《實(shí)際問題與二次函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)【初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)】

第二十二章二次函數(shù)22.3實(shí)際問題與二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析教材分析《實(shí)際問題與二次函數(shù)》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了本章的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程等知識(shí)之后對(duì)二次函數(shù)知識(shí)應(yīng)用的深入推進(jìn)，它是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的歸宿．新課標(biāo)中要求學(xué)生能通過對(duì)實(shí)際問題的情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，體會(huì)其意義，能根據(jù)圖象的性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題．而本節(jié)解決的最值問題又是生活中利用二次函數(shù)知識(shí)解決最常見、最有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的問題之一。本節(jié)教材是利用二次函數(shù)的最大值解決幾類實(shí)際問題，一開始通過拋球的最大高度問題讓學(xué)生先求出函數(shù)的解析式，再求出使函數(shù)值晨大的自變量的值．在此問題的基礎(chǔ)上引出直接根據(jù)函數(shù)解析式求二次函數(shù)的最大值或最小值的結(jié)論。緊接著通過探究場(chǎng)地最大面積、商品最大利潤、水面寬度等三個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，每個(gè)問題都是建立二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來解決的，讓學(xué)生深刻體會(huì)了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)會(huì)求二次函數(shù)的最?。ù螅┲?；能夠從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)求出實(shí)際問題的最大（?。┲?。經(jīng)歷利用二次函數(shù)的最值解決實(shí)際問題的過程體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想，感受數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。通過將二次函數(shù)的最大值的知識(shí)靈活運(yùn)用于實(shí)際，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)關(guān)系并運(yùn)用二次函數(shù)的最大(小)值解決實(shí)際問題?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】從現(xiàn)實(shí)問題中建立二次函數(shù)模型。課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備多媒體課件、教具等。教學(xué)過程教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新知。問題1填空：（1）二次函數(shù)

的圖象和性質(zhì)

①當(dāng)

a>0

時(shí)，二次函數(shù)的圖象(拋物線)開口______，有最______點(diǎn)，對(duì)稱軸是____，頂點(diǎn)坐標(biāo)是______

；②當(dāng)

a<0

時(shí)，二次函數(shù)的圖象(拋物線)開口______，有最______點(diǎn)，對(duì)稱軸是____

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是______。（2）二次函數(shù)

的圖象和性質(zhì)

①當(dāng)

a>0

時(shí)，二次函數(shù)的圖象(拋物線)開口______，有最______點(diǎn)，對(duì)稱軸是____，頂點(diǎn)坐標(biāo)是______；

②當(dāng)

