高中數(shù)學同步講義（人教A版選擇性必修三）第10講 7.2 離散型隨機變量及其分布列（學生版）

第03講7.2離散型隨機變量及其分布列課程標準學習目標1.通過具體案例，了解離散型隨機變量的概念，理解隨機變量的分布列及其性質(zhì)。2.通過具體案例，了解兩點分布的概念及特點。3.會求離散型隨機變量的分布列及兩點分布列的相關量。通過本節(jié)課的學習，要求會求簡單應用問題中的離散型隨機變量的分布列，能應用分布列的相關性質(zhì)求問題中的相關量，會應用兩點分布的特點解決與兩點分布有關的問題知識點01：離散型隨機變量（1）隨機變量的定義一般地，對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點都有唯一的實數(shù)與之對應，我們稱為隨機變量．表示：用大寫英文字母表示隨機變量，如，，；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，如，，．特征：隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數(shù)與之對應，隨機變量有如下特征：①取值依賴于樣本點．②所有可能取值是明確的．（2）隨機變量與函數(shù)的關系共同點：隨機變量和函數(shù)都是一種映射區(qū)別:隨機變量把試驗的結果映為實數(shù)，函數(shù)把實數(shù)映為實數(shù)聯(lián)系：試驗結果的范圍相當于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當與函數(shù)的值域；注意：所有隨機變量的取值范圍的集合叫做隨機變量的值域.（3）離散型隨機變量的定義對于隨機變量可能取的值，如果可以一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的特征：①可用數(shù)值表示；②試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；③試驗之前不能確定取何值；④試驗結果能一一列出；⑤本章研究的離散型隨機變量只取有限個值（4）連續(xù)型隨機變量的定義隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.知識點02：離散型隨機變量的分布列（1）離散型隨機變量的分布列的定義一般地，設離散型隨機變量的可能取值為，，…，，我們稱取每一個值的概率，為的概率分布列，簡稱分布列．①解析式法：i,②表格法：…………③圖象法:（2）離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)①，②注意：①.列出隨機變量的所有可能取值；②.求出隨機變量的每一個值發(fā)生的概率.【即學即練1】1．（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）設，隨機變量的分布列為：589則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，所以.故選：D知識點03：兩點分布對于只有兩個可能結果的隨機試驗,用表示“成功”,

表示“失敗”,定義如果，則，那么的分布列如下所示：01我們稱服從兩點分布或者分布.【即學即練2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為的分布列服從兩點分布，所以，又，所以，所以，所以.故選：A.知識點04：寫離散型隨機變量的分布列的步驟(1)找：理解并確定的意義，找出隨機變量X的所有可能的取值()(2)求：借助概率的有關知識求出隨機變量X取每一個值的概率()注意應用計數(shù)原理、古典概型等知識(3)列：列出表格并檢驗所求的概率是否滿足分布列的兩條性質(zhì).注意：寫出分布列時要注意將化為最簡分式形式，但是在利用檢驗分布列是否正確時可利用化簡前的分式結果.題型01隨機變量【典例1】（2024·全國·高三專題練習）袋中有2個黑球、5個紅球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是（

）A．取到的球的個數(shù) B．取到紅球的個數(shù)C．至少取到一個紅球 D．至少取到一個紅球的概率【典例2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）將一顆質(zhì)地均勻的骰子擲兩次，不能作為隨機變量的是（）A．兩次擲出的點數(shù)之和B．兩次擲出的最大點數(shù)C．第一次與第二次擲出的點數(shù)之差D．兩次擲出的點數(shù)【典例3】（2024·全國·高二假期作業(yè)）在下列表述中不是離散型隨機變量的是（

）①某機場候機室中一天的旅客數(shù)量；

②某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)；③某籃球下降過程中離地面的距離；

④某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X．A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的【變式1】（2024·全國·高三專題練習）下列敘述中，是離散型隨機變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數(shù)D．袋中有個黑球個紅球，任取個，取得一個紅球的可能性【變式2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是（

