人教版七年級數(shù)學(xué)下冊同步精講精練專題：巧解平行線中的拐點問題(原卷版+解析)

七年級下冊數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》專題巧解平行線中的拐點問題題型一過一個拐點作平行線求角度題型一過一個拐點作平行線求角度【例題1】（2022春?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為（）A．55° B．75° C．80° D．105°解題技巧提煉當兩條平行線不是被第三條直線所截,而是被一條折線所截時，平行線的性質(zhì)則不能直接應(yīng)用，遇到一個拐點時，只需過折線的“拐點”作一條平行線,利用平行公理的推論得出三條直線互相平行，從而多次利用平行線的性質(zhì)解決問題.【變式1-1】（2022春?香洲區(qū)校級期中）如圖，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，則∠C＝度．【變式1-2】（2022?博山區(qū)一模）如圖，直線a∥b，點M、N分別在直線a、b上，P為兩平行線間一點，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°【變式1-3】（2022春?信都區(qū)期末）為增強學(xué)生體質(zhì)，某學(xué)校將“抖空竹”引入陽光體育一小時活動．圖1是一位同學(xué)抖空竹時的一個瞬間，數(shù)學(xué)老師把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度數(shù)．小明在解決過程中，過E點作EF∥CD，則可以得到EF∥AB，其理由是，根據(jù)這個思路可得∠AEC＝．【變式1-4】如圖，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度數(shù)．【變式1-5】如圖，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度數(shù)．【變式1-6】（2021秋?南召縣期末）課堂上老師呈現(xiàn)一個問題：下面提供三種思路：思路一：過點F作MN∥CD（如圖（1））；思路二：過點P作PN∥EF，交AB于點N；思路三：過點O作ON∥FG，交CD于點N．解答下列問題：（1）根據(jù)思路一（圖（1）），可求得∠EFG的度數(shù)為；（2）根據(jù)思路二、思路三分別在圖（2）和圖（3）中作出符合要求的輔助線；（3）請你從思路二、思路三中任選其中一種，試寫出求∠EFG的度數(shù)的解答過程．題型二過多個拐點作平行線求角度題型二過多個拐點作平行線求角度【例題2】如圖，直線l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，則∠1+∠2等于（）A．40° B．35° C．36° D．30°解題技巧提煉題型一中的題平行線間有個一折點，只需過折點處作一條輔助平行線即可，若有個多個折點，則需要過每一個折點作輔助平行線，再利用平行線的判定和性質(zhì)解決問題即可.【變式2-1】（2022春?新洲區(qū)期末）如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠D，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【變式2-2】如圖所示，若AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)是．【變式2-3】（2022春?金湖縣期末）如圖，AB∥CD，E、F分別是AB、CD上的點，EH、FH分別是∠AEG和∠CFG的角平分線．若∠G＝110°，則∠H＝°．【變式2-4】（2022春?潛山市月考）如圖，AB∥CD，點E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，點M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若∠M＝90°，則∠AEM+∠CFM＝；（2）若∠M＝n°，∠BEM與∠DFM的角平分線交于點N，則∠N的度數(shù)為．（用含n的式子表示）【變式2-5】（1）填空：如圖1，MA1∥NA2，則∠A1+∠A2＝°．如圖2，MA1∥NA3，則∠A1+∠A2+∠A3＝°．如圖3，MA1∥NA4，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝°．如圖4，MA1∥NA5，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝°．（2）歸納：如圖5，MA1∥NAn，則∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An＝°．（3）應(yīng)用：如圖6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分線相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度數(shù)．題型三過拐點作平行線的證明題題型三過拐點作平行線的證明題【例題3】小華在學(xué)習(xí)“平行線的性質(zhì)”后，對圖中∠B，∠D和∠BOD的關(guān)系進行了探究：（1）如圖1，AB∥CD，點O在AB，CD之間，試探究∠B，∠D和∠BOD之間有什么關(guān)系？并說明理由；小華添加了過點O的輔助線OM，并且OM∥CD請幫助他寫出解答過程；（2）如圖2，若點O在CD的上側(cè)，試探究∠B，∠D和∠BOD之間有什么關(guān)系？并說明理由；（3）如圖3，若點O在AB的下側(cè)，試探究∠B，∠D和∠BOD之間有什么關(guān)系？請直接寫出它們的關(guān)系式．解題技巧提煉對于兩條平行線間“折線”與“拐點”的證明題，一般都是在拐點處作平行線，使問題轉(zhuǎn)化，從而構(gòu)造一些相等的角或互補的角，使已知和未知一目了然，達到解題的目的，具體步驟是：①作輔助線（過拐點處作平行線）；②找特殊角（找相等的角或互補的角）；③解決問題（找到數(shù)量關(guān)系）.【變式3-1】如圖,已知∠1=70°，∠2=30°,EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求證：AB∥CD.【變式3-2】如圖，點E在線段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求證：BE⊥DE.【變式3-3】（2022春?陽江期末）如圖1，AB∥CD，EOF是直線AB、CD間的一條折線．