人教A版（2019）選擇性必修第一冊 空間向量及其運算的坐標表示（含解析）

人教A版(2019)選擇性必修第一冊1.3空間向量及其運

算的坐標表示

一、單選題

1.已知A(3,3,3),B(6,6,6),。為原點，則。4與BO的夾角是()

A.0B.兀C.-D.—

23

2.已知點A(-3,1,T),8(7,1,0),則線段A8的中點M關(guān)于平面OyZ對稱的點的坐標

為()

A.(-2,1,-2)B.(2,1,-2)C.(2,-1,-2)D.(2,1,2)

3.已知向量a=(3,-1,1),b=(-2,2,l),若〃+/,與Xai平行，則實數(shù)上()

A.1B.2C.-1D.-2

4.已知點A(3,T,0),若向量A8=(2,5,-3),則點B的坐標是().

A.(1,-6,3)B.(5,4,-3)C.(-1,6,-3)D.(2,5,-3)

5.已知α=(l,5,-2),b=(∕?2,m+l),dLb，則機的值為()

A.—6B.—8C.6D.8

6.對于任意空間向量)=(《,”2，％)h=(hl,b2,h2'),給出下列三個命題：①

'"boR=?=,;②若4=%=%T,則d為單位向量；③

A_L/?u>4∣偽+%4+%&=0.其中真命題的個數(shù)為()

A.OB.1C.2D.3

7.設(shè)1、JeR,向量α=(x,l,l),?=(l,y,l),c=(3,-6,3)且〃J_c,b!lc>則

∣^÷?∣=()

A.2√2B.2√3C.4D.3

8.已知α=(0,l,I)S=(0,0,1),則α在b上的投影向量為()

A.(1,0,0)B.(0,0,1)C.(0,1,0)D.fθ??')

9.如圖所示，在空間直角坐標系中，BC=2,原點。是BC的中點，點。在平面yθz

內(nèi)，JiZBDC=90,ZDCB=30，則點。的坐標為().

且

B.(0,--，

:62

2

2/

D.(0)—,2

2

10.已知動點P在正方體ABCO-AAGR的對角線BR(不含端點)上.設(shè)最左=2,若

NAPC為鈍角，則實數(shù)2的取值范圍為()

c

?-Ng)B-(OW)?與DD.加

11.已知α=(l,2,-y),b=(x,?,2),且2∕√∕(α-b),則()

A.X=-fy=lB.X=Ly=-4

32

C.χ=2,y=--D.x=l,y=-1

4

12.已知空間四點A(4,l,3),8(2,3/)，C(3,7,-5),JD(X,-1,3)共面，則X的值為

()

A.4B.IC.10D.H

二、填空題

13.已知空間三點A(l,-1,-1),8(-1,-2,2),C(2,I,1),則4B在AC上的投影向

量的模是.

14.已知2=(2,-1,3),/7=(-1,4-2),c=(3,2㈤,若￡,b,C三向量共面，則實數(shù)

4等于.

15.已知A。,。,。)、B(O-IJ),0(0,0,0),次+北患與OB的夾角為120,則實數(shù)

λ—.

16.正四棱柱ABCQ-ABCQ中，AB=4,⑨=26.若M是側(cè)面BCGBI內(nèi)的動

點，且AM*LMC,則AM與平面BCC4所成角的正切值的最大值為.

三、解答題

17.如圖，建立空間直角坐標系OXyz.正方體A38-A3'C'D'的棱長為1,頂點A位

于坐標原點.

(1)若E是棱8C的中點，尸是棱98的中點，G是側(cè)面CQDc'的中心，則分別求

出向量OE，OG,FG的坐標；

(2)在⑴的條件下，分別求出(OE+OG)?FG"叫的值.

18.已知α=(2,-l,3),/?=(T,2,x),c=(l,-x,2).

(1)若a〃b，求X的值；

(2)若(〃+&)_Lc,求X的值.

19.如圖，在四棱錐P-ABCZ)中，％_1_平面48€7),ADlCD,AD//BC,

PF1

PA^AD=CD=2,BC=3.E為Pf)的中點，點尸在PC上，且k=§.

(I)求證：CDj_平面PAD-,

(II)求二面角F-AE-尸的余弦值；

Pr?

(In)設(shè)點G在尸B上，且與=W.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由.

PB3

20.如圖，直四棱柱ABCo-A向。。/的底面是菱形，AAl=4,AB=2,NBAD=60。,

E,M,N分別是BC,BB1,4。的中點.

(1)證明：MN〃平面C/QE；

(2)求二面角A-MA/-N的正弦值.