）A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率【變式3】（2024·全國·高二假期作業(yè)）袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個黑球、3個白球，從中任取2個，則可以作為隨機變量的是（

）A．至少取到1個黑球 B．取到黑球的個數(shù)C．至多取到1個黑球 D．取到的球的個數(shù)題型02分布列及其性質(zhì)的應用【典例1】（2024·全國·高三專題練習）設某種疫苗試驗的失敗率是成功率的5倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則等于（

）A．0 B． C． D．1【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）隨機變量ξ的分布列如下：其中，則等于（

）A． B．C． D．【典例3】（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）隨機變量的分布列如下表所示：12340.10.3則.【典例4】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知離散型隨機變量X的分布列如表所示，則m的值為.0123【變式1】（2024下·全國·高二隨堂練習）設隨機變量X的分布列為，，則的值為（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知隨機變量X的分布列為（），其中是常數(shù)，則（

）A． B．C． D．以上均不正確【變式3】（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）設隨機變量的分布列為，則常數(shù).【變式4】（2024·全國·高三專題練習）離散型隨機變量的概率分布規(guī)律為，其中是常數(shù)，則.題型03求離散型隨機變量的分布列【典例1】（2024·全國·高三專題練習）某縣教育局從縣直學校推薦的6名教師中任選3人去參加進修活動，這6名教師中，語文、數(shù)學、英語教師各2人．(1)求選出的數(shù)學教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)的概率；(2)設X表示選出的3人中數(shù)學教師的人數(shù)，求X的分布列．【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）一臺設備由三個部件構成，假設在一天的運轉中，部件1，2，3需要調(diào)整的概率分別為0.1，0.2，0.2，各部件的狀態(tài)相互獨立．(1)求設備在一天的運轉中，部件1，2中至少有1個需要調(diào)整的概率；(2)記設備在一天的運轉中需要調(diào)整的部件個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列．【典例3】（2024下·全國·高二隨堂練習）某食堂為了了解同學們在高峰期打飯的時間，故安排一名食堂阿姨隨機收集了在食堂某窗口打飯的100位同學的相關數(shù)據(jù)(假設同學們打飯所用時間均為下表列出時間之一)，如下表所示.學生數(shù)(人)x25y10打飯時間(秒/人)10152025已知這100位同學的打飯時間從小排到大的第65百分位數(shù)為17.5秒．(1)確定x，y的值；(2)若各學生的結算相互獨立，記X為該窗口開始打飯至20秒末已經(jīng)打飯結束的學生人數(shù)，求X的分布列．(注：將頻率視為概率)【典例4】（2024·全國·高二假期作業(yè)）第33屆夏季奧林匹克運動會即將于2024年在巴黎舉辦，其中游泳比賽分為預賽、半決賽和決賽三個階段，只有預賽、半決賽都獲勝才有資格進入決賽．已知甲在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，乙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，丙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，其中．(1)甲、乙、丙三人中，哪個人進入決賽的可能性更大?(2)如果甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為，求p的值；(3)在（2）的條件下，設甲、乙、丙三人中進入決賽的人數(shù)為，求的分布列．【變式1】（2024·全國·高三專題練習）學校舉行定點投籃比賽，規(guī)定每人投籃4次，投中一球得2分，沒有投中得0分，假設每次投籃投中與否是相互獨立的.已知小明每次投籃投中的概率都是.(1)求小明在投籃過程中直到第三次才投中的概率；(2)求小明在4次投籃后的總得分ξ的分布列【變式2】（2024下·全國·高二隨堂練習）已知新高考數(shù)學共4道多選題，評分標準是每題滿分5分，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選或不選的得0分．每道多選題共有4個選項，正確答案往往為2項或3項.為了研究多選題的答題規(guī)律，某數(shù)學興趣小組研究發(fā)現(xiàn)：多選題正確答案是“選兩項”的概率為，正確答案是“選三項”的概率為.現(xiàn)有學生甲、乙兩人，由于數(shù)學基礎很差，多選題完全沒有思路，只能靠猜.(1)已知某題正確答案是“選兩項”，求學生甲不得0分的概率；(2)學生甲的答題策略是“猜一個選項”，學生乙的策略是“猜兩個選項”，試寫出甲、乙兩名學生得分的分布列.【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習）設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求隨機變量的分布列；(2)求隨機變量的分布列.【變式4】（2024·全國·高二假期作業(yè)）某地區(qū)組織所有高一學生參加了“科技的力量”主題知識竟答活動，根據(jù)答題得分情況評選出一二三等獎若干，為了解不同性別學生的獲獎情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名參加活動的高一學生，獲獎情況統(tǒng)計結果如下：性別人數(shù)獲獎人數(shù)一等獎二等獎三等獎男生200101515女生300252540假設所有學生的獲獎情況相互獨立．(1)分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽取1名，求抽到的2名學生都獲一等獎的概率；(2)用頻率估計概率，從該地區(qū)高一男生中隨機抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機抽取1名，以X表示這2名學生中獲獎的人數(shù)，求的分布列題型04由隨機變量分布列求概率【典例1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）設離散型隨機變量X的概率分布為X01234P0.150.150.150.25m若隨機變量，則等于（）A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7【典例2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）一袋中裝有4個白球和2個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時從袋中抽取的白球的個數(shù)為隨機變量，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知離散型隨機變量的分布列為：X123Pm則，．【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）設隨機變量X的分布列，則的值為（

