現代機械工程圖學 課件 第3章-立體表面上幾何元素的投影

第三章立體表面上幾何元素的投影§3.2立體表面上的點§3.3立體表面上的直線§3.4立體表面上的平面§3.1投影法與投影體系§3.5幾何元素的相對位置§3.6換面法§3.7立體表面上的曲線與曲面§3.1投影法與投影體系§3.1.2投影體系§3.1.1投影法§3.1.1投影法PABCabcS投影投影面

投射線投射中心一、投影法概述

投射線通過物體，向選定的平面進行投射，并在該面上得到圖形的方法——投影法。圖3-1投影法PABCabcS投影投影面

投射線投射中心常用的投影方法有兩種：中心投影法和平行投影法。二、投影法的分類§3.1.1投影法中心投影法

投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。度量性較差。投影特性物體位置改變，投影大小也改變。投射線物體投影面投影投射中心§3.1.1投影法圖3-2中心投影法平行投影法投影特性投影大小與物體和投影面之間的距離無關。度量性較好。工程圖樣多數采用正投影法繪制。斜投影法正投影法§3.1.1投影法圖3-3正投影法圖3-4斜投影法三、正投影的基本性質HabHHHcedECDABEFACDBabABdabccedDECABabef1.積聚性3.類似性2.真實性4.平行性§3.1.1投影法圖3-5正投影法的投影規(guī)律四、工程上常用的投影圖§3.1.1投影法（1）多面正投影圖（a）直觀圖（b）投影圖圖3-6多面正投影圖四、工程上常用的投影圖§3.1.1投影法（2）軸測投影圖（a）軸測投影圖的形成（b）軸測圖圖3-7軸測投影圖四、工程上常用的投影圖§3.1.1投影法（3）標高投影圖（a）曲面標高投影圖的形成（b）曲面標高投影圖圖3-8標高投影圖四、工程上常用的投影圖§3.1.1投影法（4）透視投影圖圖3-9透視投影圖§3.1投影法與投影體系§3.1.2投影體系§3.1.1投影法HWV1.三面投影體系的建立正面投影面--V面水平投影面--H面?zhèn)让嫱队懊?-W面2.投影軸OXZOX軸

V面與H面的交線OZ軸

V面與W面的交線OY軸

H面與W面的交線三個投影面互相垂直Y三面投影體系將空間分為八個分角?！?.1.2投影體系圖3-10三面投影體系Va'

b'

s'

b

a

c

s

b”s”

a”(c”)投影過程：(1)建立投影體系;(2)正投影;c'

3、三面投影體系的展開OXZY§3.1.2投影體系圖3-11（a）

直觀圖a'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)投影過程：(1)建立坐標系;(2)作正投影;(3)投影面展開;a

s

b

c

OXYWZYHVHW圖3-11（b）

展開圖§3.1.2投影體系a'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)投影過程：(1)建立坐標系;(2)作正投影;(3)投影面展開;b

a

c

s

(4)整理圖形。

立體投影的形狀以及投影之間的關系與軸無關，因此，可以不必畫出投影軸。圖3-11（c）

平面投影圖§3.1.2投影體系§3.2立體表面上的點§3.2.2兩點的相對位置和重影點§3.2.1點的三面投影§3.2.1點的三面投影1．符號規(guī)定

空間點：用大寫字母A、B、C….表示投影：用小寫字母

●水平投影a、b、c

●

正面投影a′、b′、

c′

●

側面投影a″、b″

、c″等2．點的投影規(guī)律①a

a⊥OX軸

a

a

⊥OZ軸②aax=a

az=y=A到V面的距離

a

ax=a

ay=z=A到H面的距離

aay=a

az=x=A到W面的距離a′a″aaxayazxyzVHAWOXYZXa′a″aOaxayazZayYHYWHW圖3-12點在三面投影體系中的投影a)直觀圖b)投影圖§3.2.1點的三面投影YHYWOXZ?用圓規(guī)截取Y相等b’b’’a【例3-1】已知點的兩個投影，求第三投影。b§3.2.1點的三面投影YHYWOXZb’b’’b作45°輔助線，使y相等。正方形的各邊相等45°畫圓弧，使y相等。Y相等的其它作圖方法：【例3-1】已知點的兩個投影，求第三投影?！?.2.1點的三面投影(1)空間點可用三個坐標表示，如A點坐標（XA，YA，ZA）。

X：反映點到W面距離Y：反映點到V面距離

Z：反映點到H面距離(2)一個投影點反映了兩個坐標值，如投影a，其坐標XA

，YA

；結論：若點的兩個投影已知，則其空間位置確定，其第三投影也就唯一確定。3．點的坐標與投影的關系圖3-13點的坐標與投影關系a)直觀圖b)投影圖§3.2.1點的三面投影VHXOZYW【例3-2】

已知點（15，5，10），作出點的三面投影和直觀圖。a'aa’a"Aa"

a圖3-14由點的坐標求作點的投影圖和軸測圖a)投影圖b)直觀圖XOZYHYW§3.2.1點的三面投影OXZYHYWa'aa"c'c由圖3-15可知:(1)三個坐標值中有一個坐標為零時，則該點必定在投影面上，如A、B點。(2)三個坐標值中有兩個坐標為零時，則該點必定在其坐標值不為零的那個投影軸上，如C點。b'b"b45°圖3-15特殊位置點的投影c"4、特殊位置點的投影§3.2.1點的三面投影§3.2立體表面上的點§3.2.2兩點的相對位置和重影點§3.2.1點的三面投影

兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。判斷方法：▲x

坐標大的在左

▲

y

坐標大的在前▲z

坐標大的在上b

aa

a

b

bB點在A點之前、之右、之下。XYHYWZ1．兩點的相對位置圖3-16兩點相對位置O§3.2.2兩點的相對位置和重影點(d')aa'a"c'cc"dd"b'bb"XOZYHYW2．重影點

位于同一投射線上的兩點，由于它們在投射線所垂直的投影面上的投影是重合的，所以叫做重影點（重影點必須有兩個坐標值相同）

。圖3-17

重影點的投影(b)被擋住的投影加()§3.2.2兩點的相對位置和重影點

§3.3立體表面上的直線

3.3.1各種位置的直線

3.3.2直線上的點

3.3.3一般位置直線的實長與傾角

3.3.4兩直線的位置關系

3.3.5直角投影定理

一般情況下，直線的投影仍為直線。由于兩點決定一直線，因而只要作出直線上任意兩點（通常為直線段的端點）的投影，并將其同面投影用粗實線連線，即可確定直線的投影，如圖3-18所示。圖3-18直線的投影XZYHYWa'aa"b'bb"O§3.3.1各種位置的直線直線與投影面的相對位置情況：直線的空間位置特殊位置直線一般位置直線投影面平行線投影面垂直線正平線

水平線側平線正垂線

鉛垂線側垂線§3.3.1各種位置的直線

對三個投影面都傾斜的直線。直線與投影面的夾角稱為直線對投影面的傾角?？臻g直線與投影面H、V、W之間的傾角分別用α、β、γ表示，如圖3-19所示。水平投影

ab=ABcosα

1．一般位置直線一般位置直線的投影特征：①三個投影均不反映實長；②三個投影均不反映直線與投影面的傾角。圖3-19一般位置直線側面投影a″b″=ABcosγ正面投影a′b′=ABcosβ§3.3.1各種位置的直線VHWOXYZbabaabABγγββ投影特性：1.a‘b’//OX，a“b”//OY；2.ab=AB；3.反映

、

角的真實大小oxzyHyWbabaab§3.3.1各種位置的直線2．投影面平行線——水平線圖3-20水平線投影特性：1.ab//OX，a“b”//OZ；2.a'b‘=AB；3.反映

、

角的真實大小圖3-21正平線2．投影面平行線——正平線§3.3.1各種位置的直線投影特性：1.a‘b’//OZ，ab//OY；2.a“b”=AB；3.反映

、

角的真實大小§3.3.1各種位置的直線圖3-22側平線2．投影面平行線——側平線2．投影面平行線投影特性:①在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角的真實大小。②另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。圖3-23投影面的平行線§3.3.1各種位置的直線與一個投影面平行，而對另外兩投影面傾斜的直線。oxzyHyWbaabVHWOXYZABbaaba(b)a(b)投影特性：1.ab積聚成一點；2.a’b’

OX;a’’b’’

OY

；3.a’b’=a’’b’’=AB3、投影面垂直線——鉛垂線圖3-24鉛垂線§3.3.1各種位置的直線投影特性：1.a’b’積聚成一點;2.ab

OX;a’’b’’

OZ;3.ab=a’’b’’=ABHW3、投影面垂直線——正垂線§3.3.1各種位置的直線圖3-25正垂線投影特性：1.a’’b’’積聚成一點；2.ab

OY;a’b’

OZ；3.ab=a’b’=ABHW3、投影面垂直線——側垂線§3.3.1各種位置的直線圖3-26側垂線投影特性:

①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。②另外兩個投影，反映線段實長（真實）。且垂直于相應的投影軸。3．投影面垂直線垂直于某一個投影面的直線。

圖3-27投影面的垂直線§3.3.1各種位置的直線

§3.3立體表面上的直線

3.3.1各種位置的直線

3.3.2直線上的點

3.3.3一般位置直線的實長與傾角

3.3.4兩直線的位置關系

3.3.5直角投影定理①直線上點的投影必在該直線同面投影上；（從屬性）②同直線上兩線段長度比等于其投影長度比。（定比性）圖3-28直線上點的投影AK:KB=ak:kb=a′k′:k′b′=a″k″:k″b″§3.3.2直線上的點投影特性a

b

abkb

a

k

【例3-3】在AB上求作點K，使AK:KB=1:2。

21k

圖3-29求作直線上K點的投影OX§3.3.2直線上的點

§3.3立體表面上的直線

3.3.1各種位置的直線

3.3.2直線上的點

3.3.3一般位置直線的實長與傾角

3.3.4兩直線的位置關系

3.3.5直角投影定理

一般位置直線段在各投影面上的投影均不反映實長，也不反映對投影面的傾角。在工程上，經常遇到求一般位置直線的實長和傾角，常采用的作圖方法有直角三角形法。

aYZVAb'BHbOXa'A1aa'Xbb'ZA---ZBZA--ZBAB實長aa'Xbb'AB實長Aoab圖3-30用三角形法求一般位置直線的實長和傾角OO§3.3.3一般位置直線的實長與傾角