21.如圖，在直三棱柱A8C-A/B/C/中，CA=CB=?,NBCA=90。，棱AA∕=2,M,N分

別是AA/,CB/的中點.

(1)求8M,BN的長.

(2)求4BMN的面積.

參考答案:

?.B求出OA和80,利用向量關(guān)系即可求出.

【詳解】因為A(3,3,3),B(6,6,6),則04=(3,3,3),30=(—6,-6,—6),

OA?BO3X(-6)+3X(-6)+3X(-6)

則cos<0A,BO>=

OAHM3√3×6√3

所以O(shè)A與B。的夾角是萬.

故選：B.

2.A求出AB的中點M的坐標，再求出關(guān)于平面OyZ對稱的點的坐標即可.

【詳解】因為點A(—3,1,Y),B(7,l,0)

所以AB的中點M(2,l,-2),

所以“關(guān)于平面Oyz對稱的點的坐標為(-2,1,-2),

故選：A.

3.C計算〃+6和的坐標，由向量共線的坐標表示列方程即可求解.

【詳解】因為“+6=(l,l,2),ka-b=(3k+2,-k-2,k-l),α+b與h-b平行，所以存在實

數(shù)九使(3左+2,-左-2,"1)=2(1,1,2),解得Jt=-L

故選：C.

4.B利用空間向量的坐標運算求得B的坐標.

【詳解】設(shè)。為空間坐標原點，

O3=3+A8=(3,-1,0)+(2,5,-3)=(5,4,-3).

故選：B

5.D由a_L8,可得α?6=0,則有a+10-2(m+l)=O,從而可求出的值，

【詳解】解：因為a_Lb，所以α?6=0,

因為α=(l,5,-2),b-(m,2,m+?),

所以m+10-2(m+l)=0,解得m=8,

故選：D

6.B由空間向量平行的條件可判斷①；根據(jù)向量的模的計算可判斷②；由空間向量垂直的

條件可判斷③，從而可得選項.

答案第1頁，共11頁

【詳解】由?=?=卜可以推出〃///?,反之不一定成立，例：。=(1,1,1)、力=(0,0,0),

<x∣ez?"3

則diIb>

故①不正確；

當4=%=。3=1時，向=[a；+aj+q：=6≠1,故②不正確：

當a_LZ?時，tz??=0.即4也+外4+為4=。，反之也成立，故③正確.

所以正確命題的個數(shù)為：1.

故選：B.

7.D利用空間向量垂直與共線的坐標表示求出X、>的值，求出向量”+匕的坐標，利用空

間向量的模長公式可求得結(jié)果.

【詳解】因為則a?c=3x-6+3=0,解得x=l,則a=(l,l,l),

因為6∕∕c,則2=三，解得y=2即b=(1,-2,1),

3-0

所以，a+力=(2,-1,2),因此，I+?I=√4+l+4=3.

故選：D.

8.B根據(jù)題意得85小。=等，進而根據(jù)投影向量的概念求解即可.

【詳解】因為a=(0,l,l),b=(0,0,l),所以W=√∑M=1,

bJ2

所以“在b上的投影向量為卜樂傘，。j=夜χy(a°,ι)=(°,aι)

故選：B

9.B過點。作OEL8C,垂足為E,然后在&8QC中求解.

【詳解】過點。作DE?L8C,垂足為E,

在用8DC中，NBDC=90,ZDCB=30,BC=2,

答案第2頁，共11頁

得|80|=1、∣CD∣=6,

所以IDEHeq?sin30=#,

所以IOEHOBHBEHOB?-?Bq?cos60?l-???,

所以點。的坐標為（0,-；,母）,

故選：B.

?θ.C建立空間直角坐標系，

【詳解】由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標系D-x”，用坐標法計算，利用ZAPC不

是平角，可得NAPC為鈍角等價于CoSNAPC<0,即PA?PC<0,即可求出實數(shù)/1的取值

范圍.

設(shè)正方體ABCO-AgGA的棱長為1.

則有A(1,0,0),3(1,1,0),C(0,1,0),。(0,0,1)

.?..8=(1,1,-1),.?.設(shè)AP=(44-2),

.?.PA≈PDl+DlA=(-Λ-Λ∕l)+(l,O,-l)≈(l-Λ,-∕l,Λ-l).

