彈性力學作業(yè)答案-第二章

第二章平面問題的基本理論2-5在下圖的微分體中，若將對形心的力矩平衡條件Mc解：將對形心的力矩平衡條件Mc=0，改為對角點的力矩平衡條件MD=0，列出力矩的平衡方程στxyστxy將上式除以dxdy，合并相同的項，得到τyx省略去微小量不記（即?σy2?yτ可以看出此關(guān)系式和對形心的力矩平衡條件Mc2-6在下圖的微分體中，若考慮每一面上的應力分量不是均勻分布的，試問將導出什么形式的平衡微分方程。解：每個面上的應力分量不是均勻分布的，假設(shè)應力分量沿線性分布，如上圖所示，為了計算方便，單元體在Z方向的長度取一個單位。各點的正應力為：σσσσσσσσ各點的切應力為：τxyτxyτxyτxyτyxτyxτyxτyx由微分單元體的平衡條件Fx=0，F(xiàn)-1-1將各個點的應力分量帶入上式，化簡，并約去dxdy，就得到平面問題中的平衡微分方程?2-8試列出圖2-13，圖2-14所示問題的全部邊界條件。在其端部邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件。圖2-13圖2-14解：對于圖2-13中，在主要邊界x=0，x=b上，應滿足下列的邊界條件：σσ在次要邊界y=0上，能滿足下列邊界條件：σ在次要邊界y=h2上，有位移邊界條件：u0對于圖2-15中，在主要邊界y=±h/2上，應滿足下列邊界條件：σσ在次要邊界上x=0，列出三個積分的應力邊界條件：-h/2在次要邊界x=l上，有位移邊界條件：ux=l2-13檢驗下列應力分量是否是圖示問題的解答：圖2-16圖2-17解：按應力求解時，在單元體中應力分量必須滿足：平衡微分方程、相容方程、應力邊界條件（本題不計體力）。圖2-16，σ=1\*GB3?不滿足相容方程。=2\*GB3②平衡條件：將應力分量代入平衡微分方程?滿足上式。=3\*GB3③應力邊界條件：在x=±邊界上，σx在y=±b邊界上，σy滿足邊界條件。（b）圖2-17，由材料力學公式，σyσx又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出：σy試試推導上述公式，并檢驗解答的正確性。=1\*GB3①推導公式：在分布力的作用下，梁發(fā)生彎曲變形，其對Z軸的慣性矩為Iz=h所以截面內(nèi)任意點的正應力和切應力分別為σxτ根據(jù)平衡微分方程得第二式?σσy根據(jù)邊界條件σyA=-q所以σy=2\*GB3②相容條件：將應力分量代入相容方程?不滿足相容方程。=3\*GB3③平衡條件：將應力分量代入平衡條件滿足。=4\*GB3④應力邊界條件：在主要邊界y=±h/2上，應滿足下列邊界條件：σσ顯然滿足。在次要邊界上x=0，外力的主矢量、主矩為0，列出三個積分的應力邊界條件：-h/2在次要邊界x=l上，有位移邊界條件：ux=l-h/2所以，滿足應力邊界條件。上面兩題的應力分量雖然滿足應力邊界、條件平衡條件，但都不滿足相容方程，所以兩題的解答都不是問題的解。2-18試試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為fx=其中V是勢函數(shù)，則應力分量可表示為σ試導出相應的相容方程。解：（1）將fx，f??x為了滿足式（a），可以取σx即σx（2）對體力、應力分量fx，