山東省2023屆高考考向核心卷數(shù)學(xué) 含解析

2023屆新高考考向核心卷

數(shù)學(xué)試題

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

A=<x<B—3x+2<

1.已知集合<1九集合II>,則AD3=（）

A.0B.{x[l<x<2}C,{x[2Kx<4}D,{x[l<x<4}

【答案】D

【解析】

【分析】將集合A、8化簡(jiǎn)，再根據(jù)并集的運(yùn)算求解即可.

【詳解】：集合A={x[2?x<4},集合8=[產(chǎn)-3x+2<。}={印<x<2},

/.AD6={X[1<X<4}.

故選：D.

2.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足i-（2z-3）=7+2i,則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.-B.--C.-iD.--i

2222

【答案】B

【解析】

【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算得到z的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解.

【詳解】由題意，得2z-3=-=2-7i,

i

577

所以z=——i,則復(fù)數(shù)z的虛部為一二.

222

故選：B.

3.已知向量4=（/,—9）,/?=（1,-1）,則“加=—3”是“〃//"”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件及必要條件定義結(jié)合向量平行坐標(biāo)表示判斷即可.

【詳解】若機(jī)=一3,則。=（9,—9）=處，所以a/比；

若a/lb，則Wx(—1)—(―9)xl=0,解得n?=±3,得不出〃=?一3.

所以“m=—3”是“aIlb”的充分不必要條件.

故選:A.

4.如圖，用K、4、4三類(lèi)不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)K正常工作且A、4至少有一個(gè)正常工作

時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K、4、為正常工作的概率依次是g、|、|,已知在系統(tǒng)正常工作的前提

下，求只有K和4正常工作的概率是()

D1

【答案】C

【解析】

【分析】利用獨(dú)立事件的乘法公式求得系統(tǒng)正常工作和只有K和4正常工作的概率，在利用條件概率公式

求解即可.

【詳解】設(shè)事件A為系統(tǒng)正常工作，事件B為只有K和A1正常工作，

因?yàn)椴⒙?lián)元件4、4能正常工作的概率為1—11一—1]=1,

所以P(A)=_1x?8=_4,

299

又因?yàn)槭?A3)=P(B)=gxgx(l-'|)=*,

所以p(8iA)=aa"=L

P(A)4

故選：C

5.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)4>0,若3也<-1,則使得5“>0的〃的最大值為()

4()05

A.2007B.2008C.2009D.2010

【答案】B

根據(jù)9的范圍，確定其值，從而得到函數(shù)/（X）解析式，代入x=-2，得到答案.

6

【詳解】根據(jù)圖像可得A=2,

所以T=〃，

4126

2427r2乃

而丁二一，所以&=一=—=2

CDT7t

代入點(diǎn)（親2,得到2=2sin（2x^+9

即sin

'llJl'll

所以°+—=2k7r+—，即e=2k/r+—

326

因?yàn)閮?lt;3

兀

所以*

6

所以/(x)=2sin[2x+1]

rr

代入x=—得

6

乃、71

2sin2x

6>I66

=2sin

故選B項(xiàng).

【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的圖像求正弦型函數(shù)的解析式，求正弦型函數(shù)的函數(shù)值，屬于簡(jiǎn)單題.

41,3

7.若正實(shí)數(shù)％、y滿(mǎn)足x+y=l,且不等式一；+一<加一+彳根有解，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是

尤+1y2

().

3

A."t<—3或〃/>一B.m<——或〃z>3

22

3c3

C.—<"/<3D.-3<m<—

22

【答案】A

【解析】

411「,、r41

【分析】將代數(shù)式77T+］與］［(x+l)+)［相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得丁石+］的最小值,

可得出關(guān)于實(shí)數(shù)加的不等式，解之即可.

