-1)+11(?-1)]=-4M+13,

當(dāng)〃=1時(shí)，-4+13=9=%,

所以4=-4n+13.

【變式訓(xùn)練1】已知等差數(shù)列S”｝中滿足%=1,%=d-4,

(1)求通項(xiàng)公式區(qū),；

(2)試求數(shù)列｛%｝中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng).

【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛%,｝的公差為d,?.?%=1，％=W-4,

1+2d=(1+dp-4,解得<7=±2.

an=1±2(n-1)=2〃-1或3-2〃.

(2)%=2〃-1時(shí)，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，”=1時(shí)，取得最小值為q=1,無(wú)最大值；

?！?3-2〃時(shí)，數(shù)列｛.“｝單調(diào)遞減，〃=1時(shí)，取得最大值為%=1,無(wú)最小值.

題型五：數(shù)列的周期性

【要點(diǎn)講解】(1)解決數(shù)列周期性問(wèn)題，一般先寫出前幾項(xiàng)從而確定周期，再依據(jù)周期求解.待

1

求式中出現(xiàn)較大下標(biāo)或已知條件中有關(guān)鍵恒等式，都是周期數(shù)列的“信號(hào)”.如斯+1=血二

斯+1

即加+1)普口，由函數(shù)周期性相關(guān)結(jié)論可知該數(shù)列的一個(gè)周期為4.

?+1

(2)通項(xiàng)中函數(shù)和三角函數(shù)的數(shù)列的周期性問(wèn)題的突破點(diǎn)往往從三角函數(shù)出發(fā)，根據(jù)正弦、

余弦函數(shù)的最小正周期公式7="得出三角函數(shù)的周期，研究該周期對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的周期性變

化的影響，通過(guò)“周期性并項(xiàng)”發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而解決問(wèn)題.

[例7】數(shù)列｛"〃｝中，4=3,2=6,?！?2=?！?1-?！?，那么4=()

A.-2B.-3C.-6D.-8

【角?！繃?guó)牛：?二q=3,%=6,?！?2="〃+1—，

a3=a2—a[=6—3=3,

a4=a3—a2=3—6=—3,

%一％=_3—3=-6,

以二丹一%=一6一(一3)——3，

故選：B.

【變式訓(xùn)練1】在數(shù)列｛%｝中，已知q=1,。用一4“=sin”^,則%022=.

【解答】解：由q=1,%+|-a“=sin”^,

__3兀

可得%=%+sin%=1,2=。2+sin—=1-1=0,%=%+sin2%=0,

.57r八11

。5=%+sin2=。+1=I，...9

所以數(shù)列缶“｝的最小正周期為4,

月斤以“2022=a2=I?

故答案為：I.

【變式訓(xùn)練2】在數(shù)列｛%｝中，已知％=1,。用_%=$也”圮，記S,為數(shù)列色，｝的前〃

項(xiàng)和，貝1］邑019=()

A.1B.1010C.1D.2019

［解］解：可得，〃2—4=。，/—。2=—1，%—“3=°，%—。4=1,

aa

6~5~0,a7-a6=-1?as-a7=0,a9-as=l；

—Q2=%=1,Q4—Q3—-05。6—=1,。8—Clq=0,

所以每四項(xiàng)和為2,

則邑019=504義2+1+1=1010.

故選：B.

【變式訓(xùn)練3】已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝,若。8嗎2+5%。=14,則

log2Q］+log2a2+log2Q3+...+log2%9=.

【解答】解：???各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝,%4+5%。=14,

二19.

故答案為：19.

課后練習(xí)

選擇題(共6小題)

1.若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“=2/+1,則下列結(jié)論正確的是()

A.an=4^+2B.Q〃=4〃-2

=113,幾二1

C.a=4D.ci=\

〃[4〃+2,〃>1〃14〃-2,〃〉1

2

【解答]解：當(dāng)〃=1時(shí)，ax=S1=2xI+1=3?

當(dāng)〃〉1時(shí)，an=S〃—Si=2"+l—2(〃—Ip—1=4〃—2,

經(jīng)檢驗(yàn)，可得a"=F'”=l.

〃14〃-2,〃>1

故選：D.

2.已知函數(shù)/(x)=3'(x￡R),設(shè)數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式為〃〃=/(〃)(〃EN*),則下列選項(xiàng)

錯(cuò)誤的是()

A.〃x)的值域是RB.a”的最小值為

C.an<\D.數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列

【解答】解：由于函數(shù)=

3

所以=1-2x(；)"，

故氏=1-2x(｝",

由于(1)"e(0,+oo)，故-2x(1)"e(-oo,0),

所以%=1-2x(，"e(-oo,l),故/錯(cuò)誤；C正確；

由于/?=f=1-2x(g，故函數(shù)”幻為單調(diào)遞增函數(shù)’故數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列’

故。正確；

由于函數(shù)/(X)為單調(diào)遞增函數(shù)，故的最小值為q=；,故8正確.

故選：A.

2

3.已知數(shù)列｛〃〃｝中，an=n-5n+4,則數(shù)列｛%｝的最小項(xiàng)是()

A.第1項(xiàng)B.第3項(xiàng)、第4項(xiàng)C.第4項(xiàng)D.第2項(xiàng)、第3項(xiàng)

2

【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列｛4｝中，an=n-5n+4,則

a“+i-〃〃=(〃+1)2—5(〃+1)+4-〃之+5〃-4=2〃—4,

當(dāng)〃<2時(shí)，有an+i-an,,0,則有%>出，

當(dāng)〃=2時(shí)，有an+i-an=0,則有。2=%，

當(dāng)〃>2時(shí),有an+x-an>0,則有的<%<...’

