2023年新高考一輪復(fù)習(xí)講義第39講 空間幾何體及其表面積、體積含解析

2023年新高考一輪復(fù)習(xí)講義第39講空間幾何體及其表面積、體積

學(xué)校:姓名：班級：考號：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?湖南?寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測）己知直角梯形A8CZ）,現(xiàn)繞著它的較長底所在的直線旋

轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（）

A.一個圓柱、一個圓錐B.一個圓柱、兩個圓錐

C.一個圓臺、一個圓柱D.兩個圓柱、一個圓臺

2.（2022?湖北武漢?高三開學(xué)考試）某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3,圓心角為120。的扇形，則該圓錐的體

積為（）

A.47571B.生叵兀C.2⑤tD.還無

33

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，水平放置的四邊形ABC。的斜二測直觀圖為矩形A'3'C'。'，已知

AO'=O'B'=2,B'C'=2,則四邊形A8C￡）的周長為（）

C.8+4百D.8+40

4.（2022?山東濟南?模擬預(yù)測）擬柱體（所有頂點均在兩個平行平面內(nèi)的多面體）可以用辛普森

（Simpson）公式丫=!〃G+4S0+S,）求體積，其中〃是高，S1是上底面面積，邑是下底面面積，S。是中

截面（到上、下底面距離相等的截面）面積.如圖所示，在五面體A8C?防中，底面ABCO是邊長為2的

正方形，EF=1,且直線EF到底面ABC。的距離為2,則該五面體的體積為（）

5.（2022?山東青島?高三開學(xué)考試）已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2,側(cè)面積為3石兀，則該圓臺的

外接球半徑為（）

AV105R相「適n阿

5444

6.（2022?河北邢臺?高三開學(xué)考試）如圖所示，三棱柱容器的棱CG長為8,且CG到側(cè)面4A4B的距離為

8及，若將該容積裝入容積一半的水，再以側(cè)面AA與8水平放置，則水面高度為（）

A.4B.40C.80-8D.8-4&

7.（2022?江蘇南京?高三階段練習(xí)）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，P為上底面圓的圓心，A8為

下底面圓的直徑，E為下底面圓周上一點，則三棱錐尸-ABE外接球的表面積為（）

25妙25=

A.—兀B.—兀C.一兀D.57r

1642

8.（2022?湖南師大附中高三階段練習(xí)）有一個圓臺型的密閉盒子（表面不計厚薄），其母線與下底面成

60。角，且母線長恰好等于上下底半徑之和，在圓臺內(nèi)放置一個球，當(dāng)球體積最大時，設(shè)球的表面積為

圓臺的側(cè)面積為S2,則（）

A.5,>S2B.S,<S2C.S,=S,D.無法確定H與邑的大小

9.（多選）（2022?湖南湘潭?高三開學(xué)考試）如圖，已知圓錐頂點為P,其軸截面APAB是邊長為6

的為正三角形，O,為底面的圓心，EF為圓。1的一條直徑，球。內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)

面均相切），點。是球O與圓錐側(cè)面的交線上一動點，則（）

p

A.圓錐的表面積是45天B.球。的體積是兀

C.四棱錐A破尸體積的最大值為D.QE+Q尸的最大值為60

10.（多選）（2022?遼寧朝陽?高三階段練習(xí)）在三棱錐A-BC。中，AB=CD=母,

AO=8C=AC=BD=5則（）

A.AB1.CD

7

B.三棱錐4一88的體積為§

C.三棱錐A-8CO外接球半徑為太

D.異面直線AO與8c所成角的余弦值為日

11.（多選）（2022?江蘇?寶應(yīng)縣教育局教研室高三開學(xué)考試）我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的

印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時代表身份的信物，后因其獨特的文化內(nèi)

涵，也被作為裝飾物來使用.圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)可以看作是一個正四棱

柱和一個正四棱錐組成的兒何體；如圖2,已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長均為2,若該

幾何體的所有頂點都在球。的表面上，則（）

圖1圖2

A.正四棱柱和正四棱錐的高均為3

B.正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體的表面積為12+4加

C.球。的表面積為9兀

D.正四棱錐的側(cè)面、側(cè)棱與其底面所成的角分別為a、則a<〃

12.（多選）（2022?河北衡水?高三階段練習(xí)）在四棱錐中，已知AB==1,

BC=CD=—,PA=PB=PC=PD=—,則（）

36

A.四邊形ABC。內(nèi)接于一個圓

B.四棱錐P-A8CD的體積為且

36

C.四棱錐P-ABCD外接球的球心在四棱錐P-ABCD的內(nèi)部

7

D.四棱錐P-ABCD外接球的半徑為

712T

13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若一個平面圖形的斜二測直觀圖是一個等腰直角三角形，O'A=O'B=2,

則原圖的面積為.