【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)X、y滿(mǎn)足x+y=l,則(x+l)+y=2,即g［(x+i)+y］=i,

占瀉［(川)+門(mén)島+；)1(c4yx+cI41x+1]9

所以,-5+^-+——>-5+2I-......=一，

21x+1yJ2yx+1y2

x+l=2yX~3419

當(dāng)且僅當(dāng)＜時(shí),即當(dāng):時(shí)，等號(hào)成立，即1+一的最小值為

x+y=l2x+ly2

413,39,

因?yàn)椴坏仁?；+一＜〃2廠(chǎng)+彳加有解，則nr+—加＞一，即2m2+3加一9＞0,

x+ly222

3

即(2加-3)(加+3)＞0,解得加＜一3或機(jī)＞『

故選：A.

8.記max{p,q}="34設(shè)函數(shù)/(x)=max卜-_1_x2+mx_L［t若函數(shù)/(X)恰有三個(gè)零

\q，q>p

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍的是()

A.(-5/5,5/5)

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知函數(shù)力(力=-/+如-；的兩個(gè)零點(diǎn)均為負(fù)數(shù)或兩個(gè)零點(diǎn)都在(0,2)內(nèi)，根據(jù)二次函

數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)機(jī)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【詳解】設(shè)g(x)=e'"-l,〃(x)=-爐,

則函數(shù)g(x)在(HO,+?)上遞增，且g(2)=(),且函數(shù)/?(x)至多有兩個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)x>2時(shí)，g(x)>0,

若函數(shù)/（x）在（2,+8）上有零點(diǎn)，則/z（x）在（2,y）上有零點(diǎn)，不妨設(shè)零點(diǎn)為%,則%＞2,

此時(shí)g（x（））＞/?（%）=°，則/（毛）=0^{8（毛）,〃（%）}=8伍）＞0,與題意矛盾，

故函數(shù)/（x）在（2,”）上無(wú)零點(diǎn).

二次函數(shù)妝x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=￡,

若加40,當(dāng)△=/一2＞0,解得m＜一0時(shí)，設(shè)函數(shù)丸（力的兩個(gè)零點(diǎn)為七、巧,

%+%2=加＜°

則彳1，則不＜0,當(dāng)＜0,函數(shù)人（力有兩個(gè)負(fù)零點(diǎn)，符合題意；

X1X2=2＞0

m.

—<2

2

若根＞0,且需符合題意時(shí)，函數(shù)Mx）在（0,2）上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以＜A=m2-2>0

o

/?（2）=2/n-1<0

解得>/2<m<一,

4

綜上，me（-00,-

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到A,B,C三家企業(yè)開(kāi)展“新冠肺炎''防護(hù)排查工作，每名醫(yī)生只

能到一家企業(yè)工作，則下列結(jié)論正確的是（）

A.所有不同分派方案共甲種

B.若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共36種

C.若每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到A企業(yè)，則所有不同分派方案共12種

D.若C企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共48種

【答案】BCD

【解析】

【分析】求得所有不同分派方案數(shù)判斷選項(xiàng)A；求得每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生的所有不同分派方案數(shù)判

斷選項(xiàng)B；求得每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到A企業(yè)的所有不同分派方案數(shù)判斷選項(xiàng)C；求

得C企業(yè)最多派1名醫(yī)生的所有不同分派方案數(shù)判斷選項(xiàng)D

詳解】選項(xiàng)A：所有不同分派方案共34種.判斷錯(cuò)誤;

選項(xiàng)B：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，

先把4名醫(yī)生分成3組(2人，1人，1人)再分配.

則所有不同分派方案共坐5A；=36(種).判斷正確;

Aj

選項(xiàng)C：若每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到A企業(yè),

則A企業(yè)可以只有醫(yī)生甲，也可以有醫(yī)生甲和另一名醫(yī)生,

則所有不同分派方案共C；C；C；A；+C：A；=12(種).判斷正確；

選項(xiàng)D：若C企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則C企業(yè)可以有1名醫(yī)生和沒(méi)有醫(yī)生兩種情況,

則不同分派方案共C：x23+24=48(種).判斷正確.

故選：BCD

10.已知/(x)是的導(dǎo)函數(shù)，且/(x)=d-r(O)d一％+1,則()

A./(-1)=0B./(())=-1

C./(x)的圖象在無(wú)=—1處的切線(xiàn)的斜率為0D.“X)在［0,1］上的最小值為1

【答案】BC

【解析】

【分析】由題意，利用方程思想，求導(dǎo)賦值，建立方程，求得了'(0)的值，可得函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)解析式，

對(duì)于A(yíng)、B,直接代值，可得答案；對(duì)于C,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得答案；對(duì)于D,根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性

關(guān)系，可得答案.

