古典概型的應(yīng)用 高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊

高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊第1課時古典概型的概率計算公式及其應(yīng)用第七章概率2.2古典概型的應(yīng)用課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解古典概型的定義及兩個基本特征.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握古典概型的概率計算公式,會求古典概型事件的概率.(數(shù)學(xué)運算)3.會根據(jù)實際問題建立概率模型,并能利用古典概型的概率計算公式進(jìn)行計算.(數(shù)學(xué)建模)激趣誘思齊王與田忌賽馬,田忌的上馬優(yōu)于齊王的中馬,劣于齊王的上馬,田忌的中馬優(yōu)于齊王的下馬,劣于齊王的中馬,田忌的下馬劣于齊王的下馬.現(xiàn)各出上、中、下三匹馬分別進(jìn)行一場比賽,勝兩場以上(含兩場)即為獲勝.若齊王知道田忌馬的出場順序,他獲勝的概率是多大?如田忌知道齊王馬的出場順序,他能獲勝嗎?若雙方均不知對方馬的出場順序,你能探求田忌獲勝的概率嗎?知識點撥一、古典概型1.對于隨機(jī)事件A,通常用一個數(shù)P(A)(0≤P(A)≤1)來表示該事件發(fā)生的可能性大小,這個數(shù)就稱為隨機(jī)事件A的概率.2.一般地,若試驗E具有如下特征:(1)有限性:試驗E的樣本空間Ω的樣本點總數(shù)有限,即樣本空間Ω為有限樣本空間;(2)等可能性:每次試驗中,樣本空間Ω的各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等.則稱這樣的試驗?zāi)Ｐ蜑楣诺涓怕矢判?簡稱古典概型.名師點析古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)一個試驗是否為古典概型,在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點:有限性和等可能性,并不是所有的試驗都是古典概型.下列三類試驗不是古典模型:(1)樣本點個數(shù)有限,但非等可能;(2)樣本點個數(shù)無限,但等可能;(3)樣本點個數(shù)無限,也非等可能.微練習(xí)下列試驗中,是古典概型的是(

)A.種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽B.從規(guī)格直徑為(250±0.6)mm的一批合格產(chǎn)品中任意取一件,測量其直徑C.拋擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣,觀察其出現(xiàn)正面或反面D.某人射擊中靶或不中靶答案C二、古典概型的概率計算公式對古典概型來說,如果樣本空間Ω包含的樣本點總數(shù)為n,隨機(jī)事件A包含的樣本點個數(shù)為m,那么事件A發(fā)生的概率為要點筆記使用古典概型概率公式的注意事項(1)首先判斷該模型是不是古典概型;(2)找出隨機(jī)事件A所包含的樣本點的個數(shù)和試驗中樣本點的總數(shù).微練習(xí)有5支彩筆(除顏色外無差別),顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支,則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(

)解析選取兩支彩筆的方法有10種,即(紅、黃),(紅、藍(lán)),(紅、綠),(紅、紫),(黃、藍(lán)),(黃、綠),(黃、紫),(藍(lán)、綠),(藍(lán)、紫),(綠、紫),含有紅色彩筆的選法有4種,即(紅、黃),(紅、藍(lán)),(紅、綠),(紅、紫),由古典概型的概率計算公式,得滿足題意的概率為答案C探究一古典概型的判斷例1判斷下列概率模型是否屬于古典概型.(1)在區(qū)間[0,2]上任取一點;(2)從甲地到乙地共有10條路線,某人從中任選一條;(3)任意拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,所得點數(shù)之和作為基本事件.分析從有限性和等可能性兩個方面入手,對每個概率模型進(jìn)行判斷.解(1)區(qū)間[0,2]包含無窮多個點,從[0,2]上任取一點時,有無窮多種取法,不滿足有限性,因此這不是古典概型.(2)從甲地到乙地共有10條路線,某人從中任選一條,共有10種選法,滿足有限性,又每一條路線被選中的可能性是相同的,滿足等可能性,因此這是古典概型.(3)任意拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,點數(shù)之和共有11種,即點數(shù)之和分別是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,滿足有限性,但這11種結(jié)果不是等可能出現(xiàn)的,不滿足等可能性,故這不是古典概型.反思感悟古典概型的判斷方法判斷一個試驗是不是古典概型,關(guān)鍵看它是否具備古典概型的兩個特征:(1)一次試驗中,可能出現(xiàn)的樣本點只有有限個,即有限性;(2)每個樣本點出現(xiàn)的可能性是均等的,即等可能性.變式訓(xùn)練1下列試驗不是古典概型的是

.(填序號)

