角平分線的基本模型（一）全等類-2023年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型（全國(guó)通用）

角平分線的重要模型（一）全等類

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R(shí)點(diǎn)，需要掌握其各

大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，本專題就角平分線的全等類

模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

模型1.角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱模型（角平分線+截線段等）

【模型解讀與圖示】

已知如圖1,OP為NAO5的角平分線、PM不具備特殊位置時(shí)，輔助線的作法大都為在03上截取

ON=OM,連結(jié)PN即可.即有AQWPmAONP,利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

ABIICDnAB+CD=BC

1.（2022?湖北十堰?九年級(jí)期末）在aABC中，NACB=2NB,如圖①，當(dāng)Z_C=90。，AD為NBAC的角平分線

時(shí)，在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE,易證AB=AC+CD.

①②③

（1）如圖②，當(dāng)NO90。，AD為NBAC的角平分線時(shí)，線段AB,AC,CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明,

請(qǐng)直接寫出你的猜想；

（2）如圖③，當(dāng)AD為4ABC的外角平分線時(shí)，線段AB,AC,CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想,

并對(duì)你的猜想給予證明.

2.（2022?山東煙臺(tái)?九年級(jí)期末）已知在ABC中，滿足NACB=2/3,

（1）【問題解決】如圖1,當(dāng)NC=90。，AD為NBAC的角平分線時(shí)，在AB上取一點(diǎn)E使得AE=AC,連接DE,

求證：AB=AC+CD.

（2）【問題拓展】如圖2,當(dāng)NCW90。，AO為NBAC的角平分線時(shí)，在AB上取一點(diǎn)E使得A￡=AC,連接DE,

（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你證明：若不成立，請(qǐng)說明理由.

（3）［猜想證明】如圖3,當(dāng)AD為他。的外角平分線時(shí),在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E使得AE=AC,連接DE,

線段AS、AC,8又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明.

3.（2022?浙江?九年級(jí)期中）（1）如圖1,在A43C中，乙4cB=2乙B,NC=90。，為N8/C的平分線交8C

于D,求證：AB=AC+CD.（提示：在48上截取/E=/C,連接。E）

（2）如圖2,當(dāng)NCH90。時(shí)，其他條件不變，線段/鳳AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果，不需

要證明.（3）如圖3,當(dāng)乙4c*90。，乙4c2=248,4D為八43。的外角NC4尸的平分線，交5c的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)。，則線段AC.CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并加以證明.

4.（2022?北京九年級(jí)專題練習(xí)）在四邊形ABDE中，C是邊的中點(diǎn).

（1）如圖（1）,若AC平分NBAE,ZACE=90°,則線段AE、48、OE的長(zhǎng)度滿足的數(shù)量關(guān)系為；

（直接寫出答案）；（2）如圖（2）,AC平分NR4E,EC平分NAED,若/ACE=120。，則線段48、BD、

DE、AE的長(zhǎng)度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明.

模型2.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）

【模型解讀與圖示】

己知如圖1,OP為NQ45的角平分線、于點(diǎn)M時(shí)，輔助線的作法大都為過點(diǎn)P作PN，03

即可.即有PA/=PN、bOMPmbONP等,利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

鄰等對(duì)補(bǔ)模型：已知如圖2,/尸是的角平分線，EP=DP

輔助線：過點(diǎn)尸作尸GL/C、PF±AB

結(jié)論：①NB4C+NEPD=180°（A、E、尸、O四點(diǎn)共圓）；②DF=EG；?AD=AE+2DF

1.（2022?北京?中考真題）如圖，在AABC中，AO平分NBACDELAA若4c=2,。《=1,則5AAe0=

BDC

2.(2022?山東泰安?中考真題)如圖，△"(：的外角NACD的平分線CP與內(nèi)角/ABC的平分線BP交于點(diǎn)P,

若/BPC=40°,貝ljNCAP=()

C.50°D.60°

3.(2022?江蘇揚(yáng)州?中考真題)如圖，在中，BE、DG分別平分/ABC、ZADC,交AC于點(diǎn)E、G.

(1)求證：BE〃DG,BE=DG；(2)過點(diǎn)E作所，A3,垂足為尸.若A5CD的周長(zhǎng)為56,EF=6,求AABC

的面積.

4.(2022?河北?九年級(jí)專題練習(xí))已知0P平分乙ZZ>CE的頂點(diǎn)C在射線。尸上，射線CD交射線

于點(diǎn)F,射線CE交射線OB于點(diǎn)G.

(1)如圖1,若CO16M,CEVOB,請(qǐng)直接寫出線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,若乙408=120。，Z.DCE=^AOC,試判斷線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

模型3.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）

【模型解讀與圖示】

已知如圖bOP為NAO3的角平分線，于點(diǎn)P時(shí)，輔助線的作法大都為延長(zhǎng)交03于點(diǎn)N

即可。即可構(gòu)造△尸0N絲△POM,有AQW.是等腰三角形、OP是三線等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.常見

模型如圖2。

1.（2022?安徽合肥?一模）如圖，ABC中，平分NR4C,￡是8c中點(diǎn)，AD±BD,AC=1,AB=4,

13

A.1B.2C.-D.-

22

2.（2022?綿陽市?九年級(jí)期中）在A42C中，AB=AC,ZS/C=9O,2。平分ZABC交/C于點(diǎn)D

（1）如圖1,點(diǎn)、F為BC上一點(diǎn),連接/下交AD于點(diǎn)￡若AB=BF,求證：AD垂直平分NE

（2）如圖2,CELBD,垂足￡在區(qū)D的延長(zhǎng)線上.試判斷線段CE1和AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖3,點(diǎn)尸為8C上一點(diǎn)，乙EFC=W"BC,CE1EF,垂足為E,EF與AC交于點(diǎn)、M.直接寫出線段

CE與線段乩f的數(shù)量關(guān)系.