【詳解】V/(x)=x3-r(O)^2-x+1,f\x)=3x2-2f'(o)x-l,令x=0,則r(0)=—1,故

B正確；則/(x)=*3+d-x+1,/'(x)=3*+2x-l,

/(-1)=-1+1+1+1=2,故A錯(cuò)誤;

〃尤)的圖象在為=一1處的切線(xiàn)的斜率為(一1)=3-2-1=0,故C正確;

,尸(x)=3%+2%—1=(3x—l)(x+1),當(dāng)工￡｝寸，/'(%)<0,.f(X)單調(diào)遞減，當(dāng)T9

(1、22

時(shí)，/"(x)>o,/(6單調(diào)遞增，；./(6在［0,1］上的最小值為了§=藥，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.如圖1,在菱形ABCZ)中，A￡>=2，NADC=60°,將「ABC沿AC折起，使點(diǎn)8到達(dá)點(diǎn)P的位

置，形成三棱錐P—AC。，如圖2.在翻折的過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是()

圖I圖2

A.AC.LPD

B.三棱錐P-ACD體積的最大值為3

C.存在某個(gè)位置，使ADLPC

D.若平面APC,平面ACZ),則直線(xiàn)與平面PC。所成角的正弦值為姮

5

【答案】ACD

【解析】

【分析】由三棱錐尸-ACD的幾何性質(zhì)，根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理可證明AC得出A正確；

由于三棱錐P-ACD在翻折的過(guò)程中底面積為定值，所以高最大時(shí)其體積最大，此時(shí)平面APC_L平面

ACD,經(jīng)計(jì)算可知B錯(cuò)誤；

在翻折的過(guò)程中，當(dāng)三棱錐P—ACO形成正四面體時(shí)，滿(mǎn)足ADLPC，可得C正確；

若平面APCJ_平面ACD,此時(shí)三棱錐P-ACD的體積最大，根據(jù)等體積法可求得點(diǎn)A到平面PCO的距

離，即可計(jì)算出直線(xiàn)A。與平面PCO所成角的正弦值.

詳解】如下圖所示：

D

選項(xiàng)A：取AC的中點(diǎn)0,連接OP,OD,由于四邊形ABC。為菱形，則AC_LOP,AC1OD,

又OPcOD=O,OPu平面POD,ODu平面P。。，所以AC_L平面POD,

又也）U平面P。。，所以ACJ.叨，A正確；（點(diǎn)撥：要證線(xiàn)線(xiàn)垂直，往往需要先證線(xiàn)面垂直）

選項(xiàng)B：在翻折過(guò)程中，當(dāng)平面APC_L平面AC。時(shí)，三棱錐尸-AC。的體積最大，

此時(shí)三棱錐P-ACD的體積V=』x走x2?xQ=1,B錯(cuò)誤；

34

選項(xiàng)C：將AABC沿AC翻折的過(guò)程中，PC的軌跡是以AC為軸的圓錐，

顯然此圓錐軸截面的頂角為120。，大于90°,所以必然存在兩條母線(xiàn)互相垂直，

翻折前，AD//BC,故存在某個(gè)位置，使直線(xiàn)4。與直線(xiàn)PC垂直，C正確；

（另解：當(dāng)?。=2時(shí)，易知△APC,△上￡心都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

取PC的中點(diǎn)連接AM,DM,則AMLPC,DM±PC,

又/Wu平面D0u平面AOM,且A"DM=M,所以PCI平面ACM,

又ADu平面ADM,所以PC_LAO,C正確）

選項(xiàng)D：當(dāng)平面APC,平AC￡）時(shí)，因?yàn)镻C=CD=2,所以PO=OO=G，所以PD=娓,

所以.PCD的面積S=；x逐x/_倍）=孚,

設(shè)直線(xiàn)AD與平面PCD所成角為。，點(diǎn)A到平面PCD的距離為d,

則^P-ACD=^A-PCD,BP1=—Xxd,

32

解得1=冬叵，故sinO=/L=史，D正確.