①從6名同學(xué)中任選4人,參加數(shù)學(xué)競賽;②近三天中有一天降雨;③從10人中任選兩人表演節(jié)目.解析①③為古典概型,它們符合古典概型的兩個特征:有限性和等可能性.②不符合等可能性.答案②探究二古典概型概率的求解例2袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號為a,b的2個黑球和編號為c,d,e的3個紅球,從中任意摸出2個球,寫出試驗的樣本空間,并求至少摸出1個黑球的概率.分析寫試驗的樣本空間時要逐一寫出,用古典概型的概率公式可得概率.解試驗的樣本空間為Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},n=10.記“至少摸出1個黑球”為事件A,則事件A包含7個樣本點,即至少摸出1個黑球的概率為0.7.延伸探究袋子中有紅、白色球各1個,每次任取一個,有放回地摸三次,寫出試驗的樣本空間,并計算下列事件的概率:(1)三次顏色恰有兩次同色;(2)三次顏色全相同;(3)三次摸到的紅球多于白球.解試驗的樣本空間Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,白),(紅,白,紅),(白,紅,紅),(紅,白,白),(白,紅,白),(白,白,紅),(白,白,白)}.樣本點總數(shù)n=8.(1)記事件A為“三次顏色恰有兩次同色”.∵A中含有的樣本點數(shù)m1=6,(2)記事件B為“三次顏色全相同”.∵B中含有的樣本點數(shù)m2=2,(3)記事件C為“三次摸到的紅球多于白球”.∵C中含有的樣本點數(shù)m3=4,探究三古典概型的綜合問題例3編號分別為A1,A2,…,A16的16名籃球運動員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下:運動員編號A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834運動員編號A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)將得分在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格:區(qū)間[10,20)[20,30)[30,40]人數(shù)

(2)從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員中隨機(jī)抽取2人,①用運動員編號列出所有可能的抽取結(jié)果;②求這2人得分之和大于50的概率.解(1)由得分記錄表,從左到右應(yīng)填4,6,6.(2)①得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員編號為A3,A4,A5,A10,A11,A13.從中隨機(jī)抽取2人,所有的樣本點有(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10),(A3,A11),(A3,A13),(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A4,A13),(A5,A10),(A5,A11),(A5,A13),(A10,A11),(A10,A13),(A11,A13),共15個.②從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員中隨機(jī)抽取2人,將“這2人得分之和大于50”記為事件B,則事件B包含的樣本點有(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A5,A10),(A10,A11),共5個.反思感悟古典概型綜合問題的解題方法(1)要深刻理解問題所涉及的其他數(shù)學(xué)知識,在理解題意的基礎(chǔ)上結(jié)合古典概型的概率計算公式進(jìn)行求解.(2)古典概型信息遷移題通過給出一個新概念或定義一種新運算或給出幾個新模型等來創(chuàng)設(shè)新的問題情境,要求同學(xué)們在閱讀理解的基礎(chǔ)上,應(yīng)用所學(xué)的知識和方法,實現(xiàn)信息的遷移,以達(dá)到靈活解題的目的.變式訓(xùn)練2(1)設(shè)a,b∈{1,2,3},則函數(shù)f(x)=x2+bx+a無零點的概率為

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(2)“漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)(如2578),在兩位的“漸升數(shù)”中任取一個數(shù)比37大的概率是

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解析(1)由題意知本題是一個古典概型問題,試驗的樣本點有3×3=9(個).樣本點要滿足b2-4a<0,即b2<4a.從所給的數(shù)據(jù)中,當(dāng)b=1時,a有3種結(jié)果;當(dāng)b=2時,a有2種結(jié)果;當(dāng)b=3時,a有1種結(jié)果.綜上所述,共有3+2+1=6(個)樣本點,(2)十位是1的“漸升數(shù)”有8個,十位是2的“漸升數(shù)”有7個,…,十位是8的“漸升數(shù)”有1個,所以兩位的“漸升數(shù)”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個);以3為十位數(shù),比37大的“漸升數(shù)”有2個,分別以4,5,6,7,8為十位數(shù)的“漸升數(shù)”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15(個),所以比37大的兩位“漸升數(shù)”共有2+15=17(個).故在兩位的“漸升數(shù)”中任取一個數(shù)比37大的概率是素養(yǎng)形成變換角度,巧解古典概型典例甲、乙、丙、丁四名學(xué)生按任意次序站成一排,則甲站在邊上的概率為