PC=PR+RC=(-Λ,-Λ,Λ)+(O,1,-1)={-λ,?-λ,λ-?),

由圖知NAPC不是平角，J.NAPC為鈍角等價于COSNAPC<0,

，PAPC<O>

(1-2)(—4)+(—幾)(]—4)+(2—1)=(2-1)(3Λ-1)<O,

答案第3頁，共11頁

解得:<2<1

.?.2的取值范圍是?,1)

故選：C.

H.B利用向量平行的充要條件列出關(guān)于X、y的方程組，解之即可求得尤、y的值.

【詳解】α=(l,2,-y),?=(x,l,2),

貝IJa-h=(l-x,l,-γ-2),2ft=(2x,2,4)

由皿(j),可?？縏)=0,解之得j?4

故選：B

12.D求得AB、AC、AD的坐標，根據(jù)題意可知存在實數(shù)2、〃，使得

AD=ΛAB+μAC,利用空間向量的坐標運算可得出關(guān)于4、〃、X的方程組，進而可求得

實數(shù)X的值.

【詳解】依題意得AB=(-2,2,-2),AC=(-1,6-8),Ao=(X—4,—2,0),

A、B、C、。四點共面，.?.AB、AC、AO共面，

,存在實數(shù)，、〃，使得AD=為A8+〃AC,

x-4=-2λ-μλ=-4

B[J(x-4,-2,0)=(-2Λ-μ,2Λ+6ju,-2λ-8//),所以-2=22+6〃，解得=1.

0=—2Λ—8//X=II

故選：D.

本題考查利用空間向量法處理四點共面的問題，考查計算能力，屬于中等題.

2

13.2先求得AB,AC,再根據(jù)投影向量的模的公式求解即可

UUUULIU

【詳解】由題，A8=(-2,-l,3),AC=(l,2,2),故AB在AC上的投影向量的模

IUll∏UUQlI

Iyn∣∕UU∏IOnA8?AC∣-2-2÷6∣2

AB?CoS(A8,AC)=11∣ut!P∣1=∣=-

111ξ/I∣AC∣√l2+22+223

故答案為：|.

14.4依題意設(shè)￠=加“+〃/,,列方程組能求出結(jié)果.

【詳解】解：a=Q,一1,3),6=(一1,4,-2),c=(3,2,M,且〃，b，C三向量共

答案第4頁，共11頁

面，

「?設(shè)C=ma÷nb，

，(3,2,λ)=(2m-n,-W+4ΛZ,3f∏-2n),

2m-n=3

:.-m+4∕?=2,

3m-2n=Λ

國軍得m=2,M=1,A=4.

故答案為：4.

15.一也求得向量總+4潴的坐標，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.

6

【詳解】由題意得，OA+AOB=(I-AyA)9

(OA+M)B)?OB22

故COSI20=,2<0,

?OA+λOB???OB?√1+2Λ2?√2

解得4=_亞，

6

故答案為：-逅

6

16.2.如圖，以。為原點建立空間直角坐標系，設(shè)點〃(見4,〃)，由AM_LMC得

(W-2)2+/=4,證明BAMBl為AM與平面BCGA所成角，令〃?=2+2COSa〃=2sin。,

用三角函數(shù)表示出tanNAMg,求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.

如圖，以。為原點建立空間直角坐標系，設(shè)點M(M4,”)，則

A(4,0,0),C(0,4,0),Bl(4,4,2√3),

:.CM=(w,0,n),AΛ∕=(//7-4,4,H),又AM±Λ1C,

答案第5頁，共11頁

AM-CM=m2-4m+n2=0,BR(∕n-2)2+n2=4；

又AB—平面BCC1β,,.?.乙4幽耳為AtM與平面BCC1B1所成角,

令，“=2+2COSa〃=2Sin0,0e[0,Λ?],

____________44

^(2cos(9-2)2+(2sin0-2√3)2j20-16sin,+2)

，當，=?時，tanNA”用最大，即AM與平面BCC內(nèi)所成角的正切值的最大值為2.

故答案為：2

本題主要考查了立體幾何中的動點問題，考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題，一

般是建立空間直角坐標，在動點坐標內(nèi)引入?yún)?shù)，將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求

解，考查了學(xué)生的運算求解能力和直觀想象能力.

17.(1)OE=(I,g,l),OG=(；[,￡],/G=([,l,θ}(2)(OE+OG)-FG=^,

∣EG∣=y.(1)根據(jù)題意，易得點O,E,F,G的坐標，進而求得向量的坐標；

(2)由(1)的結(jié)果，利用空間向量的加法和數(shù)量積坐標運算以及向量的模公式求解.

