2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式（解析版）

專(zhuān)題02不等式

一'知識(shí)速覽

知識(shí)點(diǎn)1等式的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)2不等式的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)3一元二次不等式的解集

1、重要不等式

知識(shí)點(diǎn)4基本不等式2、基本不等式

3、利用基本不等式求最值

二'考點(diǎn)速覽

知識(shí)點(diǎn)1等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)文字表述性質(zhì)內(nèi)容注意

1對(duì)稱(chēng)性a=bob=a可逆

2傳遞性a=b,b=c0a=c同向

3可加、減性a=boa七c二b±c可逆

4可乘性a=b=ac=bc同向

7cab

5可除性a=〃,cwU=>—=—同向

cc

知識(shí)點(diǎn)2不等式的性質(zhì)

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意

1對(duì)稱(chēng)性a>b=b<a可逆

2傳遞性a>b,b>c=>a>c同向

3可加性a>boa+c>b+c可逆

a>b,c>O=>ac>bc

4可乘性C的符號(hào)

a>b,c<O=>ac<bc

5同向可加性a>b,c>d=>a+c>b+d同向

6正數(shù)同向可乘性a>b>0fc>d>O=>ac>bd同向

7正數(shù)乘方性a>b>O=^an>bn(n￡N,n>2)同正

知識(shí)點(diǎn)3一元二次不等式的解集

判別式/=〃-4acJ>0J=0J<0

y

Ab二

二次函數(shù)y=ax^+bx

+c(a>0)的圖象xbl/2

MX

0

有兩相等實(shí)根X[—X2

方程加+Z?x+c=O有兩相異實(shí)根羽，

__b_沒(méi)有實(shí)數(shù)根

3>0)的根X2(%1<%2)

2a

d!x2+Z?x+c>0(a>0)

{X\X<X1或X>X2}{x|x￡R}

的解集

ax2+bx+c<0(a>0)

{X\X1<X<X2]00

的解集

知識(shí)點(diǎn)4基本不等式

1、重要不等式：a2+廿22ab(a,beR),(當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時(shí)取"="號(hào)).

變形公式：2(a2+Z?2)>(a+/?)2(a,b^R)

2、基本不等式：yfab<a+^

2

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).

(3)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為小,幾何平均數(shù)為J法，

2

基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

3、利用基本不等式求最值

已知x>0,y>0,則

（1）如果積犯是定值0,那么當(dāng)且僅當(dāng)尤=>時(shí)，x+y有最小值2g.（簡(jiǎn)記：積定和最?。?/p>

（2）如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，孫有最大值］.（簡(jiǎn)記：和定積最大）

I,?=n

［方法技巧J

一、比較兩數(shù)（式）大小的方法

1、作差法：

（1）原理：設(shè),則a-Z?>Ooa>Z?；a-b=boa=b；a-b<O<^a<b；

（2）步驟：作差并變形n判斷差與0的大小n得出結(jié)論。

（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形。

2、作商法：

（1）原理：設(shè)a>03>0,則q>1=?！等耍?=l^a=b；-<l^a<b

bbb

（2）步驟：作商并變形n判斷商與1的大小n得出結(jié)論。

（3）注意：作商時(shí)各式的符號(hào)應(yīng)相同，如果均小于0,所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相

反，變形方法有分母（分子）有理化，指、對(duì)數(shù)恒等變形。

【典例1】（2023秋?河南許昌?高三?？计谀┮阎?-/一2。+3,〉=4-3。，則（）

A.x<yB.x=yc.x>yD.x與y的大小無(wú)法判斷

【答案】A

【解析】因?yàn)閤=-q2-2a+3,y=4-3。，

所以x_y=_a2+q_］=_（q_；）--1<0,故x<y.故選:A.

【典例2】（2022秋?河北石家莊?高三開(kāi)學(xué)考試）若實(shí)數(shù)加，n,P滿足加=4%，”=53，。=/，則（）

m<

A.p<m<nB.p<n<mc.P<^D.p〈m

【答案】A

【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)加，”，。滿足根=4%，n=5e^

3

m4e54/

所以—=—^-=—e15<1,..m<〃；

〃二5

5e3

3

m4/2—

又5=j"=g.e5>1,;,m>p.p<m<n,故選：A.