）A．1 B． C． D．【變式2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知離散型隨機變量X的分布列如下表：X0123Pa若離散型隨機變量，則（

）．A． B． C． D．【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習）設隨機變量X的分布列如下表：X1234Pm則．題型05兩個相關隨機變量的分布列【典例1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知隨機變量服從兩點分布，且.設，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【典例2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知隨機變量的分布列如表所示．0123(1)求隨機變量的分布列；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）隨機變量的取值范圍是{1，2，3，4，5}，且．則Y的取值范圍是．【變式2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）某快餐店的小時工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪1000元，每工作1小時獲取30元．從該快餐店中任意抽取一名小時工，設其月工作時間為X小時，獲取的稅前月工資為Y元．(1)當時，求Y的值；(2)寫出X與Y之間的關系式；(3)若，求的值．題型06兩點分布【典例1】（2023上·江西吉安·高三江西省泰和中學校考階段練習）已知隨機變量X服從兩點分布，且，，那么.【典例2】（2023·全國·高二專題練習）已知X服從參數(shù)為0.3的兩點分布，則；若，則.【典例3】（2023上·高二課時練習）在一次購物抽獎活動中，假設10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品．顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列．【變式1】（2023下·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知隨機變量服從兩點分布，且，，那么．【變式2】（2023·全國·高二課堂例題）從裝有個白球和個紅球的口袋中任取個球，用表示“取到的白球個數(shù)”，則的取值為或，即，求隨機變量的概率分布．【變式3】（2023上·高二課時練習）擲一顆骰子，觀察擲得的點數(shù).(1)求點數(shù)X的分布；(2)只關心點數(shù)6是否出現(xiàn).若出現(xiàn)，則記，否則記.求Y的分布.A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2024下·全國·高二隨堂練習）設離散型隨機變量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P則下列各式正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）拋擲2枚骰子，所得點數(shù)之和記為，那么表示的隨機試驗結果是（

）A．2枚都是4點B．1枚是1點，另1枚是3點C．2枚都是2點D．1枚是1點，另1枚是3點，或者2枚都是2點3．（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知隨機變量的分布列為，2，3，，，則（）A． B． C． D．4．（2024·全國·高二假期作業(yè)）若隨機變量的分布列如表，則的值為（