5AD5

故選：ACD.

12.已知點(diǎn)A（—1,0）,5（1,0）,G（0,l）,拋物線(xiàn)。：尺二以.過(guò)點(diǎn)G的直線(xiàn)/與C交于Pa,yJ,

Q（9,為）兩點(diǎn)，直線(xiàn)ARAQ分別與。交于另一點(diǎn)￡尸，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.>|+%=y>2

B.直線(xiàn)EE的斜率為4

C.若的面積為型5（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則OE與O尸的夾角為鄉(xiāng)

66

D.若M為拋物線(xiàn)C上位于x軸上方的一點(diǎn)，則當(dāng)f取最大值時(shí)，ABM的面積為2

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)：P（玉,y）,。（%2，%）直線(xiàn)/?。的方程為4%一（必+M）'+必必=0,由直線(xiàn)PQ過(guò)點(diǎn)

G（O,I）得%+%=y%即可解決；

B選項(xiàng)：設(shè)￡［字,為），尸［號(hào),得直線(xiàn)PE的方程為4x-（y+%）y+y為=0直線(xiàn)PE過(guò)點(diǎn)

A（-1,0）得X%=4，同理＞2y4=4即可解決；

22

C選項(xiàng)：02。后=,q+兇為，M%=4得8。七=5，設(shè)々0七=￡，|。叩。年05￡=5,又

S.?！?述得tana=正即可；

63

D選項(xiàng)：過(guò)M作垂直拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)4-1于點(diǎn)。，由拋物線(xiàn)定義得，=——1——直線(xiàn)4W與拋

sinZMAD

物線(xiàn)相切時(shí)，「最大，設(shè)直線(xiàn)AM:y=?x+l）.得Z=±1,M（1,2）即可.

22

【詳解】A選項(xiàng)：易知斗=號(hào)_,々=會(huì)，

所以直線(xiàn)PQ的方程為4X-（y+%）y+X必=°，（利用兩點(diǎn)式求解直線(xiàn)PQ的方程）

因?yàn)橹本€(xiàn)PQ過(guò)點(diǎn)G（0,l）,

所以x+%=y%，A正確.

/2\/2\

B選項(xiàng)：設(shè)E=，%，F(xiàn)4,%|，

U3J14J

所以直線(xiàn)PE的方程為4x-（x+%）y+X%=0，

因?yàn)橹本€(xiàn)PE過(guò)點(diǎn)A（-1,0）,所以x%=4,

同理可得y2y4=4,

k-%一-_4_4_x%=］

所以^_或以+為±+±X+%，故B錯(cuò)誤.

44

22

C選項(xiàng)：OP-OE=q_.g_+y%=5,（利用B選項(xiàng)中X%=4）

設(shè)NPOE=Q,則|opHoqcosa=5,

因?yàn)镾NOE=g|。目,|。尸卜ina=，

所以tana=且，所以O(shè)E與OP的夾角為「，故C正確.

36

D選項(xiàng)：易知B為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)M作MD垂直拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)％=-1于點(diǎn)D,

\AM\\AM\11

由拋物線(xiàn)的定義知，/=島=."八，即仁./…C，

\MB\\MD\sinZMADsmZMAD

當(dāng)，取最大值時(shí)，NM4￡＞取最小值，（正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用）

即直線(xiàn)A"與拋物線(xiàn)C相切.

設(shè)直線(xiàn)AM的方程為y=A（x+1）,

由《）J（X+D得々2*2+（2女2_4）彳+々2=0,

y=4x'7

所以八=（2左2一4）—4/=0,解得z=±i,

止匕時(shí)攵+（2公一4卜+二=0,即f_2x+l=0，

所以x=l,又點(diǎn)M在x軸上方，故M（l,2）,

所以Sob”=g|ABHyM=；x2x2=2,故D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離.判斷方法：把直線(xiàn)方程和拋物

線(xiàn)方程聯(lián)立，當(dāng)?shù)玫降氖且辉畏匠虝r(shí)，根據(jù)△來(lái)判斷直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，①若△＞（）,則直線(xiàn)

與拋物線(xiàn)相交；②若△=(),則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切；③若A<0,則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相離.當(dāng)?shù)玫降氖且辉?/p>

次方程時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于一點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行(或重合)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知函數(shù)/(x)=-2+lnx,過(guò)點(diǎn)P(0,-2)作曲線(xiàn)y=/(x)的切線(xiàn)/,貝心的方程為.