（1）試證明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果將折一次改為折二次，如圖2，則∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之間會滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．【變式3-4】（2022秋?驛城區(qū)校級期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)．請寫出具體求解過程．問題遷移：（1）如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【變式3-5】閱讀下面內(nèi)容，并解答問題在學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)后，老師請同學(xué)們證明命題：兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直．小穎根據(jù)命題畫出圖形并寫出如下的已知條件．已知：如圖1，AB∥CD，直線EF分別交AB，C于點E，F(xiàn)．∠BEF的平分線與∠DFE的平分線交于點G．（1）直線EG，F(xiàn)G有何關(guān)系？請補充結(jié)論：求證：“”，并寫出證明過程；（2）請從下列A、B兩題中任選一題作答，我選擇題，并寫出解答過程．A．在圖1的基礎(chǔ)上，分別作∠BEG的平分線與∠DFG的平分線交于點M，得到圖2，求∠EMF的度數(shù)．B．如圖3，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)．點O在直線AB，CD之間，且在直線EF右側(cè)，∠BEO的平分線與∠DFO的平分線交于點P，請猜想∠EOF與∠EPF滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明它．題型四與拐點有關(guān)的綜合探究題題型四與拐點有關(guān)的綜合探究題【例題4】（2022秋?小店區(qū)校級期末）（1）問題背景：如圖1，已知AB∥CD，點P的位置如圖所示，連結(jié)PA，PC，試探究∠APC與∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，以下是小明同學(xué)的探索過程，請你結(jié)合圖形仔細閱讀，并完成填空（理由或數(shù)學(xué)式）：解：過點P作PE∥AB∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（），∴∠A+∠C＝+（等式的性質(zhì)）．即∠APC，∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）類比探究：如圖2，已知AB∥CD，線段AD與BC相交于點E，點B在點A右側(cè)．若∠ABC＝41°，∠ADC＝78°，則∠AEC＝．（3）拓展延伸：如圖3，若∠ABC與∠ADC的角平分線相交于點F，請直接寫出∠BFD與∠AEC之間的數(shù)量關(guān)系．解題技巧提煉綜合運用平行線的性質(zhì)和判定解決與拐點有關(guān)的探究題，作輔助線是解題的關(guān)鍵，有時要用到分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生的難點突破.【變式4-1】（2021秋?長春期末）小明同學(xué)遇到這樣一個問題：如圖①，已知：AB∥CD，E為AB、CD之間一點，連接BE，ED，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．小亮幫助小明給出了該問的證明．證明：過點E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．請你參考小亮的思考問題的方法，解決問題：直線l1∥l2，直線EF和直線l1、l2分別交于C、D兩點，點A、B分別在直線l1、l2上，猜想：如圖②，若點P在線段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度數(shù)．拓展：如圖③，若點P在直線EF上，連接PA、PB（BD＜AC），直接寫出∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系．【變式4-2】（2022春?龍亭區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥CD，E、F分別在AB、CD上，點G在AB、CD之間，連接GE、GF．（1）當∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，F(xiàn)P平分∠DFG時：①如圖1，若EG⊥FG，則∠P的度數(shù)為；②如圖2，在CD的下方有一點Q，EG平分∠BEQ，F(xiàn)D平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度數(shù)；（2）如圖3，在AB的上方有一點O，若FO平分∠GFC．線段GE的延長線平分∠OEA，則當∠EOF+∠EGF＝100°時，請直接寫出∠OEA與∠OFC的數(shù)量關(guān)系．【變式4-3】（2021春?安徽月考）（1）如圖1，直線AB∥CD．點P在直線AB，CD之間，試說明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．小明說明的過程是這樣的：“過點P作PE∥AB，…”請按照小明的思路寫出完整的解答說明過程．（2）①直線AB∥CD，點P，Q在直線AB，CD之間，且點P，Q在直線AC的同側(cè)，如圖2，試探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②直線AB∥CD，點P，Q在直線AB，CD之間，且點P，Q在直線AC的兩側(cè)．如圖3，試探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．請在①②任選一個問題進行解答．（3）如圖4，若a∥b，直接寫出圖中x的度數(shù)（不用說理）．【變式4-4】（2022春?興國縣期末）【感知】（1）如圖①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度數(shù)．小樂想到了以下方法，請幫忙完成推理過程．解：如圖①，過點P作PM∥AB，【探究】（2）如圖②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度數(shù)；【應(yīng)用】（3）如圖③，在以上【探究】條件下，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，求∠G的度數(shù)．