一般位置直線的投影中可作出三個直角三角形，若只考慮直角三角形的組成關系。利用直角三角形法，只要知道四個要素（實長、投影、傾角、距離差）中的兩個要素，即可求出其他兩個未知要素，如圖3-31所示。圖3-31直角三角形的三種三角形B1aYZVAb'BHbOXa'A1§3.3.3一般位置直線的實長與傾角Xa’b’b30°ababaa【例3-4】已知AB直線的正面投影a’b’及點B的水平投影b,=30°,求ab?！?.3.3一般位置直線的實長與傾角

§3.3立體表面上的直線

3.3.1各種位置的直線

3.3.2直線上的點

3.3.3一般位置直線的實長與傾角

3.3.4兩直線的位置關系

3.3.5直角投影定理空間兩直線的相對位置可以分為三種：平行、相交、交叉。

（1）兩直線平行

空間兩直線平行，則它們的同面投影必然相互平行；反之，如果兩直線的各個同面投影相互平行，則兩直線在空間也一定相互平行。圖3-32平行兩直線§3.3.4兩直線的位置關系AB、CD為側平線，雖然ab∥cd，a′b′∥c′d′，但a″b″不平行于c″d″，故直線AB不平行于直線CD。

若要在投影圖上判斷兩條一般位置直線是否平行，只要看它們的兩個同面投影是否平行。但對于投影面的平行線，通常根據其三面投影（或其他的方法）來判別。圖3-33

判斷兩直線平行§3.3.4兩直線的位置關系

當兩直線相交時，它們在各個投影面上的同面投影也必然相交，并且交點符合點的投影規(guī)律。

（2）兩直線相交圖3-34相交兩直線§3.3.4兩直線的位置關系VXZYDACBc'd'b'a'badcⅣⅠⅡⅢ(2’)1‘3(4)既不平行也不相交的空間兩直線稱為交叉。投影圖上的交點是重影點。OXabb’a’c’d’dc（2’）1‘3（4）4’3’12

不符合投影規(guī)律O（3）兩直線交叉§3.3.4兩直線的位置關系圖3-35交叉兩直線1’11’d’1’c’結論：直線AB、CD是兩交叉直線。§3.3.4兩直線的位置關系【例3-5】：判斷空間兩直線AB、CD的相對位置?！纠?-6】：判斷AB、CD兩直線的相對位置。交叉OXabb’a’c’d’dc分析：判斷方法：方法一作第三投影（略）方法二按定比性。（略）方法三：假定AB、CD平行，則ABCD共面，AD和BC必相交，AB、CD

兩交叉直線。結論：平行？交叉？作圖：§3.3.4兩直線的位置關系

§3.3立體表面上的直線

3.3.1各種位置的直線

3.3.2直線上的點

3.3.3一般位置直線的實長與傾角

3.3.4兩直線的位置關系

3.3.5直角投影定理VZYO

直角投影定理CAb'a'bc'caB已知：AB為水平線，∠BAC為直角，則∠bac仍為直角。證明：

∵AB⊥AC，

AB⊥Aa

,∴AB⊥平面ACca，∵AB∥H面，

ab∥AB∴

ab⊥平面ACca

有ab⊥ac

。ab∥ABa’b’∥OX直角

有AB⊥ac；∠bac仍為直角X§3.3.5直角投影定理圖3-36直角投影定理直觀圖VZYOCAa'bab'c'cBXOa'b'c'bca投影圖

直角投影定理已知：AB為水平線，∠BAC為直角，則∠bac仍為直角。X圖3-37直角投影定理§3.3.5直角投影定理VZ

YO

直角投影定理bc'cCaAB反之：若a’b’∥OX，∠bac為直角，則空間∠BAC為直角。ab⊥平面aACc，有ab⊥AC；

AB⊥平面ACca

,

有AB⊥AC。AB為水平線AB∥aba'b'X圖3-38直角投影逆定理直觀圖§3.3.5直角投影定理

直角投影定理也適于兩交叉直線。

已知CD與EF交叉垂直，EF為水平線，則在H面上cd與ef垂直。投影圖XOe'f'c'fc(e)d'dVZYOe'f'fc'c

(e)EFd'DdCMX圖3-39交叉兩直線垂直§3.3.5直角投影定理【例3-7】求點A到水平線BC的距離AK及其投影。

分析：點A到BC的距離AK⊥BC，因為BC為水平線，所以在水平面投影上能反映直角關系。cabc′a′b′XOkk′a實長圖3-40求點到直線的距離§3.3.5直角投影定理Xa(b)a’b’cdc’d’HABCDEFabecdfff’ee’【例3-8】求直線AB和CD間的最短距離。距離§3.3.5直角投影定理圖3-41求兩直線最短距離3.4立體表面上的平面§3.4.1平面表示方法§3.4.2各種位置的平面§3.4.3平面上的點和直線不在同一直線上的三個點直線及線外一點兩相交直線兩平行直線平面圖形圖3-42用幾何元素表示平面1.幾何元素表示法§3.4.1平面表示方法VXZY2.跡線表示法跡線：平面與投影面的交線。PPVPHPWPXPYPZ規(guī)定：V、H、W各面跡線分別用PV、PH、PW