二、利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍

已知MM,M2<f2（a,b）<N2,求g（a,b）的取值范圍

第一步：設(shè)g（a,b）=pfi（a,b）+qf2（a,b）；

第二步：經(jīng)過(guò)恒等變形，求得待定系數(shù)p,q；

第三步：再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得g（a,b）的取值范圍。

【典例1】（2023秋?廣東?高三校聯(lián)考期末）已知lVa—6V3,貝|5a+b的取值范圍為（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

【答案】D

,、/\[m+n=5fm=2

【解析】設(shè)=+=+所以JnJ,

In—in—1IM—3

貝！]5a+b=2（a-Z?）+3（a+b）,又14a-6<3,3<a+b<l

所以2<2（a—Z?）<6,9<3（a+Z,）<21,

由不等式的性質(zhì)得：HW2（a—6）+3（a+6）W27,

則5a+b的取值范圍為[11,27].故選：D.

【典例2】（2022秋.湖南長(zhǎng)沙.高三雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）已知24。-6<4,4<a+6W8,則5a+b的取值

范圍是（）

A.[16,32]B.[15,36]C.[12,30]D.[16,30]

【答案】A

【解析】H5tz+Z?=2（a—Z?）+3（a+b）,^2<a—b<4,4<a+b<8,

則4W2（a—6）<8,12<3（a+b）<24,即16<2（a—8）+3（a+b）432,16<5tz+Z;<32,

所以5a+6的取值范圍是[16,32].故選：A

三、解一元二次不等式的步驟

第一步：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；

第二步：寫(xiě)出相應(yīng)的方程狽2+云+。=0（。>0）,計(jì)算判別式A：

①A>0時(shí)，求出兩根％、x2,且西<々（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）；

②△=（）時(shí)，求根匹=%=_2；

2a

③A<0時(shí)，方程無(wú)解

第三步：根據(jù)不等式，寫(xiě)出解集.

【典例1】(2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知全集。=R,集合4={尤|尤2-3%<4卜

B={.x||x|>2},貝()

A.(-2,4)B.(-4,2)C.(-2,2)D.(-4,4)

【答案】A

【解析】由尤2—3X<4,BP(X+1)(X-4)<0,解得

所以A=H尤Z-3x<4^={R-l<無(wú)<4},

由國(guó)22,解得x22或x4-2,

所以5={x]?2}={x\x>2^x<-2],所以藥8=3-2<x<21,

所以(藥3)uA={R-2<x<4}.故選：A

【典例2】(2022秋?陜西西安.高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))解不等式:

九+]

(1)—X2+4x+5>0;(2)%2—2ax<—a2+1;(3)-----23.

2-x

【答案】(1)|x|-l<x<5}；(2)(x|a-\<x<a+\^；(3)<x<

【解析】(1)—%2+4%+5>0可化為％2_4%_5〈o,即5)<0,解得一1<%<5,

???原不等式的解集為{x|-l<x<5}.

(2)x2—2ax+/—1<0[x-(a+1)][%-(a-1)]—0a-+1,

；?原不等式的解集為{Na-

x+1x+14x-54x-5

(3)之3o—3200>0<^><0

2—%2—x2—xx—2

(4x-5)(%-2)<0^

o

x-2wO

原不等式的解集為<x<2

四、利用基本不等式求最值的方法

1、直接法：條件和問(wèn)題間存在基本不等式的關(guān)系

2、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式。

3、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況

類(lèi)型1：分母為單項(xiàng)式,利用“1”的代換運(yùn)算，也稱(chēng)乘“1”法；

類(lèi)型2：分母為多項(xiàng)式時(shí)

方法1：觀察法適合與簡(jiǎn)單型，可以讓兩個(gè)分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關(guān)系;

方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，

如分母為3a+4）與a+3Z?,分子為a+2Z>,

設(shè)a+2Z>=X（3a+4Z?）+〃（a+33）=（3X+〃）a+（4X+3〃）匕

A=-

34+u=\,解得：\5

42+3〃=22

4、消元法：當(dāng)題目中的變?cè)容^多的時(shí)候，可以考慮削減變?cè)D(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問(wèn)題。

5、構(gòu)造不等式法：尋找條件和問(wèn)題之間的關(guān)系，通過(guò)重新分配，使用基本不等式得到含有問(wèn)題代數(shù)式的

不等式，通過(guò)解不等式得出范圍，從而求得最值。

【典例1】（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知0<x<?,則/，1一2人的最大值為.

