自然數(shù)的序數(shù)理論與基數(shù)理論

第一講自然數(shù)的基數(shù)理論與序數(shù)理論1.1、自然數(shù)的基數(shù)理論1.2、自然數(shù)的序數(shù)理論1精品ppt·實(shí)用可編輯第一頁，共二十頁。第一講自然數(shù)的基數(shù)理論與序數(shù)理論1.1、自然數(shù)的基數(shù)理論一、自然數(shù)的概念1、集合的對(duì)等自然數(shù)的基數(shù)理論以集合論的基本概念為基礎(chǔ)。在集合論中，如果集合A和B的元素之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，就稱集合A與B對(duì)等，記作A∽B集合的對(duì)等是一種等價(jià)關(guān)系，即對(duì)等關(guān)系滿足（1）反身性：A∽A；（2）對(duì)稱性：A∽B，則B∽A；（3）傳遞性：若A∽B，B∽C，那么A∽C定義1：如果一個(gè)集合能與自己的一個(gè)真子集對(duì)等，這樣的集合叫無限集；否則叫做有限集2精品ppt·實(shí)用可編輯第二頁，共二十頁。2、集合的基數(shù)定義2：如果兩個(gè)集合A、B對(duì)等，我們稱這兩個(gè)集合具有相同的基數(shù)，集合A的基數(shù)記為若則規(guī)定集合A的基數(shù)不小于集合B的基數(shù)即定義3：有限集的基數(shù)叫做自然數(shù)3、馮·諾伊曼的自然數(shù)體系定義4：設(shè)φ表示空集，規(guī)定集合φ的基數(shù)為0，即其余的自然數(shù)按下列規(guī)則構(gòu)造：3精品ppt·實(shí)用可編輯第三頁，共二十頁。…………依照上述規(guī)則，全體自然數(shù)就構(gòu)造出來：0，1，2，……，n，……4、自然數(shù)的大小定義5：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，C是集合A的真子集，如果B∽C，則稱按照這個(gè)定義，自然數(shù)有下列大小關(guān)系全體自然數(shù)作成的集合叫做自然數(shù)集，用N表示即4精品ppt·實(shí)用可編輯第四頁，共二十頁。二、自然數(shù)的四則運(yùn)算定義6：設(shè)A、B是兩個(gè)有限集，并且(由所有不屬于C但屬于A的元素作成的集合）則稱集合的基數(shù)是集合A與B的基數(shù)的和，記為1、自然數(shù)的加減法定義7：設(shè)A、B是兩個(gè)有限集，并且集合C是集合A中與B對(duì)等的子集，用符號(hào)表示集合C在集合A中的余集則稱集合的基數(shù)是與的差，記為5精品ppt·實(shí)用可編輯第五頁，共二十頁。PPT內(nèi)容概述第一講自然數(shù)的基數(shù)理論與序數(shù)理論。第一講自然數(shù)的基數(shù)理論與序數(shù)理論。精品ppt·實(shí)用可編輯。自然數(shù)的基數(shù)理論以集合論的基本概念為基礎(chǔ)。（1）反身性：A∽A。（2）對(duì)稱性：A∽B，則B∽A。定義1：如果一個(gè)集合能與自己的一個(gè)真子集對(duì)等，這樣的集合叫無限集。定義2：如果兩個(gè)集合A、B對(duì)等，我們稱這兩個(gè)集合具。有相同的基數(shù)，集合A的基數(shù)記為。則規(guī)定集合A的基數(shù)不小于集合B的基數(shù)。定義4：設(shè)φ表示空集，規(guī)定集合φ的基數(shù)為0，即。0，1，2，。，n，。全體自然數(shù)作成的集合叫做自然數(shù)集，用N表示。(由所有不屬于C但屬于A的元素作成的集合）。集合C是集合A中與B對(duì)等的子集，。表示集合C在集合A中的余集。定義8：設(shè)A、B是兩個(gè)有限集，由集合A、B作成的。定義9：對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a、b，如果存在自然數(shù)c使。定義10：設(shè)N是非空集合，集合N的元素間有一個(gè)基本。（4）除1外，N的任何一個(gè)元素只能是一個(gè)元素的后繼，。自然數(shù)的加法還滿足加法消去律：第六頁，共二十頁。定理1：自然數(shù)的加法滿足結(jié)合律和交換律，即對(duì)于任意有（1）(a+b)+c=a+(b+c)（2）a+b=b+a（證明略）2、自然數(shù)的乘除法定義8：設(shè)A、B是兩個(gè)有限集，由集合A、B作成的的基數(shù)笛卡爾直積叫做與的乘積，記為7精品ppt·實(shí)用可編輯第七頁，共二十頁。定理2：自然數(shù)的乘法滿足下列算律，即對(duì)于任意有結(jié)合律交換律乘法對(duì)加法的分配率證明略定義9：對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a、b，如果存在自然數(shù)c使則稱c是a除以b的商，記為8精品ppt·實(shí)用可編輯第八頁，共二十頁。1.2、自然數(shù)的序數(shù)理論一、自然數(shù)的皮亞諾公理定義10：設(shè)N是非空集合，集合N的元素間有一個(gè)基本關(guān)系叫“后繼”（用符號(hào)“ˊ”表示），并且這個(gè)集合以及這個(gè)關(guān)系滿足下面五條公理:（1）（2）對(duì)任意（3）對(duì)任意有且僅有唯一的后繼元即（4）除1外，N的任何一個(gè)元素只能是一個(gè)元素的后繼，