B

14.（2022?福建省福州屏東中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖所示的三棱錐-鉆。中，PAL平面

ABC,ABLBC,PA=AB=BC=3,則該三棱錐的外接球的表面積為.

15.（2022?江蘇?泗洪縣洪翔中學(xué)高三開學(xué)考試）某中學(xué)課外活動小組開展勞動實習(xí)，活動中需制造一個零

件模型，該零件模型為四面體，設(shè)為要求AB=8C=C0=AO=ldm,當(dāng)AC=BO時，此四面體

體積的最大值為dm3.

16.（2022?河北滄州?二模）三棱錐S-8CZ）的平面展開圖如圖所示，已知

ADLBD,BC1BD,AB=CF=4,AD=BC=2,若三棱錐S-3C。的四個頂點均在球。的表面上，則球。

的表面積為.

17.（2022?江蘇?高三開學(xué)考試）祖也是我國南北朝時期偉大的數(shù)學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“累勢既同，

則積不容異'’的體積計算原理，即“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面

所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等現(xiàn)已知直線y=±2與雙曲線

/-9=4及其漸近線圍成的平面圖形G如圖所示.若將圖形G被直線y=/（-2MY2）所截得的兩條線段繞

y軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)面的面積5=；若將圖形G繞）‘軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積

18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示三棱錐，底面為等邊ABC,。為AC邊中點，且POJ_底面

ABC,AP=AC=2,求三棱錐體積匕』8c.

【素養(yǎng)提升】

1.（2022?湖北?宜城市第二高級中學(xué)高三開學(xué)考試）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，

蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球

的活動，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國

家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠（球）的表面上有四個點A,B,C,P,且球心。在PC上，

AC=BC=4,AC±BC,tanZPAB=tanZPBA=—,則該鞠（球）的表面積為（）

A.9兀B.18KC.36兀D.64兀

2.（2022?湖南?麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，書中記

載有幾何體“芻薨現(xiàn)有一個芻舞如圖所示，底面48C。為正方形，瓦7/底面4BCD,四邊形ABFE,

C0EF為兩個全等的等腰梯形，EF=；AB=2,AE=26,則該芻費的外接球的體積為（）

64

A.岳B.32萬C.64&D.64區(qū)

33

3.（2022?湖北?高三開學(xué)考試）在三棱錐P-MC中，底面ABC,PA=4,AB=AC=BC=2a,M

為AC的中點，球。為三棱錐P-ABN的外接球，。是球。上任一點，若三棱錐。-P4C體積的最大值是

473，則球。的體積為.

4.（2022?廣東汕頭?高三階段練習(xí)）在邊長為2的菱形ABCO中，80=26,將菱形ABC。沿對角線AC

對折，使二面角3-AC-。的余弦值為;，則所得三棱錐A-88的外接球的表面積為.

5.（2022?湖北武漢?高三開學(xué)考試）在四棱錐中，ZAPB=ABPC=ZCPD=ZDPA=60°,且

ZAPC=NBPD,PB=PD,PA=y/6,若該四棱錐存在半徑為1的內(nèi)切球，則PC=.

第39講空間幾何體及其表面積、體積

學(xué)校:姓名：班級：考號：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?湖南?寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測）己知直角梯形A8CZ）,現(xiàn)繞著它的較長底所在的直線旋

轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（）

A.一個圓柱、一個圓錐B.一個圓柱、兩個圓錐

C.一個圓臺、一個圓柱D.兩個圓柱、一個圓臺

【答案】A

【分析】將直角梯形分割成一個矩形和一個直角三角形，結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的形成即可求解.

【詳解】直角梯形A8CZ）分割成一個矩形和一個直角三角形，

矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周得圓柱，直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)一周得圓錐，

可得幾何體為：一個圓柱、一個圓錐.

故選：A

2.（2022?湖北武漢?高三開學(xué)考試）某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3,圓心角為120。的扇形，則該圓錐的體

積為（）

A.4舊式B.迪兀C.2夜兀D.逑兀

33

【答案】D

【分析】求出扇形的弧長，進(jìn)而求出圓錐的底面半徑，由勾股定理得到圓錐的高，利用圓錐體積公式求解

即可.