【答案】正

4

【解析】0<x<與>0,1-2/>0,

當(dāng)且僅當(dāng)2/=1一2/,即x時(shí)等號(hào)成立.故答案為：立.

24

1-Y2

【典例2】（2022秋?浙江紹興?高三紹興一中?？茧A段練習(xí)）已知x>0,y>0,+則^的

y

最小值是（）

A.2B.2+V3C.逐+2D.2近+2

【答案】D

【角軍析】X>o,J>0,.?.丁+,3=%_>〉0,即有_21=1且x>y,

33

x+y2(i

將'i代入匕=得匕X二x=1+y2二①_

%-yy/,2孫_/x_1

y

令討>1，/（，）=*"I

r2+l_(r2-l)+222

,,/(')==/+l+——=(Z-1)+——+2

t-1t-\t-lt-l

Q1>1,「.（，-1）H-------F222+2

t-l

當(dāng)且僅當(dāng)?「W，即好友+i時(shí)等號(hào)成立,

2i］—丫2_

所以/⑺=f*?>1）的最小值2應(yīng)+2,即彳卜的最小值是2血+2.故選：D.

【典例31（2023?海南?？?海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知a>0,>>0,且。+26=2,貝卜)

I4

A.的最大值為3B.〃+—的最小值為4

za

21

C./+4"的最小值為2D.士+；的最大值為4

ab

【答案】AC

【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椤?gt;0,b>0,〃+2b=2,

由基本不等式可得，a+2b>2^2ab,當(dāng)且僅當(dāng)Q=2b=l時(shí)取等號(hào),

所以浦4普］=L故A正確；

12H2

對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)基本不等式可得。+&22、［4=4,

a\a

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)5=0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)基本不等式可得〃+4/29±也=2,當(dāng)且僅當(dāng)〃=2"=1時(shí)取等號(hào)，故C正

2

確；

對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)基本不等式可得2+?=”尹=224,當(dāng)且僅當(dāng)。=2。=1時(shí)取等號(hào)，

ababab

21

所以，一+7的最小值為4,故D不正確.故選：AC.

ab

五、不等式恒成立與能成立問(wèn)題

一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解:

1、VxeD,機(jī)向口

2、V%eD,加1mx

3、Bx&D,nzW/(x)omW/(x)1mx

4、3XG￡),加2/⑴=心/⑴.

14

【典例1】(2023秋?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南師大附中校考階段練習(xí))正實(shí)數(shù)無(wú)，滿足一+一=2,且不等式

%)

x+B//恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為---------.

【答案】[-1,2]

【解析】因?yàn)椴坏仁綗o(wú)+手加一機(jī)恒成立，所以(無(wú)+、二.一3〃7,

14

因?yàn)椋?gt;O,y>0,且一+—=2,

Xy

i+1-2\lyi+12,

9rv

當(dāng)且僅當(dāng)7=3,即x=1，y=4時(shí),等號(hào)是成立的,

所以（x+5）而。=2,所以加2一根42,BP（m+l）（m-2）<0,解得-1W機(jī)W2.

故答案為：[T,2]

【典例2】（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知x》4,y>4,>x+4y-xv=0,若不等式aWx+y恒成立，貝I］

?的最大值為.

…山、28

【答案】y

【解析】當(dāng)x=4時(shí)，x+4y-孫=4+4y-4y=0不成立，所以"4.

X

由％+4）一兀懺。得y=------.

x-4

X164

因?yàn)椋?,y>4,所以，7>4,解得4<%<工，即0<%-4?：.

x-433

u「［、［/xx_4+44.4

所以Q<x+y=XH--------=x-\--------------=X+1H--------=x-4-\----------1-5,

x-4x-4x-4x-4

44

令A(yù)，=%-4,則0</?一，于是—+5.