a<0

時(shí)，二次函數(shù)的圖象(拋物線)開口______，有最______點(diǎn)，對(duì)稱軸是____，頂點(diǎn)坐標(biāo)是______。問題2某商店銷售一種商品，每件的進(jìn)價(jià)為2.50元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售量與銷售單價(jià)滿足如下關(guān)系：在一段時(shí)間內(nèi)，單價(jià)是13.50元時(shí)，銷售量為500件，而單價(jià)每降低1元，就可以多售出200件．你知道銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商店獲利最大嗎？在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常會(huì)遇到類似于問題2中的最值問題，如拋球、圍墻、拱橋跨度等，利用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)研究和解決這些問題，具有很現(xiàn)實(shí)的意義。從這節(jié)課開始，我們就共同解決這幾個(gè)問題。設(shè)計(jì)意圖：問題1復(fù)習(xí)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并由二次函數(shù)的解析式可以求出相應(yīng)函數(shù)的最大（?。┲?，為本節(jié)課根據(jù)函數(shù)最值解決實(shí)際問題作準(zhǔn)備；問題2通過商品銷售最大利潤問題引出本節(jié)課所要解決的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。二、合作交流，探索新知。問題3從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系式是(0≤t≤6)．小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少時(shí)，小球最高？小球運(yùn)動(dòng)中的最大高度是多少？追問1：上面的問題中有哪幾個(gè)變量？問題中的兩個(gè)變量：小球的高度h（單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）．追問2：計(jì)算當(dāng)t＝1、t＝2、t＝3、t＝4、t＝5、t＝6時(shí)，h的值分別是多少？t0123456h025404540250追問3：你能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，畫出函數(shù)(0≤t≤6)的圖象嗎？追問4：根據(jù)函數(shù)圖象，觀察出小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少時(shí)，小球最高？小球運(yùn)動(dòng)中的最大高度是多少？歸納：這個(gè)函數(shù)的圖象是一條拋物線的一部分．這條拋物線的頂點(diǎn)是這個(gè)函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)，也就是說，當(dāng)t取頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，這個(gè)函數(shù)有最大值。追問5：能直接根據(jù)函數(shù)的解析式求出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和最大值嗎？當(dāng)t＝－＝－＝3時(shí)，h有最大值＝＝45。答：小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3s時(shí)，小球最高．小球運(yùn)動(dòng)中的最大高度是45m。追問6：對(duì)于一般形式的二次函數(shù)的最小（大）值又是怎么的呢？歸納：當(dāng)a＞0（a＜0），拋物線的頂點(diǎn)是最低（高）點(diǎn)，也就是說，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最?。ù螅┲怠Ｈ?、運(yùn)用新知。例1：用總長為60m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化．當(dāng)l是多少米時(shí)，場(chǎng)地的面積S最大？分析：先找出兩個(gè)變量，然后寫出S關(guān)于l的函數(shù)解析式，最后求出使S最大的l值。解：矩形場(chǎng)地的周長是60m，一邊長為lm，所以另一邊長（－l）m．場(chǎng)地的面積，即（0＜l＜30）。因此，當(dāng)l＝－＝－＝15時(shí)，S有最大值＝＝225．也就是說，當(dāng)l是15m時(shí)，場(chǎng)地的面積S最大。例2：某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件．市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件。已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤最大？分析：調(diào)整的價(jià)格包括漲價(jià)和降價(jià)兩種情況。（1）我們先看漲價(jià)的情況．設(shè)每件漲價(jià)x元，每星期則少賣l0x件，實(shí)際賣出(300－l0x)件，銷售額為(60+x)(300－l0x)元，買進(jìn)商品需付40(300－10x)元．因此，所得利潤y＝(60+x)(300－l0x)一40(300－l0x)，即。列出函數(shù)解析式后，引導(dǎo)學(xué)生怎樣確定x的取值范圍呢？由300－l0x≥0，得x≤30．再由x≥0，得0≤x≤30。根據(jù)上面的函數(shù)，可知：當(dāng)x＝5時(shí)，y最大，也就是說，在漲價(jià)的情況下，漲價(jià)5元，即定價(jià)65元時(shí)，利潤最大，最大利潤是6250元。（2）我們?cè)倏唇祪r(jià)的情況。設(shè)每件降價(jià)x元，每星期則多賣20x件，實(shí)際賣出(300＋20x)件，銷售額為(60－x)(300＋20x)元，買進(jìn)商品需付40(300＋20x)元．因此，所得利潤y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，即。怎樣確定x的取值范圍呢？由降價(jià)后的定價(jià)(60－x)元，不高于現(xiàn)價(jià)60元，不低于進(jìn)價(jià)40元可得0≤x≤20．當(dāng)x＝2.5時(shí)，y最大，也就是說，在降價(jià)的情況下，降價(jià)2.5元，即定價(jià)57.5元時(shí)，利潤最大，最大利潤是6125元。由（1）（2）的討論及現(xiàn)在的銷售狀況，你知道應(yīng)如何定價(jià)能使利潤最大了嗎？結(jié)論：綜合漲價(jià)和降價(jià)兩種情況及現(xiàn)在的銷售狀況可知，定價(jià)65元時(shí)，利潤最大。追問：現(xiàn)在可以解決課前提出的問題2中的最大利潤問題了嗎？分析：設(shè)每件商品降價(jià)x元，總利潤為y元，則y＝(13.5－x－2.5)(500＋200x)，即，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4.25，9112.5），即當(dāng)每件商品降價(jià)4.25元，即售價(jià)為13.5－4.25＝9.25時(shí)，可取得最大利潤9112.5元。例3：下圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m．水面下降1m，水面寬度增加多少？分析：我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線，建立適應(yīng)的坐標(biāo)系，就可以求出這條拋物線表示的二次函數(shù)．為解題簡便，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系。如上圖，設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為．由拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2，－2)，可得，．這條拋物線表示的二次函數(shù)為。當(dāng)水面下降1m時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為－3，根據(jù)上面的函數(shù)解析式可得水面的橫坐標(biāo)為，，據(jù)此可求出這時(shí)的水面寬度是。答：水面下降1m，水面寬度增加（）m。四、鞏固新知。練習(xí)1已知：正方形ABCD的邊長為4，E是BC上任意一點(diǎn)，且AE=AF，若EC=x，請(qǐng)寫出△AEF的面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x為何值時(shí)y最大。提示：，當(dāng)x＝4時(shí)，y有最大值8．練習(xí)2某公園要建造一個(gè)圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，上面的A處安裝一個(gè)噴頭向外噴水．連噴頭在內(nèi)，柱高為0.8m．水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，如左圖所示。 根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙已知：如右圖中所示直角坐標(biāo)系中，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是。（1）噴出的水流距水平面的最大高度是多少?（2）如果不計(jì)其他的因素，那么水池至少為多少時(shí)，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)?提示：問題（1