中考數(shù)學(xué)拉分壓軸題專題14 與圓有關(guān)的證明和計(jì)算（含答案與解析全國通用）

第第頁專題14與圓有關(guān)的證明和計(jì)算（1）切線判定：=1\*GB3①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線=2\*GB3②和圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）=3\*GB3③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線（2）切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點(diǎn)時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點(diǎn)時，作垂直，證垂線段等于半徑．1．如圖，在中，，以為直徑作圓，分別交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)．(1)求證：EH=CH；(2)求證：是圓的切線；(3)若，求圓的半徑．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)．【分析】（1）先判斷出是等腰三角形，即可得出結(jié)論；（2）連接OD，先判斷出是等腰三角形，進(jìn)而得出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論（3）設(shè)的半徑為r，即，先判斷出，進(jìn)而得出，得出，，進(jìn)而得出，再判斷出，得出比例式建立方程求解，即可求出答案．（1）證明：，，在⊙中，，∴，是等腰三角形，∵，∴（2）證明：連接，如圖1，，是等腰三角形，，，，，∴，，，∵是的半徑，是圓的切線；（3）連接，如圖1，，設(shè)⊙的半徑為，即，，，∵，，則，，，∵是等腰三角形，∴，，∴是等腰三角形，∵是⊙的直徑，∴，∴，，在⊙中，，，在中，，，，，，，，解得：，舍，綜上所述，⊙的半徑為．【我思故我在】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解（3）的關(guān)鍵．2．小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．請證明此結(jié)論；（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．可以通過延長、相交于點(diǎn)，再連接證明結(jié)論成立．請寫出證明過程；（3）如圖3，，組成的一條折弦，若是優(yōu)弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出證明過程．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3），理由見解析【分析】（1）連接，，易證為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，可以證得．（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先，再證為等腰三角形，進(jìn)一步證得，從而證得結(jié)論．（3）根據(jù)，從而證明，得出，然后判斷出，進(jìn)而求得．【詳解】證明：（1）如圖1，連接，，是劣弧的中點(diǎn)，，，，，，，為等腰三角形，，；（2）如圖2，延長、相交于點(diǎn)，再連接，是圓內(nèi)接四邊形，，是劣弧的中點(diǎn)，，，為等腰三角形，，，，，（3）．連接，，，、相交于點(diǎn)，弧弧，，，，，，，，，，，，，，．【我思故我在】本題主要考查了垂徑定理及其推論，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理在5個條件中，1．平分弦所對的一條?。?．平分弦所對的另一條??；3．平分弦；4．垂直于弦；5．經(jīng)過圓心（或者說直徑）．只要具備任意兩個條件，就可以推出其他的三個．3．如圖，AB是的直徑，AC是的切線，連接OC，弦，連接BC，DC．求證：DC是的切線；若，求的值．【分析】連接OD，如圖，利用切線的性質(zhì)得，再利用平行線的性質(zhì)證明，則可判定≌，從而得到，然后根據(jù)切線的判定方法得到結(jié)論；作于E，如圖，在中由于，則可設(shè)，，所以，則，再在中利用正弦可表示出，利用勾股定理可得到，于是得到，從而在中根據(jù)正切定義得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到的值．【詳解】證明：連接OD，如圖，為切線，，，，，，，，，在和中，≌，，，是的切線；解：作于E，如圖，在中，，設(shè)，，，，在中，，，，，在中，，，，的值為．【我思故我在】本題考查了切線的性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；有切線時，常常“遇到切點(diǎn)連圓心得半徑”也考查了解直角三角形．4．圖，是的直徑，點(diǎn)C在的延長線上，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)E．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的半徑以及線段的長．【答案】(1)是的切線，理由見解析(2)3；【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的定義得出，即，根據(jù)平行線的判定方法得出，根據(jù)，得出，根據(jù)即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，在中，由勾股定理列出關(guān)于x的方程即可；先求出，然后再根據(jù)，得出，代入數(shù)據(jù)即可得出答案．【詳解】（1）：是的切線，理由如下：連接OD，如圖所示：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：設(shè)，在中，由勾股定理得，，即，解得，即半徑為3；∵，∴，根據(jù)解析（1）可知，，∴，即，解得：．【我思故我在】本題主要考查了切線的判定，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出．5．如圖，在等腰中，，以為直徑的與交于點(diǎn)D，，垂足為E，的延長線與的延長線交于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為，，求的長．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，

