初中九年級(jí)數(shù)學(xué) 圖形的位似(知識(shí)講解)

專題6.24圖形的位似(知識(shí)講解)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解圖形的位似，明確位似變換是特殊的相似變換；

2.能利用位似的方法，將一個(gè)圖形放大或縮小；

【要點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)1:位似圖形概念

如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，那么這

樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.

知識(shí)點(diǎn)2：位似圖形的性質(zhì)

(1)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；

(2)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

(3)位似圖形中不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.

特別說(shuō)明：

(1)位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形

未

必能構(gòu)成位似圖形.

(2)位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原

點(diǎn)為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.

知識(shí)點(diǎn)3：平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和位似四種變換的異同：

3.平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和位似四種變換的異同：

圖形經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱的變換后，雖然對(duì)應(yīng)位置改變了，但大小和形狀

沒(méi)有改變，即兩個(gè)圖形是全等的；而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的.

知識(shí)點(diǎn)4：作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn).

特別說(shuō)明：

位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位似

中心不同的畫法.

A

類型一、位似圖形的識(shí)別

fl.如圖是與ABC位似的三角形的幾種畫法，其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)判斷即可.

解：由位似圖形的畫法可得：4個(gè)圖形都是4ABe的位似圖形.

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的定義是解題關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形不是位似圖形的是（）

A.B.

【答案】D

【分析】根據(jù)位似圖形的定義解答即可.

解:A,8和C中的兩個(gè)圖形都是位似圖形,

A中的位似中心是點(diǎn)C,

B中的位似中心是點(diǎn)O,

C中的位似中心是點(diǎn)0.

只有選項(xiàng)。的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相不交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊不互相平行，故。不是位似圖像.

故選D

【點(diǎn)撥】本題考查的是位似變換，掌握兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線

相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形是解題的關(guān)鍵.

類型二、判斷位似中心

.如圖所示，將回ABC的三邊分別擴(kuò)大一倍得到回A1B1C1,（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上），

它們是以P點(diǎn)為位似中心的位似圖形，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(-4,-3)B.(-3,-3)C.(-4,-4)D.(-3,-4)

【答案】A

【分析】作直線A4/、BBj,這兩條直線的交點(diǎn)即為位似中心.

解：由圖中可知，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-4,-3).

故選A.

【點(diǎn)撥】用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)為位似中心.

舉一反三:

【變式】如圖，若AABC與的耳G是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)是()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)

【答案】C

【分析】根據(jù)位似中心的定義，連接位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，交點(diǎn)即為位似中心.

解：連接C1C,B1B,A1A并延長(zhǎng)，交點(diǎn)P即為所求，由圖可知：位似中心的坐標(biāo)是:

(0,-1),

故選：C.

【點(diǎn)撥】此題考查的是位似圖形及位似中心的定義，掌握位似中心的確定方法：位似圖

形的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)即為位似中心是解決此題的關(guān)鍵.

類型三、位似圖形的相關(guān)概念

.如圖，已知AABC與△￡>￡：/位似，位似中心為點(diǎn)。，且AABC的面積等于

4

面積的,，則A。：的值為（

C.4：9D.4：13

【答案】B

【分析】由AABC經(jīng)過(guò)位似變換得到ADEF,點(diǎn)O是位似中心，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得

至UAB：DO=2：3,進(jìn)而得出答案.

4

解：:△ABC與ADEF位似，位似中心為點(diǎn)O,且AABC的面積等于ADEF面積的

.AC2

=一，AC〃DF,

"DF~3

AOAC_2

DO~^F~3

AO_2

AD-I'

故選B.

【點(diǎn)撥】此題考查了位似圖形的性質(zhì).注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相

似比，其對(duì)應(yīng)的面積比等于相似比的平方.

