《大學(xué)物理簡(jiǎn)明教程》第2章-質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

第一篇力學(xué)牛頓運(yùn)動(dòng)定律§2.1動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律§2.2功

動(dòng)能定理§2.3勢(shì)能

機(jī)械能守恒定律§2.4第2章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

三百年前，牛頓站在巨人的肩膀上，建立了動(dòng)力學(xué)三大定律和萬(wàn)有引力定律。其實(shí)，沒(méi)有后者，就不能充分顯示前者的光輝。海王星的發(fā)現(xiàn)，把牛頓力學(xué)推上榮耀的頂峰。魔鬼的烏云并沒(méi)有把牛頓力學(xué)推跨，他在更加堅(jiān)實(shí)的根底上確立了自己的使用范圍。宇宙時(shí)代，給牛頓力學(xué)帶來(lái)了又一個(gè)繁花似錦的春天。艾薩克·牛頓〔1643年1月4日—1727年3月31日〕，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，英國(guó)著名的物理學(xué)家，百科全書式的“全才”，著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》、《光學(xué)》?！?.1牛頓運(yùn)動(dòng)定律

牛頓在分析、總結(jié)伽利略等前人對(duì)力學(xué)研究成果的基礎(chǔ)上，在1687年出版的名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中，提出了三條定律，統(tǒng)稱為牛頓運(yùn)動(dòng)定律。引力質(zhì)量是萬(wàn)有引力定律中的質(zhì)量，引力質(zhì)量是物體間產(chǎn)生引力作用“能力”的量度。

牛頓第一定律

任何物體都保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，除非有力加于其上迫使它改變這種狀態(tài)為止。包含兩個(gè)重要概念：慣性和力固有特性慣性質(zhì)量是物體慣性大小的量度在物體運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)，慣性質(zhì)量不隨速度而改變。2.1.1牛頓運(yùn)動(dòng)定律2.1.1牛頓運(yùn)動(dòng)定律

牛頓第二定律

物體所受的合外力等于物體動(dòng)量的瞬時(shí)變化率。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量:牛頓第二定律:

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程或注意：1、適用于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng).2、瞬時(shí)性.3、運(yùn)動(dòng)中質(zhì)量不變時(shí),5、矢量性：具體運(yùn)算時(shí)應(yīng)寫成分量式直角坐標(biāo)系中：自然坐標(biāo)系中：4、迭加性：6、定量的量度了慣性慣性質(zhì)量：牛頓第二定律中的質(zhì)量常被稱為慣性質(zhì)量引力質(zhì)量：式中被稱為引力質(zhì)量經(jīng)典力學(xué)中不區(qū)分引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量

作用力與反作用力，兩者互相依存，同時(shí)產(chǎn)生，同時(shí)消失。作用力和反作用力是分別作用在兩個(gè)物體上，它們不能相互抵消。物體間的作用力與反作用力總是屬于同種性質(zhì)的力。牛頓運(yùn)動(dòng)定律適用范圍：1〕只適用于質(zhì)點(diǎn)；2〕只適用于慣性系；3〕只能用來(lái)處理宏觀、低速的力學(xué)問(wèn)題，而不適用于處理微觀粒子或高速運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。2.1.1牛頓運(yùn)動(dòng)定律是矢量式平面直角坐標(biāo)系中：自然坐標(biāo)系中：2.1.2牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用〔1〕明確研究對(duì)象。實(shí)際問(wèn)題中，相互作用的物體往往有幾個(gè)，當(dāng)要具體分析某一物體的受力情況時(shí)，通常采用“隔離體法”，即把要研究的對(duì)象從周圍物體中別離出來(lái)，隔離體可以是一個(gè)物體或幾個(gè)物體的組合，也可以是物體的一個(gè)局部。〔2〕分析隔離體的受力情況，畫出隔離體的受力圖〔示力圖〕。在熟悉各類型力特點(diǎn)的根底上，找出隔離體受到的所有外力，在示力圖上表示出來(lái)。〔3〕建立坐標(biāo)系，列方程。根據(jù)問(wèn)題的具體條件選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，規(guī)定坐標(biāo)軸的正方向，并在隔離圖上畫出來(lái)。列出牛頓第二定律的分量式，檢查標(biāo)量方程式的數(shù)目和未知量的數(shù)目是否相等?！?〕解方程，并對(duì)所得結(jié)果作必要的討論。解方程一般先進(jìn)行文字運(yùn)算，然后再將具體數(shù)值代入。運(yùn)算中應(yīng)注意用統(tǒng)一的〔SI〕單位制。牛運(yùn)用牛頓定律解題的根本步驟設(shè)板車和木箱對(duì)地的加速度分別為和

