高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)訓(xùn)練 幾何證明選講理

高考專題訓(xùn)練二十八幾何證明選講（選修4—1）

班級(jí)某某時(shí)間：45分鐘分值：100分總得分

一、填空題（每小題6分，共30分）

1.（2011?某某）如圖，NB=ND,AE±BC,NACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,

則BE=.

解析：由NB=ND,AE±BC,知△ABEs^ADC,

.??煞=黑?AC=^^=2,BE=dAB2-AE2=，§^=4啦.

/iUJAUADINYvv

答案：44

2.（2011?某某）如圖，A、E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直線BC=4,AD±BC,垂足為

D,BE與AD相交于點(diǎn)F,則AF的長為.

解析:

如圖所示，:A、E是半圓周上兩個(gè)三等分點(diǎn),

/?AAB0和AAOE均為正三角形.

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AAE=B0=^BC=2,VADXBC,

??*。=，22—12=，§,BD=L

又NB0A=N0AE=60°,AE/7BD.

DFBD1

.,.△BDF^AEAAF,???而=在=5

???AF=2FD,,??3AF=2(FD+AF)=2AD=24,

.??AF=￥.

答案：￥

3.(2011?某某卷)如圖，A,B是兩圓的交點(diǎn)，AC是小圓的直徑，D和E分別是CA和

CB的延長線與大圓的交點(diǎn)，已知AC=4,BE=10,且BC=AD,則DE=.

解析：連接AB,設(shè)BC=AD=x,結(jié)合圖形可得

△CAB與4CED相似，于是喬=而.

EUCD

4x

即H7=H-nx=2.

x+104+x

又因?yàn)锳C是小圓的直徑，所以/CBA=90°,

由于/CDE=/CBA,所以/CDE=90°.

在直角三角形CDE中，DE=yCE2—CD2=y122-62=6-^3.

答案：6小

4.（2011?某某卷）如圖，過圓外一點(diǎn)P作。。的割線PBA與切線PE,E為切點(diǎn)，連接

AE、BE,/APE的平分線分別與AE、BE相交于點(diǎn)C、D,若/AEB=30°,則/PCE=.

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解析:由切割線性質(zhì)得：P&=PB.PA,即.密,

AAPBE^APEA,AZPEB=ZPAE,又4PEA的內(nèi)角和為2(/CPA+/PAE)+30°=

180°,所以NCPA+NPAE=75°,即/PCE=75°.

答案：75°

5.如圖，在直角梯形ABCD中，DC/7AB,CB±AB,AB=AD=a,CD=|,點(diǎn)E,F分別為線

段AB,AD的中點(diǎn)，貝|EF=.

分析：本題考查勾股定理及三角形中位線的性質(zhì).

BC=DE=^a,

解析：連接BD、DE,由題意可知DE±AB,DE=更a,BD=

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二、解答題（每小題10分，共70分）

6.如圖，已知aABC的兩條角平分線AD和CE相交于H,/B=60°,F在AC上，且AE

=AF.

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(1)求證：B,D,H,E四點(diǎn)共圓;

⑵求證：CE平分NDEF.

證明：⑴在△ABC中，因?yàn)?B=60°,所以/BAC+/BCA=120°.因?yàn)锳D,CE是角

平分線，所以NHAC+NHCA=60°,故NAHC=120°.于是NEHD=/AHC=120°.因?yàn)镹EBD

+ZEHD=180°,所以B,D,H,E四點(diǎn)共圓.

⑵連接BH,貝!JBH為NABC的平分線，所以NHBD=30°.由(1)知B,D,H,E四點(diǎn)共圓，

所以NCED=/HBD=30°.

又/AHE=/EBD=60°,由已知可得EF,AD,

可得/CEF=30°,

所以CE平分NDEF.

7.如圖所示，。。為AABC的外接圓，且AB=AC,過點(diǎn)A的直線交。。于D,交BC的

延長線于F,DE是BD的延長線，連接CD.

(1)求證：ZEDF=ZCDF；

(2)求證：AB2=AF?AD.

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證明：(1)VAB=AC,

ZABC=ZACB."/四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，，ZCDF=ZABC,又/ADB與/EDF

是對(duì)頂角，

ZADB=ZEDF,又/ADB=ZACB,

.\ZEDF=ZCDF.