（4）已知直線a∥b，點A，B在直線a上，點C，D在直線b上（點C在點D的左側(cè)），連接AD，BC，∠ABC的平分線與∠ADC的平分線所在的直線交于點E，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），請畫出圖形并求出∠BED的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．七年級下冊數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》專題巧解平行線中的拐點問題題型一過一個拐點作平行線求角度題型一過一個拐點作平行線求角度【例題1】（2022春?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為（）A．55° B．75° C．80° D．105°【分析】過點E作EM∥AB，利用平行線的性質(zhì)得出∠3＝∠1+∠2＝75°．【解答】解：過點E作EM∥AB，如圖所示，∵AB∥EM．∴∠HEM＝∠1＝45°．∵AB∥CD．∴EM∥CD．∴∠GEM＝∠2＝30°．∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．故選：B．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練運用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉當兩條平行線不是被第三條直線所截,而是被一條折線所截時，平行線的性質(zhì)則不能直接應(yīng)用，遇到一個拐點時，只需過折線的“拐點”作一條平行線,利用平行公理的推論得出三條直線互相平行，從而多次利用平行線的性質(zhì)解決問題.【變式1-1】（2022春?香洲區(qū)校級期中）如圖，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，則∠C＝度．【分析】過點C作CF平行于AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：過點C作CF平行于AB，如圖：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥ED．AB∥CF?∠1＝180°﹣∠B＝30°，CF∥ED?∠2＝180°﹣∠D＝35°，∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．故填65°．【點評】結(jié)合題意和圖形作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022?博山區(qū)一模）如圖，直線a∥b，點M、N分別在直線a、b上，P為兩平行線間一點，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°【分析】先過點P作PA∥a，構(gòu)造三條平行線，然后利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，過點P作PA∥a，則a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故選：A．【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，作出PA∥a，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補）的角是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022春?信都區(qū)期末）為增強學(xué)生體質(zhì)，某學(xué)校將“抖空竹”引入陽光體育一小時活動．圖1是一位同學(xué)抖空竹時的一個瞬間，數(shù)學(xué)老師把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度數(shù)．小明在解決過程中，過E點作EF∥CD，則可以得到EF∥AB，其理由是，根據(jù)這個思路可得∠AEC＝．【分析】根據(jù)平行公理推論得到EF∥AB，再根據(jù)平行線的x性質(zhì)求解即可．【解答】解：過E點作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠EAB+∠AEF＝180°，∵EF∥CD，∴∠CEF+∠ECD＝180°，∵∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，∴∠AEF＝100°，∠CEF＝70°，∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝30°．故答案為：平行于同一直線的兩直線平行；30°．【點評】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】如圖，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度數(shù)．【分析】過C作CF∥AB，得到AB∥DE∥CF，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，求出∠ACF、∠DCF的度數(shù)，根據(jù)∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，即可求出答案．【解答】解：過C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，∵∠1＝120°，∠2＝110°，∴∠ACF＝60°，∠DCF＝70°，∴∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，＝180°﹣60°﹣70°＝50°，答：∠3的度數(shù)是50°．【點評】本題主要考查對平行線的性質(zhì)平行公理及推論，鄰補角的定義等知識點的理解和掌握，能靈活運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式1-5】如圖，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度數(shù)．【分析】過點C作CF∥AB，由平行公理的推論得出CF∥DE，再由平行線的性質(zhì)求得∠4的度數(shù)為70°，再根據(jù)CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度數(shù)即可．【解答】解：如圖：過點C作CF∥AB，∵CF∥AB∴∠3＝∠1＝25°∵AB∥DE，∴DF∥CE，∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°，∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°，∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°．