【詳解】(I)因為E是棱百C'的中點，尸是棱FB的中點，G是側(cè)面cr>r>C的中心,

所以0(0,0,0),E(,I),小03，

所以O(shè)E=(I,g,l}OF=(1,0,g}OG=C,1,FG=OG-OF=C.

÷3χl÷2χθ=2

(2)由⑴可得(OE+OG)?FG

224

又EG=PI4)

√3

所以歸GN-￡|+(外出^2^

18.(1)-6

(2)-4(1)利用向量共線的坐標表示，即得解；

(2)利用向量加法和向量垂直的坐標表示，即得解;

【詳解】解：(1)b=λaf

答案第6頁，共11頁

’24=-4

Λ<-λ=2,

x=3λ

；?x=-6.

(2)α+6=(-2,l,3+x),

V(?+/?)?c,

??(a+b)?c=O,

?，?-2-x+2(3+x)=0,

..?x=-4.

本題考查了向量平行，加法，數(shù)量積的坐標表示，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能

力，屬于基礎(chǔ)題.

19.(I)見解析；

(IDW；

3

(HI)見解析?(I)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(H)建立空間直角坐標系，結(jié)合兩個半平面的法向量即可求得二面角FAE-P的余弦值；

(W)首先求得點G的坐標，然后結(jié)合平面AEE的法向量和直線AG的方向向量可判斷直線

是否在平面內(nèi).

【詳解】(I)由于∕?J?平面ABCCr)U平面ABCE>,則∕?,Cf>,

由題意可知AO_LCO,且%ΠAD=4,

由線面垂直的判定定理可得COL平面PAD.

(∏)以點A為坐標原點，平面ABCC內(nèi)與AD垂直的直線為X軸，ARΛP方向為y軸，Z軸

建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xy?z,

答案第7頁，共11頁

G

易知：A(0,0,0)sP(0,0,2),C(2,2,0),L>(0,2,0),

由尸TPC可得點尸的坐標為嗚,∣,W,

由PE=gP?？傻肊((U,1),

設(shè)平面AE尸的法向量為：〃z=(x,y,z),則

/J224、224

,w?AF=(x,j,z)∣-,-,-J=-Λ-÷-y÷-z≈O

∕zz?AE=(x,y,z)?(0,l,l)=γ+z=0

據(jù)此可得平面AM的一個法向量為：m=(1,1,T),

很明顯平面AEP的一個法向量為n=(1,0,0),

m?n1G

cos<m,n>=1~~；~~r-7=—；=——=——

MXW√3×13，

二面角FME-P的平面角為銳角，故二面角尸-AE-P的余弦值為立.

3

O(422、

(HI)易知P(0,0,2),Bz(2,-l,0),由/>6=：必可得6匕,-§,§}

則AG=(*W,

注意到平面AEF的一個法向量為：機=(1],-1),

其"?AG=0且點4在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AE尸內(nèi).

20.(1)見解析；(2)巫.(1)利用三角形中位線和ABC可證得證得四

5―

邊形MNf)E為平行四邊形，進而證得MN〃QE,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；

答案第8頁，共11頁

（2）以菱形ABC。對角線交點為原點可建立空間直角坐標系，通過取AB中點F,可證得

Z）F，平面AMA-得到平面AMA的法向量O尸；再通過向量法求得平面MAN的法向量

〃，利用向量夾角公式求得兩個法向量夾角的余弦值，進而可求得所求二面角的正弦值.

【詳解】（1）連接ME,BtC

M,E分別為84，BC中點.?.ME為M8C的中位線

,

..ME/∕B∣C且Λ∕E=；BtC

又N為AlD中點,且AQUBlC.?.ND"B∣C且ND=；BC

???MEIJND.?.四邊形MNDE為平行四邊形

.-.MN//DE,又MV（Z平面C∣OE,￡）EU平面GoE

；.MN//平面GDE

（2）設(shè)ACBD=O,AGcBQi=O

由直四棱柱性質(zhì)可知：，平面ABCD

四邊形ABCo為菱形.-.AClBD

則以。為原點，可建立如下圖所示的空間直用坐標系：

答案第9頁，共11頁

則：A(6,O,O),M(0,1,2),A(G,0,4),D(0,-1,0)N-^-,--,2

\/

f/?1、

取AB中點F,連接短口，則尸?-,-,θ

k)

四邊形ABa)為菱形且NBAQ=60,ΔS4O為等邊三角形:.DF1AB

,

又441_L平面ABCO,QFU平面ABC。.?DFLAA.

：.DF±平面ABBlAt,即￡）尸J_平面AMA,

3

√-3-o

.?.OF為平面AMA的一個法向量，且。F=22?