打卡第一天-沖刺2023年高考數(shù)學(xué)考前必刷題限時(shí)集訓(xùn)練（新高考通用）解析版

【10天刷完高考真題】沖刺2023年高考數(shù)學(xué)考前必刷題限時(shí)集訓(xùn)練（新高考通

用）

新高考真題限時(shí)訓(xùn)練打卡第一天

一、單選題

1.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合A={x|lSE3},B={x|2<x<4},則AUB=（）

A.{x|2K3}B.{x|2<r<3}

C.{x\l<x<4}D.{x|l<x<4}

【答案】C

【分析】根據(jù)集合并集概念求解.

【詳解】AU8=U,3]U（2,4）=U,4）故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查集合并集，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

2.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1

個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種

C.60種D.30種

【答案】C

【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計(jì)數(shù)和乘法計(jì)數(shù)原理求解.

【詳解】首先從6名同學(xué)中選1名去甲場館，方法數(shù)有屐；

然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場館，方法數(shù)有C；；最后剩下的3名同學(xué)去丙場館.

故不同的安排方法共有=6x10=60種.故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2020?海南?高考真題）日皆是中國古代用來測定時(shí)間的

儀器，利用與唇面垂直的唇針投射到唇面的影子來測定時(shí)

間.把地球看成一個(gè)球（球心記為。），地球上一點(diǎn)A的緯

度是指。4與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面

是指過點(diǎn)4且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日皆，

若唇面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°,

則辱針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

【答案】B

【分析】畫出過球心和暑針?biāo)_定的平面截地球和懸面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定

理和線面垂直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)A處的緯度，計(jì)算出唇針與點(diǎn)A處的水

平面所成角.

【詳解】畫出截面圖如下圖所示，其中8是赤道所在平面的截線；/是點(diǎn)A處的水平面的

截線，依題意可知04，/；AB是唇針?biāo)谥本€.〃?是唇面的截線，依題意依題意，唇面和赤

道平面平行，劈針與唇面垂直，

根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知m//CD、根據(jù)線面垂直的定義可得ABLm..

由于NAOC=40。,W/C￡>,所以NO4G=NAOC=40°,

由于NQ4G+NG4￡=+NG4￡=90。，

所以N3AE=NOAG=40。，也即遇針與點(diǎn)A處的水平面所成角為N84￡=40。.故選：B

【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計(jì)算，涉及平面平行，線面垂

直的性質(zhì)，屬于中檔題.

4.(2020?海南?高考真題)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或

游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生

數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

【答案】C

【分析】記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件A,“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件B,貝心該中學(xué)

學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件A+8,“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件48,然

后根據(jù)積事件的概率公式P(A?8)=P(A)+P(B)-P(A+B)可得結(jié)果.

【詳解】記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件A,“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件B,則“該中學(xué)

學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件A+8,“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件A-B,

貝”(A)=0.6,P(8)=0.82,P(A+B)=0.96,

所以P(A?8)=P(A)+P(B)-P(A+8)=0.6+0.82-0.96=0.46

所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了積事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2020?山東?統(tǒng)考高考真題)基本再生數(shù)及與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).

基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在

新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/⑺=e”描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間f(單位：

天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與R。,「近似滿足Ro=l+，Z有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出&=3.28,

h6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2R.69)

()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得/(/)=6"=外貓，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加

1倍需要的時(shí)間為4天，根據(jù)=2^38,，解得八即可得結(jié)果.

[詳解]因?yàn)閝=3.28,7=6,&=[+,7,所以「=^11=0.38,所以/(0=6'，=*3出，

6

設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為4天，

貝！I所以滑3跖=2,所以0.3甑=ln2,所以4=鑒=僵名1.8天.故選：B.