表示。

XZYHYWOPVPZPXPHPYHPYWPWO§3.4.1平面表示方法圖3-43用跡線表示平面3.4立體表面上的平面§3.4.1平面表示方法§3.4.2各種位置的平面§3.4.3平面上的點和直線平面與投影面的相對位置情況：

平面的空間位置特殊位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面平行面正垂面

鉛垂面

側垂面

正平面

水平面?zhèn)绕矫妗?.4.2各種位置的平面1．一般位置平面

一般位置平面與三個投影面都傾斜的平面。圖3-44一般位置平面投影特性：在三個投影面上的投影都不反映實形，而是小于原平面的類似形。§3.4.2各種位置的平面

投影特性：

①平面在所垂直的投影面上的投影積聚為一條直線，它與投影軸的夾角分別反映該平面對另兩個投影面的傾角(真實)。②平面在另兩個投影面上的投影均為小于原平面的類似形。2．投影面垂直面垂直于一個投影面，并與另外兩個投影面傾斜的平面。鉛垂面正垂面?zhèn)却姑鎴D3-45投影面的垂直面§3.4.2各種位置的平面投影特性：①平面在所平行的投影面上的投影反映實形（真實）。②平面在另兩個投影面上的投影均積聚為一條直線，且平行于相應的投影軸。3．投影面平行面平行于一個投影面，并必與另外兩個投影面垂直的平面。水平面正平面?zhèn)绕矫鎴D3-46投影面的平行面§3.4.2各種位置的平面

分析：鉛垂面的水平投影積聚成一條傾斜直線，且與X軸的夾角為β角，據此可作圖。

【例3-9】過點A（a，a′）作一鉛垂面，并使其與V面的傾角為β=30°。

作圖：

過點A的水平投影a作與X軸成30°夾角的線段ab，在線段ab上任選一點c，即得鉛垂面的水平投影。過點A的正面投影a′作a′b′、a′c′，則abc和a′b′c′即為所求鉛垂面。cbac

a

b

β圖3-47求作鉛垂面XO

有兩解§3.4.2各種位置的平面3.4立體表面上的平面§3.4.1平面表示方法§3.4.2各種位置的平面§3.4.3平面上的點和直線

點和直線在平面上的幾何投影條件：

①若某點位于平面內的一條已知直線上，則此點必定在該平面上。②一直線通過平面上的兩已知點，則此直線必在該平面上。③一直線過平面上的一已知點且與平面上一已知直線平行，則此直線必在該平面上。圖3-48

點和直線在平面上的條件（一）圖3-49點和直線在平面上的條件（二）§3.4.3平面上的點和直線【例3-10】

已知平面ABC，如圖3-50所示，試求：

(1)判斷點D是否在平面ABC上。

(2)平面ABC上有一點E，已知水平投影e，求正面投影e′。ed'd1'2'12XOa'ab'c'bc

作圖：

①連接c′d′，并延長與a′b′交于1′，求出1c，若點D在直線IC上，則不僅d′在1′c′上，而且d也在1c上，從圖中可看出點D不在平面ABC上。

②連接ae與bc相交于2，求出a′2′，則AⅡ為平面ABC上的一條直線，因為點E在平面ABC上，所以點E在直線AⅡ上，因此過點e作投射線與a′2′的延長線得交點，該交點即為所求正面投影e′。

e'圖3-50平面上的點

分析：判斷一點是否在平面上，或在平面上取點，都必須在平面上取一包含該點的直線。§3.4.3平面上的點和直線

作圖：①分別連接ac、bd得一交點為點k，連b′d′，在b′d′上求出點k′，并連接a′k′。

【例3-11】

試完成平面四邊形ABCD的正面投影，并在平面ABCD上取一條水平線，使其到H面的距離為15mm。c′kk′15mm2′12圖3-51平面上的直線

分析：

ABCD既然是平面，則其對角線必相交；水平線的正面投影平行于X軸，按題意，其所有點的Z=15mm，據此可作圖。1′③在正面投影上作一平行于X軸的直線且使z=15mm，與a′d′、b′c′分別交于1′、2′點，求出其水平投影1、2并連接，則直線ⅠⅡ即為所求水平線。

②過c作⊥OX的連線，與a′k′的延長線相交求得c′，連接b′c′、d′c′，即完成ABCD的正面投影?！?.4.3平面上的點和直線3.5幾何元素的相對位置§3.5.1平行問題§3.5.2相交問題§3.5.3垂直問題§3.5.4綜合問題§3.5.5最大斜度線1．直線與平面平行

若一直線與某平面內的任一直線平行，那么此直線與該平面平行，反之亦然。圖3-52

直線與平面平行的條件（1）§3.5.1平行問題直線與特殊位置平面平行

當平面為投影面的垂直面時，只要平面有積聚性的投影和直線的同面投影平行，或直線也為該投影面的垂線，則直線與平面必定平行。§3.5.1平行問題圖3-53

直線與平面平行的條件（2）【例3-12】過點M作一正平線MN與平面△ABC平行。

dd'nn'