(2)由(1)知NADB=ZABC.又：ZBAD=ZFAB,

Z\ADBs△ABF,.*.AB2=AF?AD.

8.（2011?某某）如圖，A,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于

E點(diǎn)，且EC=ED.

⑴證明:CD〃AB；

⑵延長CD到F,延長DC到G,使得EF=EG,證明：A,B,G,F四點(diǎn)共圓.

證明：（1）因?yàn)镋C=ED,所以/EDC=/ECD.

因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上，所以/EDC=/EBA,

故NECD=/EBA.

所以CD〃AB.

⑵由(1)知,AE=BE,因?yàn)镋F=EG,故NEFD=/EGC,

從而/FED=/GEC.

連接AF,BG,則△EFAgZXEGB,故/FAE=/GBE.

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又CD〃AB,ZEDC=ZECD,所以/FAB=/GBA,

所以/AFG+/GBA=180°,

故A,B,G,F四點(diǎn)共圓.

9.已知，如圖，AB是。。的直徑，G為AB延長線上的一點(diǎn)，GCD是。。的割線，過點(diǎn)G

作AB的垂線，交直線AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,過G作。。的切線，切點(diǎn)為H.求證：

4

(DC,D,F,E四點(diǎn)共圓；

(2)GH==GE-GF.

證明：⑴連接CB,VZACB=90°,AGXFG,又：NEAG=/BAC,

AZABC=ZAEG.VZADC=180°-ZABC=180°-ZAEG=ZCEF,ZADC+ZFDC=

ZCEF+ZFDC=180°,

AC,D,F,E四點(diǎn)共圓.

(2)由C,D,F,E四點(diǎn)共圓，知/GCE=/AFE,ZGEC=ZGDF,.-.AGCE-AGFO,故9

GE

=而,即GC-GD=GE?GF.為圓的切線，GCD為割線,

G&=GC-GD,GH==GE?GF.

10.(2011?課標(biāo))如圖，D,E分別為aABC的邊AB,AC上的點(diǎn)，且不與aABC的頂點(diǎn)

重合.已知AE的長為m,AC的長為n,AD,AB的長是關(guān)于x的方程xz—14x+mn=0的兩個(gè)

根.

(1)證明：C,B,D,E四點(diǎn)共圓；

(2)若/A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑.

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解：(1)證明：連接DE,根據(jù)題意在4ADE和4ACB中,

ADXAB=mn=AEXAC,

即，瑞又/DAE=/CAB,從而△ADEs^ACB.

因止匕NADE=NACB.

所以C,B,D,E四點(diǎn)共圓.

(2)m=4,n=6時(shí)，方程X2—14x+mn=0的兩根為x=2,x=12.故AD=2,AB=12.

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取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F,分別過G,F作AC,AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連

接DH.因?yàn)镃,B,D,E四點(diǎn)共圓，所以C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的圓心為H,半徑為DH.

由于/A=90°,故GH〃AB,HF〃AC.從而HF=AG=5,DF=1(12-2)=5.

故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為5班.

11.(2011?哈師大附中、東北師大附中、某某省實(shí)驗(yàn)中學(xué)第一次聯(lián)考)已知四邊形PQRS

是圓內(nèi)接四邊形，NPSR=90°,過點(diǎn)Q作PR、PS的垂線，垂足分別為點(diǎn)H、K.

(1)求證：Q、H、K、P四點(diǎn)共圓；

(2)求證：QT=TS.

證明：(1)：/PHQ=/PKQ=90°,

.?.Q、H、K、P四點(diǎn)共圓.

(2)VQ>H、K、P四點(diǎn)共圓，；./HKS=/HQP,①

VZPSR=90°,；.PR為圓的直徑，；./PQR=90°,ZQRH=ZHQP,②

而/QSP=/QRH,③

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由①②③得，ZQSP=ZHKS,TS=TK,

又/SKQ=90°,VZSQK=ZTKQ,；.QT=TK,.\QT=TS.

12.（2011?某某省教學(xué)質(zhì)量調(diào)研）如圖，已知AD是4ABC的外角/EAC的平分線，交

BC的延長線于點(diǎn)D,延長DA交4ABC的外接圓于點(diǎn)F,連接