3t

44

令/（f）=f+—+5,0</<-,貝！|。V/?）1n?

t3111

由對(duì)勾函數(shù)的圖象知，/⑺在［0,g上單調(diào)遞減，故/⑺mm=/（g］=g+3+5=g.

9QOROR

所以即。的最大值為年.故答案為：y.

【典例3】（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于尤的不等式2》-1>加卜2-1）.若不等式對(duì)于加目-2,2］恒成

立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍

【答案】

【解析】由題知，設(shè)/?=（尤'-I），〃-（2x-l）,

當(dāng)〃ze［—2,2］時(shí)，恒成立.

2X2-2X-1<0

當(dāng)且僅當(dāng)

—2犬2—21+3<0

解得!且或且尤〉

222222

貝u士立<x<匕且.

22

所以X的取值范圍是一》|二?夕<”<上乎；

易混易錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)1忽視不等式性質(zhì)成立的條件

點(diǎn)撥：在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時(shí)一定要注意前提條件，如不等式兩端同時(shí)乘以或同時(shí)除以

一個(gè)數(shù)、式，兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)〃次方時(shí)，一定要注意使其能夠這樣做的條件.

【典例1】（2023?湖南邵陽(yáng)?統(tǒng)考三模）（多選）a/eR,則下列命題中，正確的有（）

A.若a>。，則=>二B.若曲=4,貝1J/+/28

cc

C.若a>b,貝！Jabv/D.若a>b,c>d,則a-d>Z?-c

【答案】BD

【解析】對(duì)于A：若c=0,則二，上無(wú)意義，故A錯(cuò)誤；

CC

對(duì)于B：若次?=4,則/十廿Z2H?=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=±2時(shí)，等號(hào)成立，故B正確;

對(duì)于C：由于不確定。的符號(hào)，故無(wú)法判斷，

例如"=0,6=-1,貝!JIO=Q2=O,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若a>b,c>d,則—d>—c,

所以故D正確；故選：BD.

【典例2】（2023?湖南永州?統(tǒng)考三模）（多選）已知。,4C￡R,下列命題為真命題的是（）

A.若Z?<a<0,則》3dB.若b>a>0>。，貝(J—<—

ab

_-M-i八I-..Iaa+c

C.若則---->----D.右a>b>c>0,貝----

c-ac-bbb+c

【答案】BD

【解析】對(duì)于A項(xiàng)，ac2-be2=c2（a-b）,因?yàn)閆?<Q<0,所以。一/?>0,所以c?2。

所以，（a—b）zo,即：<a.c,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，￡_/「\"),因?yàn)閎>a>0>c,所以C(6-4)<0,ab>0,

abab

所以。=選辿<0,即：-<f,故B項(xiàng)正確;

ababab

ab_c(a-b)

對(duì)于C項(xiàng),因?yàn)椤?gt;b>a>0,所以C—Q>0,c-b>0,a-b<0,

c-ac-b(c-a)(c-b)

abc(a-b)八「ab

所以------=——-----------<0,gn.<故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

c-ac-b(c-a)(c-b)~^a~c^b'

對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)槭產(chǎn)+c_a(b+c)-b(a+c)_(a-b)c

b+cb(b+c)b(b+c)

又因?yàn)閍>b>c>0,所以a—Z?>0,b+c>0f

所以E>。，即：rHf'故D項(xiàng)正確?故選：BD

易錯(cuò)點(diǎn)2忽視不等式中參數(shù)的取值范圍

點(diǎn)撥：對(duì)于最高項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)的問(wèn)題，一定要注意討論當(dāng)最高項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)，是否符合題意。

【典例1]（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）下列不等式證明過(guò)程正確的是（）

A.若a,6eR,則2+32.巴=2B.若x>0,y>0,貝!IIgx+lgyE2jlgx-lgy

C.若x<0,貝IJX+]2-2小%m=-4D.若x<0,則2工+2-*>242*-2-*=2

【答案】D

【解析】?.?2：可能為負(fù)數(shù),如y=_i時(shí),:+：=_2,；.A錯(cuò)誤;

ababab

?.,lgx,lgy可能為負(fù)數(shù)，如lg%=lgy=—l時(shí)，lgx+lgy=_2,2jlgx-1gy=2,，B錯(cuò)誤；

444

x<0,—<0,如尤=-1,—=-4時(shí)，xH—=—5<—4,；.C錯(cuò)誤；

xxx

'：x<0,2Xe(0,l),2-x>1,；.2*+>2,2,?=2，

當(dāng)且僅當(dāng)2工=2-*,即x=0等號(hào)成立，；.D正確.故選：D.

