2024年武漢市高二數(shù)學(xué)3月份聯(lián)考試卷附答案解析

2024年武漢市高二數(shù)學(xué)3月份聯(lián)考試卷試卷滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．2024.03一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）A． B． C．e D．3．若函數(shù)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．4．已知上的可導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（）A． B．1 C．2 D．6．已知函數(shù)在上存在極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．8．已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分2分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列函數(shù)在定義域上為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A．的單調(diào)遞減區(qū)間是B．在點(diǎn)處的切線方程是C．若方程只有一個(gè)解，則D．設(shè)，若對(duì)，使得成立，則11．已知，.若存在，，使得成立，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．不存在，使得成立 D．恒成立，則三?填空題：本題共3小題每小題5分，共15分12．若函數(shù)的極大值為11，則的極小值為．13．與曲線和都相切的直線方程為.14．已知函數(shù)，不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值為．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．已知函數(shù)．(1)當(dāng)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．17．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值．18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的圖像在點(diǎn)處的切線方程；(2)若不等式恒成立，求的取值集合.19．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別記為.①求的取值范圍；②證明.1．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】因?yàn)?，所以，所以切點(diǎn)為，又，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率，故得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，即為．故選：B2．A【分析】在上恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，得到，求出答案.【詳解】由題意得在上恒成立，，故，即，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，故a的最小值為.故選：A3．D【分析】由題意得有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，列出不等式組求解即可.【詳解】依題意知，有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，故，解得且.故選：D.4．D【分析】由函數(shù)圖象得出和的解，然后用分類討論思想求得結(jié)論．【詳解】由圖象知的解集為，的解集為，或，所以或，解集即為．故選：D．5．A【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入，求出的值，進(jìn)而求解的值即可.【詳解】因?yàn)樗远x域?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，，，則故選：A6．B【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)存在極值得出在給定區(qū)間有變號(hào)零點(diǎn),設(shè)再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出最值即可求解.【詳解】,函數(shù)在上存在極值，在該區(qū)間有變號(hào)零點(diǎn).即,,單調(diào)遞減,設(shè)，單調(diào)遞增;單調(diào)遞減;,,.故選:B.7．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，則轉(zhuǎn)化得到在上單調(diào)遞增，將題目轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再利用分離參數(shù)法即可得到答案.【詳解】由題意,不妨設(shè),因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù),都有,所以,即,構(gòu)造函數(shù),則,所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立,即在上恒成立,設(shè),則，所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增，時(shí),單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D.8．D【分析】分別討論，，時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】，①當(dāng)時(shí)，令，解得，若在內(nèi)有零點(diǎn)，則，解得，即當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令，解得，若在內(nèi)有零點(diǎn)，則，解得，即當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，令，即，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和內(nèi)分別有一個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和內(nèi)分別有一個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn).函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.9．BC【分析】結(jié)合選項(xiàng)中的函數(shù)，求得相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可判定函數(shù)的單調(diào)，得到答案．【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以A不符合題意,對(duì)于B,函數(shù)（），可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故B符合，對(duì)于C中，,則，故單調(diào)遞增；故C符合，對(duì)于D，函數(shù)，可得，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以D不符合題意；故選：BC．10．BD【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析其單調(diào)性得到其圖象，可判斷ABC，對(duì)應(yīng)選項(xiàng)D，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，的值域?yàn)镚，由求解判斷.【詳解】函數(shù)，，，令，得或；令，得；可得函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，其大致圖象如圖：