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解析(方法一)如圖所示.由圖可看出共有24個樣本點.甲站在邊上有12個樣本點:(甲,乙,丙,丁),(甲,乙,丁,丙),(甲,丙,乙,丁),(甲,丙,丁,乙),(甲,丁,乙,丙),(甲,丁,丙,乙),(乙,丙,丁,甲),(乙,丁,丙,甲),(丙,乙,丁,甲),(丙,丁,乙,甲),(丁,乙,丙,甲),(丁,丙,乙,甲).故甲在邊上的概率為(方法二)甲、乙、丙、丁四人站隊,排頭和排尾的站法共有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲),(乙,丙),(丙,乙),(乙,丁),(丁,乙),(丙,丁),(丁,丙)12個樣本點,其中甲站在邊上的情況有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲)6個樣本點,故甲站在邊上的概率為反思感悟1.從不同的角度把握問題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不同的古典概型,這是我們進(jìn)行概率計算的重要思想.當(dāng)所選取的試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果的角度不同時,樣本點的個數(shù)也將不同,但是最終所求概率的值是確定的.2.在寫試驗的所有可能結(jié)果時,務(wù)必弄清問題的本質(zhì),選取合適的著眼點,有時需要“放短”眼光,只考慮影響某次試驗結(jié)果的事件總數(shù)即可,如本例可只考慮排頭和排尾兩個特殊位置.變式訓(xùn)練用三種不同的顏色給圖中的3個矩形隨機(jī)涂色,且每個矩形只涂一種顏色,求:(1)3個矩形顏色都相同的概率;(2)3個矩形顏色都不同的概率.解用三種不同的顏色給圖中的3個矩形隨機(jī)涂色,共有27個樣本點,如圖所示.(1)記“3個矩形顏色都相同”為事件A,由圖可知,事件A包含的樣本點有3個,(2)記“3個矩形顏色都不同”為事件B,由圖可知,事件B包含的樣本點有6個,當(dāng)堂檢測1.下列試驗中,是古典概型的個數(shù)為(

)①種下一?；ㄉ?觀察它是否發(fā)芽;②向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣,觀察正面向上的概率;③在正方形ABCD內(nèi)任意一點P,點P恰與點C重合;④從1,2,3,4四個數(shù)中,任取兩個數(shù);⑤在區(qū)間[0,5]上任取一點.A.0 B.1 C.2 D.3解析只有④是古典概型.答案B2.從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是

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解析從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)記為(a,b),則有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,8),(8,3),(3,9),(9,3),(8,9),(9,8),共12個樣本點,其中符合logab為整數(shù)的有l(wèi)og39和log28,共2個樣本點,所以所求概率為3.(2020江蘇,4)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次,觀察向上的點數(shù),則點數(shù)和為5的概率是

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解析第1,2次向上的點數(shù)分別記為a,b,每個樣本點記為(a,b),則所有的樣本點為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36個,其中,點數(shù)和為5的樣本點為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),4.某商場舉行購物抽獎促銷活動,規(guī)定每位顧客從裝有編號為0,1,2,3四個相同小球的抽獎箱中,每次取出一個球記下編號后放回,連續(xù)取兩次,若取出的兩個小球號碼相加之和等于6,則中一等獎,等于5則中二等獎,等于4或3則中三等獎.(1)求中三等獎的概率;(2)求中獎的概率.解設(shè)“中三等獎”為事件A,“中獎”為事件B,從四個小球中有放回地取兩球有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),共16個樣本點.(1)取出的兩個小球號碼相加之和等于4或3的取法有(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),共7個樣本點,則中三等獎的概率為(2)由(1)知兩個小球號碼相加之和等于3或4的取法有7個;兩個小球號碼相加之和等于5的樣本點有2個:(2,3),(3,2).兩個小球號碼相加之和等于6的樣高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊第2課時互斥事件概率的求法第七章概率2.2古典概型的應(yīng)用課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解互斥事件的概率加法公式.(數(shù)學(xué)抽象)2.了解互斥事件與對立事件之間的關(guān)系,掌握對立事件的概率公式.(數(shù)學(xué)抽象)3.能利用互斥事件、對立事件的概率計算公式解決復(fù)雜的古典概型的概率計算問題.(數(shù)學(xué)運算)激趣誘思問題一:拋擲一枚骰子,點數(shù)2朝上和點數(shù)3朝上可以同時發(fā)生嗎?問題二:在兩個裝有質(zhì)量盤的不透明箱子中各隨機(jī)地取出一個質(zhì)量盤,“總質(zhì)量至少20kg”與“總質(zhì)量不超過10kg”能同時發(fā)生嗎?知識點撥一、互斥事件的概率加法公式1.定義:在一個試驗中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P(A)+P(B),這一公式稱為互斥事件的概率加法公式.使用該公式時必須檢驗是否滿足前提條件“兩兩互斥”.2.推廣:一般地,如果事件A1,A2,…,An兩兩互斥,那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).名師點析互斥事件概率加法公式的作用在求某些較為復(fù)雜事件的概率時,先將它分解為一些較為簡單的并且概率已知或較容易求出的彼此互斥的事件,再利用互斥事件的概率加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整為零、化難為易”的功能.微練習(xí)在擲骰子的試驗中,向上的數(shù)字是1或2的概率是