【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．【變式1-6】（2021秋?南召縣期末）課堂上老師呈現(xiàn)一個問題：下面提供三種思路：思路一：過點F作MN∥CD（如圖（1））；思路二：過點P作PN∥EF，交AB于點N；思路三：過點O作ON∥FG，交CD于點N．解答下列問題：（1）根據(jù)思路一（圖（1）），可求得∠EFG的度數(shù)為；（2）根據(jù)思路二、思路三分別在圖（2）和圖（3）中作出符合要求的輔助線；（3）請你從思路二、思路三中任選其中一種，試寫出求∠EFG的度數(shù)的解答過程．【分析】（1）過F作MN∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到∠EFG的度數(shù)；（2）由圖可得，思路二輔助線的做法為過P作PN∥EF；思路三輔助線的做法為過O作ON∥FG；（3）若選擇思路二，過P作PN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠NPD的度數(shù)，再根據(jù)∠1的度數(shù)以及平行線的性質(zhì)，即可得到∠EFG的度數(shù)；若選擇思路三，過O作ON∥FG，先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠BON的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到∠EFG的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖（1），過F作MN∥CD，∵MN∥CD，∠1＝30°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥MN，∵AB⊥EF，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．故答案為：120°；（2）由圖可得，思路二輔助線的做法為過P作PN∥EF；思路三輔助線的做法為過O作ON∥FG；（3）若選擇思路二，理由如下：如圖（2），過P作PN∥EF，∵PN∥EF，EF⊥AB，∴∠ONP＝∠EOB＝90°，∵AB∥CD，∴∠NPD＝∠ONP＝90°，又∵∠1＝30°，∴∠NPG＝90°+30°＝120°，∵PN∥EF，∴∠EFG＝∠NPG＝120°；若選擇思路三，理由如下：如圖（3），過O作ON∥FG，∵ON∥FG，∠1＝30°，∴∠PNO＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠BON＝∠PNO＝30°，又∵EF⊥AB，∴∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°，∵ON∥FG，∴∠EFG＝∠EON＝120°．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)并正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．題型二過多個拐點作平行線求角度題型二過多個拐點作平行線求角度【例題2】如圖，直線l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，則∠1+∠2等于（）A．40° B．35° C．36° D．30°【分析】過點A作l1的平行線，過點B作l2的平行線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后計算即可得解．【解答】解：如圖，過點A作l1的平行線AC，過點B作l2的平行線BD，則∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故選：D．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．熟記性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉題型一中的題平行線間有個一折點，只需過折點處作一條輔助平行線即可，若有個多個折點，則需要過每一個折點作輔助平行線，再利用平行線的判定和性質(zhì)解決問題即可.【變式2-1】（2022春?新洲區(qū)期末）如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠D，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【分析】過點C作CG∥AB，過點D作DH∥EF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠A＝∠ACG，∠CDH＝∠DCG，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可得∠EDH＝180°﹣∠E，然后表示出∠C整理即可得解．【解答】解：如圖，過點C作CG∥AB，過點D作DH∥EF，則∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°．故選：C．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，此類題目難點在于過拐點作平行線．【變式2-2】如圖所示，若AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)是．【分析】過E作EQ∥CD，過F作FW∥CD，過G作GR∥CD，過H作HY∥CD，根據(jù)平行線的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【解答】解：如圖1，過E作EQ∥CD，過F作FW∥CD，過G作GR∥CD，過H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°．故答案為：900°.【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，能靈活運用平行線的性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022春?金湖縣期末）如圖，AB∥CD，E、F分別是AB、CD上的點，EH、FH分別是∠AEG和∠CFG的角平分線．若∠G＝110°，則∠H＝°．【分析】過點G作GM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEG+∠EGM＝180°，再結(jié)合已知可得CD∥GM，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠CFG+∠MGF＝180°，從而可得∠AEG+∠CFG＝250°，再利用角平分線的定義可得∠HEG+∠GFH＝125°，最后利用四邊形的內(nèi)角和定理進行計算即可解答．