2023屆宜春市重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)試題全真模擬卷

2023屆宜春市重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)試題全真模擬卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的5=（）

A.2B.3

2.已知橢圓三+/=1（。＞匕＞0）的右焦點(diǎn)為尸，左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)尸橢圓上，且PE_LAF,若tan/PAF=；,則

橢圓的離心率e為（）

2

D.

3

3.已知函/(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,xe-，則/(x)的最小值為()

A.2-夜B.1C.（）D.-V2

4.a〃。力〃民。//夕，則，，與匕位置關(guān)系是（）

A.平行B.異面

C.相交D.平行或異面或相交

5.過拋物線丁=2*（〃＞0）的焦點(diǎn)作直線交拋物線于AB兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,且|A到=8,則

拋物線的方程是（）

A.y2-lxB.y1=4xC.y2=8xD.y2-lOx

6.一輛郵車從A地往8地運(yùn)送郵件，沿途共有〃地，依次記為4，…A.（4為A地，A“為8地）.從4地出

發(fā)時，裝上發(fā)往后面〃-1地的郵件各1件，到達(dá)后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件，同時裝上該地發(fā)往后面各

地的郵件各1件，記該郵車到達(dá)A1,4,…A“各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為處伙=1,2,…則4的表達(dá)式為

（）.

A.左(〃一人+1)B.k(n-k-V)C.n(n-k)D.k(n-k)

7.MBC中，BC=2A/5,。為8C的中點(diǎn)，ZBAD=-,AD=\,則AC=（）

4

A.2x/5B.272C.6-逐D.2

8.等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若?！?gt;0,q>\,%+4=20，44=64,則5$=（）

A.48B.36C.42D.31

9.已知橢圓C的中心為原點(diǎn)。，戶（一2行,0）為。的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn),滿足尸I且|PE|=4,則橢圓

C的方程為（）

A.—+^-=1B.三+片=1C.—+—=1D.-+^-=\

255361630104525

10.在（x—」-尸的展開式中，/的系數(shù)為（）

2x

A.-120B.120C.-15D.15

11.臺球是一項(xiàng)國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運(yùn)動，也叫桌球（中國粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國地區(qū)的叫法）

控制撞球點(diǎn)、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項(xiàng)重要技術(shù)，一次臺球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如圖正

方形ABC。，在點(diǎn)E,尸處各放一個目標(biāo)球，表演者先將母球放在點(diǎn)4處，通過擊打母球，使其依次撞擊點(diǎn)E,尸處

的目標(biāo)球，最后停在點(diǎn)C處，若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,ZAEF=ZCFE=6Q°,則該正方形的邊長為（）

A.50y/2cmB.40cmC.50c/nD.20cm

22

12.已知雙曲線C:二-4=1（。>0/>0）的右焦點(diǎn)為尸，若雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為g,且點(diǎn)尸到該漸近

a~b~3

線的距離為由，則雙曲線C的實(shí)軸的長為

A.1B.2

8A/5

c.4D.

5

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在AABC中，已知A8-4C+284-8C=3C4-C8，貝UcosC的最小值是.

14.若函數(shù)/(x)=a"(a>0且存1)在定義域[如，”上的值域是n2](l</n<n),則a的取值范圍是.

15.設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S.，若S,+S6=S9,則數(shù)列｛為｝的公比夕是.

x+.y-3<0

16.若函數(shù)y=logzX的圖像上存在點(diǎn)(x,y),滿足約束條件2x-y+220,則實(shí)數(shù)加的最大值為

y>m

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(犬)=|工一”一僅+27司的最大值為3,其中加>0.

(1)求實(shí)數(shù)加的值；

(2)若a,/?eR,>0,1+方2=加求證:---1>i.

ba

18.(12分)設(shè)函數(shù)/(X)=6COS2J-百sin2x.

(1)求哈T的T值;

(2)若xe,求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

19.(12分)如圖，在四棱錐B4BCO中，Ri_L平面A5cO,N48C=NA4O=90。，AD=AP=4,AB=BC=2,M為

PC的中點(diǎn).

(1)求異面直線AP,所成角的余弦值；

4

(2)點(diǎn)N在線段AO上，且AN=2,若直線MN與平面尸8c所成角的正弦值為二，求2的值.

20.(12分)在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá)對祖國的熱愛之情，在

數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn),

x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標(biāo)方程為。=l-sin。(046<2肛。>0),

M為該曲線上的任意一點(diǎn).

3

(1)當(dāng)|OM|=Q時，求M點(diǎn)的極坐標(biāo)；

(2)將射線0M繞原點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)^與該曲線相交于點(diǎn)N,求的最大值.

