四類立體幾何題型-2023年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項(xiàng)練習(xí)（解析版）

專題03四類立體幾何題型-2023年高考數(shù)學(xué)大題秒

殺技巧及專項(xiàng)練習(xí)（解析版）

立體幾何問題一般分為四類：

類型1：線面平行問題；

類型2：線面垂直問題；

類型3：點(diǎn)面距離問題；

類型4：線面及面面夾角問題；

下面給大家對每一個(gè)類型進(jìn)行秒殺處理.

技巧：法向量的求算

待定系數(shù)法：步驟如下：

①設(shè)出平面的法向量為“=（x,y,z）.

②找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量％=（q,"9）,3=（的為2，。2）.

③根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于羽y,z的方程組4一-

n-b=O

④解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量.

[na=O

注意：在利用上述步驟求解平面的法向量時(shí)，方程組-有無數(shù)多個(gè)解，只需給

n-b=0

x,y,z中的一個(gè)變量賦于一個(gè)值，即可確定平面的一個(gè)法向量；賦的值不同，所求平面的法

向量就不同，但它們是共線向量.

秒殺：口訣：求誰不看誰，積差很崩潰（求外用外減，求內(nèi)用內(nèi)減）

向量a=（Xi，X，zJ,人=（%2，%，22）是平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則向量

n=（y1z2-y2zl,x2z}一為z?,X】%-七y）是平面a的一個(gè)法向量.

特別注意：空間點(diǎn)不容易表示出來時(shí)直接設(shè)空間點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用距離列三個(gè)方程求解.

類型1：線面平行問題

方法一：中位線型：

如圖⑴，在底面為平行四邊形的四棱錐P-A6CD中，點(diǎn)E是的中點(diǎn).求證：〃平

面AEC.

分析:

如圖⑴

方法二：構(gòu)造平行四邊形

如圖⑵，平行四邊形ABCD和梯形3EEC所在平面相交，BE//CF,求證：AE〃平面

DCF.

分析：過點(diǎn)E作石G〃4。交/C于G,DG就是平面AEG。

與平面的交線，那么只要證明AE//DG即可。

方法三：作輔助面使兩個(gè)平面是平行

如圖⑶，在四棱錐O—ABC。中，底面A3CD為菱形，M為Q4的中點(diǎn)，N為的中

點(diǎn)，證明：直線"N〃平面OCD

分析:：取08中點(diǎn)E,連接ME,NE,只需證平面MEN〃平面08。

方法四：利用平行線分線段成比例定理的逆定理證線線平行。

已知公共邊為46的兩個(gè)全等的矩形263和力婀不在同一平面內(nèi)，P,0分別是對角線/反

物上的點(diǎn)，且加』20（如圖）.求證：國〃平面鹿.

如圖⑸，已知三棱錐尸一ABC,A、B\C'是AP5C,APCZ,APAB的重心.⑴求證:

AB'〃面ABC；

“17

N1

如圖⑹

方法五：(向量法)所證直線與已知平面的法向量垂直，關(guān)鍵：建立空間坐標(biāo)系(或找空間

一組基底)及平面的法向量。

線面平行問題專項(xiàng)訓(xùn)練

1.如圖,在正三棱柱ABC-AiBiCi中,44/_L平面ABC,D、E分別為AC、A4/的中點(diǎn),AC=AAi=2.

⑴求證：DE〃平面A/8C；

(2)求QE與平面8CGB/夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵巫

4

【詳解】(1)證明：：點(diǎn)。、E分別為AC、44/的中點(diǎn),

...DE為三角形AC4/的中位線，即DE〃C4,

平面ABC,CAu平面ABC,

...DE〃平面AiBC

(2)過點(diǎn)4作8/G的垂線，垂足為孔連結(jié)CF,

因?yàn)槠矫?4G，平面BCG瓦，且平面AAGc平面BCC禺=B,C,,

\F14G,所以4尸JL平面BCCA,所以CF為CA在平面BCC向的射影,

乙41cp即為所求角，CF=jF+22=&，AF=BAC=,22+22=20

CF回

所以COSNAC「=——

qc2立一4

2.如圖，在多面體ABCDEFG中，已知ADGC是正方形，GD//EF,GF//BC,FGJ_平面

4￡>3(?,知,"分別是47,8尸的中點(diǎn)，MBC=EF=1CG=1FG.

(1)求證："N〃平面AFG；

(2)求直線MN與平面3EF所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

0、4屈

85

M為AC的中點(diǎn)，:.PM//AG.