【解答】解：過點G作GM∥AB，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠CFG+∠MGF＝180°，∴∠AEG+∠EGM+∠CFG+∠MGF＝360°，∵∠EGF＝∠EGM+∠MGF＝110°，∴∠AEG+∠CFG＝360°﹣∠EGF＝250°，∵EH、FH分別是∠AEG和∠CFG的角平分線，∴∠HEG=12∠AEG，∠GFH=1∴∠HEG+∠GFH=12∠AEG+1∴∠H＝360°﹣∠HEG﹣∠HFG﹣∠EGF＝125°，故答案為：125．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2022春?潛山市月考）如圖，AB∥CD，點E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，點M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若∠M＝90°，則∠AEM+∠CFM＝；（2）若∠M＝n°，∠BEM與∠DFM的角平分線交于點N，則∠N的度數(shù)為．（用含n的式子表示）【分析】（1）過點M作MP∥AB，則AB∥CD∥MP，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得答案；（2）過點N作NQ∥AB，則AB∥CD∥NQ，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等和角平分線的定義可得答案．【解答】解：（1）過點M作MP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案為：270°；（2）過點N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，∵∠BEM與∠DFM的角平分找交于點N，∵∠NEB=12∠MEB，∠DFN=∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN=12（∠MEB+∠由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，∴∠ENF=12∠EMF=故答案為：12n【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和角平分線的定義是解題關(guān)鍵．【變式2-5】（1）填空：如圖1，MA1∥NA2，則∠A1+∠A2＝°．如圖2，MA1∥NA3，則∠A1+∠A2+∠A3＝°．如圖3，MA1∥NA4，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝°．如圖4，MA1∥NA5，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝°．（2）歸納：如圖5，MA1∥NAn，則∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An＝°．（3）應(yīng)用：如圖6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分線相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度數(shù)．【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可得結(jié)論；②根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行，把此問題轉(zhuǎn)化為上題形式，可得結(jié)論；③在上題的基礎(chǔ)上，多加一個180°，思路不變，可得結(jié)論；④在③的基礎(chǔ)上，多加一個180°，思路不變，可得結(jié)論；（2）通過觀察圖形，尋找規(guī)律：兩個A點時，結(jié)論是1×180°，三個A點時，結(jié)論是2×180°，四個A點時，結(jié)論是3×180°，所以n個A點時，即可得結(jié)論．（3）運用上述結(jié)論和角平分線定義可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2＝180°．如圖2，過點A2作A2C1∥A1M，∵MA1∥NA3，∴A2C1∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A3＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3＝360°．如圖3，過點A2作A2C1∥A1M，過點A3作A3C2∥A1M，∵MA1∥NA4，∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA4，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A4＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°．如圖4，過點A2作A2C1∥A1M，過點A3作A3C2∥A1M，過點A4作A4C3∥A1M，∵MA1∥NA5，∴A2C1∥A3C2∥A4C3∥NA5，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A3A4C3＝180°∠C3A4A5+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720°．故答案為：180；360；540；720；（2）∵∠A1+∠A2＝180°＝1×180°∠A1+∠A2+∠A3＝360°＝2×180°∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°＝3×180°∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An＝180（n﹣1）°．故答案為：180（n﹣1）；（3）根據(jù)上述結(jié)論得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，又∵∠ABE和∠CDE的平分線相交于F，∴2∠ABF+∠E+2∠CDF＝360°，即2（∠ABF+∠CDF）+∠E＝360°，∴2（∠ABF+∠CDF）＝360°﹣∠E＝360°﹣80°＝280°，∴∠ABF+∠CDF=1即∠BFD＝140°．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題時注意：平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系；還要注意規(guī)律性問題的探究過程．