【詳解】因為圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3,圓心角為120。的扇形，

所以該扇形的弧長為喀x3=2兀，

18（）

設(shè)圓錐的底面半徑為廣，則2m*=2兀，解得：r=l,

因為圓錐的母線長為3,所以圓錐的高為/乒產(chǎn)=2上，

該圓錐的體積為！“*=1兀*12*2&=逑兀.

333

故選：D

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，水平放置的四邊形A3CD的斜二測直觀圖為矩形A'8'C'。，已知

A'O'=O'B'=2,B'C'=2,則四邊形A5CD的周長為（）

C.8+46D.8+4近

【答案】A

【分析】根據(jù)斜二測法求得OC=4&且DC=DC=A'8'=A8=4,進(jìn)而求出8C,即可得結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)。C'=2&，則原四邊形中OC=4&,又￡>'C'=OC=A'3'=AB=4,

^.BC=\IOC2+OB2=6-SLAD=BC,

所以四邊形ABC。的周長為AB+3C+￡）C+4）=20.

故選：A

4.（2022?山東濟南?模擬預(yù)測）擬柱體（所有頂點均在兩個平行平面內(nèi)的多面體）可以用辛普森

（Simpson）公式丫=，〃（￡+45。+5,）求體積，其中力是高，是上底面面積，邑是下底面面積，又是中

截面（到上、下底面距離相等的截面）面積.如圖所示，在五面體ABCDEF中，底面ABC。是邊長為2的

正方形，EF=\,且直線EE到底面ABCD的距離為2,則該五面體的體積為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，得到人=2,5,=0,S?=2x2=4及中截面面積S。，代入公式求解即可.

【詳解】由題意得：h=2,5,=0,S2=2X2=4,

分別取BF,CF,OE,AE的中點順次連接，得到截面G/7K/為中截面，且為長方形，邊長為

1+23

GJ=KH=——=-,KJ=HG=1,

22

所以S°=”3啖3

310

所以丫=一力(號+450+5,)=—>2、0+4X-+4

66\2T

故選：D

5.(2022?山東青島?高三開學(xué)考試)已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2,側(cè)面積為3石兀，則該圓臺的

外接球半徑為()

AV105R辰r7185nVf05

5444

【答案】B

【分析】根據(jù)圓臺的側(cè)面積計算公式可求母線長/=石，進(jìn)而可求圓臺的高，根據(jù)球的性質(zhì)，即可利用球心

與底面圓心的連線垂直與底面，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】設(shè)圓臺的高和母線分別為球心到圓臺上底面的距離為x,

根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式可得元(1+2)/=3行兀=/=6,

因此圓臺的高〃=，尸一(2一行=2,

當(dāng)球心在圓臺內(nèi)部時，則12+/=22+(〃7)2,解得X=(,故此時外接球半徑為屈，'=后=等，

07

當(dāng)球心在圓臺外部時，則產(chǎn)+/=22+(x—〃)-,x>h,解得X不符合要求，舍去，

故球半徑為畫

4

故選：B

6.(2022?河北邢臺?高三開學(xué)考試)如圖所示，三棱柱容器的棱CG長為8,且CG到側(cè)面小田田的距離為

80，若將該容積裝入容積一半的水，再以側(cè)面水平放置，則水面高度為（）

A.4B.4及C.8播-8D.8-40

【答案】C

【分析】由題意，分別表示兩種情況下體積表示，得到兩底面的面積的關(guān)系，根據(jù)相似，可得高之比，可

得答案.

【詳解】設(shè)三棱柱中底面ABC上的高為萬，ABC中邊A8上的高"，

則當(dāng)以平面ABC為底時，水的體積丫=g〃S,pc，

當(dāng)以側(cè)面AAB避水平放置時，水呈現(xiàn)為四棱柱，此時底面作圖如下：

其中CGL4?,由題意可知AB//OE,則

設(shè)其底面四邊形的面積為S（陰影面積），水的體積可表示為丫=//S,可得

即SCDE=〈SAPC，則名=變，即/G=CG-巫CG=80-8，

2CG22

則水面高度為8近-8，

故選：C.