21.(12分)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,且滿足2S“=”-〃2(〃GN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(/?二2左一1)

(2)設(shè)〃,=2(〃=24JeN*)，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和。.若凡—對

2n+2

〃eN*恒成立，求實(shí)數(shù)。，人的值.

22.(10分)已知函數(shù)/(￡)=卜一1|,不等式/(x)+.f(x—l)＜5的解集為卜何＜》＜〃｝.

(1)求實(shí)數(shù)加，?的值；

(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求證：x+y>9xy.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

運(yùn)行程序，依次進(jìn)行循環(huán)，結(jié)合判斷框，可得輸出值.

【詳解】

起始階段有i=l,S=3,

第一次循環(huán)后S=」=—《，j=2,

1-32

A0=----1---=一2

第二次循環(huán)后

1+13,i=3,

2

q=_L=a

第三次循環(huán)后I2一°,i=4,

3

第四次循環(huán)后5=丁1=-[j=5,

1-32

所有后面的循環(huán)具有周期性，周期為3,

當(dāng)i=2019時，再次循環(huán)輸出的S=3,1=2020,此時2020>2019,循環(huán)結(jié)束，輸出S=3,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識，經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.

2、C

【解析】

/,2\]

不妨設(shè)P在第一象限，故Pc,—,根據(jù)=q得到l—e—2e?=0,解得答案.

I42

【詳解】

（b2}￡

不妨設(shè)在第一象限，故一,,即Y一，

PpGatanZPAF=ua=—1,ac,-2c2=0

[）a+c2

即l—e-2e2=0,解得e=[,e=-l（舍去）.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

3、B

【解析】

TTTT37r

f(x)=5/2sin(2xH—)+2,x€----,一="2、+了"彳利用整體換元法求最小值.

444

【詳解】

由已知,/(x)=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+2=V2sin(2x+—)+2,

又工<芷，故當(dāng)色=—工，即無=—時，

￡<2%+2%+2/?in=l.

44444444

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，涉及到二倍角公式的應(yīng)用，是一道中檔題.

4、D

【解析】

結(jié)合圖(1),(2),(3)所示的情況，可得a與5的關(guān)系分別是平行、異面或相交.

yzZy—z

----*八4

x~7yy7

(I)(2>0)

選D.

5、B

【解析】

利用拋物線的定義可得,IA81=1Ab|+||=玉+T+/+々，把線段A5中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,|AB|=8代入可得p值,

然后可得出拋物線的方程.

【詳解】

設(shè)拋物線V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,設(shè)點(diǎn)A(x?y,),B(x2,y2),

由拋物線的定義可知|48|=|4/|+|5/|=%+5+々+5=(%+9)+〃，

線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,又|AB|=8,.?.8=6+〃，可得〃=2,

所以拋物線方程為y2=4x.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.

6、D

【解析】

根據(jù)題意，分析該郵車到第k站時，一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，該郵車到第女站時，一共裝上了5+2)+……(〃-%)=(2〃-l「Z)xZ件郵件,

需要卸下1+2+3+……(fc-l)=件郵件，

(2n-1-k)xkZx(A-l)

貝ni％l=------2--------三一-=k(n-k),

22

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

7、D

【解析】

在AARD中，由正弦定理得sin8=亞；進(jìn)而得8544。。N05(2+8〕=且，在AWC中，由余弦定理可得

10^4J5

AC.

【詳解】

ADBDr—'廠

在△/隹/)中，由正弦定理得而萬=—T,得sin8=Y!Q，又BD>AD，所以B為銳角,所以cosB=3"，

smz1010

cosZADC-cosf—+E>\->

(4)5

在AADC中，由余弦定理可得AC?=4)2+。。2一2AD.OCCOSNADC=4，

AC=2.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

8、D

【解析】

試題分析：由于在等比數(shù)列｛%｝中，由a2a6=64可得：a3a5=a2a6=64,

又因?yàn)?+%=20,

所以有：%，%是方程V—20x+64=0的二實(shí)根，又?！?gt;0,q>l,所以％<%，

故解得：。3=4,%=16,從而公比4=JF=2,4=1；

25-1

那么既=>^=31，

故選D.

考點(diǎn)：等比數(shù)列.

9、B

【解析】

由題意可得c=26，設(shè)右焦點(diǎn)為F，，由|OP|=|OF|=|OF，|知，

ZPFF^ZFPO,NOFANOPF，，

所以NPFF'+NOF'P=NFPO+NOPF',

由NPFF，+NOPP+NFPO+NOPF，=180。知，

NFPO+NOPF，=90。，即PF_LPF<

在RtAPFF，中，由勾股定理，得|PF1=JFT2_PF2=“4鬲匚3=8，

由橢圓定義，得|PF|+|PF1=2a=4+8=12,從而a=6,得a?=36,

于是b2=a2-c2=36-（2A/^）2=16，

22

所以橢圓的方程為土+二=1.