【答案】x—ey—2e=0

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(r,-2+lnt)(r>0),利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)斜率，從而可得切線(xiàn)方程表

達(dá)式，利用切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)尸(0,-2),解出即可求得切線(xiàn)方程.

【詳解】解：由題意可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為。，-2+In。?>0),因?yàn)?(x)=-2+lnx,所以尸(x)=,，所以

X

切線(xiàn)/的斜率攵=1,

t

貝野的方程為y+2—ln，=；(x—。，又點(diǎn)P(0,—2)在切線(xiàn)上，所以—2+2—Inf=；(0—。

解得f=e,所以切線(xiàn)方程為：y+l=-(x-e),即x-ey-2e=0.

e

故答案為：x-ey-2e=0.

456

14.已知(2x—l)(x+l)’=q>+++//+?4x+a5x+abx,則?2+。3+包+%=.

(用數(shù)字作案)

【答案】34

【解析】

【分析】利用賦值法，結(jié)合二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】令x=(),得％=-1；

令x=1,得/+q+/+4+4+%+4=2、=32.

二項(xiàng)式(X+1)5的通項(xiàng)公式為J=C；?產(chǎn)=T=C；?產(chǎn)r,

又a6=2xC：=2,a}=2x1+(—1)XCJ=—3,

所以4+%+%+%=32-2-(—3)-(—1)——34.

故答案為：34

15.已知函數(shù)/(x)=2cos|x+?kos卜一?)+sinx,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有

f(%)，則cos(q-％)=.

【答案】」

4

【解析】

【分析】對(duì)/(X)進(jìn)行化簡(jiǎn)得到/(x)=-2sin2x+sinx+l，根據(jù)正弦函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性得到

91

/(q)=-2,/(02)=1，進(jìn)而確定sinq=-l,sing,cos=0,利用兩角差的余弦公式得到

cos(a)-?2).

【詳解】A*)=2cos*+x-￡cos*：+sinx

=-2sin舞-生cosS--+sinx

i4薪4

=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1

Qsinx?[1,1]

對(duì)任意實(shí)數(shù)X,恒有/(%))/(%)

9

-

8-

即sinq=-1,sina2=—

\cosq=0

\cos(4-砌=cos4]cosa+sinqsin/=0+；?(-1)

2,1

4

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于“變角”將cos[x+?變?yōu)閏os震+x-

7結(jié)合誘導(dǎo)公式,從而變成

正弦的二倍角公式.

16.己知四棱錐P-AB8的底面ABC。是邊長(zhǎng)為a的正方形，且平面A8CC,P4=a,點(diǎn)M為線(xiàn)

段尸C上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則當(dāng)三棱錐M-8C。的外接球的表面積最小時(shí)，CM的長(zhǎng)為

【答案】空a

3

【解析】

【分析】連接M4，由題意知三棱錐的外接球即四棱錐"-ABC。的外接球，然后設(shè)四棱錐

M-A6C。外接球的球心為O,半徑為R,連接AC與80交于點(diǎn)。一利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征分析出當(dāng)

。與。?重合時(shí)，三棱錐BCD的外接球的表面積最小，然后設(shè)CM的中點(diǎn)為N,連接QN,利用三

角形相似求得CN=X3a,即可求得CM的長(zhǎng).