【典例2】(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))(多選)下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.不等式z2"與審2疝成立的條件是相同的.

B.函數(shù)y=x+°的最小值是2

X

C.函數(shù)y=sinx+」一，xe的最小值是4

sinx'Z)

VX

D."x>0且y>0”是“」+二22”的充分條件

xy

【答案】ABC

【解析】不等式"+加上2"成立的條件是a/eR；疝成立的條件是0/20,A錯(cuò);

由于xe(-co,0)u(0,??),故函數(shù)y=x+°無(wú)最小值，B錯(cuò)；

X

44

由于sin%=1—時(shí)sinx=2無(wú)解，i^y=sinx+-一的最小值不為4,C錯(cuò)；

sinxsmx

當(dāng)x>0且y>。時(shí)，一>0,—>0,

由基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立；

%y

VX

而2+—22”的充要條件是“孫>0”，

%y

因?yàn)闊o(wú)>0,、>0=>孫>。且個(gè)>。推不出]>0且y>0,所以D正確.故答案為：ABC

易錯(cuò)點(diǎn)3忽視基本不等式應(yīng)用的條件

2

點(diǎn)撥：（1）利用基本不等式a+處2府以及變式4《學(xué)）等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意mb為正數(shù)（或a,

b非負(fù)），特別要注意等號(hào)成立的條件.

（2）對(duì)形如y=ar+5（a,6>0）的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意ar,三同號(hào).

【典例1】（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知命題p：“VxGR,（a+l）尤2—2（a+l）x+3>0”為真命題，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是（）

A.—1<。<2B.a>\C.a<—1D.—\<a<2

【答案】D

【解析】當(dāng)〃=—1時(shí)，3>0成立；

6Z+1>0

當(dāng)今一1時(shí)，需滿足人,八2…八C，解得一ka<2.

△=4（a+l）—12（〃+1）<0

綜上所述，一上。<2,故選：D

【典例2】（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）不等式（〃z+l）f-mr+〃Ll<。的解集為0,則垃的取值范圍

是.

【答案】］￥，+，

【解析】???不等式（帆+1）%2-儂:+加一1<。的解集為0,

二.（機(jī)+1卜2一如+加一1N0恒成立.

①當(dāng)m+1=0,即機(jī)=-1時(shí)，不等式化為1-220,

解得：x>2,不是對(duì)任意xeR恒成立，舍去；

②當(dāng)m+1。0,即加。一1時(shí)，對(duì)任意xeR,

要使+1）Y-mx+m-l>0,

只需m+1>0且△=（一加J-4（m+l）（m-l）<0,解得：

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是~^~,+co.故答案為：］2￡，+°°）

易錯(cuò)點(diǎn)4解分?jǐn)?shù)不等式忽略分母不為零

點(diǎn)撥：解含有分?jǐn)?shù)的不等式，在去分母時(shí)要注意分母不為零的限制條件，防止出現(xiàn)增解，如

g（x）Ig（x）K0

【典例1】（2023.上海普陀.曹楊二中?？寄M預(yù)測(cè)）不等式上20的解集是______.

X-1

【答案】（1,+?）」。}

【解析】因?yàn)樯?0,所以解得x>l或》=0，

x-11x-1^0

所以不等式的解集是（1,口）{0}.

故答案為：（1，田）j{0}

【典例2】（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）下列不等式中與不等式12。同解的是（）

2-x

（x-3）（2-x）

A.（x-3）（2-^）>0B.a>1（0<a<1）C..^—^>0D.10gli（無(wú)一2）40（。>1）

Vx-3

【答案】D

【解析】不等式二20等價(jià)于（尤―3）（2—耳之。且2—xw。，

2-x

r_a

即得