（5）（歸納公理）對(duì)于N的任何一個(gè)子集M，如果滿足那么這個(gè)集合的元素叫做自然數(shù)。即9精品ppt·實(shí)用可編輯第九頁，共二十頁。二、序數(shù)理論下的自然數(shù)四則運(yùn)算定義11：設(shè)定義對(duì)于定義其中的叫做加數(shù)，叫做它們的和。1、加法這個(gè)定義實(shí)質(zhì)上給出了加法的具體步驟。例1：求3+7解：按定義11如此一步一步做下去，直到10精品ppt·實(shí)用可編輯第十頁，共二十頁。定理3：自然數(shù)的加法滿足結(jié)合律和交換律，即對(duì)于任意有（1）(a+b)+c=a+(b+c)（2）a+b=b+a（證明略）2、自然數(shù)的大小則稱a小于b，記為也稱b大于a，記為在這個(gè)定義下，任何兩個(gè)自然數(shù)都可以比較大?。樞颍Ｈ绻嬖谑苟x12：對(duì)于也就是說，自然數(shù)的大小關(guān)系具有三歧性：11精品ppt·實(shí)用可編輯第十一頁，共二十頁。證明從略定理4：任意兩個(gè)自然數(shù)a、b，下面三個(gè)關(guān)系成立且只成立一個(gè)：除了三歧性之外，這種順序還有反對(duì)稱性和傳遞性的特點(diǎn)；則若若（或），則（或）。在這種大小順序下，自然數(shù)的加法滿足加法單調(diào)律：定理5：設(shè)是三個(gè)自然數(shù)，（2）若那么（3）若那么那么（1）若12精品ppt·實(shí)用可編輯第十二頁，共二十頁。推論：設(shè)是四個(gè)自然數(shù)，并且定理6：設(shè)是三個(gè)自然數(shù)，（2）若那么（或），那么（或）。自然數(shù)的加法還滿足加法消去律：那么（1）若（3）若那么使成立的自然數(shù)c叫做a減b的差3、減法當(dāng)時(shí)，必存在自然數(shù)c，使記為定理7：對(duì)于任意兩個(gè)自然數(shù)定義12對(duì)于任意兩個(gè)自然數(shù)并且13精品ppt·實(shí)用可編輯第十三頁，共二十頁。4、乘法（2）設(shè)定義定義定義13：（1）設(shè)例2：求解跟基數(shù)理論一樣，可以證明，自然數(shù)的乘法滿足結(jié)合律、交換律、乘法對(duì)加法的分配率，限于時(shí)限，這里不再累述14精品ppt·實(shí)用可編輯第十四頁，共二十頁。、定義14：對(duì)于任意兩個(gè)自然數(shù)如果存在自然數(shù)c，使那么c叫做a被b除得的商，記作5、除法三、自然數(shù)集的性質(zhì)性質(zhì)8：自然數(shù)集是全序集。這條性質(zhì)是說，任何兩個(gè)自然數(shù)都可以在運(yùn)算的意義下比較大小。性質(zhì)9：自然數(shù)集具有阿基米德性質(zhì)（即對(duì)任何兩個(gè)自然數(shù)a，b，一定存在自然數(shù)c，使性質(zhì)10：自然數(shù)集具有離散性（即對(duì)任何兩個(gè)相鄰自然數(shù)之間都不存在第三個(gè)自然數(shù)）。15精品ppt·實(shí)用可編輯第十五頁，共二十頁。性質(zhì)11：(最小數(shù)原理)自然數(shù)集的任何非空子集都存在一個(gè)最小數(shù)。三、數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，那么，對(duì)一切不小于的自然數(shù)命題都成立。定理12：（第一歸納法原理）：（2）假設(shè)命題對(duì)自然數(shù)成立時(shí)，如果：（1）命題對(duì)某個(gè)自然數(shù)成立；對(duì)也成立。命題)(np16精品ppt·實(shí)用可編輯第十六頁，共二十頁。設(shè)是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，定理13：（第二歸納法原理）：如果：（1）命題對(duì)某個(gè)自然數(shù)成立；假設(shè)命題成立，此時(shí)如果命題（2）對(duì)滿足條件的一切自然數(shù)對(duì)也成立。那么，對(duì)一切不小于的自然數(shù)命題都成立。17精品ppt·實(shí)用可編輯第十七頁，共二十頁。定理14（第三歸納法）：設(shè)是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果：（1）命題

對(duì)無窮多個(gè)自然數(shù)成立（2）假設(shè)命題對(duì)自然數(shù)成立時(shí)，命題對(duì)也成立。那么，對(duì)一切自然數(shù)不小于n0的自然數(shù)n，命題都成立第三歸納法也叫柯西歸納法18精品ppt·實(shí)用可編輯第十八頁，共二十頁。證明：用反證法：如果命題不能對(duì)一切不小于n0的自然數(shù)都成立那么將所有使命題不成立的自然數(shù)作成一個(gè)集合M，那么這個(gè)集合必有一個(gè)最小數(shù)k，則比k小的數(shù)至多只有有限個(gè)，按條件（1），應(yīng)該有r>k,使命題在r時(shí)成立，反復(fù)應(yīng)用條件（2），那