）1234A． B． C． D．5．（2024·全國·高二假期作業(yè)）拋擲兩枚骰子，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)之差為，則表示的試驗結果是（

）A．第一枚6點，第二枚1點 B．第一枚5點，第二枚1點C．第一枚2點，第二枚6點 D．第一枚6點，第二枚2點6．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）如圖，我國古代珠算算具算盤每個檔掛珠的桿上有顆算珠，用梁隔開，梁上面顆叫上珠，下面顆叫下珠，若從某一檔的顆算珠中任取顆，記上珠的個數(shù)為，則（

）A． B．C． D．7．（2024·全國·高三專題練習）泊松分布是統(tǒng)計學里常見的離散型概率分布，由法國數(shù)學家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列為，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值.已知某線路每個公交車站臺的乘客候車相互獨立，且每個站臺候車人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，若該線路某站臺的候車人數(shù)為2和3的概率相等，則該線路公交車兩個站臺各有1個乘客候車的概率為（

）A． B． C． D．8．（2024·全國·高二假期作業(yè)）設是一個離散型隨機變量，其分布列如下，則等于（

）

A． B． C． D．二、多選題9．（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知隨機變量ξ的分布列為：ξ－2－10123P若，則實數(shù)的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．1010．（2023下·河南周口·高二校聯(lián)考期中）已知離散型隨機變量的分布列為12460.20.1則下列選項正確的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．三、填空題11．（2023下·高二課時練習）離散型隨機變量X的概率分布中部分數(shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，y代替，其概率分布如下：X123456P0.200.10x0.10y0.20則等于.12．（2023下·高二課時練習）若隨機變量X的概率分布列為，k＝1，2，3，則.四、解答題13．（2023·全國·高二課堂例題）設隨機變量X的分布列為，k=1，2，3，4，其中c為常數(shù)，求的值．14．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）在全國碩士研究生統(tǒng)一招生考試中，甲，乙，丙三名應屆本科畢業(yè)生都以優(yōu)秀的成績通過了某重點大學的初試，即將參加該重點大學組織的復試．已知甲，乙，丙三名同學通過復試的概率分別為，，p，復試是否通過互不影響，且甲，乙，丙三名同學都沒有通過復試的概率為．(1)求p的值；(2)設甲，乙，丙三名同學中通過復試的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列．B能力提升1．（2023上·吉林長春·高二東北師大附中校考期末）某商場為了促銷規(guī)定顧客購買滿500元商品即可抽獎，最多有3次抽獎機會，每次抽中，可依次獲得10元，30元，50元獎金，若沒有抽中，則停止抽獎．顧客每次軸中后，可以選擇帶走所有獎金，結束抽獎；也可選擇繼續(xù)抽獎，若沒有抽中，則連同前面所得獎金全部歸零，結束抽獎．小李購買了500元商品并參與了抽獎活動，己知他每次抽中的概率依次為，如果第一次抽中選擇繼續(xù)抽獎的概率為，第二次抽中選擇繼續(xù)抽獎的概率為，且每次是否抽中互不影響．(1)求小李第一次抽中且所得獎金歸零的概率；(2)設小李所得獎金總數(shù)為隨機變量，求的分布列．2．（2023下·浙江·高二校聯(lián)考期末）北京時間4月30日晩，2023年國際象棋世界冠軍賽在哈薩克斯坦首都阿斯塔納閉幕，來自溫州的國際象棋男子特級大師丁立人最終擊敗涅波姆尼齊亞，加冕世界棋王.這是中國棋手首次奪得國際象棋男子世界冠軍.某小學為了提高同學學習國際象棋的興趣，舉行了二年級國際象棋男子團體賽，各班級均可以報送一支5人隊伍.比賽分多輪進行，每輪比賽每隊都需選定4名選手，每輪比賽選手可不同.比賽沒有平局，每