又PMt平面AGF,AGu平面AGF,

.?.尸Af〃平面AGV.

同理可得，PN〃平面AGV.

PMcPN=P,PM,PNu平面PMN,

/.平面PMN〃平面AGF.

RG_L平面ADGC,CG,DGu平面ADGC,

:.FG±CG,FG±DG.

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，G￡>,G/,GC的方向分別為x軸，，軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系Gxyz.不妨設(shè)8c=1,則G(0,0,0),M(l,0,2),

N(0,：,1),5(0,1,2),E(l,2,0)/(0,2,0),=j,BE=(l,l,-2),BF=(0,1,-2),

設(shè)平面班戶的一個(gè)法向量為“=(x,y,z).

n-BE=0,fx+y—2z=0,

由〈.得《c

n-BF=0[y~2z=0.

令z=l,得"=(0,2,1),

設(shè)MN與平面所成角為6,

.....\n-MN\24屈

rn,.sin0=cos<〃,MN>\=---------=—7=--------=--------

則叵%亞85.

~rx

A直線MN與平面BEF所成角的正弦值為不

85

3.如圖，在四棱錐S-ABCD中，ABCD為直角梯形，ADUBC,BC1CD,平面SCO,平

面ABCD.SCO是以8為斜邊的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=2,E為BS上一點(diǎn)、,

且BE=2ES.

B

(1)證明：直線必//平面ACE；

(2)求二面角S-AE-C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

【詳解】(1)連接交AC于點(diǎn)F,連接E尸.

因?yàn)锳D//BC,所以△AFD與△3CF相似.

所以需簫

BFRF

又方=而=2,所以EF〃SD.

因?yàn)榉纔平面ACE,SDC平面ACE,所以直線SD〃平面ACE.

(2)平面SCD_L平面ABCD,平面SCO1平面ABCD=CD,BCu平面ABCD,

BCVCD,所以3c人平面SCO.

以c為坐標(biāo)原點(diǎn)，co,CB所在的方向分別為y軸、z軸的正方向，

與CD,C8均垂直的方向作為X軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-孫z.

則C(0,0,0),5(1,1,0),A(0,2,2),

CA=(0,2,2),AS=一2),A￡1=[|?，-CE=(：K).

設(shè)平面SAE的一個(gè)法向量為戊=(x,y,z),

m?AS=x-y-2z=0

則，242，令x=l，得機(jī)=(3,1,1),

m?AE=—x——y——z=0

I333

設(shè)平面E4C的一個(gè)法向量為"=(x,y,Z),

n-CA=2y+2z=0

則224，令z=l,得"=(T,-1,1).

n?CE=—x+—y+—z=0

333

設(shè)二面角S-AE-C的平面角的大小為6,

?|m-n|3A/33

貝Ucos8=-------=-；=―產(chǎn)=-----.

\m\-\n\73-71111

所以二面角S-AE-C的余弦值為畫.

11

4.如圖，四邊形AB4a是圓柱。a的軸截面，點(diǎn)/是母線CG的中點(diǎn)，圓柱底面半徑

R=41,AA,=2.

⑴求證：〃平面ABM；

（2）當(dāng)三棱錐A-ABC的體積最大時(shí)，求平面A3M與平面CBM夾角的余弦值.

【答案】（1）見解析

⑵噲

6

【詳解】（1）證明：連接。。.OOqAB=N,則OQ//C6，且。O]=CC],MC=MC1,

連接MN,\O,O{B,由圓柱的性質(zhì)可得

4。1//。尻4。1=08,

所以四邊形是平行四邊形，.?.qN=NO,所以N為。。1中點(diǎn),

所以易知QG〃MN,0G0平面ABM,MNU平面ABM，

所以0G〃平面ABM；

（2）設(shè)AC=a,BC=Z?,則°2+》2=8,

匕,-小=。5""=96《-嗎貯=3,當(dāng)且僅當(dāng)AC=3C=2時(shí)取等,

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系C-乎，A（2,0,2）,fi（0,2,0）,M（0,0,l）,

Affi=(0,2-l),M<=(2,0,l),設(shè)平面A0M的法向量為〃=(x,y,z),

MBfi=G2y-z=0

所以___n令z=2,y=l,x=-l,所以w=(-1,1,2),

2x+z=0

MAcn=Q

取平面CBM的法向量為m=（1,0,0）,

\m-n\_遍

所以平面ABM與平面CBM夾角的余弦值|cos機(jī)，司=

M?同6

所以平面ABM與平面CBM夾角的余弦值為逅

6

5.在直三棱柱A4G-ABC中，aA=42=BC=CA=2,加、N分別為棱BC和CC,的中點(diǎn),

(1)若C/〃平面AMN,試求點(diǎn)P的軌跡，并證明；

(2)若P是線段A耳的中點(diǎn)，求二面角尸-MN-A的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵孚

【詳解】(1)取AA的中點(diǎn)為。，連G。，QB,QB,則點(diǎn)P的軌跡為線段30.