7.（2022?江蘇南京?高三階段練習(xí)）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為

下底面圓的直徑，E為下底面圓周上一點，則三棱錐P-48E外接球的表面積為（）

,25?25=

A.--7TB.—7tC.-JiD.57r

1642

【答案】B

【分析】設(shè)外接球半徑為R，底面圓心為。，外接球球心為O,由外接球的定義，結(jié)合圓柱的幾何性質(zhì)，

確定球心在線段尸。上，即可在直角三角形APQ上根據(jù)幾何關(guān)系求出外接球半徑，即可由公式算球表面積

【詳解】由題，由圓的性質(zhì)，AABE為直角三角形，NE=90。，

如圖所示，設(shè)外接球半徑為R,底面圓心為Q,外接球球心為0,

由外接球的定義，OP=OA=OB=OE=R,易得。在線段PQ上，

又圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，所以底面圓半徑AQ=BQ=1,

VPQ1AQ,則OA2=OQ2+AQ2nR2=（2-R）2+F,解得R=（,

...外接球表面積為4兀長=§.

4

故選：B.

8.（2022?湖南師大附中高三階段練習(xí)）有一個圓臺型的密閉盒子（表面不計厚?。?，其母線與下底面成

60。角，且母線長恰好等于上下底半徑之和，在圓臺內(nèi)放置一個球，當(dāng)球體積最大時，設(shè)球的表面積為

，，圓臺的側(cè)面積為邑，則（）

A.St>S2B.S,<52C.$=$D.無法確定、與邑的大小

【答案】B

【分析】根據(jù)母線與下底面成60角，且母線長恰好等于上下底半徑之和，得到b=3a,通過計算得到圓臺

正好有一個與其上下底面及側(cè)面都相切的內(nèi)切球，此球體積最大且半徑是百〃，計算出》與邑，比較出大

小.

【詳解】如圖所示，過點D作DE_LAB于點E,設(shè)圓臺上下底的半徑分別為ab,由其母線與下底面成

60角，且母線長恰好等于上下底半徑之和，

則A￡>=C￡>=a,8E=Z?-a,Z）8=a+〃，且a+b=2（b—a）,解得：b=3a,

故AC=DE=EBE=6（b-a）=2?i,

取AC中點O,過點O作OHLBD于點H,連接OB,OD,

則由勾股定理得：OD70c=2a，BO=yJOA2+AB2=2^a>

又BD—ODrOB"由勾股定理逆定理可得：0B1.0D,

所以?！?絲0=土漢電=百〃，

BD4a

故滿足條件的圓臺正好有一個與其上下底面及側(cè)面都相切的內(nèi)切球，

此球體積最大且半徑是扃,表面積5,=\2na2,

圓臺上下底的半徑分別為“、3〃，母線長為4”，

側(cè)面積邑=k（“+3a>4a=167u?,

則5<5?.

故選：B

9.（多選）（2022?湖南湘潭?高三開學(xué)考試）如圖，已知圓錐頂點為P,其軸截面/\PAB是邊長為6

的為正三角形，O,為底面的圓心，EF為圓0］的一條直徑，球,內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)

面均相切），點。是球0與圓錐側(cè)面的交線上一動點，則（）

A.圓錐的表面積是45兀B.球。的體積是467r

C.四棱錐Q-AEB尸體積的最大值為9&D.QE+Q廠的最大值為6及

【答案】BCD

【分析】根據(jù)給定條件，求出球。的半徑，動點。的軌跡圓。2的半徑及線段QU長，再逐項計算判斷作

答.

【詳解】依題意，動點。的軌跡是圓，所在平面與圓錐底面平行，令其圓心為。2,連接P。，如圖，

正△「/記內(nèi)切圓即為球。的截面大圓，球心。、截面圓圓心。2都在線段PQ上，連

P0\=36則球。的半徑OQ=G，顯然。QLPQ,。?。，2。，NPOQ=60,

OO2=^OQ=^-,O2Q=^-OQ=^,。?=哈

對于A,圓錐的表面積是S=7tO|A2+;i-O|A-PA=7rx32+7cx3x6=277t,A錯誤；

對于B,球。的體積是1=與。。；=與'(6)3=46兀，B正確；

對于C,因。到平面4EBF的距離與截面圓圓心到平面的距離相等，均為38,

2

則當(dāng)四邊形AE3F的面積最大時，四棱錐Q-A^^的體積最大，

S

AEBF=ABEFsinZAO.E<18,當(dāng)且僅當(dāng)乙40或=90，即E/UAB時取

則四棱錐Q-AE8/體積的最大值為_Lxl8x也=9石，C正確；

32

對于D,因QO；=QQ]+q°；=9,則有Q。=EQ=尸。1=3,即QE_LQF,因止匕QE?+0尸=EF?=36,

由均值不等式得：QE：QF§1;QF?=36,即QE+Q尸W6&,當(dāng)且僅當(dāng)3=Q尸時取“=”，D正

確.