3.（2022?福建?廈門九年級(jí)期中）如圖，在AABC中，AB=AC,/54C=90°,

（1）如圖1,2。平分NABC交AC于點(diǎn)。，尸為BC上一點(diǎn)，連接A尸交2。于點(diǎn)E.

（i）AB=BF,求證：2。垂直平分AF；（ii）若求證：AD=CF.

（2）如圖2,8。平分NABC交AC于點(diǎn)。，CE±BD,垂足E在。的延長(zhǎng)線上，試判斷線段CE和8。的

小，

數(shù)量關(guān)系,并說明理由.（3）如圖3,F為BC上一點(diǎn),NEFCCELEF,垂足為E,EF^AC

交于點(diǎn)。,寫出線段CE和尸。的數(shù)量關(guān)系.（不要求寫出過程）

圖1圖2圖3

4.（2022?安徽黃山?九年級(jí)期中）如圖，在AABC中，ZBAC=90°,AB^AC,。是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，CELBD

于E.（1）如圖（1）,若8。平分NABC時(shí)，①求/ECD的度數(shù)；

②延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，補(bǔ)全圖形，探究8。與EC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）如圖（2）,過點(diǎn)A作AFLBE于點(diǎn)尸，猜想線段BE,CE,A尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2022?江蘇常州?一模）如圖，已知四邊形ABCD的對(duì)角互補(bǔ)，且=AB=15,AD=12.過

AF

頂點(diǎn)C作GM于￡,則族的值為（）

A.773B.9C.6D.7.2

2.（2021?四川成都?二模）已知,如圖,BC=DC,ZB+ZD=180°.連接AC,在AB,AC,AD上分別取點(diǎn)E,P,

F,連接PE,PF.若AE=4,AF=6,ZkAPE的面積為4,則AAPF的面積是（）

A.2B.4C.6D.8

3.（2022?福建?福州立志中學(xué)一模）如圖，&45C中，乙42C=45。，CDL4B于點(diǎn)、D,BE平分UBC,>BE1AC

于點(diǎn)8,交CD于點(diǎn)尸，〃是8C邊的中點(diǎn)，連接。打交BE于點(diǎn)G,現(xiàn)給出以下結(jié)論：①△/C。三△尸8。；

②4E=CE；③△DG尸為等腰三角形；④S四邊形ADGE=S四邊形GHCE.其中正確的有（寫出所有正

確結(jié)論序號(hào)）.

4.（2020?重慶市松樹橋中學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，aABC的面積為9cm2,BP平分/ABC,AP_LBP于P,連

接PC,貝iJaPBC的面積為cm2.

5.（2020?江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)城西分校八年級(jí)月考）如圖，在aABC中，NA=90。，AB=AC,NABC的平

分線BD交AC于點(diǎn)D,CEXBD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若BD=4,則CE=.

6.（2021?四川眉山市?八年級(jí)期末）在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90,B。平分NABC交AC于點(diǎn)D.

Cl）如圖1,點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交8。于點(diǎn)E.若48=BF,求證：3。垂直平分AF.

（2）如圖2,CE±BD,垂足E在BD的延長(zhǎng)線上.試判斷線段CE和B。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖3,點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，NEFC=；/ABC,CE±EF,垂足為E,EF與AC交于點(diǎn)M.直接寫出線段

CE與線段F/W的數(shù)量關(guān)系.

7.（2022?北京西城?二模）在A48C中，AB=AC,過點(diǎn)C作射線CQ,使（點(diǎn)夕與點(diǎn)8在直線

NC的異側(cè)）點(diǎn)。是射線C9上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)￡在線段8C上，且AD/E+乙4CD=90。.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)C重合時(shí)，與CB'的位置關(guān)系是,若BC=a,則。的長(zhǎng)為；（用

含。的式子表示）（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE.①用等式表示NBAC與4DAE之間的數(shù)量

關(guān)系，并證明；②用等式表示線段BE,CD,DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

1?C（E）BEC

圖1圖2

8.（2022?重慶?二模）已知：如圖1,四邊形N8CD中，NABC=135。，連接/C、BD,交于點(diǎn)E,

BDLBC,AD=AC.

AD

里」

圖1圖2D圖3

⑴求證:ZZMC=90°；⑵如圖2,過點(diǎn)2作BFLAB,交DC于點(diǎn)尸，交/C于點(diǎn)G,DBF=2SCBF,

求證：AG=CG；（3）如圖3,在（2）的條件下，若AB=3,求線段G尸的長(zhǎng).

9.(2022?陜西西安?一模)如圖，和△8CE都是等邊三角形，Z^5C<105°,AE與DC交于點(diǎn)F.

(1)求證：AE=DC；(2)求NBFE的度數(shù)；(3)若/尸=9.17cm,BF=1.53cm,CF=7.53cm