證明：因?yàn)镸,N分別為BC和CC的中點(diǎn)，所以

又因?yàn)锽C】O平面ANN,MNu平面

所以BG〃平面AMN

又因?yàn)?。是AA的中點(diǎn)，所以AQ=：AA=：GC=GN

而GC〃AA,所以QA〃GC且QA=GC

所以四邊形GM4Q為平行四邊形

所以C?〃AN

又因?yàn)镚QC平面ANN,ANu平面AMN

所以GQ〃平面AMN

因?yàn)镚QcGB=G，所以平面GBQ〃平面AMN

因?yàn)辄c(diǎn)P在側(cè)面A瓦上，且GP〃平面AM2V

所以在平面G3Q內(nèi)，所以點(diǎn)尸在線段8。上，所以點(diǎn)P的軌跡為線段8。.

(2)依題設(shè)可知直三棱柱A4G-A3C為正三棱柱，AM±BC

以M為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

則M（0,0,0）,A（道,0,0）,3（0,1,0）,C（0,-l,0）,N（0,-l,l）,P與g,l

設(shè)平面AAW的法向量為a=（x,y,z）,則

a-MA=0Jyfix=01x=0

a-MN=0]-y+z=01y=z

取z=l,得a=（0,1,1）

設(shè)平面尸肱V的法向量為b=(%,y,z),則

1

bMP=0——x+—y+z=0X=-A/3Z

22

b-MN=0y=z

_y+z=0n

取z=l,得6=b/l,l）

/7\a-b2V10

=

,,,COS\'4Z,/P/耶1~~|n~r=V-2T-=V---5--尸=-5----

所以，二面角尸-MN-A的余弦值為亞.

5

類型2：線面垂直問題

必記結(jié)論：①特殊的平行四邊形n邊長之比1:2,夾角為60°,則對角線與邊垂直

②特殊的直角梯形n邊長之比1：1：2,對角線與腰垂直

③等腰三角形三線合一，三線與底垂直

④直徑所對的圓周角為直角⑤菱形和正方形：對角線互相垂直

⑥特殊的矩形：邊長之比1:2或1：、歷有明顯的直角關(guān)系

線面垂直問題專項(xiàng)訓(xùn)練

6.如圖，在三棱柱ABC-A耳G中，平面ABC,D,E分別為AC,AG的中點(diǎn),

AB=BC=5AC=AAi=2.

B

⑴求證：AC_L平面瓦出；

⑵求點(diǎn)D到平面ABE的距離.

【答案】（1）證明見解析；

⑵當(dāng)

【詳解】（1）證明：=D,E分別為AC,AG的中點(diǎn)，

/.ACLDB,且DE//AA1,

又"_L平面ABC,小工平面ABC,

又ACu平面ABC,/.ACLDE,

又AC_L￡>3,且DEcDB=D,u平面比）￡,

，AC_L平面fiDE.

（2）VAC1DB,AB=-45,AC=2AD=2,

BD=VAS2-AD2=2,

BE=^DE2+BD2=272-AE=dDE2+AD2=5S“"=gxlx2=l.

在中，AB=AE=y/5,BE=272,

.1?BE邊上的高為J（灼2一=V3.

??.5AAB￡=|X2V2X73=A/6.

設(shè)點(diǎn)D到平面ABE的距離為d,

根據(jù)七加=/僻，得;x&xd=；xlx2,解得d=巫,

333

所以點(diǎn)。到平面ABE的距離為".

3

7.如圖，四邊形ABCD為菱形，ED_L平面ABC。，F(xiàn)BED,BD=>/iED=2@FB.

（1）證明：平面E4C_L平面E4c；

⑵若N3AD=60。，求二面角產(chǎn)-C的大小.

【答案】（1）證明見解析

⑵：

【詳解】（1）設(shè)2。交AC于點(diǎn)。，連接EO,FO,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC130.