故數(shù)列｛%｝的最小項(xiàng)是第2項(xiàng)、第3項(xiàng).

故選：D.

4.記S〃為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若Q〃=〃(8-〃)(幾=1,2,…)，貝!]()

A.｛4｝有最大項(xiàng)，｛SJ有最大項(xiàng)B.｛4｝有最大項(xiàng)，｛S，｝有最小項(xiàng)

C.｛4｝有最小項(xiàng)，｛S，｝有最大項(xiàng)D.｛4｝有最小項(xiàng)，｛S〃｝有最小項(xiàng)

2

【解答】解：根據(jù)題意,數(shù)列｛%｝,an=H(8-n)=8n-n,

對(duì)于二次函數(shù)，y=-x2+8x,其開口向下，對(duì)稱軸為x=4,即當(dāng)％=4時(shí)，y=-x2+8xMX

得最大值，

對(duì)于｛〃“｝,〃=4時(shí)，%最大；

且當(dāng)L,〃<8時(shí)，an>0,當(dāng)〃=8時(shí)，%=0，當(dāng)〃〉8時(shí)，4<0，

故當(dāng)幾=7或8時(shí)，S”最大,

故缶〃｝有最大項(xiàng)，｛S〃｝有最大項(xiàng)；

故選：A.

5.若數(shù)列為37,310,313,3%…，則382是這個(gè)數(shù)列的()

A.不在此數(shù)列中B.第25項(xiàng)C.第26項(xiàng)D.第27項(xiàng)

【解答】解：設(shè)數(shù)列7,10,13,16,…，為數(shù)列｛q,｝,

則數(shù)列｛%｝是以7為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為為=7+3("-1)=3力+4,

令3〃+4=82解得?=26.

故選：C.

6.已知數(shù)列｛氏｝滿足⑸=2"+初，若｛%｝為遞增數(shù)列，則后的取值范圍是()

A.(―2,+co)B.(2,+oo)C.(—8,—2)D.(—8,2)

【解答】解：若也J為遞增數(shù)列，則。用-%>0,

則有2角+k(n+1)-(2"+kn)=2向一2"+左=2"+:>0,對(duì)于ne憶恒成立.

k>-2",對(duì)于〃eM，恒成立，k>-2.

故選：A.

多選題(共2小題)

7.數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為斗，已知邑=-*+7〃，則下列說(shuō)法正確的是()

A.｛%｝是遞減數(shù)列B.%。=-14

C.當(dāng)〃>4時(shí)，an<QD.當(dāng)〃=3或4時(shí)，S,取得最大值

【解答】解：當(dāng).2時(shí)，an=Sn-=-2〃+8,又％=S]=6=—2x1+8,

所以%=-2〃+8,則｛%｝是遞減數(shù)列，故/正確；

故2錯(cuò)誤；

當(dāng)〃>4時(shí)，??=8-2?<0,故C正確；

7

因?yàn)镾”=-/+7〃的對(duì)稱軸為"=—,開口向下，

2

而〃是正整數(shù)，且〃=3或4距離對(duì)稱軸一樣遠(yuǎn)，

所以當(dāng)"=3或4時(shí)，S“取得最大值，故。正確.

故選：ACD.

8.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為則()

3〃一16

A.數(shù)列也,｝為遞增數(shù)列B.%+。8=2a6

c.名為最小項(xiàng)D.%為最大項(xiàng)

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于/,數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為當(dāng)L,45時(shí)，a=---<0,當(dāng)兒..6時(shí)，

377-16n〃3n-16

故數(shù)列｛。,｝不是遞增數(shù)列，A錯(cuò)誤；

3/7-16

a==—1,〃8=9=1，&=￡=3,貝！J5錯(cuò)

對(duì)于B,數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4

3H-16A82

誤；

-16

對(duì)于C和。，由于

3〃-16—(3〃-13)(3〃-16)

易得當(dāng)L,〃，4時(shí),。〃+1—。，有“5<見<。3<。2<%<0，

當(dāng).5時(shí)，an+1-an<0,有。6>%>。8>......>??>0,

則應(yīng)為最小項(xiàng)，R為最大項(xiàng)，

故選：CD.

三.填空題(共4小題)

8

9.已知數(shù)列｛%｝的前8項(xiàng)1,1,2,3,5,10,13,21,令〃x)=，則/(x)的

1=1

最小值點(diǎn))=7.

8

=

【答】角牛：f(x)—):(x—4/8%2—2(%+出+...+。8)*+a：+a：+....+,

i=l

結(jié)合二次函數(shù)可得當(dāng)X=%+>+……+.=1+1+2+3+5+10+13+21=些=7時(shí)，/⑴取

888

得最小值,

即/(x)的最小值點(diǎn)x=7.

故答案為：7.

10.已知數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，an=n2-An+3.則2的取值范圍是_(-*3)

【解答】解：數(shù)列他｝為遞增數(shù)列，an=n2-An+3,

/.%+]-=[(〃+1)2-4(〃+1)+3]-(〃2—An+3)=2〃+1—A>0,

A<2幾+19

?;nsN*,/.Z<3,

4的取值范圍是(-8,3).

故答案為：（-8,3）.

5,(〃=1)

11.已矢口數(shù)歹!J｛4｝的前〃項(xiàng)和S〃=3+2〃則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為_4=

2〃工5..2)一

【解答】解：由邑=3+2〃,

當(dāng)〃=1時(shí)，q=S]=5.

當(dāng)n..2時(shí)，an=Sn-Sn_x=3+2〃—3—2"一】=2〃一].

5,(幾=1)

所以?！?

2i,5..2).

5,5=1)

故答案為a=

n2〃工(孔.2)

24_6_J_102n

12.…的一個(gè)通項(xiàng)公