3616

故選B.

點(diǎn)睛：橢圓的定義：到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時，軌跡是橢圓，當(dāng)和等于兩定

點(diǎn)間的距離時，軌跡是線段（兩定點(diǎn)間的連線段），當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時，軌跡不存在.

10、C

【解析】

寫出。一3）1°展開式的通項(xiàng)公式&1=C；O（-3卬°必，令10-2r=4,即r=3,則可求系數(shù).

2x2

【詳解】

1

（1一--）"'的展開式的通項(xiàng)公式為&1=弓0/°-「（一2-）'=。；0（-3入82「，令10-2r=4,即尸=3時，系數(shù)為

2x2x2

Go（-|）3=-15.故選C

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

過點(diǎn)做正方形邊的垂線，如圖，設(shè)NAEM=a,利用直線三角形中的邊角關(guān)系，將A6,8。用a表示出來，根

據(jù)鉆=BC,列方程求出a,進(jìn)而可得正方形的邊長.

【詳解】

過點(diǎn)旦尸做正方形邊的垂線，如圖，

設(shè)ZA￡M=a,則NCFQ=a,ZMEF=ZQFE=60-a,

則AB=AM4-MN4-NB=AEsina+EFsin（60-a）+ECsina

（3.V3\

50sina+40sin（60-a）+30sina=40—sina+——cosa

22

7

CB=BP+PC=AEcosa+FCcosa-EFcos（60一。）

3

二50cosa+30cosa-40cos（60-a）=40—COS6Z-

22

\

f3也3

因?yàn)锳B=CB,則40—sina+——cosa40一cosa-——sina,

2J

22\2

整理化簡得豈吧=2—6,又si^a+cos2a=1，

cosa

得2與…

2V22y/2

/lB=4of-sina+—cosa\3V3-1V373+1

40x-X------Y=-H-------x------產(chǎn)=20瓜

22722V222V2

即該正方形的邊長為20V6cm.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系，關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形，是中檔題.

12、B

【解析】

雙曲線C的漸近線方程為卜=±2%,由題可知2=tan￡=6.

aa3

設(shè)點(diǎn)F(C,O),則點(diǎn)/到直線y=后的距離為=叢,解得c=2,

?廚+(-1)2

所以02=/+從=/+3/=4/=4,解得“=1,所以雙曲線C的實(shí)軸的長為2。=2,故選B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、—

3

【解析】

分析：可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為：bccosA+2accosB=3abcosC,然后再結(jié)合余弦定理整理為

a2+2b2=3c2＞再由cosC的余弦定理得到a,b的關(guān)系式，最后利用基本不等式求解即可.

詳解：已知A8-AC+2B/VBC=3CA-CB，可得bccosA+2accosB=3a6cosC,將角A,B,C的余弦定理代入得

21,

222222a2+b22也'當(dāng)a=b時取到等號,故cosC的最小值為孝.

a+2b=3c,*r_?+^-f_33

2ab2ab3。

點(diǎn)睛：考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運(yùn)用，能正確轉(zhuǎn)化48?4。+284-8。=3(748是解題關(guān)

鍵.屬于中檔題.

2

14、(1,靛)

【解析】

/(x)=優(yōu)在定義域M，〃]上的值域是["落”2],等價轉(zhuǎn)化為f(x)=a'.y=x2的圖像在(I,+8)上恰有兩個交點(diǎn),

考慮相切狀態(tài)可求O的取值范圍.

【詳解】

由題意知：/'(x)=優(yōu)與y=/的圖像在(1,+?。)上恰有兩個交點(diǎn)

考查臨界情形：》=《；與.丫=》2切于%,

22

ao°=X0

<=>。0=6,.

a；。\na=2x0

故答案為：(],/),

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，把已知條件進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

15、±1.

【解析】

當(dāng)q=l時，S3+邑=3〃]+6q=9al=Sg.

??*S3+§6=Sg、~q)￡q)=~4-2-q3-qb=1-八.(/_i)2(/+1)=o

當(dāng)4W1時,\-q\-q\-q

??.4=-1,所以q=±l.

16、1

【解析】

x+y-3W0,

由題知x>0,且滿足約束條件2x-y+2N0,的圖象為

y>m,

由圖可知當(dāng)y=log2*與y=3-x交于點(diǎn)B（2,D，當(dāng)直線y=加過B點(diǎn)時，m取得最大值為L

點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一、準(zhǔn)確無誤地作出

可行域；二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三、

一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）1；（2）證明見解析.

【解析】

Q）利用零點(diǎn)分段法將/（X）表示為分段函數(shù)的形式，由此求得/（X）的最大值，進(jìn)而求得〃?的值.

