復數的三角表示（2課時）教學設計 高一下學期數學人教A版（2019）必修第二冊

教學設計

課程基本信息學科數學年級高一學期春季課題7.3復數的三角表示（第一課時）教科書書名：高中數學必修第二冊（人教A版2019）教材出版社：人民教育出版社教學目標1.了解、掌握復數的三角表示式，了解復數的兩種形式的意義；2.了解復數的三角形式下的運算及法則.教學內容教學重點：復數的三角形式下的運算及其幾何意義.教學難點：復數的代數形式與三角形式的應用.教學過程溫故知新奠定基礎復數的幾何意義：引導探究得出概念問題1：我們知道復數z＝a＋bi可以由向量的坐標唯一確定，向量既可以由它的坐標唯一確定，也可以由它的大小和方向唯一確定，觀察分析圖1，能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復數呢？你認為如何表示？追問1：為了解決問題1，首先應研究什么？追問2：如何用文字表述角θ呢？【設計意圖】利用教科書上的探究問題，借助復數的幾何意義，引導學生嘗試定量刻畫向量的大小和方向，為得出復數的三角表示式奠基，這也是得出復數三角表示式的第一個關鍵環(huán)節(jié).追問3：你能用向量的模，以及以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線為終邊的角θ來表示復數z嗎？由復數z＝a＋bi的向量表示，易得追問4：角θ的終邊落在其余象限時，上式也成立嗎？成立【設計意圖】要求學生進一步借助圖形，得出模和角與平面向量的坐標的關系，從中感受復數和平面向量的關系以及數形結合的思想.這是得出復數三角表示式的另一個關鍵環(huán)節(jié).復數的三角形式：一般地，任何一個復數z＝a＋bi都可以表示成的形式.其中r是復數的模；θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量所在射線為終邊的角，叫做復數z＝a＋bi的輻角.叫做復數z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式.a＋bi叫做復數的代數表示式，簡稱代數形式.自我小測：1.寫出下列復數的輻角.i（2）1（3）-1（4）-i（5）0問題2：一個復數的輻角的值有多少個？追問：這些輻角的值之間有什么關系呢？【設計意圖】讓學生由平面直角坐標系中終邊相同的角的特點，得出復數輻角的多值性，以及這些值之間相差的整數倍；類比零向量，了解復數為0時輻角的任意性.問題3：在研究問題時，復數輻角的多值性有時會給我們帶來不便，為了使任意一個非0復數有唯一確定的“值”作為其所有輻值的代表，你認為規(guī)定這種“值”在哪個范圍內比較合適？規(guī)定：在0≤θ<2π范圍內的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz.追問：一個非零復數輻角的主值有多少個？【設計意圖】給出輻角的主值的概念和取值范圍，讓學生了解規(guī)定輻角的主值，保證了其唯一性，從而為一些表述和研究帶來便利.自我小測：1.寫出下列復數的輻角的主值.（1）i（2）1（3）-1（4）-i把一個復數表示為三角形式時，輻角不一定取主值.【設計意圖】由學生容易出錯的問題，通過具體事例引出對復數三角表示式的辨析，通過對復數三角表示式結構特點的分析，得出復數三角表示式的結構特征，進而根據結構特點對復數的三角表示式作出判斷.概念應用鞏固新知例1：畫出下列復數對應的向量，并把這些復數表示成三角形式.解：（1）復數對應的向量如圖所示，則，所以（2）復數對應的向量如圖所示，則，所以或者：，但是輻角不是輻角主值.【設計意圖】一方面是讓學生進一步體會復數的幾何意義，感受復數和平面向量一一對應的關系；另一方面是借助與復數對應的點的坐標，判斷角的終邊所在的象限，體會將復數代數形式化為三角形式的基本方法.例2：分別指出下列復數的模和一個輻角，畫出它們對應的向量，并把這些復數表示成代數形式.解：（1）復數的模,一個輻角，對應的向量如圖所示，所以（2）復數的模，一個輻角，對應的向量如圖所示，所以【設計意圖】一是通過幾何直觀，幫助學生進一步認識復數三角形式中.問題4：兩個用代數形式表示的非零復數相等的條件是什么？兩個用三角形式表示的非零復數在什么條件下相等呢？兩個復數相等兩個復數的模相等且輻角主值相等課堂小結回顧反思復數的兩種形式代數形式三角形式實部虛部輻角，輻角主值復數的三角形式和代數形式可以根據需要進行互化.作業(yè)布置目標檢測1.畫出下列復數對應的向量，并把這些復數表示成三角形式.下列復數是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式.3.將下列復數表示成代數形式：4.預習課本7.3.2復數乘除運算的三角表示及其幾何意義教學設計