分析：

過直線外一點作某一平面的平行線可以有無數條，但本題要作的是正平線，因此在△ABC平面內只要作一條正平線AD，使MN平行于該正平線即可。

圖3-54

過點作與已知平面平行的正平線

作圖：

①

在△ABC的水平投影△abc中，由點a作X軸平行線與bc邊相交于d，并由ad得a′d′

。

②過點m、m′分別作直線mn、m′n′平行于ad、a′d′

，MN

（mn、m′n′）即為所求?！?.5.1平行問題唯一解【例3-13】判斷直線AB是否與平面△DEF平行。

gg'b'OXafedf'a'e'd'b

分析：假設直線AB與平面△DEF平行，則在平面△DEF內一定能作一條與AB平行的直線。否則，直線與平面不平行。作圖：過點e

作一條與a

b

平行的直線e

g

，作出其水平投影eg，圖3-55判斷直線與平面是否平行由作圖可知，eg不平行ab。結論：直線AB與平面△DEF不平行?！?.5.1平行問題2．平面與平面平行

若一平面內兩相交直線與另一平面內的相交直線對應平行，則此兩個平面互相平行，如圖3-56所示。圖3-56

兩平面平行的條件（1）§3.5.1平行問題

若兩個投影面的垂直面互相平行，則它們積聚性的同面投影也互相平行，反之亦然，如圖3-57所示。圖3-57兩平面平行的條件（2）§3.5.1平行問題【例3-14】過點K作一平面與平面△ABC平行。

ff'e'eOkk'Xbcac'b'a'

分析：過點K作平面平行于△ABC平面時，只要過點K作兩相交直線與△ABC的任意兩邊平行即可。作圖：過k作ke∥bc、

kf∥ac，過k

作k

e

∥b

c

，k

f

∥a

c

，則KEF組成的平面即為所求。

圖3-58

過點作平行平面§3.5.1平行問題acebb

a

d

dfc

f

e

khk

h

OXm

m由于ek不平行于ac,故兩平面不平行?！纠?-15】判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行，已知AB∥CD∥EF∥MH§3.5.1平行問題3.5幾何元素的相對位置§3.5.1平行問題§3.5.2相交問題§3.5.3垂直問題§3.5.4綜合問題§3.5.5最大斜度線1．直線與平面相交(1)一般位置直線與特殊位置平面相交1'(2')kk'a'b'c'acbXOe'f'ef①求交點。交點K的水平投影k必在abc上。因為點K又在EF上，所以點k必在ef上，ef與cde的交點即為交點K的水平投影k，據點k可求出K的正面投影點k

。

②判別可見性。

EF與AB是一對交叉直線，Ⅰ在AB上，Ⅱ在EF上，點Ⅰ、Ⅱ在V面有重影點，由于yⅠ＞yⅡ，對V面而言，點Ⅰ的投影可見，點Ⅱ的投影不可見，即線段a

b

可見，而e

f

上被平面遮住的部分k

2

不可見，畫為細虛線。

圖3-59

一般位置直線與鉛垂面相交分析與作圖步驟:12§3.5.2相交問題(2)一般位置平面與投影面的垂直線相交c'k′kOXee'cdd'b'ba'(a)①

求交點。由于直線AB的水平投影積聚成一點，因此交點K的水平投影k必與之重合。又由于交點K屬于△CDE，故可利用平面上取點的方法，求出點K的正面投影k′。

②判別可見性。由水平投影可知，平面上的DE邊與AB是交叉直線，由于DE在上，AB在下，所以在正面投影中，k′b′與d′e′重疊的部分不可見，用細虛線表示，則k′a′可見，為粗實線。圖3-60

一般位置平面與正垂線相交分析與作圖步驟:§3.5.2相交問題①求交線K1K2。利用平面ABCD在水平面上具有積聚性，可直接求出K1、K2的水平投影k1、k2。利用表面取點的方法，求出K1、K2的正面投影k1′、k2′，并連接其同面投影，則線段K1K2為所求。

②判別可見性。由H面投影可知，EFK2K1部分在平面EFG的前方，故其V面投影e′f′k2′k1′部分為可見，其余部分的可見性可由此進一步確定。2．投影面的垂直面與平面相交a

b

c'd

a(b)d(c)e

f

g

efgk2'k1

k1k2圖3-61一般位置平面與鉛垂面相交XO分析與作圖步驟:§3.5.2相交問題ee'ff'dd'aa'c'b'cm'n'm(n)

分析：兩鉛垂面相交，交線一定是一條鉛垂線，在H面投影積聚為一點，V面投影垂直于OX軸且在兩平面的公共范圍內。作圖：

①求交線。

利用鉛垂面的積聚性，可直接求出交線的水平投影為m（n），過m作OX軸垂線，分別交

d′f′、d′e于m′、n′，得交線的V面投影m′n′。

②判別V面投影可見性。

由H面投影可知，在交線MN左邊，△DEF

中EFMN部分在△

ABC平面的前方，故其V面投影e′f′m′n′部分可見，其余部分可由此進一步確定?！纠?-16】已知兩平面△ABC與△DEF相交，試求其交線。圖3-62兩正垂面相交求交線bXO§3.5.2相交問題3、一般位置直線和平面相交引：求直線DE與平面△ABC的交點。

輔助平面法cbac'b'a'xod'e'de分析KACBPE(D)§3.5.2相交問題圖3-63一般位置直線與平面相交（a）KACBPE(D)已知平面輔助平面法作圖過程：1.包含直線作輔助平面；2.求輔助平面與已知平面的交線；3.求交線與已知直線的交點。已知直線輔助平面交點輔助平面的位置原則?特殊位置平面引：求直線DE與△ABC平面的交點。