故選：BCD

10.（多選）（2022?遼寧朝陽?高三階段練習(xí)）在三棱錐A-8C。中，AB=CD=?，

4。=8。=4。=3。=石，則（）

A.ABLCD

B.三棱錐A-38的體積為:

C.三棱錐A-8C。外接球半徑為遙

3

D.異面直線AO與BC所成角的余弦值為§

【答案】ABD

【分析】將三棱錐補形為長方體，利用異面直線的夾角的定義判斷A,D,再確定三棱錐的外接球的球心

及半徑，判斷C,利用體積公式求三棱錐A-BQ）的體積判斷B.

【詳解】將三棱錐補形為長方體如下：其中B￡=8N=1,BF=2,

所以A8=C￡）=&，AD=BC=AC=BD=加,

連接MF,

因為AM//EC,BFHEC,AM=EC,EC=BF,

所以AM=BF,

所以四邊形AMFB為平行四邊形，所以

又四邊形MCED為正方形，所以

所以ABLCD,A對；

長方體的體積K=lxlx2=2,

三棱錐E-ABC的體積匕=：x：xlx2xl=:，三棱錐N-ABD的體積匕=；x：xlx2xl=!，三棱錐

F一3CZ）的體積匕=gx；xlx2xl=g,

三棱錐的體積匕=}gxlx2xl=g,

I7

所以三棱錐A-8CZ）的體積V=2-4x§=§,B對，

222

BM為長方體的外接球的直徑，BM=5/1+1+2=>/6>

所以長方體的外接球的半徑為直，長方體的外接球也是三棱錐A-88外接球,

2

所以三棱錐A-3CO外接球的半徑為"；C錯;

2

連接MN,交AO于。,

因為MN//BC,所以NAOM為異面直線AZ）與BC所成的角（或其補角）,

由已知OA=，AO=―,OM=-MN=—,AM=2,

2222

所以cos/AOM=44二J

2x國或一§

22

3

所以異面直線A￡＞與BC所成角的余弦值為D對,

故選：ABD.

11.（多選）（2022?江蘇?寶應(yīng)縣教育局教研室高三開學(xué)考試）我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的

印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時代表身份的信物，后因其獨特的文化內(nèi)

涵，也被作為裝飾物來使用.圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)可以看作是一個正四棱

柱和一個正四棱錐組成的幾何體；如圖2,已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長均為2,若該

幾何體的所有頂點都在球。的表面上，則（）

B.正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體的表面積為12+4加

C.球。的表面積為9兀

D.正四棱錐的側(cè)面、側(cè)棱與其底面所成的角分別為。、△（［<］），則。〈夕

【答案】BC

【分析】根據(jù)正四棱柱和正四棱錐的幾何的性質(zhì)，結(jié)合球的對稱性、球的表面積公式、線面角、二面角的

定義逐一判斷即可.