3人31

（2）利用（1）的結(jié)論，將幺+幺轉(zhuǎn)化為丁-求得,活的取值范圍，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，證得

baab

—~2ab>\,由此證得不等式成立.

abba

【詳解】

(1)m>0

-3m,x>m

f(%)=k_時_k+2制=<-2x—m,-2m<x<m

3m,x<-2m

二當(dāng)x=2小時，/(x)取得最大值3m.

/.m=\

(2)證明:由(1)得，片+/=1，

a3b3a4+b4(a2+b2)2-2a2b2]

-1-=----=----------=--

haabahab

Qa2+b2>2ah,當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時等號成立，

:.0<ab<—

2

令0</<—

則/z(x)在上單調(diào)遞減

/.h(t)>h

二.當(dāng)0<QZ?K—時,

2

———2ab>1

ab

???《+%.

ba

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查含有絕對值的函數(shù)的最值的求法，考查利用基本不等式進(jìn)行證明，屬于中檔題.

18>(1)=3+6(2)/(x)的遞減區(qū)間為—和-^-,71

【解析】

7T

(1)化簡函數(shù)/(X),代入x=一,計(jì)算即可；

12

71

(2)先利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再結(jié)合xe乃即可求出.

【詳解】

⑴/(x)=6cos2x->/3sin2x=3(1+cos2x)-V3sin2x

=-5/3sin2x+3cos2x+3

=—2VJsin(2x—g)+3,

從而/(A=3+6.

TTTTTC

(2)令一々+2JbrW2x—+2&肛&eZ.

232

冗5萬

解得-----\-k7c<x<----卜k兀,keZ.

1212

九5TT

即函數(shù)/(X)的所有減區(qū)間為一:+k九=+k兀,k&Z,

冗冗5乃1\TC

考慮到XE,取攵=0,1,可得XG---.71

12

幾57r1ITT

故f(x)的遞減區(qū)間為—和丁「",

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變形，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

19、(1)—.(2)1

3

【解析】

(1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量和向量AP的坐標(biāo)，再利用線線角的向量方法求解.

(2,由AN=2,設(shè)N(0,九0)(09%),則MN=(-1，2—1，-2),再求得平面尸8c的一個法向量，利用直線MN

4IMN-m\I_2-214

與平面P3C所成角的正弦值為二，由Icos(MN，m>1=〔一一I，=71二一,、；一>==求解?

5|MN||m|,5+(4—1)-v55

【詳解】

(1)因?yàn)榭侸■平面4BCD,5.AB,ADcYffiABCD,所以/MJL48,PAA.AD.

又因?yàn)镹A4O=9()。，所以DbAB,AO兩兩互相垂直.

分別以A8,AD,A尸為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則由A￡)=2A5=28C=4,Rl=4可得

A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),尸(0,0,4).

又因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以M(L1,2).

所以助0=(一1，1，2),AP=(。，。，明,

APBM

所以cos〈AP，BM>=

\AP\\BM\

0x(-l)+0xl+4x2布

==T

所以異面直線AP,8M所成角的余弦值為Y5.

(2)因?yàn)锳N=2,所以N(0,九0)(0<2<4),

則MN=(-L義一1，-2)，BC=(。，2,0),PB=Q,0,-4).

設(shè)平面PBC的法向量為加=(x,y,z),

m-BC=0'2y=0

則即《

m-PB=02x-4z=0

令x=2,解得y=0,z=l,

所以加=(2,0,1)是平面P8C的一個法向量.

4

因?yàn)橹本€MN與平面PBC所成角的正弦值為-,

所以|cos<MN，〉=

ml|MN||m|,5+(>-1)~?小5

解得2=1G[O,4],

所以2的值為1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角，線面角的求法及應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,

屬于中檔題.

/37兀\(3［\TCI

20、(1)點(diǎn)時的極坐標(biāo)為［/,-^-)或［3,7—)(2)5/2+1

【解析】

3

(1)令2=1-sing,由此求得。的值，進(jìn)而求得點(diǎn)"的極坐標(biāo).

2

(2)設(shè)出M,N兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用勾股定理求得|MV|的表達(dá)式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得|MN|的最大值.

【詳解】

(1)設(shè)點(diǎn)M在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

31

由夕=l-sin。，得一=l-sin。，sinB=——

22

???o?e<2?

.?.夕="或。=止，

66

/3q冗\(yùn)(3］\JL、

所以點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或

(2)由題意可設(shè)“3,e),N(P2，］+“.

由夕=1-sin?,得q=l-sine,p2-\-sin+6/^=1-cos0.

\MN\=Jp；+&=^(l-sin0)2+(l-cos^)2

=j3-2(sine+cos。)

=J3—2應(yīng)sin(6+S