因?yàn)镋O_L平面ABCQ,ACu平面ABC。，所以AC_LED.

又EDBD=D,ED,BDu平面BDEF,所以ACJL平面BDEP；

又EOu平面BDEF,所以AC_LEO.

設(shè)FB=1,由題意得￡D=2,BD=2y[2,DO=BO=>/2.

因?yàn)镕BHED,S.ED±^ABCD,貝ljFBI平面ABC。，

而08,0。u平面ABC。，故OBLFB,OD1ED,

所以O(shè)F={OB2+BF2=6,EO=yjED2+DO2=46^

EF=^BD2+（￡￡>-BF）2=-Js+l=3.

因?yàn)椤?戶=0^2+0尸\所以E0J.R9.

因?yàn)?。尸cAC=O,OfACu平面ACR所以EO_L平面ACE

又EOu平面EAC,所以平面EAC_L平面型C.

(2)取所中點(diǎn)G,連接OG,所以。G//E。，OGl^ABCD.

以。為原點(diǎn)，以O(shè)A,OB,OG分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)?BAD=60。，由⑴中所設(shè)知，AB=AD=1y[2,

所以，OA=OC=yj6,

所以A(A/6,O,0),F(0,&),E(0,-在2),C(-A/6,0,0).

所以K4=(?,-點(diǎn),-1),EA=(A/6,A/2,-2),￡C=(-A/6,V2,-2),

設(shè)平面曲E的一個(gè)法向量為〃z=(x,y,z),

m-FA=0J6x-j2y-z=0x=6y

則=>=>

m?EA=0yJ6x+V2y-2z=0z=2及y

所以沆=(石,1,20)；

平面AEC的一個(gè)法向量為"=(。,瓦c),

n-EC=0[-a+岳-2c=0[a=0

則?=，廠r.nz

nEA=0[y/6a+>j2b-2c=0[b=y/2c

所以〃=(0,0,1)；

3忘返

所以cos〈/〃,〃)

國4+1+(2偽22

由圖形可知二面角廠-AE-C的平面角為銳角,

TT

所以二面角尸-鉆-。的大小為“

8.如圖，△ADM是等腰直角三角形，AD±DM,四邊形ABCM是直角梯形，ABJ.BC,

MCLBC,且AB=2BC=2CM=2,平面ADM_L平面A5cM.

⑴求證：AD±BM；

⑵若點(diǎn)￡是線段￡>8上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，三棱錐ADE的體積為變？

18

【答案】(1)證明見解析

(2)￡為線段3。上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)

【詳解】(1)四邊形是直角梯形，ABJ.BC,MCYBC,AB=2BC=2MC=2,

BM=>/1+1=^2,AM=^(2-1)2+12=72,

則AAfZ+B”=.,AM1MB,

:平面平面ABCM,平面1平面ABCM=4",

BMu平面ABCM,

BA/工平面TMM,

又。Au平面D4"，AD±BM；

(2)由(1)可知由平面ADM,BM=■>/!，

DE

設(shè)==幾，則E到平面ADM的距離為B到平面ADM的距離的％倍，

BD

即E到平面ADM的距離d=722,

△ADM是等腰直角三角形，ADLDM,AM=?，AD=DM=1,

VM-ADE=VE-ADM=15AADM'd=~^~,即:XgX1X1X應(yīng)2=,

31oJZio

A=—,

3

■■E為線段BO上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn).

9.如圖，在直三棱柱ABC-ABG中，ZBAC=9Q°,AB=AC=^AA,=2,AE=^A\,

。為棱CG的中點(diǎn)，尸為棱BC的中點(diǎn).

⑴求證：BE，平面明C；

（2）求三棱錐B-DEF的體積.

【答案】（1）證明見解析

⑵！

【詳解】（1）；=；⑨，AB=AC=~AAX,AA,=BBl,

11AEAB

???AE=”，AB=-BBl,則益=函-

■：ABC-A再G為直三棱柱，故側(cè)面AB耳A為矩形,

/.ZA.AB=/ABB[=90°,

綜上，AEBBABi，ZBABt=ZAEB,又NE2A+ZAEB=90°,

；.NEBA+/BAB1=90°,則BE±AB},

'：M1平面ABC,ACu平面ABC,

±AC,XAC.LAB,AB=A,A4]U平面ABB]A，ABu平面ABB|A，

二AC_L平面ABBJA,又u平面ABB】A,則ACBE.