【詳解】設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高為〃，球。的半徑為小

根據(jù)正四棱柱和球的對稱性可知：該幾何體的外接球的球心為正四棱柱的中心，

球的直徑2r即為正四棱柱的體對角線，

且正四棱柱的體心到正四棱錐的頂點的距離=

2

根據(jù)正四棱柱的體對角線公式得（2個=22+22+川=4/=8+=r=|,

9

因此〃=1,所求球的表面積為4兀/=4兀?：=9兀，故選項A不正確，C正確；

在直角三角形EFG中，EG=JF+（；X2）2=夜，

所以正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體的表面積為：

4x,x2x應(yīng)+2x2+4x2xl=12+4&,所以選項B正確，

2

如圖所示：tana-tan?EGF；=1,

172

tan^=tanZF/7E=1^^=T（顯然有tana>tan尸

2

所以選項D不正確，

故選：BC

12.（多選）（2022?河北衡水?高三階段練習(xí)）在四棱錐P—ABC。中，己知AB=BO=A￡＞=1,

BC=CD=—,PA=PB=PC=PD=—,則（）

36

A.四邊形ABC。內(nèi)接于一個圓

B.四棱錐P-ABC￡＞的體積為更

36

C.四棱錐尸-ABCD外接球的球心在四棱錐P-ABCZ）的內(nèi)部

7

D.四棱錐尸-/lBCD外接球的半徑為五

【答案】AD

7T

【分析】A選項，求出/A3C=/AOC=5,得到A、B、C、￡＞四點共圓；

B選項，求出四棱錐P-A3co底面積和高，求出體積；

C選項，找到四棱錐尸-ABC。的外接球球心，設(shè)出00=/；,求出力=-5，

得到四棱錐P-ABCD外接球的球心在四棱錐P-ABCD的外部；

D選項，在選項C的基礎(chǔ)上求出外接球的半徑.

【詳解】選項A：由已知AB=3Z）=AD得三角形43。為正三角形，又BD=1,BC=CD=—,所以

3

ZBCD=—,NCBD=/CDB=Z

36

7T

故NABC="AOC=一,

2

所以A、B、C、。四點共圓，故A正確；

選項B：由上得A、B、C、。四點共圓，設(shè)圓心為。-AC=空,且ACL8，

3

所以。A=—=#，設(shè)點P在平面ABC。的投影為。「

因為PA=PB=PC=PD=叵,所以QA=O/=aC=O2。，

即。2為四邊形ABC。的外接圓的圓心，所以。一。2重合,

所以平面ABC。，pof筌）「亨=1,

四邊形ABC。的面積S=，BQ-AC=Lx2@=立，

2233

所以四棱錐P—ABCD的體積為1s，Q1='x迫x'=?l,

故B不正確;

3133218

選項C：設(shè)四棱錐P-A8C。外接球的球心為。,因為P。1平面"CQ,

且0A=08=OC=。。，所以球心。在PQ上，設(shè)?。=6,

所以0河+后=儼0「用2,所以用+/22=總_小

解得：h=~,

所以球心。在P0,的延長線上，

所以四棱錐P-A8CD外接球的球心在四棱錐P-A8CD的外部，故不正確；

選項D：四棱錐P-ABCD外接球的半徑為P0=PQ+卷=，，所以D正確.

故選：AD.

13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若一個平面圖形的斜二測直觀圖是一個等腰直角三角形，O'A=O'B=2,

則原圖的面積為.

【答案】4夜

【分析】根據(jù)原圖與斜二測畫出的直觀圖的面積比為2及求解即可

【詳解】由題可得S?AB=gx2x2=2,所以原圖的面積為2x2夜=4夜.

故答案為：4及

14.（2022?福建省福州屏東中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖所示的三棱錐-ABC中，/X，平面

ABC,ABVBC,PA=AB=BC=3,則該三棱錐的外接球的表面積為.

【答案】27加

【分析】設(shè)PC中點為。，連接。仇。4,證明點。就是三棱錐外接球的球心，即得解.

【詳解】解：設(shè)PC中點為。，連接

因為尸4平面ABC,所以必_LAC,所以O(shè)P=OA=0C.

因為PA_L平面ABC,所以以，8。，BC±AB,PAA8=A,尸AA8u平面以8,

所以8C_L平面所以BC1.PB.

所以O(shè)P=OA=O8,

所以O(shè)P=Q4=OC=O8.

所以點。就是三棱錐外接球的球心.

由題得AC=3>^,;.PC=J9+18=3石.

所以三棱錐外接球的半徑為|G.

所以三棱錐外接球的表面積為4萬x(,g)2=27萬.

故答案為：271.

15.(2022?江蘇?泗洪縣洪翔中學(xué)高三開學(xué)考試)某中學(xué)課外活動小組開展勞動實習(xí)，活動中需制造一個零

件模型，該零件模型為四面體，設(shè)為A3C。，要求4?=8C=C￡>=4）=klm,當(dāng)AC=8O時，此四面體

體積的最大值為dm3.

【答案】巫

27

【分析】將四面體補成長方體，將四面體體積表示成關(guān)于。的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間從而確

定其最大值

【詳解】如圖將四面體ABCO補成一個長方體，設(shè)長方體的長寬高分別為。力,c,則

a2+c2=1

從+C2=1'則"的

^A-BCD=V長方體—-VE?-ABC一吟-ACD-VW-BCD,

=abc--abcx4=-abc=-a2c=-(l-c2]c=-(c-c3],

6333V73V7

記f(c)=g(c-c3),令((c)=g(l-3c2)=0,則c=*

故答案為：巫

27

16.（2022?河北滄州?二模）三棱錐S-BCD的平面展開圖如圖所示，已知

ADA.BD,BC1BD,AB^CF=4,AD=BC=2,若三棱錐S—3C￡>的四個頂點均在球。的表面上，則球。

的表面積為.