對(duì)于，由上述分析可得A錯(cuò)誤；，由，，得，所以切線為，故B正確；對(duì)于C，由方程只有一解，由圖象可知，或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)?，?duì)于，，，對(duì)于，，，若，，使得成立，則，故D正確，故選：BD.11．AB【分析】A選項(xiàng)，轉(zhuǎn)化同構(gòu)形式，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)，可得，即；B選項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最小值問題即可；C選項(xiàng)，特值驗(yàn)證，找到滿足條件即可；D選項(xiàng)，不等式變形、分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)研究最值即可.【詳解】選項(xiàng)A，，則，且，由，得，當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，有唯一解，故，，故A正確；選項(xiàng)B，由A正確，得，設(shè)，則，令，解得易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，故B正確；選項(xiàng)C，由，，得，又驗(yàn)證知，故存在，使得，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由，恒成立，即恒成立，令，則，由在上遞增，又，，存在，使，在上遞減，在上遞增（其中滿足，即）.，要使恒成立，，存在滿足題意，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合題型中，在題干條件中同時(shí)出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，通常可以考慮借助冪函數(shù)作為橋梁，通過變形轉(zhuǎn)化為相同結(jié)構(gòu)的式子，再構(gòu)造函數(shù)研究問題，即指對(duì)同構(gòu)思想的應(yīng)用.12．－21【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極大值，并求，再求解函數(shù)的極小值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，解得或，列表?0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，由題意得，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值.故答案為：13．【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線相切的切點(diǎn)，然后表示出直線的方程，再根據(jù)切線是同一條直線建立方程求解.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以該直線的方程為，即，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以該直線的方程為，即，所以，解得，所以該直線的方程為，故答案為：.14．【分析】先根據(jù)奇函數(shù)的定義推出為上的奇函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)推出在上單調(diào)遞增，再利用奇偶性和單調(diào)性將不等式化為對(duì)任意的恒成立，再參變分離得對(duì)任意的恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值可得結(jié)果．【詳解】因?yàn)椋詾樯系钠婧瘮?shù)．又，所以在上單調(diào)遞增，不等式對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，所以對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，令，所以，所以當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，所以，設(shè)，顯然為上的增函數(shù)，因?yàn)?，，所以存在，使得，所以，此時(shí)，所以，即的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故．15．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）恒成立，即，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）若，則，，故，所以曲線在處的切線方程為，即；（2）恒成立，即，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．16．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案；（2）由，把函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，令，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象得到實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）將代入可得，其定義域?yàn)镽，則.和都在上增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增且，因此，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞增；綜上所述，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）（2）由得，，令，則，時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；由單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，取得極小值，即；當(dāng)時(shí)，取得極大值，即.所以和的大致圖象如下：綜上所述，若有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．17．（1）答案見解析；（2）．【分析】（1）求導(dǎo)后，分別在和的情況下，根據(jù)的正負(fù)得到函數(shù)單調(diào)性；（2）分別在、和三種情況下，得到在上的單調(diào)性，由單調(diào)性可確定最大值點(diǎn)，代入可得最大值.【詳解】（1）由題意得：定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令得：，列表如下：＋－遞增極大值遞減在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知：①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；綜上所述：.18．(1)y=2x(2){1}【分析】（1）先求出切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，即可求出結(jié)果；（2）通過構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求的最小值，通過對(duì)進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，故的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）解法一：因?yàn)楹愠闪ⅲ愠闪?，令函?shù)，則

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間恒成立，此時(shí)g(x)在區(qū)間單調(diào)遞增，又，易知，所以，故不合題意，②當(dāng)時(shí)，由可得

即令，則在區(qū)間上恒成立所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以存在，使得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，，故要使恒成立，只需，令，則，由，得到，由，得到，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，即，所以只有唯一解，即.綜上，a的取值集合為.解法二：由題意可得恒成立，令，則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，所以恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，又因?yàn)?，要使恒成立，則是的極小值點(diǎn)，又因?yàn)椋?，解?當(dāng)時(shí)，令，，所以時(shí)，，時(shí)，，所以，滿足題意.綜上，a的取值集合為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式恒成立問題，解題方法是把不等式變形為，然后由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，解不等式即可得參數(shù)范圍．19．(1)答案見解析(2)①；②證明見解析【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，分與討論即可；（2）①結(jié)合函數(shù)的極值點(diǎn)即可求解；②構(gòu)造函數(shù)與討論即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?又，令，得.當(dāng)，即時(shí)，在恒成立，.當(dāng)，即時(shí)，方程有兩根，可求得：，因?yàn)樗裕?dāng)和時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，.①方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程在上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令，則，令，求得：或