?/ABjAC=A,AB]U平面AB。，ACu平面AB。，

，3E_L平面MC.

連接AF,AAJIBB、,A41a平面BCC|A，5月u平面BCC1瓦,

招〃平面BC￡耳,

V

三棱錐氏。跖的體積/-DEF=E-BDF=VA-BDF=%一ABF~gS^ABF'CD.

VAB=AC=2,ZBAC=90°,尸為BC的中點(diǎn)，

BC=2A/2,AFIBC,:.AF=BF=舊

???5AABF=1-BF-AF=1-V2-V2=1,

112

三棱錐B-DEF的體積VB_DEF=VD_ABF=-SAABF-CD=-X1X2=-.

10.如圖，在直三棱柱ABC-A與G中，AQ=B{C1,AGiB,q,〃為棱A4

的中點(diǎn).

⑴求證：4〃/平面86〃；

⑵若AC=2,求三棱錐A-BGM的體積.

【答案】(1)證明見解析

⑵羊

【詳解】(1)因?yàn)锳BC-AAG為直三棱柱，所以平面ABC-

又G〃u平面4瓦￡,所以

因?yàn)?為棱A片的中點(diǎn)，AG=B|G，所以片.

因?yàn)锳Au平面A|A3B1,A"u平面A,B,=,所以GM,平面

又AMu平面443片，所以

因?yàn)椤槔?片的中點(diǎn)，所以44=(4月=4”.

又所以NAM4=45,同理/4〃5=45,所以

因?yàn)镃|Mu平面BC|M,BMu平面BCM,GMBM=M,

所以AMI平面BC]M.

(2)因?yàn)锳G=36=2,AC_LB]G,=與，

所以A4=20,AA=；Ag=AM=GM=0,

所以AM=BM=JAT+AM2=2.

由(1)知G〃~L平面AAB與，

1111Q

所以匕―5G“="G-ABM=§SAABMxC[M=—x—xAMxBMxCXM=彳x2x2xA/2=,

即三棱錐A-BGM的體積為逑.

3

類型3：點(diǎn)面距離問題

結(jié)論1：《點(diǎn)線距離》n《異面直線求距離問題》

11.如圖，在底面是矩形的四棱雉尸-ABCD中，上4,平面ABC。，PA^AB=2,BC=4,

E是尸。的中點(diǎn).

(1)求證：平面PCD_L平面融。

(2)求平面EAC與平面ACD夾角的余弦值;

(3)求8點(diǎn)到平面EAC的距離.

*【答案】(1)證明見解析

嗚

【詳解】（1）由題可知，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,如圖所示

則A(0,0,0),BQ,0,0),C(2,4,0),0(0,4,0),￡(0,2,1),尸(0,0,2).

所以AB=(2,0,0),AD=(0,4,0),AP=(0,0,2),CD=(-2,0,0),AE=(0,2,1),AC=(2,4,0),

所以Cr>-Ar>=(—2)x0+0x4+0x0=0,BPCD±AD,

所以CZ>AP=(-2)x0+0x0+0x2=0,CDYAP,

又ADAP=A,AD,APu平面融。，所以CD_L平面用D,

又CDu平面尸CD,所以平面尸CD_L平面E4D

(2)設(shè)平面AEC的法向量為〃=(尤,y,z),則

n.AE=0\2y+z=0

\，即1,

n.AC=0[2x+4y=0

令％=2,貝！J%=T,z=2,所以〃=(2,-1,2),

由題意知，24,平面ABCQ,平面ACZ）的法向量為A尸=（0,0,2）,

設(shè)平面E4c與平面AC。夾角的8,則

??4_2

cos0=cos<n,AP>\=---------L

11|n||AP|3^2~3

7

所以平面EAC與平面ACD夾角的余弦值為-.

（3）由（2）知，平面AEC的法向量為〃=（2,-1,2）,AB=（2,0,0）

設(shè)B點(diǎn)到平面EAC的距離為h,則

\n-AB\|2x2+（-l）x0+2x0|4

kH6（7）2+223,

4

所以3點(diǎn)到平面EAC的距離為7.

7T

12.如圖，直四棱柱ABC。-AAG。的底面ABCD為平行四邊形，ZDAB=~,

3AD=2C￡?=2￡?2=6,點(diǎn)p,M分別為AB,上靠近A，2的三等分點(diǎn).

⑴求點(diǎn)M到直線PR的距離；

(2)求直線PD與平面PCD,所成角的正弦值.