題型三過拐點作平行線的證明題題型三過拐點作平行線的證明題【例題3】小華在學(xué)習(xí)“平行線的性質(zhì)”后，對圖中∠B，∠D和∠BOD的關(guān)系進行了探究：（1）如圖1，AB∥CD，點O在AB，CD之間，試探究∠B，∠D和∠BOD之間有什么關(guān)系？并說明理由；小華添加了過點O的輔助線OM，并且OM∥CD請幫助他寫出解答過程；（2）如圖2，若點O在CD的上側(cè)，試探究∠B，∠D和∠BOD之間有什么關(guān)系？并說明理由；（3）如圖3，若點O在AB的下側(cè)，試探究∠B，∠D和∠BOD之間有什么關(guān)系？請直接寫出它們的關(guān)系式．【分析】（1）求出AB∥CD∥OM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（2）求出AB∥CD∥OM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（3）求出AB∥CD∥OM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可．【解答】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B，理由是：∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D；（2）∠B＝∠BOD+∠D，理由是：如圖：過O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB；（3）∠D＝∠DOB+∠B，理由是：如圖：過O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，證明過程類似．解題技巧提煉對于兩條平行線間“折線”與“拐點”的證明題，一般都是在拐點處作平行線，使問題轉(zhuǎn)化，從而構(gòu)造一些相等的角或互補的角，使已知和未知一目了然，達到解題的目的，具體步驟是：①作輔助線（過拐點處作平行線）；②找特殊角（找相等的角或互補的角）；③解決問題（找到數(shù)量關(guān)系）.【變式3-1】如圖,已知∠1=70°，∠2=30°,EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求證：AB∥CD.【分析】先過點E在∠BEC的內(nèi)部作EM∥AB，求出∠BME的度數(shù)，根據(jù)角平分線求出∠BEC的度數(shù)，從而求出∠CEM的度數(shù)，然后根據(jù)∠CEM=∠2，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行得出EM∥AB.【解答】證明：如圖，過點E在∠BEC的內(nèi)部作EM∥AB，∵EF平分∠BEC,∠BEF=50°,∴∠BEC=2∠BEF=2×50°=100°，∵EM//AB,∴∠BEM=∠1=70°，∴∠CEM=∠BEC﹣∠BEM=100°﹣70°=30°，∵∠2=30°，∴∠CEM=∠2，.∴EM∥CD,又∵EM∥AB∴AB∥CD.【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線等知識，解題的關(guān)鍵是過點E在∠BEC的內(nèi)部作EM//AB．【變式3-2】如圖，點E在線段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求證：BE⊥DE.【分析】過點E在∠BED的內(nèi)部作EM∥AB，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根據(jù)∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，從而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可證明BE⊥DE.【解答】證明：過點E在∠BED的內(nèi)部作EM∥AB，則∠B=∠BEM，∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM，又∵AB∥CD，EM∥CD，∴∠D=∠DEM，∵∠2=∠D，∠DEM=∠2，∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，∴∠BEM+∠DEM=90°,即∠BED=90，∴BE⊥DE.【點評】本題考查平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式3-3】（2022春?陽江期末）如圖1，AB∥CD，EOF是直線AB、CD間的一條折線．（1）試證明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果將折一次改為折二次，如圖2，則∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之間會滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．【分析】（1）作OM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BEO，由于AB∥CD，根據(jù)平行線的傳遞性得OM∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠2＝∠DFO，所以∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO；（2）作OM∥AB，PN∥CD，由AB∥CD得到OM∥PN∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，所以∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，即∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【解答】（1）證明：作OM∥AB，如圖1，∴∠1＝∠BEO，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，即：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如圖2，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式3-4】（2022秋?驛城區(qū)校級期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)．請寫出具體求解過程．問題遷移：（1）如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【分析】過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC＝45°+55°＝100°．