輔助平面法§3.5.2相交問題3、一般位置直線和平面相交圖3-63一般位置直線與平面相交（b）cbac'b'a'xoPV1‘2’(

)

1234(

)

4’3‘kk’作圖過程：1.包含直線DE作正垂面P(或鉛垂面）；2.求P平面與△ABC平面的交線，并確定交點K；3.利用重影點判別可見性。引：求直線DE與平面△ABC的交點。

輔助平面法直線V投影的可見性直線H投影的可見性d'

e'deKACBPE(D)§3.5.2相交問題3、一般位置直線和平面相交圖3-63一般位置直線與平面相交（c）4、兩一般位置平面相交求交線的方法：(1).線面相交法；(2).三面共點法?！?.5.2相交問題PVkQVl’k’l【例3-17】

求兩平面△ABC和△DEF的交線。(1)線面相交法分析:

兩次運用直線與平面相交的方法,求兩交點連線即可。投影作圖:xoebac'b'a'cfde‘f’d’§3.5.2相交問題圖3-64線面相交法求解兩一般位置平面交線（a）kk’PVQVxoebac'b'a'cfde‘f’d’l’l分析:

兩次運用直線平面相交的方法,求兩交點連線即可。投影作圖:判別可見性:V投影的可見性H投影的可見性§3.5.2相交問題圖3-64線面相交法求解兩一般位置平面交線（b）【例3-17】求兩平面△ABC和△DEF的交線。(1)線面相交法【例3-18】求△ABC和平面(L1∥L2)的交線。(2)三面共點法xobac'b'a'cL1’L2’L1L2原理分析:K1K2S1S2PQ投影作圖:K1K2K1’K2’交線SV1SV2§3.5.2相交問題圖3-65三面共點法求解兩一般位置平面交線（b）3.5幾何元素的相對位置§3.5.1平行問題§3.5.2相交問題§3.5.3垂直問題§3.5.4綜合問題§3.5.5最大斜度線1．直線與平面垂直

若一平面為投影面垂直面，則與這個平面垂直的直線一定是該投影面的平行線，如圖3-66所示。

edd'e'OXbcac'b'a'

直線DE垂直于鉛垂面△ABC，則DE一定是水平線。因為de⊥abc，且d′e′∥OX軸，則點E必為垂足。圖3-66直線與鉛垂面垂直§3.5.3垂直問題

【例3-19】已知點D和平面△ABC的投影，求點D到平面△ABC的距離及投影。e'e分析：作圖：①在V投影面中，過d′作a′b′c′的垂線d′e′，那么DE必定是正平線，②過d作OX軸平行線與過e′作OX軸的垂線相交，得交點e，de即為DE的水平投影。③由于正平線在V面反映實長，所以d′e′為點D到平面△ABC的實際距離。cc'XOa'b'abd'd圖3-67求點到投影面垂直面的距離§3.5.3垂直問題【例3-20】含點E作直線垂直△ABC，并求垂足。22'1'13'44'3cb'aa'xc'obe'eQHkk'f'f解題過程：4.含EF作鉛垂面QH,求垂足K;1.在平面

內取正平線CⅡ(c2∥OX);2.在平面內取水平線AⅠ

(a

’1’∥OX);3.過e作ef⊥a1;

過e’作e’f

’⊥c’2’

;5.判別可見性。則EF垂直△ABC§3.5.3垂直問題圖3-68求點到一般位置平面的垂線

2.

平面與平面垂直

若兩空間平面垂直相交，且兩平面都垂直于某一投影面時，兩平面的積聚性投影一定互相垂直，且交線為該投影面的垂直線，如圖3-69所示。

鉛垂面ABCD和鉛垂面ABEF互相垂直，則它們積聚性的水平投影互相垂直，交線AB必為鉛垂線。f(e)e'f'(b)ad（c）c'XOb'd'a'圖3-69兩鉛垂面垂直§3.5.3垂直問題2.

平面與平面垂直【例3-21】

含點A

作平面⊥平面△ⅠⅡⅢ

。bb'a1'c'c分析:2.無窮解。1.含A作直線垂直已知平面;作圖:1.在△ⅠⅡⅢ內取水平線、正平線；2.過A作直線AB垂直該水平線、正平線；3.過A任作直線AC。

相交直線AB、AC所決定的平面為所求。5'4'54O2a'X2'1'13'3§3.5.3垂直問題圖3-70過定點作已知平面的垂面3.5幾何元素的相對位置§3.5.1平行問題§3.5.2相交問題§3.5.3垂直問題§3.5.4綜合問題§3.5.5最大斜度線求解綜合問題主要包括：

平行、相交、及垂直等問題側重于探求每一個單個問題的投影特性、作圖原理與方法。而實際問題是綜合性的，涉及多項內容，需要多種作圖方法才能解決。綜合問題解題的一般步驟：

1.分析題意

2.明確所求結果，找出解題方法

3.擬定解題步驟空間幾何元素的定位問題（交點、交線）空間幾何元素的度量問題（如距離、角度）?！?.5.4綜合問題c

g

h

e

f

d

cefghdXO【例3-22】已知三條直線CD、EF和GH，求作一直線AB與CD平行，并且與EF、GH均相交。1、

空間幾何元素定位問題§3.5.4綜合問題圖3-71(a)定位問題例題分析

所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，并且與交叉直線EF、GH相交。ABCDHGEF§3.5.4綜合問題圖3-71（b）定位問題——分析作圖過程k

kc

g

h

e

f

d

cefghdXOPV11

2

2aa

bb

§3.5.4綜合問題圖3-71（c）定位問題——求解度量問題—是解決距離和角度的度量問題，主要基礎是根據直角投影定理作平面的垂線或直線的垂面，并求其實長或實形。

(1).距離的度量點到點之間的距離.