【答案】(1)立

2

(2)手

【詳解】(1)由題可得AD=2,CD=DR=3,

又點(diǎn)尸為48上靠近A的三等分點(diǎn)，所以AP=1.

在△ADP中，由余弦定理可得，

DP2=AD2+AP3-2AD-AP-cosZDAP=4+l-2x2xlx~=3,

2

故AD?=4=A?2+DP2，

所以△4DP為直角三角形，故。尸，48.

因?yàn)榈酌鍭BC。為平行四邊形，所以r>P，C￡).

由直四棱柱性質(zhì)可知-LDP,DD1±CD,

即。尸，CD,DR兩兩垂直.

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)P,DC,所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系Dxyz.

則0(0,0,0),尸(6,0,0),￡)/0,0,3),M(0,l,2).

因?yàn)槭?卜6,0,3),過點(diǎn)M作ME，尸2,(點(diǎn)到直線的距離即為通過該點(diǎn)向直線做垂線,

點(diǎn)到垂足的距離）

令==卜后,0,3彳），所以故ME=（百-&,一1,32-2）.

3（Ji-

由"￡-尸_0]=-3+3九+92-6=0,解得/1=一，所以加￡=--,-1,-，故點(diǎn)M到直線尸2的

4I44）

距離為麻卜舟吃=§

（2）因?yàn)椤Ｊ?（6,0,0）,"”=（0,1,-1）,PD1=（-73,0,3）,

為.府=0,Jj-z=0,

設(shè)平面PCR的法向量為〃=（尤,y,z）,

n-PDt=0,—y/3x+3z=0,

令x=G，得y=i,z=l,故〃=

設(shè)直線PD與平面PCD、所成角為6,

n?DPV15

則sin0=|cos(n,DP)|=

\nV\DP\5

所以直線尸。與平面pen所成角的正弦值為姮.

5

13.如圖，在四棱錐S-MCD中，四邊形ABC。是菱形，AB=1,SC=正,三棱錐S-3CD

3

是正三棱錐，E,尸分別為&LSC的中點(diǎn).

（1）求二面角E—BF—。的余弦值；

（2）判斷直線SA與平面8OF的位置關(guān)系.如果平行，求出直線SA與平面8。尸的距離；如果

不平行，說明理由.

【答案】⑴恒

⑵平行，距離為短

14

【詳解】（1）連接AC,交于點(diǎn)O,連接S。，因?yàn)樗倪呅?2C。是菱形，所以。為AC,

的中點(diǎn)，且BDLAC,

因?yàn)槿忮FS-BCD是正三棱錐，SB=SD,。為8。的中點(diǎn)，所以B￡>_LSO,SOu平面SAC,

ACu平面SAC,

又SOAC=O,所以BD2平面SAC

作陽，平面BCD于X,則X為正三角形BCD的中點(diǎn)，X在線段OC上，MOC=—

2

OH=-OC=-^—=—,CH=-OC=—,SH=^SC--CH-=

HS的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空

間直角坐標(biāo)系,、、

則A(0，-g,0),BQ,O,OI,C.0,，

走,0,D[WO,O1,S0,,1,E0,-

6

~T7\

FL百1]

、

所以二

5E一，一§；,BF=，，,BD=(-1,0,0),

I262J~2^~2

7

設(shè)加=(占,％,Z])是平面EBF的法向量,

RF16」10

則

n}-BF=-^xl+-y1+^zi=0

則勺=(1,0,1),設(shè)%=(&,%,Z2)是平面08尸的法向量,

n2?BD=—x2=0

取&(一

則]\/3]=0,6,21

“2?BF=——%2~%+,“2=0

所以EG淌=會(huì)7=一半,

又因?yàn)槎娼荅-3尸-。是銳二面角，所以二面角E-斯-。的余弦值為恒.

(2)直線SA與平面2￡)/平行.

法1：連接。品由（1）知。為AC的中點(diǎn)，又尸為SC的中點(diǎn)，所以0尸〃&4,

又因?yàn)?平面9加，OFu平面2￡）F，所以直線SA//平面出加.