（1）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）分兩種情況：①點P在A、M兩點之間，②點P在B、O兩點之間，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出結(jié)論．【解答】解：過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當點P在A、M兩點之間時，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當點P在B、O兩點之間時，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角．【變式3-5】閱讀下面內(nèi)容，并解答問題在學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)后，老師請同學(xué)們證明命題：兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直．小穎根據(jù)命題畫出圖形并寫出如下的已知條件．已知：如圖1，AB∥CD，直線EF分別交AB，C于點E，F(xiàn)．∠BEF的平分線與∠DFE的平分線交于點G．（1）直線EG，F(xiàn)G有何關(guān)系？請補充結(jié)論：求證：“”，并寫出證明過程；（2）請從下列A、B兩題中任選一題作答，我選擇題，并寫出解答過程．A．在圖1的基礎(chǔ)上，分別作∠BEG的平分線與∠DFG的平分線交于點M，得到圖2，求∠EMF的度數(shù)．B．如圖3，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)．點O在直線AB，CD之間，且在直線EF右側(cè)，∠BEO的平分線與∠DFO的平分線交于點P，請猜想∠EOF與∠EPF滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明它．【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理解決問題即可．（2）A、利用基本結(jié)論，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．B、利用基本結(jié)論∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．【解答】解：（1）結(jié)論：EG⊥FG；理由：如圖1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠DFE，∴∠GEF=12∠BEF∴∠GEF+∠GFE=1在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案為：EG⊥GF；（2）A．如圖2中，由題意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=12（∠BEG+∠∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．結(jié)論：∠EOF＝2∠EPF．理由：如圖3中，由題意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案為：A或B．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，命題與定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．題型四與拐點有關(guān)的綜合探究題題型四與拐點有關(guān)的綜合探究題【例題4】（2022秋?小店區(qū)校級期末）（1）問題背景：如圖1，已知AB∥CD，點P的位置如圖所示，連結(jié)PA，PC，試探究∠APC與∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，以下是小明同學(xué)的探索過程，請你結(jié)合圖形仔細閱讀，并完成填空（理由或數(shù)學(xué)式）：解：過點P作PE∥AB∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（），∴∠A+∠C＝+（等式的性質(zhì)）．即∠APC，∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）類比探究：如圖2，已知AB∥CD，線段AD與BC相交于點E，點B在點A右側(cè)．若∠ABC＝41°，∠ADC＝78°，則∠AEC＝．（3）拓展延伸：如圖3，若∠ABC與∠ADC的角平分線相交于點F，請直接寫出∠BFD與∠AEC之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）利用題干中的思路，依據(jù)兩條直線平行的判定，平行線的性質(zhì)和等式的性質(zhì)解答即可；（2）利用類比的方法，依據(jù)（1）的思路與方法解答即可；（3）利用類比的方法，依據(jù)（1）的思路與方法分別計算∠BFD與∠AEC，觀察結(jié)論即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）過點P作PE∥AB，∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性質(zhì)）．即∠APC，∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APC＝∠A+∠C．故答案為：平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C；（2）過點E作EP∥AB，如圖，∵AB∥CD（已知），∴∠ADC＝∠BAD＝78°，∴PE∥CD，∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，故答案為：119°；（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，∵DF，BF分別是∠ABC，∠ADC的平分線，∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．過點F作FP∥AB，如圖，則∠ABF＝∠BFP，∵AB∥CD，∴FP∥CD，∴∠PFD＝∠FDC，∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，∴2∠BFD＝∠AEC，故答案為：2∠BFD＝∠AEC．