舉一反三：

【變式】按如下方法，將△ABC的三邊縮小到原來(lái)的如圖，任取一點(diǎn)O,連結(jié)AO,

BO,CO,并取它們的中點(diǎn)。、E、F,得△DEF；則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.點(diǎn)。為位似中心且位似比為1：2

B.△ABC與△OEF是位似圖形

C.△ABC與是相似圖形

D.△ABC與△的面積之比為4：1

【答案】A

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得出①4ABC與ADEF是位似圖形進(jìn)而根據(jù)位似圖形

一定是相似圖形得出②AABC與ADEF是相似圖形，再根據(jù)周長(zhǎng)比等于位似比，以及根據(jù)

面積比等于相似比的平方，即可得出答案.

解：：如圖，任取一點(diǎn)O,連結(jié)AO,BO,CO,并取它們的中點(diǎn)D、E、F,得△DEF,

；.將4ABC的三邊縮小到原來(lái)的義，此時(shí)點(diǎn)0為位似中心且△ABC與ADEF的位

似比為2：1,故選項(xiàng)A說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；

△ABC與ADEF是位似圖形，故選項(xiàng)B說(shuō)法正確，不合題意；

△ABC與ADEF是相似圖形，故選項(xiàng)C說(shuō)法正確，不合題意；

△ABC與ADEF的面積之比為4：1,故選項(xiàng)D說(shuō)法正確，不合題意；

故選：A.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，正確的記憶位似圖形性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

類型四、位似圖形的相似比

它’4.如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心點(diǎn)是點(diǎn)0,誓='，則

OA5

S四邊形A3CD

A

【答案】.9

解：???四邊形A5?！跖c四邊形印GH位似，位似中心點(diǎn)是點(diǎn)0,

.EF0E_3

"AB-0A-5?

milS四邊形MG”=(OE.=32=2

S四邊形ABCD%525

故答案為:

【點(diǎn)撥】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系、相似多

邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

舉一反三:

【變式】如圖，ABC與VA?<7是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若OA=2A4',

S/UBC=8.則^AA'B'C=

【答案】18

【分析】由，ABC與,.A8C是位似圖形且由Q4=24V.可得兩位似圖形的位似比為

2：3,所以兩位似圖形的面積比為4：9,又由‘ABC的面積為8,得△49C'的面積

為18.

解：ABC與，是位似圖形,

.?.△ABCsAAFC,

q

.-ABC

SA'B'C

OA=2AA\

.OA_2AAr2

,^OA~2AAr+AAf~3

S^BC=8,

8

°A"B'C'

??SA'B'C'=1&

經(jīng)檢驗(yàn)：SA'B'C'=18符合題意.

故答案為：18.

【點(diǎn)撥】本題考查的是位似圖形的性質(zhì)，掌握利用位似圖形的面積之比等于相似比的平

方是解題的關(guān)鍵.

類型五、畫位似圖形放大后的的位似圖形

.在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是AL3),2(4,1),以1,1).

(2)畫出.ABC以點(diǎn)。為位似中心，位似比為1：2的4482^.

【答案】(1)如圖所示△44G為所求；見(jiàn)分析；(2)如圖所示AAB2c2為所求；見(jiàn)

分析.

【分析】

(1)將ABC的各個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)描出，連接即可.

(2)在二ABC同側(cè)和對(duì)側(cè)分別找到20A=OA2,2OB=OB2,20c=OC2所對(duì)應(yīng)的A2,

B2,C2的坐標(biāo)，連接即可.

解：(1)由題意知：..ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(1,3),B(4,1),

C(1,1),

則.ABC關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的必用。1的坐標(biāo)為Ai(1,-3),Bi(4,-1),

Ci(1,-1),

連接A1C1,A1B1,B1C1

得到△ABC.

如圖所示△AB。為所求；

(2)由題意知：位似中心是原點(diǎn)，

則分兩種情況：

第一種，"BG和,ABC在同一側(cè)

則A2(2,6),B2(8,2),C2(2,2),

連接各點(diǎn)，得△&與&.