解:

例2-1用質(zhì)量為kg的平板車運(yùn)送一質(zhì)量為kg的木箱，如圖a所示，木箱與板車之間的靜摩擦系數(shù)，水平路面與板車的滾動(dòng)摩擦系數(shù)可以不計(jì)。問(wèn)拉(或推)板車的水平力F最大不能超過(guò)多少才能保證木箱不致往后溜？隔離木箱和板車，受力分析，如圖b如果木箱與板車相對(duì)靜止，那么必有由牛頓第二定律，對(duì)

，有

對(duì)

有因?yàn)橛梢陨先浇獾靡鼓鞠洳煌蠡瑒?dòng)，必須滿足，即第一式代入，得代入題設(shè)數(shù)據(jù)，得N

解:小球在水中的受力圖如下圖，取豎直向下的方向?yàn)閤正方向，由牛頓第二定律列出小球運(yùn)動(dòng)的微分方程為

或式中為一常數(shù)，令此速度是小球下沉的極限速度〔最后勻速下沉的速度〕。整理上式得

初始條件是：上式兩邊積分所以

我們把牛頓定律成立的參考系稱為慣性參考系，簡(jiǎn)稱慣性系；而把牛頓定律不成立的參考系稱為非慣性參考系。一個(gè)參考系是否為慣性系，要靠實(shí)驗(yàn)來(lái)判定。大量的實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，在相當(dāng)高的實(shí)驗(yàn)精度內(nèi)，地球是慣性系。同時(shí)，相對(duì)地面作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系也都是慣性系；相對(duì)地面有加速度的參考系都是非慣性系。牛頓定律對(duì)非慣性系不成立。2.1.3慣性系§2.2動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律整個(gè)物理學(xué)大廈的基石，三大守恒定律：

動(dòng)量守恒定律能量轉(zhuǎn)換與守恒角動(dòng)量守恒牛頓第二定律反映了物體所受外力與物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的瞬時(shí)效應(yīng)。事實(shí)上，很多情況下物體所受的力是持續(xù)的，因此，有必要研究物體在力的持續(xù)作用下，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的情形，也就是研究力對(duì)物體產(chǎn)生的積累效應(yīng)。力的積累效應(yīng)包括力的時(shí)間積累效應(yīng)和力的空間累積效應(yīng)。本節(jié)討論力的時(shí)間累積效應(yīng)。

作用于質(zhì)點(diǎn)的合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量，這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。2.2.1

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理由牛頓第二定律的動(dòng)量形式有如果合外力的作用時(shí)間從質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量從上式兩邊對(duì)力作用的時(shí)間積分，有右邊是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量左邊是力對(duì)時(shí)間的積分，時(shí)間內(nèi)的沖量，動(dòng)量定理的積分形式稱為力F在從用I表示(1)力對(duì)時(shí)間的積分是矢量函數(shù)的積分，因此沖量I

是矢量。當(dāng)F

是恒力時(shí)，沖量

I的方向與F的方向相同；當(dāng)F

為變力時(shí)，沖量I的方向一般與F的方向不同，此時(shí)I的方向由動(dòng)量增量的方向決定。

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理作幾點(diǎn)說(shuō)明：(2)動(dòng)量定理是一個(gè)矢量方程，應(yīng)用時(shí)，可以直接作矢量圖求解，也可以建立坐標(biāo)后列坐標(biāo)分量式求解。在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)量定理的分量式為(3)沖量可以用平均力與時(shí)間的乘積來(lái)表示。在許多實(shí)際問(wèn)題中，力隨時(shí)間變化的規(guī)律是不容易確定的。如打擊、碰撞一類問(wèn)題中，物體之間的相互作用具有作用時(shí)間短、變化快、峰值大的特點(diǎn)，這種力稱為沖力，如下圖。處理這類問(wèn)題時(shí)常用平均沖力來(lái)代替變力。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理作幾點(diǎn)說(shuō)明：