3

【詳解】連接MA,由題意可知三棱錐M-BCD的外接球即四棱錐M-ABCD的外接球，則當(dāng)三棱錐

BCD外接球的表面積最小時(shí)，四棱錐M-ABCZ）外接球的半徑最小.設(shè)四棱錐M-ABC。外接球

的球心為0,半徑為凡連接AC與8。交于點(diǎn)。一當(dāng)。與。|不重合時(shí)，連接。。，易知。Q_L平面

ABCD,則0aJ_0C，連接。C,在Rt^OQC中，R=0C>0。.當(dāng)。與。重合時(shí)，

R=OC=OXC,所以當(dāng)三棱錐"一BCD的外接球的表面積最小時(shí)，。與a重合，R=O1C.設(shè)CM的

CNACCN二五a

中點(diǎn)為M連接。囚，易知Q|N_LC7W,則cosNOCN=^=訶，所以正一瓦，解得

I___a

2

CN=—a,所以CM=2CN=^~a.

33

故答案為：巫a

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用直角三角形中斜邊最長(zhǎng)判斷出當(dāng)。與。|重合時(shí)，三棱錐38的外接球的

表面積最小是解題的關(guān)鍵所在.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知等比數(shù)列｛??｝的前〃項(xiàng)和為Sn,且2an-S“=1.

（1）求a”與S”；

（2）記2=-----,求數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和7“.

an

n

【答案】（1）an=2-',S,,=2"-l；（2）（=6—^^.

【解析】

【分析】（1）利用%=S“-可得數(shù)列的遞推式，得其為等比數(shù)列，易得通項(xiàng)公式、求和；

（2）由（1）得包，用錯(cuò)位相減法求和.

【詳解】⑴由2a.一5”=1,得S“=2a”—1,

當(dāng)”=1時(shí)，。|=&=24-1,得q=l；

當(dāng)〃22時(shí)，a?=S?-S?_,=（2a,,-1）-（2a?_,-1）,得a“=2a“_],

所以數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以凡=2"1

所以S“=2a"一1=2"-1.

2〃—1

（2）由（1）可得々='

則（=1+|+^+L+^^=1X1+3X；+5XJ+L+（2〃-1）?擊,

J%=lx；+3x'+5x'+

兩式相減得;北=l+2（；+*+*+L+擊

所以＜=2+4（；+*+^+L+擊）一（2〃-1）.擊

1,

八,22"/八八1/2〃+3

=2+4----j--=

，-2

【點(diǎn)睛】（1）錯(cuò)位相減法適用于數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列｛%｝和一個(gè)等比數(shù)列｛々｝對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)

列q,=?！鞍那蠛?，求解的方法是等式兩邊乘等比數(shù)列的公比再錯(cuò)位相減，錯(cuò)位相減后化歸為一個(gè)等比

數(shù)列的求和；

(2)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是要善于識(shí)別題目類(lèi)型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情

形；二是在寫(xiě)出“S,,”與“qS“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出

的表達(dá)式.

18.acosC+ccosA=—bcosB,②5sin(巴+B)+5sin(-B)=l,③8G(0,二)，

422

13

cos28=cos8-去.這三個(gè)條件中任進(jìn)一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答.

已知中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,4c,且________.

(1)求tan2B的值；

(2)若tanA=—±,c=-,求jWC的周長(zhǎng)與面積.

54

24

【答案】(1)y

33

(2)周長(zhǎng)為11,面積為一

8

【解析】

4

【分析】(1)若選①，利用正弦定理邊化角及誘導(dǎo)公式求出cos8=w，再求出tanB,由正切的二倍角

公式即可求出tan2B的值；若選②，由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角函數(shù)的平方和，可求出sin8,

tan5,再由正切的二倍角公式可求出tan2B的值；若選③，由余弦的二倍角公式代入化簡(jiǎn)求出

4

cosB=-,再求出tan8,由正切的二倍角公式可求出tan23的值；

12

(2)由tanA=-w，求出cosA,sinA,由正弦定理求出a/,最后根據(jù)三角形的面積公式和周長(zhǎng)即可

得出答案.