【答案】等

【分析】根據(jù)題意構(gòu)造底面正三角形的邊長為2,高為2&的正三棱柱，則該三棱柱的外接球即為三棱錐

S-3CD的外接球，球心即為上下底面外接圓圓心連線的中點，再根據(jù)條件求半徑即可.

【詳解】由己知得，三棱錐中，SB=SC=4,SD=BC=2,BD=26，

且必與平面BC￡＞所成的角為60,構(gòu)造如圖所示的正三棱柱，底面正三角形的邊長為2,

高為2百，則該三棱柱的外接球即為三棱錐S-BCD的外接球.設(shè)。1,O?分別為三棱柱上、下底面三角形的

中心，

則。為?。2的中點，因為0。=百,CQ=半,

所以球。的半徑R=JOO：+CQ：==工

所以球。的表面積為47/?2=4小個=號.

故答案為：胃.

17.(2022?江蘇?高三開學(xué)考試)祖曬是我國南北朝時期偉大的數(shù)學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“累勢既同，

則積不容異”的體積計算原理，即“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面

所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等現(xiàn)已知直線＞=12與雙曲線

Y-y2=4及其漸近線圍成的平面圖形G如圖所示.若將圖形G被直線y=r(-2WrW2)所截得的兩條線段繞

》軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)面的面積5=；若將圖形G繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積

v=

【答案】4萬167r

x22

【分析】由直線'=，，其中-24/M2,分別聯(lián)立方程組I“y=x和—)V=4，求得A8的坐標(biāo)，進(jìn)而求

得圓環(huán)的面積，再結(jié)合題意得到該幾何體的體積與底面面積為4萬，高為4的圓柱的體積相同，利用圓柱的

體積公式，即可求解

【詳解】如圖所示，雙曲線丁-/=4,其中一條漸近線方程為^=L

由直線'=，，其中-2VY2,

fy=x

聯(lián)立方程組，解得

[y=t

聯(lián)立方程組,，解得

[y=t

所以截面圓環(huán)的面積為5=萬("^)2-足2=4萬，即旋轉(zhuǎn)面的面積為44，

根據(jù)''基勢既同，則積不容異”，

可得該幾何體的體積與底面面積為4萬，高為4的圓柱的體積相同，

所以該幾何體的體積為V=4；rx4=16萬.

故答案為：44，16萬.

18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示三棱錐，底面為等邊ABC,。為AC邊中點，且P。，底面

ABC,AP=AC=2,求三棱錐體積KTBC.

【答案】1.

【分析】由于P。，底面A8C,所以PO為三棱錐體積%TBC的高，又底面為等邊，ABC，算出，ABC的面

積，然后代入錐體的體積公式匕TBC=：S?2。即可.

【詳解】因為P。，底面ABC,ACu面ABC,.〔POLAC,又因為。為AC邊中點，AP^AC=2,所以

△APC為正三角形，「。=百，又因為底面為等邊,ABC,.?.S.c=曰x4=W，所以

=S/?=5

VP-ABC|1ABC-PO=1.

【素養(yǎng)提升】

1.（2022?湖北?宜城市第二高級中學(xué)高三開學(xué)考試）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，

蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球

的活動，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國

家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠（球）的表面上有四個點A,B,C,P,且球心。在PC上，

AC=BC=4,AC1BC,tanZPAB-tanAPBA=—,則該鞠（球）的表面積為（）

2

A.9KB.18兀C.36兀D.64兀

【答案】c

【分析】畫出圖形，作出輔助線，求出MP=2&x，5=2石，進(jìn)而得到

2

PH=yjPM2-MH2=^/i2^8=2.利用勾股定理求出球的半徑，求出球的表面積.

【詳解】如圖，取A8的中點M,連接由AC=BC=4,ACJ_8c得：AB=4五,

由tanNP4B=tanNP8A=^,得：MP=272x—=2^,

22

連接CM并延長，交球。于點H,連接產(chǎn)”，因為PC球。的直徑，

設(shè)球的半徑為R,則PHLC”，MH=-CH=-AB=2y/2,

22

則PH=ylPM2-MH2=^12-8=2，

所以（2R）2=PC2=CH2+PH2=（4國+4=36,

解得：R=3,球的表面積為4兀/?2=36兀.