求二點之間線段的實長（直角三角形法）。

2空間幾何元素度量問題§3.5.4綜合問題DBPPBPKAKALCKLL點到直線之間的距離.過點作平面垂直于直線，求出垂足，再求出點與垂足之間的線段實長。

點到平面之間的距離.過點作平面的垂線，求出垂足，再求出點與垂足之間的線段實長。

直線與直線平行之間的距離過一直線上任一點作另一直線的垂線，余下方法同點到直線的距離?！?.5.4綜合問題PQPPLABKLABKCDEF直線與交叉直線之間的距離直線與平面平行之間的距離平面與平面平行之間的距離包含一直線作一平面平行于另一直線，在另一直線上任取一點，過點作平面的垂線，求出垂足，再求出點與垂足之間的線段實長。過直線上任一點作平面的垂線。方法同點到平面的距離。過一平面上任一點作另一平面的垂線。余下方法同點到平面的距離。§3.5.4綜合問題【例3-23】求兩平行直線AB和CD的距離。c

a

b

cabXOe

f

ef1

2

12kk

所求距離PVd

d§3.5.4綜合問題圖3-72兩平行線間距求解【例3-24】求Ｍ點到△ABC平面的距離。

作出垂線后，用輔助平面法求出垂線與△ＡＢＣ平面的交點（即垂足），再用直角三角形法求出線段的實長即可。hfe

bm

b

a

c

ach

所求距離

MK實長k

kXOef

m§3.5.4綜合問題圖3-73定點到定平面的距離求解cc

a

b

abXOdd

【例3-25】求交叉兩直線AB和CD的公垂線段?！?.5.4綜合問題圖3-74交叉直線工垂線段求解（1）分析LKABDCGHEFP

過一條直線CD作平面P平行于另一條直線AB，在過點A作平面P的垂線AH，求出垂足點E；在平面P上過點E作直線EF∥AB與直線CD交于點K；過點K作直線KL∥AH交AB于L點，KL即為所求的公垂線?！?.5.4綜合問題作圖過程gg1

122

h343

4

eefkklflcc

a

b

abXOdd

hPH§3.5.4綜合問題圖3-74交叉直線工垂線段求解（2）PABCEF任作一直線分別與兩相交直線相交，構成三角形，求三角形的實形（分別求出三邊的實長），夾角即可求得。兩相交直線間的夾角θ(2)、角度的度量§3.5.4綜合問題PCAB直線和它在平面上的投影所夾的銳角，稱為直線與面的夾角。過直線上任一點角度作平面的垂線，求出直線與垂線的夾角（方法同兩相交直線的夾角）的余角，余角即為所求。此法又稱余角法。直線與平面的夾角?

θ(2)、角度的度量§3.5.4綜合問題PQ兩平面間的夾角兩平面間的夾角就是兩平面二面角的平面角。在空間任取一點，分別作二平面的垂線，求出二垂線間的夾角(方法同兩相交直線間的夾角)的補角，補角即為所求。此法又稱補角法。?

θθBCA(2)、角度的度量§3.5.4綜合問題【例3-26】求直線ＤＥ與△ＡＢＣ平面的夾角θ作∠ＥＤＦ的余角θ，即為所求直線ＤＥ與△ＡＢＣ平面的夾角。ＥＦf

XObee

b

a

c

acd

dＤＦＦＤＥθ?fdfef§3.5.4綜合問題圖3-75直線與平面夾角求解3.5幾何元素的相對位置§3.5.1平行問題§3.5.2相交問題§3.5.3垂直問題§3.5.4綜合問題§3.5.5最大斜度線1．平面上的投影面最大斜度線—平面上對某個投影面傾角最大的直線。它與投影面的傾角反映該平面與投影面的傾角。2．平面上對某投影面的最大斜度線與該平面上對某投影面的平行線相互垂直。3．平面上的投影面最大斜度線有三組，即分別對正面投影面、水平投影面及側面投影面三組最大斜度線?！?.5.5最大斜度線*圖3-76最大斜度線§3.5.5最大斜度線*【例3-27】求

ABC平面與水平投影面的夾角

。bd'de'ebe

BE圖3-77一般位置平面傾角求解3.6換面法§3.6.1換面法的概念§3.6.2點、直線的換面§3.6.3平面的換面§3.6.4換面法的應用

在原投影面體系中，保持空間幾何元素的位置不動，再建立一個新的投影面，使新建立的投影面相對于空間幾何元素處于特殊位置以有利于解題。這種方法稱為變換投影面法，簡稱換面法。