∴．∵，

∴，∴，∴．∵，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：如圖，連接，∵是的直徑，

∴．∵，

∴．∵，∴，∴．∵，∴．∴∴．【我思故我在】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．6．如圖，在中，，以為直徑的與斜邊交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)填空①若，，則___________；②當(dāng)___________時，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形．【答案】(1)見解析(2)①；②【詳解】（1）證明：∵是直徑，∴，∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴DE=CE=BE，∴，，連接，則，∴，∴是的切線．（2）解：①∵在中，，∴，∴，故答案為：；②只要，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形就是正方形，則，故答案為：．【我思故我在】本題考查了圓的切線的判定及解直角三角形的知識和正方形的判定，通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．7．如圖，AB是⊙O的直徑，弦，E是CA延長線上的一點(diǎn)，連接DE交⊙O于點(diǎn)F連接AF，CE．(1)若，求的度數(shù)．(2)求證：AF平分．(3)若，，且CF經(jīng)過圓心O，求CE的長．【答案】(1)70°(2)詳見解析(3)【分析】（1）由垂徑定理得到，從而得到與的關(guān)系，通過直角三角形的性質(zhì)可以得到,由圓周角定理的推理即可得出；（2）由垂徑定理和圓周角定理的推理可以得出,再由圓內(nèi)接四邊形和得出與的關(guān)系，從而得到，由圓周角定理的推理得出與的關(guān)系，從而得出與的關(guān)系，得證；（3）由垂徑定理可以得出CH，由勾股定理得出OH，從而得出AH的長，再由勾股定理得出AC的長，由，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出，從而得出CE的長．(1)（1）解：如圖，連接OD，AD，設(shè)AB交CD于H．∵，∴，，∴，∴，∴∠AFC＝∠ADH＝70°．(2)（2）證明：∵AB是直徑，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴AF平分．(3)（3）解：如圖，設(shè)AB交CD于H．∵AB是直徑，，∴，∵，，∴∴，∴∵CF是直徑，∴，∴，∴∵，∴，∴．【我思故我在】本題考查了垂徑定理、圓周角定理及推理、勾股定理、平行線分線段成比例定理，熟練掌握相關(guān)定理是解決本題的關(guān)鍵．8．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC為⊙O的直徑，AC與BD交于點(diǎn)E，P為CB延長線上一點(diǎn)，連接PA，且∠PAB=∠ADB．(1)求證：PA為⊙O的切線；(2)若AB=6，tan∠ADB=，求PB的長；(3)在（2）的條件下，若AD=CD，求△CDE的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)5【分析】（1）連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB=∠OBA，根據(jù)圓周角定理得到∠CAB=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AC=8，根據(jù)勾股定理得到BC=，求得OB=5，過B作BF⊥AP于F，設(shè)AF=4k，BF=3k，求得BF=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）連接OD交AC于H，根據(jù)垂徑定理得到AH=CH=4，得到OH=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DE=，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．(1)證明：連接OA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵BC為⊙O的直徑，∴∠CAB=90°，∴∠ACB＋∠ABC=90°，∵∠ADB=∠ACB=∠PAB，∴∠PAB＋∠OAB=90°，∴∠OAP=90°，∴PA為⊙O的切線；(2)解：∵∠ADB=∠ACB，∴tan∠ADB=tan∠ACB=，∵AB=6，∴AC=8，∴BC=，∴OB=5，過B作BF⊥AP于F，∵∠ADB=∠BAF，∴tan∠ADB=tan∠BAF=，∴設(shè)AF=4k，BF=3k，∴AB=5k=6，∴k=，∴BF=，∵OA⊥AP，BF⊥AP，∴BFOA，∴△PBF∽△POA，∴，即，∴PB=；(3)解：連接OD交AC于H，∵AD=CD，∴，∴OD⊥AC，∴AH=CH=4，∴OH=，∴DH=2，∴CD=，∴BD=，∵∠ADE=∠BDA，∠DAE=∠ABD，∴△ADE∽△BDA，∴，即，∴DE=，∴△CDE的面積為．9．