故選：C

2.（2022?湖南?麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，書中記

載有幾何體“芻薨現(xiàn)有一個芻薨如圖所示，底面4BCO為正方形，歷//底面488,四邊形A8FE,

C四為兩個全等的等腰梯形，MfgAXb則該芻薨的外接球的體積為一

A.竺叵B.32nC.的叵D.640萬

33

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，求出點E到平面A8CZ）的距離，再由幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球心位置，結(jié)合球面

的性質(zhì)求解作答.

等腰—AED中，AD上EN,EN=VAE2-AN2=272>同理式”=2及，

2

因此，等腰梯形EFMN的高002=小EN一（幽薩3=近，由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知,

芻薨的外接球球心。1在直線。。2上，連。E,QAOA,正方形ABCD外接圓半徑04=2夜，

22

則有］（。O廣,A=O。產(chǎn)A++O。Ob；'而一叱善。戶嚴(yán)1二】'

當(dāng)點。I在線段。2。的延長線（含點。）時，視。。為非負(fù)數(shù)，若點。|在線段。2。（不含點。）上，視。。

為負(fù)數(shù)，

即有001=02。+0。1=萬+00|,即（2&）2+。5=1+（療+OOJ2，解得。。1=0,

因此芻薨的外接球球心為0,半徑為OA=20，

所以芻覆的外接球的體積為也x(2&)3=電紅.

33

故選：A

3.(2022?湖北?高三開學(xué)考試)在三棱錐P-"C中，底面ABC,PA=4,AB=AC=BC=2a,M

為AC的中點，球。為三棱錐P-ABN的外接球，。是球。上任一點，若三棱錐D-R4C體積的最大值是

4上,則球。的體積為.

【答案】8屈兀

【分析】分析可知三棱錐尸-A8W外接球球心為PB中點。，求出點。到平面PAC的距離，可得出點。到

平面P4C的距離的最大值，利用錐體體積可得出關(guān)于。的等式，求出。的值，可得出球。的半徑R的值，

再利用球體的體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】正A5C中，"為AC的中點，則8MLAC,

而PA_L平面ABC,平面A3C,則8M_LPA,

而PAAC=A,PA,ACu平面PAC,則平面PAC,

PA/u平面PAC,所以，BMA.PM,

平面ABC,平面ABC,

所以，P8的中點到點A、B、M、P的距離相等，

即三棱錐P-ABM外接球球心為尸8中點O,

從而，點O是三棱錐P-外接球球心，

設(shè)球。的半徑為R,WO4R2=PA2+AB2=16+4a2,AR2=4+a2,

因為△孫”的外接圓圓心為PM的中點，設(shè)為尸，連接。F,

因為。、廠分別為PB、PM的中點，則OF〃8以，故OF1?平面W,如圖，

因此。到平面PAC距離的最大值為R+無〃=而/+且a,

22

X5PAC=^x4x2a=4a,即有g(shù)x4a[jT<72+"+/）=44,解得”=忘，

所以，R=y/6,所以球。的體積為g乃內(nèi)=8指》.

故答案為：8瓜兀.

【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問

題求解，其解題思維流程如下：

（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離

相等且為半徑：

（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這

些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；

（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

4.（2022?廣東汕頭?高三階段練習(xí)）在邊長為2的菱形A88中，BD=243,將菱形A8C。沿對角線AC

對折，使二面角3-AC-。的余弦值為g,則所得三棱錐A-38的外接球的表面積為.

【答案】6乃

【分析】利用菱形對角線相互垂直的性質(zhì)得出。V_LAC,BNLAC,可得出二面角8-AC-。的平面角

為ZBND,再利用余弦定理求出8D,可知三棱錐8-AC。為正四面體，過點B作BOLDN交DN于點0,

即可得到8O_L平面ACO,從而得到。為底面的重心，再由勾股定理求出外接球的半徑R,最后利

用球的表面積公式可得出答案.

【詳解】解：依題意在邊長為2的菱形ABCD中，BD=26,所以NA8C=NAQC=60°,

如下圖所示,

R

易知一ABC和八軌:。都是等邊三角形，取AC的中點N,則DNJ_AC,BNLAC.

DNBN=N,DN,BNu平面BND,所以4（7_1平面助\「￡）,

所以ZBWD是二面角8-