法2:由（1）知“=（0,也,-2）是平面瓦加的一個(gè)法向量，

又小一生],s[o,%i],所以SA=0,-乎-1,

所以SA%=0x0+A,畢J+（_2）x（T）=0,

所以又因?yàn)镾4U平面由加，所以直線&1〃平面

設(shè)點(diǎn)A與平面BDF的距離為h,則%即為直線SA與平面BDF的距離,

因?yàn)椤?=[o,-q,o],%=（0,石,-2）是平面尸的一個(gè)法向量，

2

I）

II0x0+百x-9+0x（一2）

所以104HL__________12J1|=36，

同一77-R

所以點(diǎn)A與平面BDF的距離為邁，

14

所以直線與平面BDF的距離為短.

14

14.四棱錐P-A5CD的底面是邊長為2的菱形，ZDAB=^°,對角線AC與2。相交于點(diǎn)

O,尸。工底面ABC。，與底面ABC。所成的角為60。，E是的中點(diǎn).

⑴求異面直線。E與出所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）;

（2）證明：OE〃平面力。，并求點(diǎn)E到平面南。的距離.

【答案】（l）arccos^-

4

（2）證明見解析，孚

【詳解】（1）由題意，PO,OCOB兩兩互相垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線08、OC、OP分

別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

z

菱形ABCD中，ZDAB=GO0,所以3D=2O3=2,

在RtAAOB中=^AB2-OB2=拒，

因?yàn)镻O1底面ABC。，所以尸3與底面ABC。所成的角為NRBO=60。，

所以尸O=O2-tan60°=6,

則點(diǎn)A、B、D、尸的坐標(biāo)分別是A(0,-百,0),8(1,0,0),￡>(-1,0,0),尸(0,0,g),

1uumQUUUll

E是尸5的中點(diǎn)，則E《,O,苧)，于是?！?(1,o,學(xué))，AP=(0,V3,A/3).

3

ULUULIL1U八0V2

設(shè)DE,”的夾角為仇則有cos<9=_一二丁,

/73；g4

V44

故6=arccos—，

4

?,?異面直線DE與B4所成角的大小是arccosY2.

4

(2)連接OE,

及。分別是尸民助的中點(diǎn)，

:.EOHPD,

石O(Z平面B4O,尸Du平面B4D,

平面PAD.

UL1U廠L->

因?yàn)锳P=(0,后否)，AD=(-l,60)，

設(shè)平面PAD的法向量:=(x,y,z)，

n?AD=-x+Gy=0

令X=5則產(chǎn)1,2=1,

n?AP="y+A/3Z=0

uum3

所以w=(g,l,-l)，又DE=10,

2

-|亞_四匚「

則點(diǎn)E到平面PAD的距離d=IDEfl=22_=工也.

?；?J'3+1+14s5

15.斜三棱柱ABC-的各棱長都為2,/448=60。，點(diǎn)4在下底面A8C的投影為AB

的中點(diǎn)O.

⑴在棱2片（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)。使a。LAG?若存在，求出8。的長；若不存在,

請說明理由；

（2）求點(diǎn)A到平面BCCA的距離.

2

【答案】（1）存在，BD=-

⑵平

【詳解】（1）連接0C,因?yàn)锳C=BC,。為A3的中點(diǎn)，所以O(shè)CLAB,

由題意知A。，平面A8C,

又A4,=2,ZAiAO=60°,所以4。=6，

以。點(diǎn)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,0,君），A（l,0,0）,B（-l,0,0）,C（0,V3,0）,

由AB=得4b2,0,,同理得C]（―1,,

設(shè)3D="gJe[0,1],得。卜1一,0,"），

又AC、=〈-2,上，有）,A[D=1—z,0,A/3?—A/3j,

由AC1.4Z）=0,得-2（-1-1）+6-百）=Q,

17

得，=《，又BB、=2,：.BD=M，

2

存在點(diǎn)。且8。=,滿足條件；

⑵設(shè)平面8CC#的法向量為。=（x,y,z）,BC=（1,^,0）,頁=（-1*0詞,

n-BC=x+A/3y=0(r\

則有■r，可取幾=后-M

7

nCCx=-x+y/3z=0'

又疏=(1,。，?,

???點(diǎn)A到平面BCQBi的距離為d=|班|卜05(3,“=|班|V3+0+V32A/15

X畫卜石5

???所求距離為雪

類型4：線面及面面夾角問題

結(jié)論1：異面直線所成角cose=ETe/o,、

71

同WI

7

①能建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，寫出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用結(jié)論求解

a-b上.

②不能建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，取基底的思想，在由公式cos,力=求出

\a\]b\

關(guān)鍵是求出及同與

ibBW、

結(jié)論2：線面角cosa=sine=

1國T洞目(4

7

%.匕

結(jié)論3：二面角的平面角cos。二2(0e(0,?))