0.380.38

【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2020.海南?高考真題)若定義在R的奇函數(shù)兀r)在(Y°，0)單調(diào)遞減，且穴2)=0,則滿足

獷*-1)20的尢的取值范圍是()

A.[-1.1JB”)B.[-3,-1][0,1]

C.[-l,0]u[l,+a>)D.[-1,0]^[1,3]

【答案】D

【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)/(x)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，再根據(jù)兩個(gè)

數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)Ax)在(TO,0)上單調(diào)遞減，且/(2)=0,

所以/(x)在(0,+8)上也是單調(diào)遞減，且/(-2)=0,/(0)=0,

所以當(dāng)了€(-0,-2)=(0,2)時(shí)，/(x)>0,當(dāng)xe(-2,0)(2,-)時(shí)，/(x)<0,

所以由4Xx-IRO可得:

或x=0

-2<x-l<00<x-l<2

解得TWxWO或14x43,所以滿足對Xx-DNO的x的取值范圍是【T01WL3],故選:

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法,

屬中檔題.

二、多選題

7.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）已知曲線。:如2+江=］.（）

A.若標(biāo)>心0,則。是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若〃2=〃>0,則C是圓，其半徑為冊

其漸近線方程為丫=±招X

C.若〃。<0,則C是雙曲線,

D.若/n=0,n>0,則C是兩條直線

【答案】ACD

【分析】結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)分析求解，機(jī)>〃>0時(shí)表示橢圓，〃2=〃>0時(shí)表示圓，<0時(shí)

表示雙曲線，機(jī)=0,〃>0時(shí)表示兩條直線.

X'

【詳解】對于A,若則必2+?2=1可化為|

mn

因?yàn)?%>〃>（）,所以一<一,

mn

即曲線c表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；

對于B,若〃2=〃>0,貝（jinx?+=1可化為f+丫2=,

n

此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為正的圓，故B不正確；

n

9■）

三+T=i

對于C,若團(tuán)九<0,貝（jm%2+相>2=1可化為］1,

mn

此時(shí)曲線C表示雙曲線，

由y2+=0可得y=±J_竺X,故C正確；

對于D,若m=0,〃>0,貝（］，皿2+〃>2=1可化為丁=一，

n

y=±'，此時(shí)曲線。表示平行于x軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.

n

【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)

重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

8.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）已知辦0,h>0,且“+b=l,則（）

A.a2+b2>-B.2-">1

22

C.log2a+log2b>-2D.4a+>fb<\/2

【答案】ABD

【分析】根據(jù)“+b=l,結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.

【詳解】對于A,a2+h2=a2+(l-a)2=2a2-2a+\

當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=g時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；

對于B,a-b=2a-\>-\,所以2"">2一|=：,故B正確；

對于C,log2a4-log2b=log2ab<log21-I=log2—=-2,

當(dāng)且僅當(dāng)a=Z,=g時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；

對于D,因?yàn)?&+揚(yáng))=1+2\[ab<1+6/+^=2,

所以&+揚(yáng)4近,當(dāng)且僅當(dāng)4=6=3時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：ABD

【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，

側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

三、填空題

9.(2020?海南?高考真題)斜率為6的直線過拋物線C：丫2=敘的焦點(diǎn)，且與C交于A,B

兩點(diǎn)，則|A8卜.

【答案】y

【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式得直線方程，與拋物線方

程聯(lián)立消去y并整理得到關(guān)于x的二次方程，接下來可以利用弦長公式或者利用拋物線定

義將焦點(diǎn)弦長轉(zhuǎn)化求得結(jié)果.

【詳解】?.?拋物線的方程為V=4x,.?.拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為尸(1,0),

又,??直線AB過焦點(diǎn)F且斜率為6，.,.直線AB的方程為：y=6(x-l)

代入拋物線方程消去y并化簡得3/-10x+3=0,

解法一：解得XI=g,電=3

所以IABI=VI7F?與一々卜ViTi13-g|=?

解法二：A=100-36=64>0

設(shè)A(x,y),B(x?,%)，則%+/=,

過分別作準(zhǔn)線4-1的垂線，設(shè)垂足分別為G0如圖所示.

|481=|AF\+\BFHACI+IBDhx.+l+^+l=x,+x2+2=—

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長，涉及利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，弦長公式，屬基礎(chǔ)

題.

10.（2020?海南?高考真題）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件,零件的截面如圖所示.O

為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧A8與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧48與直線

3

8c的切點(diǎn)，四邊形。EFG為矩形，8C_L￡>G,垂足為C,tanZODC=-,BH//DG,EF=\2cm,

DE=2cm,A到直線QE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積

為cm2.