第二種，2a在‘.ABC的對(duì)側(cè)

A2(—2,—6),B?(—8,—2),C2(—2,—2),

連接各點(diǎn)，得△4鳥(niǎo)a.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了位似中心、位似比和軸對(duì)稱相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，正確掌握位似中心、

位似比的概念及應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】如圖是3x5的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn),

以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形.

(1)圖1中的格點(diǎn)三角形ABC與格點(diǎn)三角形DEF相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由;

（2）請(qǐng)?jiān)趫D2中選擇適當(dāng)?shù)奈凰浦行漠嬕粋€(gè)格點(diǎn)三角形AB|G，使AaBC與，ABC位

似，且相似比不為L(zhǎng)

AB

圖2

【答案】（1）AABCsADEF,理由見(jiàn)分析；（2）△AgG如圖所示（答案不唯一），

見(jiàn)分析.

【分析】

（1）根據(jù)題意以及利用勾股定理求出三角形各個(gè)邊長(zhǎng)，然后進(jìn)一步得出對(duì)應(yīng)邊成比例

求證三角形相似即可；

（2）可選擇A點(diǎn)為位似中心，然后進(jìn)一步按要求畫出位似圖形即可.

解：（1）AABCs公DEF,理由如下：

由題圖，可知AB=l,BC=e,AC=?DE=&EF=?,DF=5,

則絲_生_型=正

DEEFDF5

AABCs^DEF；

（2）△A4G如圖所示:

【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定與位似圖形的作圖，熟練掌握相關(guān)概念是解

題關(guān)鍵.

類型六、求位似圖形對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)

.如圖，已知.ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是A（-5,5）,3（T1）,C（-2,3）.

（1）將一ABC繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得ABC，畫出4801，并寫出4、4、G的

坐標(biāo);

(2)..A芻Cz和.A5c關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，畫出482c2；

(3)以點(diǎn)。為位似中心，將,ABC縮小為原來(lái)的)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A3的坐

標(biāo).

55

【答案】(1)見(jiàn)分析，4(5,5),耳(1,4)、G(3,2)；(2)見(jiàn)分析；(3)&或

252

5_5

2，-2

【分析】

(1)分別作出點(diǎn)A、B、C繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接可

得;

(2)分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，順次連接可得;

(3)分兩種情況寫出即可.

解:(1)如圖所示，△/44G為所求；4(5,5)、4(1,4)、6(3,2)

(2)如圖所示，△人鳥(niǎo)G為所求

【點(diǎn)撥】本題主要考查作圖-中心對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換、位似變換，解題的關(guān)鍵是根據(jù)

中心對(duì)稱變換和位似變換的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，確定變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

舉一反三：

【變式】如圖，在平面直角坐標(biāo)系網(wǎng)格中，將AABC進(jìn)行位似變換得到△48/G.

(1)AA/B/G與AABC的位似比是；

(2)畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的222c2；

(3)設(shè)點(diǎn)尸(a,b)為AABC內(nèi)一點(diǎn)，則依上述兩次變換后，點(diǎn)尸在△A2&C2內(nèi)的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)P2的坐標(biāo)是.

【答案】⑴2；(2)作圖見(jiàn)分析；⑶(-2a,26).

【分析】

(1)根據(jù)位似圖形可得位似比即可；

(2)根據(jù)軸對(duì)稱圖形的畫法畫出圖形即可；

(3)根據(jù)三次變換規(guī)律得出坐標(biāo)即可.

解：(1)△48/。與AABC的位似比等于=鋁=2=2；

AB2

(2)如圖所示

>A

(3)點(diǎn)尸(a,b)為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，依次經(jīng)過(guò)上述兩次變換后，點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為

(-2a,2b).

考點(diǎn)：(1)、作圖-位似變換；(2)、作圖-軸對(duì)稱變換

類型七、坐標(biāo)系中的位似圖形

.如圖，分別以AABC的邊AC和2C為腰向外作等腰直角△D4C和等腰直角

△EBC,連接。E

(1)求證：ADAS4EBC；

(2)求AABC與△DEC的面積比.