【小問(wèn)1詳解】

若選①:由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=—sinBcosB，

4

故sin(A+C)=—sinBcosB,

4

而在A(yíng)BC中，sin(A+C)=sin(7t-B)=sinB,

^sinB=—sinBcosB,又Be(0,n),

4

4

所以sinBoO,貝i」cosB=—,

則sinB=5/l-cos2B=",tanB=S^n—=",

5cosB4

cc2tanB24

故tan23=------------=—?

l-tan2B7

Jr1

若選②:由5sin(5+8)+5sin(—8)=1,化簡(jiǎn)得cos3—sinB=—，代入cos?B+sir?3=1中，整理得

25

25sin2B+5sinB-12=0,

即(5sin3-3)(5sinB+4)=0,

3

因?yàn)?￡（0,兀），所以sin5>0,所以sinB=《

_4門(mén)sin33

則rillcos8=—,tan8=-------=—,

5cos34

,,_?2tanB24

故tan2B=------------=—.

l-tan2B7

13

若選③:因?yàn)閏os28=cos8-五,

17i?34

所以2cos2B-l=cosB——-,即2cos2B-cosB-----=0,貝ij(2cosB+-)(cosB——)=0.

252555

Tt4

因?yàn)?￡(0,—),所以cos8=—,

25

則sinB=71-cos2B=-,tanB=S^n--=~,

5cos34

...?2tanB24

故tan2B=------------=—.

l-tan2B7

【小問(wèn)2詳解】

sinA12r.0、

因?yàn)閠anA4=--------=----,且sm~A+cos~A=1,Aw(0,兀)，

cosA5

512

所以cosA=-----,sinA=—.

1313

43

由(1)得cos3=w，sin3=w，則

1245333

sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsin8=—x-------x—=—,

13513565

由正弦定理得一j=—”==雪，則a=5,b=?.

sinAsmBsinC124

故「ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=ll,

11133333

的面積為此.=彳而sinC=4x5x=xW=^.

19.由中央電視臺(tái)綜合頻道（CCTV-1）和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開(kāi)講啦》是中國(guó)首檔青年電視公開(kāi)課.每

期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對(duì)于生活和生命的感悟，給予中國(guó)青年現(xiàn)實(shí)的討論和心

靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問(wèn)題，同時(shí)也在討論青春中國(guó)的社會(huì)問(wèn)題，受到了青年觀(guān)眾的喜愛(ài).為了了

解觀(guān)眾對(duì)節(jié)目的喜愛(ài)程度，電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了A,8兩個(gè)地區(qū)的100名觀(guān)眾，得到如下所示的2x2列聯(lián)表.

非常喜歡喜歡合計(jì)

A3015

BXy

合計(jì)

已知在被調(diào)查的100名觀(guān)眾中隨機(jī)抽取1名，該觀(guān)眾來(lái)自B地區(qū)且喜愛(ài)程度為“非常喜歡”的概率為0.35.

（1）現(xiàn)從100名觀(guān)眾中根據(jù)喜愛(ài)程度用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則應(yīng)抽取喜愛(ài)程度為

“非常喜歡'’的A,8地區(qū)的人數(shù)各是多少？

（2）完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有95%的把握認(rèn)為觀(guān)眾的喜愛(ài)程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

（3）若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從A地區(qū)隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽到喜愛(ài)程度為“非常喜歡”的觀(guān)眾的人數(shù)

為X,求X的分布列和期望.

附.2_n(ad-bc)2

PIJ;Ki\—，n=a+h+c+d，

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.001

P(K2>島)0.050.010

3.8416.63510.828

【答案】（1）從A地抽取6人，從B地抽取7人.

（2）沒(méi)有95%的把握認(rèn)為觀(guān)眾的喜愛(ài)程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

（3）分布列見(jiàn)解析，期望為2.

【解析】

【分析】（1）求出x的值，由分層抽樣在各層的抽樣比相同可得結(jié)果.

（2）補(bǔ)全2x2列聯(lián)表，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)求解即可.

（3）由題意知X?8（3,2）,進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布求解即可.

3

【小問(wèn)1詳解】

Y

由題意得一=0.35,解得％=35,

100

2020

所以應(yīng)從4地抽取30x—匕=6(人)，從8地抽取35x上=7(人).