【答案】4+^

【分析】利用tanNODC=1求出圓弧居所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式求出扇形AOB

的面積，求出直角皿的面積，陰影部分的面積可通過兩者的面積之和減去半個(gè)單位圓

的面積求得.

【詳解】設(shè)。8=。4=廠，由題意AM=4V=7,EF=\2,所以NF=5,

因?yàn)锳P=5,所以NAGP=45",因?yàn)锽H〃DG,所以N44O=45°,

因?yàn)锳G與圓弧A3相切于A點(diǎn)，所以Q4_LAG,

即△04/7為等腰直角三角形；在直角△。。。中，0Q=5-［r,DQ=7-^r,

因?yàn)閠anNOOC=盥=g,所以21-宏1-25-辿r,解得r=2收；

DQ522

等腰直角△04H的面積為，=gx2應(yīng)x20=4；

扇形AOB的面積邑=；x,x（2夜丫=3乃，

所以陰影部分的面積為E+S2-g〃=4+予.故答案為：4+券.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用，把陰影部分合理分割是求解的關(guān)鍵，以勞

動(dòng)實(shí)習(xí)為背景，體現(xiàn)了五育并舉的育人方針.

四、解答題

11.（2020?海南?高考真題）在①比=g,②csinA=3,③。：血這三個(gè)條件中任選一個(gè)，

補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求。的值；若問題中的三角形不存在，說明理

由.

問題：是否存在.ABC,它的內(nèi)角A民C的對邊分別為。，。，c,且sinA=V5sin8,C=g,

6

________?

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】詳見解析

【分析】方法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關(guān)系，根

據(jù)比例關(guān)系，設(shè)出長度長度，由余弦定理得到c的長度，根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求

【詳解】［方法一］【最優(yōu)解】：余弦定理

由sinA=GsinB可得：*=8,不妨設(shè)。=百機(jī)力,

則：c2=a2+/?2-2cibcosC=3ni2+z??2-2xy/3mxm旦而即c=m.

2

若選擇條件①：

據(jù)此可得：ac=y/3mxm=>/3m2=x/3,/.m=1,此時(shí)c=m=l.

若選擇條件②：

據(jù)此可得：8"=飛1nv+m2-3m1_1

2ne~~2

=此時(shí)：貝!

則：sinA=fcsinA=mx—^-=3,hc=m=2\/3.

22

若選擇條件③:

可得5=%=1，。="，與條件C=G〃矛盾，則問題中的三角形不存在.

bm

［方法二］:正弦定理

TT

由C=2,A+B+C=7,^A=--B.

66

由sinA=6sin8,得sin（￥-81=石sinB,即，cosB+且sin8=Gsin8,

16）22

tanB=—.由于0<B<%,得5=g.所以6=°,4=4.

363

若選擇條件①：

解得C=6=1M=6.所以，選條件①時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c=l.

若選擇條件②:

24

由csinA=3,csin—=3,解得c=2G，貝！U=c=2&?

由二二二，得;2乃.乃，得。=+c=6.

sinAsinCsm-sin-"

3o

所以，選條件②時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c=2百.

若選擇條件③：

由于c=&與b=c矛盾，所以，問題中的三角形不存在.

【整體點(diǎn)評】方法一：根據(jù)正弦定理以及余弦定理可得”,仇。的關(guān)系，再根據(jù)選擇的條件即

可解出，是本題的通性通法,也是最優(yōu)解；

方法二：利用內(nèi)角和定理以及兩角差的正弦公式，消去角A,可求出角8,從而可得

b=c,A-,B=C=^,再根據(jù)選擇條件即可解出.

36

12.(2020?海南?高考真題)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量

進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO?濃度(單位：gg/m'),得下表：

[0.50](50,150](150,475]

PM25

[0.35]32184

*5,75]6812

(75,115]3710

(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

[0,150](150,475]

[0,75]

(75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO,

濃度有關(guān)？

附：犬=——強(qiáng)但——,

(a+b)(c+d)(o+c)(b+d)

?(￡2>%0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)0.64；(2)答案見解析；(3)有.

