高一年級數(shù)學函數(shù)的奇偶性導學案

高一年級數(shù)學學科導學案

命題班級學號—姓名得分―

課題：函數(shù)的奇偶性

【學習目標】1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義

2.了解奇偶函數(shù)的圖象的對稱性，掌握函數(shù)奇偶性的簡單應用

【重點難點】函數(shù)奇偶性的求解

【學習流程】

◎基礎(chǔ)感知

問題：我們知道函數(shù)的圖象能夠反映函數(shù)的性質(zhì)，那么函數(shù)圖象的對

稱性反映了函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

◎探究未知

一、知識點函數(shù)的奇偶性

1.奇函數(shù)

(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是A,如果對任意的xGA,有一x

GA,且f(—x)=-f(x),那么稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù);

(2)圖象特征：圖象關(guān)于原點對稱，反之亦然.

2.偶函數(shù)

(1)定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是A,如果對任意的xGA,有一x￡A,且f(-

x)=f(x),那么稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù);

(2)圖象特征：圖象關(guān)于y軸對稱，反之亦然.

3.奇偶性

當函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時，稱f(x)具有奇偶性.

記憶點：(1)定義域I具有對稱性，即VxWI,—xGI.定義域不關(guān)于原點對稱

時，f(x)是非奇非偶函數(shù)；

(2)當f(x)的定義域關(guān)于原點對稱時，要看f(x)與f(-x)的關(guān)系.特別地，若f(-

X)#—f(x)且f(—x)#f(x)是非奇非偶函數(shù)；若f(—X)=—f(x)Hf(—x)=f(x)既是奇函

數(shù)又是偶函數(shù).

例1、下列圖象表示的函數(shù)中具有奇偶性的是()

例2.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(填序號).

①丫二乂；②y=2x?—3；刨=卡;@y=1x2,xG[0,1].

跟蹤訓練：1.若函數(shù)y=M，—1,川是奇函數(shù)，則a=

2.若八工)是定義在R上的奇函數(shù)，式3)=2,則式-3)=

A0)=.

二、判斷函數(shù)的奇偶性

方法技巧：判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法

1、定義法：先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，若不是，則既不是奇

函數(shù)也不是偶函數(shù)，若是，則計算f(-x),確定f(x)與f(-x)的關(guān)系,

最后下結(jié)論

2、圖象法：觀察函數(shù)圖像，若關(guān)于原點對稱，函數(shù)為奇函數(shù)；若關(guān)

于y軸對稱，函數(shù)為偶函數(shù)

例3、判斷下列函數(shù)的奇偶性：

?X3—%2

(1W)=-F-

(2求%)=|x—2|一僅+2|；

)2

(3)/(-V=x-\-X-(x^0,a￡R).

跟蹤訓練：1、下列四個函數(shù)中為偶函數(shù)的是()

—

A.y=2xB.y=1C.y=x2—2xD.y=|x|

三、利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)

方法技巧：利用奇偶性求參數(shù)的常見類型

(1)定義域含參數(shù)：奇偶函數(shù)兀0的定義域為［。，b］,根據(jù)定義域關(guān)

于原點對稱，利用。+。=0求參數(shù)；

(2)解析式含參數(shù)：根據(jù)八-x)=-/U)或八一x)=?x)列式，比較系

數(shù)利用待定系數(shù)法求解.

例4、(1)若函數(shù)八%)=以2+笈+3〃+。是偶函數(shù)，定義域為［a—1,

2a],貝！Ja=,h-；

(2)若凡r)=(%+a)(%—4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a=；

⑶已知函數(shù)/(%)=(%+1)為奇函數(shù),則。=.

跟蹤訓練：2、若函數(shù)?r)=(至47『一(:」為奇函數(shù),貝

\ZX-I-A)\JCCl)

()

123

A.5B.QC.7D.1

乙Dr

四、利用函數(shù)的奇偶性求解析式(值)

(-)定義法求函數(shù)解析式

方法技巧：利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的3個步驟

(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應在哪個區(qū)間上設(shè);

⑵轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知的解析式；

⑶利用f(x)的奇偶性寫出一f(—x)或f(—x),從而解出f(x).

例5、已知火x)為R上的奇函數(shù)，當%>0時，?x)=-2%2+3%+1.

(1)、求八-1);(2)、求兀r)的解析式.

變式訓練：(變條件)若將本例中的“奇”改為“偶”，“40”改為

“X20”，其他條件不變，求_/(%)的解析式

(二)方程組法求函數(shù)解析式

方法技巧：已知函數(shù)f(x),g(x)組合運算與奇偶性，則把x換為一X,

構(gòu)造方程組求解.

例6、設(shè)?x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且/(%)+1?(%)==7，求函

入1

數(shù)兀x),g(x)的解析式.

跟蹤訓練：3.已知/U)=2+/+"—8,且人-2)=10,則42)

等于()

A.-26B.-18C.-10D.10

4.已知函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，且當％<0時，兀x)=%+l,貝iJx〉0時，

大%):?

五、奇偶性與單調(diào)性的綜合應用

方法技巧：奇偶性與單調(diào)性綜合問題的兩種題型及解法

(1)比較大小問題，一般解法是先利用奇偶性，將不在同一單調(diào)區(qū)

間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的自變量

的函數(shù)值，然后利用單調(diào)性比較大?。?/p>

(2)抽象不等式問題，解題步驟是：①將所給的不等式轉(zhuǎn)化為兩個

函數(shù)值的大小關(guān)系；②利用奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用單調(diào)

性“脫去”函數(shù)的符號‘尸，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題.

需要注意的是：在轉(zhuǎn)化時，自變量的取值必須在同一單調(diào)區(qū)間上；當

不等式一邊沒有符號'了'時，需轉(zhuǎn)化為含符號'方的形式，如0=火1),

加一1)<0,則加一1)勺⑴.

例7、(1)、已知定義在R上的奇函數(shù)?x)滿足4)=-/U),且在區(qū)

間［0,2］上單調(diào)遞增,則()

A.八-1)勺(3)勺”)B.1A4)勺(3)勺(一1)

C.<3)勺(4)勺(一1)D.A-l)<A4)</(3)

(2)、已知函數(shù)y=Kx)在定義域［―1,1］上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，

若武1一。2)+式1—“)<(),則實數(shù)a的取值范圍為；

(3)、定義在［—2,2］上的偶函數(shù)兀0在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減，若五1

則實數(shù)m的取值范圍為.

跟蹤訓練：5.設(shè)偶函數(shù)./(%)的定義域為R,當x￡［0,+8州寸，?r)

是增函數(shù)，則八一2),大口)，人一3)的大小關(guān)系是()

A.八弘)/一3)/—2)B.八口)/.2)次.3)

C./n)</(-3)</(-2)D.<n)5—2)<^—3)

6.函數(shù)?x)是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)，且在［0,+8)上是增函

數(shù)，13)勺(2a+l),則。的取值范圍是()

A.a>\B.a<~2

C.a>\或a<—2D.—\<a<2

◎達標檢測

1.(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的有()

x(%—1)-

A.y—1B.y——JC

'X—1'33

2.3

C.y=%—；人D.y=Ji爐一不J

2.已知y=/U)是偶函數(shù)，其圖象與x軸有4個交點，則方程_/(%)

=0的所有實數(shù)根之和是()

A.4B.2C.1D.0

3.若函數(shù)1])="2—13%+。|為偶函數(shù)，則a=()

A.1B.2C.3D.0

4.已知奇函數(shù)人幻在R上單調(diào)遞減，且式2)=—1,則滿足一1W八%

—2)W1的％的取值范圍是()

A.[-2,2]B.