100100

【小問(wèn)2詳解】

完成表格如下：

非常喜歡喜歡合計(jì)

A301545

B352055

合計(jì)6535100

零假設(shè)為“0：觀(guān)眾喜愛(ài)程度與所在地區(qū)無(wú)關(guān).

^=100x(3Qx20-35xl5)-=_100a01<3841)

65x35x45x551001

所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為觀(guān)眾的喜愛(ài)程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

【小問(wèn)3詳解】

302

從A地區(qū)隨機(jī)抽取1人,抽到的觀(guān)眾的喜愛(ài)程度為“非常喜歡”的概率為一=一，

453

從A地區(qū)隨機(jī)抽取3人，則X?3(3,2),X的所有可能取值為0,1,2,3,

3

門(mén)、31

則P(X=0)=—=—,

⑴27

小。=嗚1?$

P(X=2)=喏冏$

B3)=?哈

所以X的分布列為

X0123

1248

P

279927

方法1：E(X)=0x—+lx-+2x-+3x—=2.

279927

2

方法2：E(X)=np=3x—=2.

20.如圖，直三棱柱ABC-A4C1的體積為4，.ABC的面積為2起.

(1)求A到平面ABC的距離；

(2)設(shè)。為4。的中點(diǎn)，AAl=AB,平面平面,求二面角A—BO-。的正弦值.

【答案】(D72

⑵—

2

【解析】

【分析】(1)由等體積法運(yùn)算即可得解；

(2)由面面垂直的性質(zhì)及判定可得BC工平面建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得

解.

小問(wèn)1詳解】

在直三棱柱ABC-A￡G中，設(shè)點(diǎn)4到平面ABC的距離為兒

V

則匕-ABC=gS.ABC/=~~h=At-ABC=；SABC.AA=~，

解得力=JL

所以點(diǎn)A到平面48c的距離為0；

【小問(wèn)2詳解】

取AB的中點(diǎn)E連接AE,如圖，因?yàn)锳4,=A5,所以

又平面ABCJ_平面,平面ABCc平面=AB,

且AEu平面AB旦A，所以AE_L平面ABC,

在直三棱柱A6C-44G中，8耳，平面ABC,

由BCu平面AI。，BCu平面ABC可得AEL8C,BB,1BC,

又AE,BB]u平面且相交，所以BC_Z平面AB4A,

所以?xún)蓛纱怪?以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

由(1)得AE=g，所以AA=A8=2,43=2近，所以8c=2,

則A(0,2,0),4(022),3(0,0,0),C(2,0,0),所以4c的中點(diǎn)0(1,1,1),

則BO=(1,1,1),&l=(0,2,0),BC=(2,0,0),

In.BD—X4~y+z-0

設(shè)平面的一個(gè)法向量〃?=(尤,y,z),則〈',

V,)[m-BA=2y=Q

可取〃2=(1,0,—1),

./.、，〃?BD=a+b+c=0

設(shè)平面8DC的一個(gè)法向量”=(a,b,c),則〈，

'7[n-BC=2a=Q

可取>=(0,1,-1),

則3仇/〃\)m=-麗n=萬(wàn)1環(huán)71

所以二面角A—3。一。的正弦值為

21.已知雙曲線(xiàn)C：W-[=13>0力>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，凡，斜率為一3的直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C交

a~b~

于A(yíng),8兩點(diǎn)，點(diǎn)M(4,-2夜)在雙曲線(xiàn)C上，且|叫卜阿圖=24.

(1)求的面積；

⑵若。6+。6'=0(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)N(3,l),記直線(xiàn)N4,M3'的斜率分別為占，勺，問(wèn)：kt-k2

是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴8A/2

(2)匕42為定值T「

【解析】

【分析】(1)設(shè)6(-。,0),與(c,0),根據(jù)兩點(diǎn)間長(zhǎng)度得出與I"鳥(niǎo)即可根據(jù)已知列式解出c,即

可得出答案；

(2)根據(jù)第一問(wèn)得出雙曲線(xiàn)的方程，設(shè)A(&y),6(毛,%)，直線(xiàn)/的方程為V=-3x+根，根據(jù)韋達(dá)

定理得出X+Z，%%，即可根據(jù)直線(xiàn)方程得出