【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；

（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得2x2列聯(lián)表；

（3）計(jì)算出K'結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.

【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不

超過150的天數(shù)有32+6+18+8=64天，

所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150的概率為

64

=0.64；

loo

（2）由所給數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表為:

so2

[0,150](150,475]合計(jì)

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合計(jì)7426100

（3）根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得

=〃(久/一歷)2_100x(64x10-16x10)23600

k2?7.4844>6.635,

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)80x20x74x26481

因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表可知，有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PA/2.5濃度與SO?濃度有關(guān).

【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善2x2列聯(lián)表，考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，

屬于中檔題.

13.（2020?海南?高考真題）已知函數(shù)。（x）=aeJnx+lna.

（1）當(dāng)。=e時(shí)，求曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,/。））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

（2）若不等式/（x）Nl恒成立，求〃的取值范圍.

7

【答案】（1）高（2）[1,-HX））

【分析】（D利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)切線方程，即可得到坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，

最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；

⑵方法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)“X）的單調(diào)性，當(dāng)a=l時(shí)，由/'⑴=0得/⑺9=〃1）=1,

符合題意；當(dāng)a>i時(shí)，可證rd）r⑴<o,從而尸（x）存在零點(diǎn)%>。，使得

a

r(x0)=a*T-'=O,得到/(XL,,利用零點(diǎn)的條件，結(jié)合指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算化簡后，利用

基本不等式可以證得了(x)21恒成立；當(dāng)0<。<1時(shí)，研究/⑴.即可得到不符合題意.綜合可

得a的取值范圍.

【詳解】(1)Q/(x)=ev-lnx+l,:.fXx)=ex--,:.k=f'(y)=e-\.

x

Q/(l)=e+l,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),

二函數(shù)/(x)在點(diǎn)(l,f(l)處的切線方程為y-e-l=(e_l)(x-l),即y=(e-l)x+2,

???切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,2),(二,0),

e-\

1_?2

...所求三角形面積為:x2X|.

2e-1e-1

(2)［方法一］：通性通法

Qf(x)=aex~'-\nx+\naf'(x)=aex~'--,且a>0.

x

設(shè)g(x)=f'(x)，則g'(x)=ae*T+4>0,

x

...g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，即廣(X)在(0,物)上單調(diào)遞增，

當(dāng)。=1時(shí),尸⑴=0,f(%=41)=1,二“X)21成立.

1?12-|

當(dāng)時(shí)，一<，⑴ci(ea〃

a>la1,???7&a11.?/'(—)=—1)(—1)<0,

??.存在唯一%>0,使得/'(/)=t一，=0,且當(dāng)xw(0,%)時(shí)八幻<0,當(dāng)x￡(%,+8)時(shí)

九0

］

fM>0,/.ae^~=—,In6z+xo-l=-lnxo,因此/(1/足=/(%)=碇拓々—ln%+lna

xo

=---FIna+尤0—1+Ina221n〃—1+2—x0=21na+1f(x)>1,/./(x)21恒成立；

玉)\/

當(dāng)0va<1時(shí)，f(l)=a+lna<a<l9.\f(l)<l,f(x)>1不是恒成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［l,+oo).

［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)

lna+xln

由/(工)之1得ae'T-Inx+lna21,BPe-4-ln^+x-l>lnx+x,而lnx+x=』，+lnx,所

lna+x

以e-'+lna+x-l>*'+Inx.

令h(m)=em+m,則h\m)=em+l>0,所以h(ni)在R上單調(diào)遞增.

由即a+xT+lna+x一lNd"十］nx,可知力(Ina+x-1)之力(Inx),所以lna+x—1Nlnx,所以

InaNanx-x+Da.

令尸(x)=lnx—x+l,貝!|F，(X)=L-1=3.

XX

所以當(dāng)xe(0,1)時(shí)，F(xiàn)'(x)>0,尸(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,”)時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,F(x)單調(diào)遞減.

所以［F(x)］皿=F6=0,J8!|lna>0,即心1.

所以a的取值范圍為aNl.

［方法三］：換元同構(gòu)

由題意知a>0,x>0,令