解:例2-3擊球手用板狀拍打擊速率為m/s水平飛來(lái)的壘球，球飛到豎直上方10m處。球的質(zhì)量kg，假設(shè)拍與球接觸時(shí)間為0.02s，求球受到的平均沖力。視小球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，其受重力mg和拍的平均沖力F兩個(gè)力作用。由于F遠(yuǎn)大于重力mg，故重力〔恒力〕的沖量可以忽略不計(jì)。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理，有解法1：列坐標(biāo)分量式求解建立坐標(biāo)系如圖(a)所示，列出x和y方向動(dòng)量定理的分量式，有由題設(shè)

求得平均沖力的大小和方向分別為即拍施于球的平均沖力的方向與x軸正方向的夾角為145°。

解法2：作矢量圖求解由沖量與動(dòng)量增量的矢量關(guān)系式，作出三個(gè)矢量的關(guān)系圖如圖〔b〕所示，為一直角三角形，由圖得所以很多情況下，直接作矢量圖求解往往比列分量式求解要簡(jiǎn)捷。2.2.2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理設(shè)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)系m1、m2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理————質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量的增量等于質(zhì)點(diǎn)系所受合外力的沖量。2.2.2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

質(zhì)點(diǎn)系相互作用的內(nèi)力可以改變系統(tǒng)內(nèi)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，但不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。2.2.3

動(dòng)量守恒定律

動(dòng)量守恒定律————若系統(tǒng)不受外力或外力矢量和為零，雖然系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量可以變化，可以相互交換，但質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量不變。

那么和外力對(duì)動(dòng)量守恒定律的幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)是矢量式，解題時(shí)通常列分量式，平面直角坐標(biāo)中分量式：由上式看出，即使系統(tǒng)所受合外力不為零，但如果合外力在某一方向上的投影為零，那么質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量在該方向上的分量是守恒的。(2)應(yīng)用動(dòng)量守恒定律時(shí)，必須認(rèn)真分析守恒條件是否成立，即系統(tǒng)在所研究的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受合外力是否為零。但在處理如碰撞、爆炸之類問(wèn)題時(shí)，因質(zhì)點(diǎn)系相互作用的內(nèi)力遠(yuǎn)大于它們所受到的外力，且作用時(shí)間極短，也可對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量守恒定律求近似解。(3)動(dòng)量是矢量。系統(tǒng)動(dòng)量守恒是指質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和不變。(4)動(dòng)量守恒定律的表達(dá)式中，所有速度都應(yīng)相對(duì)于同一慣性參考系而言。

解:例2-4質(zhì)量為m，長(zhǎng)為L(zhǎng)的平板車停在平直的軌道上，一質(zhì)量為m0的人以時(shí)快時(shí)慢的不規(guī)那么速率從車頭走到車尾，問(wèn)平板車相對(duì)地面移動(dòng)了多長(zhǎng)距離？設(shè)平板車與軌道之間的摩擦可以忽略。把人和車視為一個(gè)系統(tǒng)，忽略車和軌道之間的摩擦，那么系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒。取水平向右的方向?yàn)檎较?，并以u(píng)和v表示車和人相對(duì)于地在同一時(shí)刻的速度，由動(dòng)量守恒定律，有或上式兩邊對(duì)人從車頭走到車尾的時(shí)間t積分，有即所以解得

§2.3功動(dòng)能定理

§2.2節(jié)討論了力的時(shí)間積累效應(yīng)，一個(gè)力作用在物體上一段時(shí)間，結(jié)果是使物體的動(dòng)量發(fā)生了變化。

