2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破第13講 雙變量問題

第13講雙變量問題經(jīng)過前面對(duì)極值點(diǎn)偏移的學(xué)習(xí),我們對(duì)雙元問題的解決有了一個(gè)深刻的認(rèn)識(shí),本節(jié)講解一般的雙元問題,其核心思路和極值點(diǎn)偏移的核心思路差不多,都需要把雙元問題轉(zhuǎn)換成一元問題來(lái)解決,其轉(zhuǎn)化方法類似前面極值點(diǎn)偏移總結(jié)的方法.

韋達(dá)代換消元

韋達(dá)代換消元是解決雙變量問題的常用方法,其題目特征是所求的雙變量為一元二次方程的兩個(gè)解,其一般解題步驟為:

第一步:找到兩個(gè)變量的關(guān)系,.

第二步:統(tǒng)一變量,把要求解的雙變量問題湊出韋達(dá),把根與系數(shù)的關(guān)系帶進(jìn)去,消掉參數(shù)和多余變量,統(tǒng)一為一元變量.

第三步:構(gòu)造函數(shù)求【解析】,構(gòu)造一元函數(shù),即按照一元函數(shù)的方式求解問題.

【例1】函數(shù),若,函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,求的取值范圍.

【解析】的定義域?yàn)?

設(shè)方程,即得兩根為,且. ..【例2】函數(shù).討論的單調(diào)性.(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),.證明:.【解析】(1)..

當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí),由【解析】得或.是增函數(shù),此時(shí)在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

(2)證明由(1)題知,.

令,.在上是減函數(shù),

【例3】函數(shù),且存在兩個(gè)極值點(diǎn),求證:.

【解析】證明由,.存在兩個(gè)極值點(diǎn),.

令得,是方程的兩個(gè)根.,

且.

不妨設(shè),則,.令,.在上單調(diào)遞增..

【例4】函數(shù).

(1)若時(shí)在上的最小值是,求.

(2)若,且是的兩個(gè)極值點(diǎn).證明:(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【解析】(1)定義域是.

令,對(duì)稱軸.,當(dāng)時(shí),..在上單調(diào)遞增.,

解得.

(2)證明由有兩個(gè)極值點(diǎn),則在上有2個(gè)不等的實(shí)根,即在上有2個(gè)不等的實(shí)根,則,解得..

當(dāng)時(shí),.

令,,

令,當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減..

即.在上單調(diào)遞減..原式成立,

即.

差式引參消元所謂差式引參消元就是找這樣的作差的式子,整體代換從而實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一變量,其一般解題步驟和“極值點(diǎn)偏移”的類似,通過變形,構(gòu)造出,令,引人參數(shù),用參數(shù)表示出變量,進(jìn)而構(gòu)造出一元函數(shù).

【例1】已知函數(shù),若,且,求證:.

【解析】證明由,且得..

設(shè),則.

可得.要證,即證..只需證.

設(shè),

則.

令,則.

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.,即,在上單調(diào)遞增..【例2】已知函數(shù),若的兩個(gè)零點(diǎn)為且,求的取值范圍.【解析】由題意,.

設(shè).

令,.

又,在上單調(diào)遞減.的取值范圍為.

齊次分式引參消元所謂齊次分式引參消元,其步驟與“極值點(diǎn)偏移”的類似,先根據(jù)已知條件變形出,然后令,用參數(shù)表示出變量,進(jìn)而構(gòu)造一元函數(shù),將關(guān)于待求的問題轉(zhuǎn)化為的函數(shù)問題.

【例1】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的最大值.

(2)若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn).證明.

【解析】(1)函數(shù)定義域是,由題意.

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.時(shí),取得唯一的極大值,也是最大值,即.

(2)證明由(1)題知,即時(shí),有兩個(gè)零,點(diǎn),則.

由得.

令,則,顯然成立.

要證,即證,

只要證,即證.

令..

令,則.

令,.

令,時(shí),是減函數(shù),時(shí),.是減函數(shù),,

即.是減函數(shù),.在時(shí)是減函數(shù),,即.在上是減函數(shù),.,即.

綜上,成立.

【例2】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【解析】.由得.

兩式相除可得.令,則.，則令.令.在上單調(diào)遞減.,即0,因此在上單調(diào)遞減..又在上單調(diào).齊次分式整體代換消元所謂齊次分式整體代換消元就是變形出齊次分式,然后整體代換得出一元函數(shù)求解,一般步驟和“極值點(diǎn)偏移”的類似,通過將所有涉及的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子,整體代換,構(gòu)造關(guān)于的一元函數(shù)來(lái)求解.

【例1】已知函數(shù)為常數(shù),若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).證明:.【解析】證明法一:齊次分式整體代換消元

不妨設(shè),

欲證明,即證.,即證.原命題等價(jià)于證明,即證.

令,設(shè)函數(shù),則,為上的增函數(shù).注意到,因此,.

于是,當(dāng)時(shí),有.成立,.

法二:參變分離換分式引參消元

設(shè),則,

反解出:,

故

2.轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求解,同上,略.

【例2】設(shè),若有兩個(gè)相異零點(diǎn),且,求證:.

【解析】證明是方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,,

兩式相減得,

解得.

要證,

即證,即證.

即證.

令,則只需

證.

設(shè),.

令,.在上為減函數(shù)..在上為增函數(shù),.

即在上恒成立，.【例3】已知函數(shù)R)有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(2)求證:.

【解析】(1)函數(shù)

的定義域?yàn)?

令得,可得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

又當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,

故欲使有兩個(gè)零點(diǎn),只需,即.

(2)證明不妨設(shè),則由(1)題可知,

且,

兩式相減可得.

欲證,即證.

設(shè),則即證.構(gòu)造函數(shù),

則,在上單調(diào)遞增,故.,原不等式得證.

【例4】設(shè)函數(shù),若且方程,在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,,求證:.

【解析】證明方程即,在上有兩個(gè)不等實(shí)根和.

不妨設(shè),

則,=1\*GB3①,=2\*GB3②

=1\*GB3①=2\*GB3②得,

欲證,

只需證.,,

則,

即需證:,

整理得,即證.令,設(shè),則,顯然在上半調(diào)遞增.,故原命題得證.

同構(gòu)函數(shù)單調(diào)性證明

同構(gòu)函數(shù):變量分離后若結(jié)構(gòu)相同,則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造一個(gè)函數(shù),進(jìn)而通過函數(shù)的單調(diào)性與自變量大小來(lái)證明不等式.

【例1】已知函數(shù)是函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn),且滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【解析】,對(duì)于任意的,取,則,

則由可得,

變形得恒成立,令

則在上單調(diào)遞增.

故在上恒成立.在