線面及面面夾角問題專項(xiàng)訓(xùn)練

16.如圖，在四邊形ABC。中，AB=BC^2CD,AB±BC,AC±CD9以AC為折痕將二ACO

折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PB=.

p

（1）證明：AB人平面BBC；

⑵若〃為上4的中點(diǎn)，求直線尸3與平面MBC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）|.

【詳解】（1）因?yàn)?C=2CD=2PC,又PB<CD,

所以PB?=5CD2=5PC2=BC2+PC2,所以PC_L8C,

由ACJ_CD,可知ACJ_PC,

因?yàn)?c,8Cu平面ABC,ACCBC=C,所以PC,平面ABC,

因?yàn)?Wu平面ABC,所以尸CJ_AB,

又AB_LBC,PCBC=C,PC,BCcPBC,

所以AB人平面PBC；

（2）取AC的中點(diǎn)O,連接OM,O3,

由（1）知，PC,平面ABC,CW為aP4c的中位線，OMI/PC,所以O(shè)M,平面ABC,

又AC,OBu平面ABC,所以O(shè)M_LAC,OAf_LO3,即OM,03,AC兩兩垂直，

如圖，以。為原點(diǎn)，O8,OC,O河所在直線分別為蒼％z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-孫z,

設(shè)CD=2,則AB=_BC=4,AC=4A/2?OB=AC=2>/2,OM——PC—1,

則P（0,2^,2）,B（2^,0,0）,C（0,25/2,0）,M（0,0,1）,

所以尸B=（20,-2班,-2）,3C=（-2A/2,2A/2,0）,BM=（一2近,0,1）,

設(shè)平面MBC的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,

n-BC-0,-2y=0,

則由Vn

nBM=0-+z—0,

令光=1,得y=l,z=2&，得〃=(1,1,2,

設(shè)直線網(wǎng)與平面所成角為6,

,"MI2V2-2V2-4V2I2

則sin0=cos<n,PB>

卜”2小義M5

2

所以直線PB與平面MBC所成角的正弦值為w.

17.在四棱錐P—ABCD中，面24^_1面488,PA=PC,AD±AB,AD//BC,AD=2BC=2,

AB=?E是線段A3上的靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn).

⑴求證：CD_L面尸EC；

(2)若面BPC和面PEC的夾角為45,求線段3P的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)BP=1

【詳解】(1)法一：由面R4S_L面ABCD,AT>u面ABCD,面面ABCD=鉆,

所以AD_L面上4B,P4u面上4B,故ADJLP4,

由勾股定理得：CD=y(AB2+CAD-BO2=2,而AD=2,

又PA=PC,PD=PD,所以PCDMRAD,所以CDLPC,

_________Q/A

易得：EC=y/BE2+BC2=-區(qū)ED=1AE2+AD2=-y/3,

33

所以瓦>2=成72+。。2,故CD_LEC,

又PCcEC=C,PC,ECu面PEC,所以?！?_1面?￡。.

法二：因?yàn)槊姘宋?面抽。。，在平面內(nèi)作Bz_L54,則3Z_L面ABCD,

以B點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0,五0）,D（2,"0）,EO,^,o|c（l,O,O）,

設(shè)尸（0.6）,因?yàn)閰?PC,所以（a-石）2+〃=1+1+〃，可得。=岑.

所以EP=（O,O,。），又0）=（1,6,0）,石。=|1,一4,0,

I3J

ikCDEP=Q,CDEC=O,所以CD，EP,CDLEC,

又PCcEC=C,PC,ECu面PEC,所以CD_L面PEC.

（2）法一：取AD的中點(diǎn)尸，連結(jié)所，交EC于點(diǎn)0,則3?！ㄊ?3。=如，

所以BCDF為平行四邊形，則麻V/CD,由（1）知：四，面PEC,

過。作OG，PC于點(diǎn)G,連結(jié)BG,NBG0就是二面角8-尸C—E的平面角，

即ZBGO=45,而8。=[,則BG=^,且3G_LPC,BC=1,故NBCP=45,

22

而上＞〃BC,由（1）知：AD_L面尸AB,則3c工面BAB，BPu面R4B,

所以3。，3尸，故在直角AB尸C中3P=1.

法二：因?yàn)?尸=，,今,1,8。=（1,0,0）,若平面3PC的法向量〃=（…），