新投影面的選擇必須符合以下兩個基本條件：①新投影面必須和空間幾何元素處于有利于解題的位置。②新投影面必須垂直于原來投影體系中的一個投影面。

圖3-78投影變換的方法§3.6.1換面法的概念3.6換面法§3.6.1換面法的概念§3.6.2點、直線的換面§3.6.3平面的換面§3.6.4換面法的應用

1．點的換面

(1)變換V面VHXX1a1'ax1V1V1HX1①新投影與不變投影之間的連線垂直于新投影軸；②新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離。a1'a'aXVH直觀圖b)投影圖圖3-79點的一次投影變換（變換V面）Aaxa'aOO1§3.6.2點、直線的換面(2)變換H面VHXH1X1a1ax1a1X1VH1ax1

用正垂面H1來代替H面，H1面和V面組成新投影體系V/H1，投影體系由V/H變換為V/H1。新舊兩體系具有同一個V面，因此a1ax1=Aa′

=aax。

a'aXVH直觀圖b)投影圖圖3-80點的一次投影變換（變換H面）Aaxa'aOO1§3.6.2點、直線的換面

（3）、點的二次變換解決工程上的實際問題時，有時變換一次還不能解決問題，而必須變換二次或多次。點的二次變換作圖過程，其原理和點的一次變換相同。a2V1X2H2圖3-81點的二次投影變換a)直觀圖b)投影圖V1HX1a1'a'aXVHO1OO2§3.6.2點、直線的換面a1'b1'V1HX1

變換V面——正平線：新軸與水平投影平行實長平行(1)將一般位置直線變?yōu)橥队懊娴钠叫芯€圖3-82

一般位置直線變換成H1面平行線a)直觀圖b)投影圖aa'b'bVXHOO1§3.6.2點、直線的換面

1．直線的換面a1b1變換H面——水平線：新軸與正面投影平行XVHa'b'baX1VH1

實長平行圖3-83一般位置直線變換成H1面平行線a)直觀圖b)投影圖O1O§3.6.2點、直線的換面

新軸與新的水平投影垂直；新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離。1c'(d1')圖3-84投影面平行線變換成投影面垂直線a)直觀圖b)投影圖X1HV1O1§3.6.2點、直線的換面(2)將投影面的平行線變?yōu)榇怪本€

1．直線的換面一般位置直線一次變換平行線二次變換垂直線V1H2X2垂直a2(b2)圖3-85一般位置直線變換成垂直線V1HX1aa'b'bVXHa1'

實長平行b1'OO1O2§3.6.2點、直線的換面3.6換面法§3.6.1換面法的概念§3.6.2點、直線的換面§3.6.3平面的換面§3.6.4換面法的應用1.將一般位置平面變?yōu)橥队懊娴拇怪泵?/p>

分析：若△ABC中包含某投影面的垂直線，則此平面一定與該投影面垂直，因此只要將平面內的一條直線變換為投影面的垂直線即可。由前所知，投影面平行線變換為垂直線只需一次換面，因此，在△ABC內可作一平行線，將其變換為垂直線，則平面就可變換為垂直面。圖3-86一般位置平面變換為投影面鉛垂面a)直觀圖b)投影圖§3.6.3平面的換面VHXaxa'b'X1V1c’ck'kBK新投影面應垂直于平面內的平行線！圖3-90一般位置平面變換為正垂面直觀圖ax1cx1bx1abbxACa1'(k1')b1'c1'

§3.6.3平面的換面k'kb1'c1'

HV1X1垂直平面有積聚性的投影步驟：①找平面內的水平線;③平面變成垂直面，有積聚性，反映平面與H面的夾角。②建新軸V1/H垂直于ak，AK變成正垂線;圖3-91一般位置平面變換為正垂面投影圖作圖:將一般位置平面變?yōu)檎姑娴耐队皥D。a'aXVHcbc'b'a1'(k1')OO1§3.6.3平面的換面2.將投影面垂直面變?yōu)橥队懊娴钠叫忻妗鰽BC是鉛垂面，要將其變換為投影面平行面，只能變換為正平面，因此必須變換V投影面，可設立一新投影面V1平行于△ABC，且與H面組成V1/H新投影面體系。圖3-92鉛垂面變換為正平面a)直觀圖b)投影圖§3.6.3平面的換面

一般位置平面變換為投影面的平行面，必須經過二次換面。V1H2X2a2b2c2平行實形圖3-93一般位置平面變換為水平面a'aXVHcbc'b'k'kb1'c1'

HV1X1a1'(k1')OO1O2§3.6.3平面的換面3.6換面法§3.6.1換面法的概念§3.6.2點、直線的換面§3.6.3平面的換面§3.6.4換面法的應用

前面所討論的點、線、面等問題僅偏重于單個問題的投影原理及作圖方法，而實際中，作圖問題往往是綜合性的，有時需要多種作圖方法才能解決。解決這類問題時應按照以下步驟進行：

①弄清題意：明確已知條件和求解的關系。

②空間分析：想象出已知條件在空間的狀態(tài)，加以分析,想出解題的方案。必要時可用橡皮、筆、紙等作為點、線、面模型幫助思考。

③

分清步驟：解題方案選定之后，就要決定作圖步驟，先作什么，后作什么等等。

④

作投影圖：利用各種基本作圖方法逐步作出投影圖，直到完成解答。§3.6.4換面法的應用【例3-28】過點A作一直線AK與直線BC垂直相交。

k'

分析：

根據直角投影定理可知，當垂直相交的兩條直線中有一條是投影面的平行線時，則此兩條直線在