本節(jié)討論力的空間積累效應(yīng)，即討論一個(gè)力作用在物體上使物體移動(dòng)了一段空間距離，力對(duì)物體作用的效果。2.3.1功

一、恒力的功————力沿位移方向的分量與力作用點(diǎn)位移大小的乘積。因?yàn)閮墒噶奎c(diǎn)積的結(jié)果為一標(biāo)量，故功是標(biāo)量。功的單位為牛頓·米〔N·m〕，即焦耳〔J〕，1J=1N·m恒力的功等于力與位移的點(diǎn)積2.3.1功

二

、變力的功在平面直角坐標(biāo)系中路徑有關(guān)，故功是一個(gè)過(guò)程量功——力的空間積累外力作功是外界對(duì)系統(tǒng)過(guò)程的一個(gè)作用量2.3.1功

三

、合力的功物體同時(shí)受的作用合力的功等于各分力的功的代數(shù)和2.3.1功

四

、功率——表征作功快慢程度的物理量，即單位時(shí)間內(nèi)所做的功叫功率。平均功率：瞬時(shí)功率：瞬時(shí)功率等于力與速度的點(diǎn)積

解:例2-5一質(zhì)點(diǎn)在Oxy坐標(biāo)平面內(nèi)作逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的圓周運(yùn)動(dòng)，如下圖。有一力作用在質(zhì)點(diǎn)上。計(jì)算該質(zhì)點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)到P〔-R，R〕位置過(guò)程中，力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功。這是變力做功

從O到P變力F的總功為2.3.2

動(dòng)能動(dòng)能定理令

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理。即合外力所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量

解:例2-6質(zhì)量m=10kg的物體沿x軸無(wú)摩擦地滑動(dòng)，t=0時(shí)物體靜止于坐標(biāo)原點(diǎn)?！?〕假設(shè)物體在力〔SI〕的作用下運(yùn)動(dòng)了3s，它的速率增為多大?〔2〕假設(shè)物體在力〔SI〕的作用下移動(dòng)了3m，它的速率又增為多大？〔1〕由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理得〔2〕由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理得§2.4勢(shì)能

機(jī)械能守恒定律2.4.1保守力的功

重力的功

彈性力的功

萬(wàn)有引力的功2.4.2勢(shì)能2.4.3機(jī)械能守恒定律2.4.1保守力的功1.重力的功重力做功與路徑無(wú)關(guān)，僅與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)。

質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，重力做的總功為2.4.1保守力的功2.彈性力的功彈性力做功也與路徑無(wú)關(guān)，僅與物體的始末位置有關(guān)2.4.1保守力的功3.萬(wàn)有引力的功如果一個(gè)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功僅決定于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的始末位置，而與運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)，這種力就稱為保守力。如：重力、彈性力、萬(wàn)有引力都是保守力凡作功與路徑有關(guān)的力都是非保守力。如：摩擦力、磁力及一切產(chǎn)生形變的力都是非保守力上作用于m的引力

在

上的元功為2.4.2勢(shì)能保守力的功等于系統(tǒng)勢(shì)能增量的負(fù)值三式右邊由系統(tǒng)相對(duì)位置決定的函數(shù)必定是某種能量的函數(shù)形式。我們將其稱為勢(shì)能函數(shù)，用表示

取那么有即，質(zhì)點(diǎn)在某一位置的勢(shì)能，數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)經(jīng)任意路徑移動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)保守力所做的功。勢(shì)能是一個(gè)標(biāo)量，在SI制中，勢(shì)能的單位為焦耳〔J〕。2.4.2勢(shì)能引力勢(shì)能〔以無(wú)窮遠(yuǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)〕重力勢(shì)能〔以地面為零勢(shì)能點(diǎn)〕彈性勢(shì)能〔以彈簧原長(zhǎng)為零勢(shì)能點(diǎn)〕必須強(qiáng)調(diào)的是，勢(shì)能是一個(gè)相對(duì)量，中選擇不同的勢(shì)能零點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在同一位置的勢(shì)能有不同的值。2.4.3機(jī)械能守恒定律1.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理與功能原理對(duì)系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)求和，得外力和內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所做的功的代數(shù)和等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理。2.4.3機(jī)械能守恒定律把分解為保守內(nèi)力的功和非保守內(nèi)力的功且保守內(nèi)力的功之等于質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能增量的負(fù)值，即質(zhì)