問題提出(1)如圖1，AB為圓O的弦，在圓O上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到AB的距離最大．(2)問題探究如圖2，在扇形AMB中，點(diǎn)M為扇形所在圓的圓心，點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)，連接PM，與AB交于點(diǎn)Q，若AB＝10，AM＝7，求出PQ的最大值．(3)問題解決如圖3，小華家有一塊扇形AOB的田地，線段OA、線段OB以及分別為扇形AOB的邊沿部分．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，小華爸爸打算在扇形AOB的田地中圈出一片空地用作種植當(dāng)季蔬菜，具體操作方式如下：在上選取點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CMOB，CNOA，則四邊形MONC為小華爸爸所圈空地．已知：扇形AOB的圓心角∠AOB＝60°，OA＝OB＝90m，且用于修建圍擋的線段MC部分與線段CN部分的成本均為30元/米．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算：小華爸爸最終所花費(fèi)的修建費(fèi)預(yù)算最多是多少元？（即求出CM+CN的最大值）（結(jié)果保留整數(shù)，取1.73）【答案】(1)見解析(2)(3)210元解：如圖1，過點(diǎn)O作OP⊥AB，此時點(diǎn)P處于中心位置，∵在圓內(nèi)，弦所對弧的中點(diǎn)到弦的垂線段距離最大，∴此時P點(diǎn)到AB的距離最大；(2)解：如下圖，Q點(diǎn)在AB的中點(diǎn)時，QM最小，則PQ最大，∵M(jìn)A＝MB，AQ＝BQ，∴QM⊥AM，∵AB＝10，AM＝7，∴AQ＝BQ＝5，∴，∴；(3)解：由題意可知，當(dāng)點(diǎn)C處于中點(diǎn)時，對角線最長，此時，OC＝OA＝90，AB⊥OC與點(diǎn)Q，∵CMOB，∴∠AMC＝60°，∵CNOA，∴∠CNB＝60°，∴∠CMQ＝∠CNQ＝60°，∴△CMN為等邊三角形，同理證明△OMN也為等邊三角形，在Rt△OMQ中，OQOC＝45，OM＝2MQ，OM2＝MQ2+OQ2，∴OM＝1526.01，∴?OMCN的周長C＝OM+ON+NC+MC＝4OM＝8MQ＝208.08≈209（不足1米按照1米計(jì)算），∵成本均為30元/米，∴，則預(yù)算最多為：7×30＝210（元）．【我思故我在】本題考查了弦所對弧的中點(diǎn)到弦的垂線段距離最大，點(diǎn)到弦之間的距離垂線段最短，平行四邊形周長的最大值，解題關(guān)鍵是把求平行四邊形四條邊的平方的和，換成求平行四邊形對角線的最大值，問題就得以解決．10．如圖，在中，，，以AB為直徑的半圓O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是上不與點(diǎn)B，D重合的任意一點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，連接BE并延長交AC于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）填空：①若，且點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則DF的長為；②取的中點(diǎn)H，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為時，四邊形OBEH為菱形．【答案】（1）見解析（2）①②30°【分析】（1）利用直徑所對的圓周角是直角，可得，再應(yīng)用同角的余角相等可得，易得，得證；（2）作，應(yīng)用等弧所對的圓周角相等得，再應(yīng)用角平分線性質(zhì)可得結(jié)論；由菱形的性質(zhì)可得，結(jié)合三角函數(shù)特殊值可得．【詳解】解：（1）證明：如圖1，，，AB是的直徑，，；（2）①如圖2，過F作于H，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，，即，，即，故答案為．②連接OE，EH，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，，四邊形OBEH為菱形，．故答案為11．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，G是上一動點(diǎn)，AG，DC的延長線交于點(diǎn)F，連接AC，AD，GC，GD．（1）求證：∠FGC＝∠AGD；（2）若AD＝6．①當(dāng)AC⊥DG，CG＝2時，求sin∠ADG；②當(dāng)四邊形ADCG面積最大時，求CF的長．【答案】（1）證明見解析；（2）①sin∠ADG＝；②CF＝6．【分析】（1）由垂徑定理可得CE＝DE，CD⊥AB，由等腰三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD；（2）①如圖，設(shè)AC與GD交于點(diǎn)M，證△GMC∽△AMD，設(shè)CM＝x，則DM＝3x，在Rt△AMD中，通過勾股定理求出x的值，即可求出AM的長，可求出sin∠ADG