【答案】(1)見(jiàn)分析；(2)1

【分析】

(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)證明△DACS^EBC；

(2)依據(jù)ADACsaEBC所得條件，證明AABC與AOEC相似，通過(guò)面積比等于相

似比的平方得到結(jié)果.

(1)證明：?.?△班C是等腰直角三角形

；?BC=BE,ZEBC=90°

：.ZBEC=ZBCE=45°.

同理NOAC=90。，ZADC=ZACD=45°

：.ZEBC=ZDAC=90°,ZBCE=ZAC￡)=45°.

/.△DAC^AEBC.

(2)解：：在R3ACO中，AC2+AD2=CD2,

：.2AC2=CD2

.ACA/2

,?=,

CD2

ADACsAEBC

.AC_DC

''~BC~~EC'

.ECDC

"BC-AC；

ZBCE=ZACD

：.ZBCE-ZACE=ZACD-ZACE,即ZBCA=ZECD,

4ECDC

?.,在△OEC和△ABC中，——=——，ZBCA=ZECD,

BCAC

：.△DECs^ABC,

：.S^ABC:S?DEC=(—=1.

UcJ2

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及相似三角形的面積比等于相似比的

平方，解題的關(guān)鍵在于利用(1)中的相似推導(dǎo)出第二對(duì)相似三角形.

舉一反三：

【變式】在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為40,2)、2(1,3)、C(2,l).

(1)在坐標(biāo)系中面出_ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A4G;

(2)在坐標(biāo)系中原點(diǎn)。的異側(cè)，畫出以O(shè)為位似中心與4ABe位似比為2的位似圖形

線；

(3)求出△4S2c2的面積.

【答案】(1)見(jiàn)分析⑵見(jiàn)分析(3)6

【分析】

(1)根據(jù)縱不變，橫相反，確定對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，依次連接各點(diǎn)，得到所求三角形；

(2)根據(jù)位似比，確定坐標(biāo)的絕對(duì)值，結(jié)合位置，確定坐標(biāo)，依次連線，得到所求三

角形；

(3)先計(jì)算SABC，利用面積之比等于相似比的平方，計(jì)算即可.

解：(1)：.ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(0,2)、2(1,3)、C(2,l),

.?.各點(diǎn)關(guān)于.軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)依次為4(0,2),用(-1,3),Q(-2,1),

畫圖如下：

則7X44儲(chǔ)即為所求.

(2)???"C的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為40,2)、8(1,3)、C(2,l),

二位似比為2時(shí)的位似點(diǎn)坐標(biāo)依次為4(0,-4),邑(-2,-6),C2(-4,-2),

則即為所求.畫圖如下：

1113

(3),?*S=2x2—x2x1—x2x1—xlx1=—,位彳以比為2,

2222

39

,,SA2g2c2=3*2=6.

【點(diǎn)撥】本題考查了關(guān)于y軸對(duì)稱，位似作圖，位似比的性質(zhì)，熟練掌握位似的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

類型八、坐標(biāo)系中的位似圖形

^^8.如圖，AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,3)、8(4,2)、C(2,1).

(1)在圖中以點(diǎn)。為位似中心在原點(diǎn)的另一側(cè)畫出AA8C放大2倍后得到的

并寫出4的坐標(biāo)；

(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出AABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的AA282c2.

(1)把每個(gè)坐標(biāo)做大2倍，并去相反數(shù)；

(2)橫縱坐標(biāo)對(duì)調(diào)，并且把橫坐標(biāo)取相反數(shù).

解：(1)如圖，為所作，A(-2,-6)；

舉一反三：

【變式】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,2),

B(-3,4)C(-2,6).

(1)由A(-1,2),B(-3,4)C(-2,6),可畫出△ABC