課程基本信息學科數學年級高一學期春季課題7.3復數的三角表示（第二課時）教科書書名：高中數學必修第二冊（人教A版2019）教材出版社：人民教育出版社出版日期：2019年7月教學目標1.了解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.2.在知識的探究過程和發(fā)現(xiàn)中,感受數形結合、化歸與轉化、類比等數學思想方法，提升直觀想象、邏輯推理和數學運算素養(yǎng).教學內容教學重點：復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.教學難點：對復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義的理解.教學過程溫故知新奠定基礎問題1：我們知道復數可以進行加、減、乘、除運算，請回憶一下，復數代數形式加法和乘法運算的法則是什么？【設計意圖】復數加法、乘法運算的法則是研究復數加法、乘法運算三角表示的出發(fā)點，提出這個問題，激活學生已有的認知基礎，為本節(jié)課研究復數乘法運算的三角表示進行鋪墊.引導探究得出概念問題2：上節(jié)課，我們學習了復數一種新的表示方法—三角形式，那么復數的加法和乘法運算是否能用三角形式來表示呢?如果把復數，分別寫成三角形式：，你能計算和并將結果分別寫成三角形式嗎？不能寫成三角形式.復數乘法運算的三角表示：【設計意圖】引導學生獨立思考，自主探究，側重經歷復數乘法的三角表示公式的得出的過程，從中進一步體會復數與三角之間的緊密聯(lián)系.問題3：你能用文字語言來表述復數乘法的三角表示公式嗎？兩個復數相乘:積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和.可簡述為：模相乘，輻角相加.【設計意圖】培養(yǎng)學生的語言表達能力，幫助學生進一步加深對復數乘法運算三角表示的理解.問題4：我們知道復數的加、減運算具有幾何意義，那么復數乘法有沒有幾何意義呢？由復數乘法運算的三角表示，你能得到復數乘法的幾何意義嗎？兩個復數，相乘時，如圖，先分別畫出與，對應的向量，，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點O按順時針方向旋轉角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到向量，表示的復數就是積．這是復數乘法的幾何意義．【設計意圖】讓學生借助圖形進行分析，探究得出復數乘法運算三角表示的幾何意義，體會數形結合思想，同時培養(yǎng)學生自主學習能力和合作意識.概念應用鞏固新知問題5：你能解釋和的幾何意義嗎？【設計意圖】讓學生利用復數乘法運算的幾何意義，進一步理解熟悉的乘法運算的基本結論.例1：已知求，請把結果化為代數形式，并作出幾何解釋.解：首先做與復數對應的向量，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉角，再把它的模變?yōu)樵瓉淼?倍，這樣得到一個長度為3，輻角為的向量．即為所對應的向量．【設計意圖】讓學生利用復數乘法的三角表示進行運算，進一步熟悉算理和復數乘法運算三角表示的幾何意義.例2：如圖,向量對應的復數為1+i，把繞點O按逆時針方向旋轉，得到.求向量對應的復數(用代數形式表示).解：向量對應的復數為【設計意圖】讓學生了解利用復數乘法的幾何意義可以解決某些與向量旋轉、伸縮有關的復數運算問題，體會利用復數乘法幾何意義解決問題的便捷性.問題6：除法運算是乘法運算的逆運算.根據復數乘法運算的三角表示，你能得出復數除法的三角表示嗎？所以【設計意圖】在復數乘法的基礎上，引導學生借助已有的知識和運算技巧推導復數除法的三角表示，體會轉化與化歸和類比的數學思想，提升數學運算素養(yǎng).復數除法運算的三角表示：追問1：你能用文字語言來表述復數除法的三角表示公式嗎？兩個復數相除:商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.可以簡述為：模相除，輻角相減.追問2：你還有其他的推導方法嗎？問題7：類比復數乘法的幾何意義，由復數除法的三角表示，你能得出復數除法的幾何意義嗎？兩個復數相除時，如圖，把向量繞點O按順時針方向旋轉角，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到向量，表示的復數就是?這是復數除法的幾何意義.【設計意圖】通過除法三角表示的幾何意義的自主探究，讓學生進一步感受乘法和除法相互轉化的關系，感受向量與復數之間的聯(lián)系，同時感受數形結合、化歸與轉化思想在研究數學問題中的作用.例3：計算并把結果化為代數形式.【設計意圖】讓學生利用復數除法運算的三角表示公式進行運算，進一步熟悉算理.指導學生反思：在確保兩個復數都為三角表示形式，才能運用復數的三角表示公式進行運算.課堂小結回顧反思復數乘法運算的三角表示：即兩個復數相乘,積的模等于各復數的模的積,積的輻角等于各復數的輻角的和.復數除法運算的三角表示：即兩個復數相除,商的模等于被除數模除以除數的模所得的商,商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.【設計意圖】幫助梳理本節(jié)課的知識、研究思