新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強化測試（新高考專用）專題35 復(fù)數(shù)

專題35復(fù)數(shù)

知考綱要求

識考點預(yù)測

梳常用結(jié)論

理方法技巧

題題型一：復(fù)數(shù)的概念

型題型二：復(fù)數(shù)的四則運算

歸題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義

類

訓(xùn)練一：

培訓(xùn)練二：

優(yōu)訓(xùn)練三：

訓(xùn)訓(xùn)練四：

練訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強單選題：共8題

化多選題：共4題

測填空題：共10題

試

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.

2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.

3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算.

5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.

【考點預(yù)測】

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a+bi(a,bdR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中2是實部，么是虛部，i為虛數(shù)單位.

(2)復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)z=a+6i(a,h^R)

實數(shù)(b三0),

虛數(shù)(b三0)(其中，當(dāng)。三0時為純虛數(shù)).

(3)復(fù)數(shù)相等:

a+b\=c+di^a=cjj,b=d(a,b,c,d《R).

(4)共也復(fù)數(shù)：

a+bi與c+di互為共貌復(fù)數(shù)<=>a=c,b=—d(a,b,c,dUR).

⑸復(fù)數(shù)的模：

向量力的模叫做復(fù)數(shù)z=a+Z>i的?；蚪^對值,記作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+hi\=y]a2+b\a,b￡R).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

—*—*X4*f^L.__

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b).

—*—?X*fJo/.—>

⑵復(fù)數(shù)z=a+例(a,<WR)、込平面向量OZ.

3.復(fù)數(shù)的四則運算

(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則:

設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dgR),則

①加法：zi+z2=(a+bi)+(c+"i)=(a+c)+(b+d)i；

②減法：z\-Z2=(a+Z>i)—(c+di)=(a—。)+優(yōu)一")i；

③乘法：zrz2=厶i~Hc+di)=(a。->d)+(ad+bc)i；

zia+6i(a+bi)(c~~di)ac+bd?be—ad.(

④除法:

Z2c+di(c+di)(c-di)c2-1-cPc2+理

(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.

如圖給出的平行四邊形。Z1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即應(yīng)=應(yīng)1十靈2,

ZiZi=07.1—OZ].

【常用結(jié)論】

l.i的乘方具有周期性

4n4n+14n+24n+3

i=l,i=i,i=-l,i=-i,i4"+i4”+l+i4”+2+i4”+3=0,?eN*

1+i.1-i

2.(1土i)2=±2i,-----=i：------=

1-i1+i

3.復(fù)數(shù)的模與共軻復(fù)數(shù)的關(guān)系

z-z=\z\2=\z^.

【方法技巧】

1.解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項

（1）復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只

需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程（不等式）組即可.

（2）解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi（a,bWR）的形式，以確定實部和虛部.

2.復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項式的乘法運算.

3.復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共機復(fù)數(shù).

4.由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一

起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.

二、【題型歸類】

【題型一】復(fù)數(shù)的概念

【典例1］如果復(fù)數(shù)"（bGR）的實部與虛部相等，那么b=（）

1

A.-2B.lC.2

7

【典例2］（多選）若復(fù)數(shù)z=—,其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）

1+1

A.z的虛部為一1

B.|z尸也

C.Z2為純虛數(shù)

D.z的共輒復(fù)數(shù)為一l—i

【典例3】（多選）設(shè)Z1，Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）

A.若|zi—Z2|=0,則z1=Z2

B.若Z1=Z2,則Z1=Z2

C.若㈤=憶2］,則ZrZ1=Z2-Z2

D.若|z“=h2|，則Z仁z2

【題型二】復(fù)數(shù)的四則運算

【典例1】（多選）設(shè)zi,Z2,Z3為復(fù)數(shù)，ZlWO.下列命題中正確的是（）

A.若㈤=㈤，則Z2=±Z3

B.若Z1Z2=Z1Z3,則Z2=Z3

C.若Z2=Z3，則匕1Z2|=|Z1Z3|

D.若Z1Z2=,|2,則Z1=Z2

【典例2】在數(shù)學(xué)中，記表達(dá)式ad—be為由J：所確定的二階行列式.若在復(fù)數(shù)域內(nèi)，zi

=l+i,Z2="±Z3=Z2，則當(dāng)|Z|Z2|時，Z4的虛部為________.