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二、對立事件的概率公式

名師點析1.對立事件的概率公式使用的前提是兩個事件對立,否則不能使用.2.當(dāng)一個事件的概率不易直接求出,但其對立事件的概率易求時,可運用對立事件的概率公式,即運用間接法求概率.微練習(xí)從4名男生和2名女生中任選3人去參加演講比賽,所選3人都是男生的概率是,則所選3人中至少有1名女生的概率為

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解析設(shè)A={3人中至少有1名女生},B={3人都為男生},A,B為對立事件,探究一互斥事件的概率(1)分別求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率;(2)求得到的小球既不是黑球也不是綠球的概率.分析從12個球中任取一球,取到紅球、黑球、白球兩兩互斥,所以可用互斥事件概率的加法公式求解.解(1)從袋中任取一球,記事件A為“得到紅球”,B為“得到黑球”,C為“得到黃球”,D為“得到綠球”,則事件A,B,C,D兩兩互斥.(2)∵得到的球既不是黑球也不是綠球,∴得到的球是紅球或黃球,即事件A+C,反思感悟互斥事件的概率的求解策略(1)當(dāng)一個事件包含幾種情況時,可把事件轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率的加法公式計算.(2)使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)時,必須先判斷A,B是否為互斥事件.變式訓(xùn)練(1)一個口袋內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出一個球,摸出紅球或白球的概率為0.58,摸出紅球或黑球的概率為0.62,那么摸出紅球的概率為(

)A.0.42 B.0.38 C.0.2 D.0.8(2)向三個相鄰的軍火庫投一枚炸彈,炸中第一個軍火庫的概率為0.2,炸中第二個軍火庫的概率為0.12,炸中第三個軍火庫的概率為0.28,三個軍火庫中,只要炸中一個另兩個也會發(fā)生爆炸,求軍火庫發(fā)生爆炸的概率.(1)解析記“摸一個球為紅球”“摸一個球為白球”和“摸一個球為黑球”為事件A,B,C,則A,B,C為兩兩互斥事件,且A+B+C為必然事件,由題意知P(A)+P(B)=0.58,P(A)+P(C)=0.62,P(A)+P(B)+P(C)=1,解得P(A)=0.2.答案C(2)解設(shè)A,B,C分別表示炸中第一、第二及第三個軍火庫這三個事件,事件D表示軍火庫爆炸,已知P(A)=0.2,P(B)=0.12,P(C)=0.28.又因為只投擲了一枚炸彈,故不可能炸中兩個及以上軍火庫,所以A,B,C是兩兩互斥事件,且D=A+B+C,所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.12+0.28=0.6,即軍火庫發(fā)生爆炸的概率為0.6.探究二互斥事件和對立事件的概率例2某射手在一次射擊訓(xùn)練中,射中10環(huán),9環(huán),8環(huán),7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28,計算這個射手在一次射擊中:(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率;(2)不夠7環(huán)的概率.分析先設(shè)出事件,判斷是否互斥或?qū)α?然后再使用概率公式求解.解(1)設(shè)“射中10環(huán)”為事件A,“射中7環(huán)”為事件B,由于在一次射擊中,A與B不可能同時發(fā)生,故A與B是互斥事件.“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為A∪B.故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49,∴射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.(2)設(shè)“不夠7環(huán)”為事件E,則事件

為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”,由(1)可知“射中7環(huán)”“射中8環(huán)”等是兩兩互斥事件,∴P()=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,從而P(E)=1-P()=1-0.97=0.03,∴不夠7環(huán)的概率是0.03.反思感悟互斥事件和對立事件的概率的求解策略(1)對于一個較復(fù)雜的事件,一般將其分解成幾個簡單的事件,當(dāng)這些事件彼此互斥時,原事件的概率等于這些事件概率的和.并且互斥事件的概率加法公式可以推廣為:P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).其使用的前提條件仍然是A1,A2,…,An兩兩互斥.故解決此類題目的關(guān)鍵在于分解事件及確定事件是否互斥.(2)“正難則反”是解決問題的一種很好的方法,應(yīng)注意掌握,如本例中的第(2)問,不能直接求解,則可考慮求其對立事件的概率,再轉(zhuǎn)化為所求.延伸探究本例條件不變,求射中8環(huán)及以上的概率.解記“射中8環(huán)及以上”為事件H,因為“射中8環(huán)”“射中9環(huán)”“射中