1—iIZ3Z4I2

,2023

【典例3］若z=---則|z|=_______________；z+z=___________.

1—i

【題型三】復(fù)數(shù)的幾何意義

【典例1】已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)3的共枕復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【典例2】設(shè)復(fù)數(shù)Z1,Z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，Z1=2+i（i為虛數(shù)單位），則Z1Z2

=（）

A.-5B.5

C.-4+iD.-4-i

【典例3】已知復(fù)數(shù)z】=—l+2i,Z2=l—i,Z3=3—4i,它們在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為4,B,

C,若況=2晶+（九〃?R）,則丸+〃的值是.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】在復(fù)數(shù)列｛a“｝中，已知m=-i,a“=曷」+i（〃22,〃eN*）,則…”。2。19=

z+tMH------------。2020

【訓(xùn)練二】在數(shù)學(xué)中，記表達(dá)式ad一歷是由所確定的二階行列式.若在復(fù)數(shù)域內(nèi),

Z|=l+i,Z2=±±Z3='Z2?則當(dāng)|ZlI?|時，Z4的虛部為________.

1—iIZ3Z4I2

【訓(xùn)練三】（2022?青島模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足憶一1一g1,則團(tuán)的最小值為（）

A.1B也一1C3D./+1

【訓(xùn)練四】已知復(fù)數(shù)2=%+夕@,yGR),且滿足|z—2|=1,則丄的取值范圍是.

X

【訓(xùn)練五】已知復(fù)數(shù)Z滿足/=3+4i,且Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限.

⑴求復(fù)數(shù)z；

產(chǎn)］I

(2)設(shè)“WR,且Ill+zj202i+。|=2,求實數(shù)。的值.

【訓(xùn)練六】若虛數(shù)z同時滿足下列兩個條件：

①z+5是實數(shù)；

Z

②z+3的實部與虛部互為相反數(shù).

這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請說明理由.

四、【強化測試】

【單選題】

1.設(shè)Z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.若復(fù)數(shù)z=—+l為純虛數(shù)，則實數(shù)。=()

1+1

A.12B.-1

C.1D.2

3.已知復(fù)數(shù)z=(l+2i)(l+ai)(a6R),若zWR,則實數(shù)4=()

A.-B--2

2

C.2D.-2

4.如圖，已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為它，O為坐標(biāo)原點，則團(tuán)為()

A.1B.也

C.^3D.2

5.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點與1+i對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則z等于()

A.1+iB.-1-i

C.-1+iD.1-i

6.若復(fù)數(shù)z滿足z(l—i)=|l-i|+i,則z的實部為()

A號

B啦一1

2

D更

C.1

2

7.已知i是虛數(shù)單位，則“a=i”是“/=一1”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

8.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，已知p,q為實數(shù)，1—i是關(guān)于x的方程x2+*+q=0的一個根，則p+q

等于（）

A.2B.1C.0D.-1

【多選題】

9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2=辻4,則以下說法正確的是（）

2—i

A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限

B.z的虛部是一：

C.|z|=3\/5

D.若復(fù)數(shù)zi滿足忻一z|=l,則㈤的最大值為1+?

10.若復(fù)數(shù)z滿足（l+i>z=5+3i（其中i是虛數(shù)單位），則（）

A.z的虛部為一i

B.z的模為而

C.z的共胡復(fù)數(shù)為4—i

D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限

11.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=」1的四個命題，其中真命題的是（）

—1+i

A.|z|=2B.z2=2i

C.z的共拆復(fù)數(shù)為1+iD.z的虛部為一1

12.在復(fù)平面內(nèi)，下列命題是真命題的是（）

A.若復(fù)數(shù)z滿足丄GR,則zdR

z

B.若復(fù)數(shù)z滿足Z2《R,則ZGR

C.若復(fù)數(shù)Z|,Z2滿足zmGR,則Zi=22

D.若復(fù)數(shù)zGR,則zGR

【填空題】

13.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足W=|l—i|+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)2=.

14.已知復(fù)數(shù)z=4+[2^1w（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線》一2夕+〃?=0上，則〃?

15.當(dāng)復(fù)數(shù)z=（加+