【點評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，利用類比的方法解答是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉綜合運用平行線的性質(zhì)和判定解決與拐點有關(guān)的探究題，作輔助線是解題的關(guān)鍵，有時要用到分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生的難點突破.【變式4-1】（2021秋?長春期末）小明同學(xué)遇到這樣一個問題：如圖①，已知：AB∥CD，E為AB、CD之間一點，連接BE，ED，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．小亮幫助小明給出了該問的證明．證明：過點E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．請你參考小亮的思考問題的方法，解決問題：直線l1∥l2，直線EF和直線l1、l2分別交于C、D兩點，點A、B分別在直線l1、l2上，猜想：如圖②，若點P在線段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度數(shù)．拓展：如圖③，若點P在直線EF上，連接PA、PB（BD＜AC），直接寫出∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】猜想：過點P作PH∥AC，然后得到BD∥PH，從而得到∠PAC＝∠APH，∠PBD＝∠BPH，然后得到∠APB的度數(shù)；拓展：分情況討論，當點P在線段CD上時，當點P在射線DF上時，當點P在射線CE上時，然后過點P作PH∥AC，再利用平行線的性質(zhì)進行探究角之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：猜想：如圖1，過點P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，∴∠APB＝15°+40°＝55°．拓展：①如圖1，當點P在線段CD上時，由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；②如圖2，當點P在射線DP上時，過點P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；③如圖3，當點P在射線CE上時，過點P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；綜上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系為∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練作出輔助線構(gòu)造平行線，然后通過平行線的性質(zhì)得到內(nèi)錯角相等．【變式4-2】（2022春?龍亭區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥CD，E、F分別在AB、CD上，點G在AB、CD之間，連接GE、GF．（1）當∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，F(xiàn)P平分∠DFG時：①如圖1，若EG⊥FG，則∠P的度數(shù)為；②如圖2，在CD的下方有一點Q，EG平分∠BEQ，F(xiàn)D平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度數(shù)；（2）如圖3，在AB的上方有一點O，若FO平分∠GFC．線段GE的延長線平分∠OEA，則當∠EOF+∠EGF＝100°時，請直接寫出∠OEA與∠OFC的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）①②根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義即可求解；（2）過點O作OT∥AB，則OT∥CD，設(shè)∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得α+β＝80°，進而根據(jù)3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2a）＝2β+2α﹣160°即可求解．【解答】解：（1）①如圖，分別過點G，P作GN∥AB，PM∥AB，∴∠BEG＝∠EGN，∵AB∥CD，∴∠NGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∵EP平分∠BEG，F(xiàn)P平分∠DFG；∴∠BEP=12∠BEG，∠PFD∴∠EPF=12（∠BEG+∠GFD）=故答案為：45°；②如圖，過點Q作QR∥CD，∵∠BEG＝40°，∵EG恰好平分∠BEQ，F(xiàn)D恰好平分∠GFQ，∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，設(shè)∠GFD＝∠QFD＝α，∵QR∥CD，AB∥CD，∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，∵CD∥QR，∴∠DFQ+∠FQR＝180°，∴α+∠FQR＝180°，∴α+∠FQE＝80°，∴∠FQE＝80°﹣α，由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；（2）結(jié)論：∠OEA+2∠PFC＝160°．理由：∵在AB的上方有一點O，若FO平分∠GFC，線段GE的延長線平分∠OEA，設(shè)H為線段GE的延長線上一點，∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，設(shè)∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，如圖，過點O作OT∥AB，則OT∥CD，∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，∴∠EOF＝β﹣2α，∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，∵∠EOF+∠EGF＝100°，∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，∴α+β＝80°，∴12∠OEA+∠OFC∴∠OEA+2∠PFC＝160°．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2021春?安徽月考）（1）如圖1，直線AB∥CD．點P在直線AB，CD之間，試說明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．小明說明的過程是這樣的：“過點P作PE∥AB，…”請按照小明的思路寫出完整的解答說明過程．（2）①直線AB∥CD，點P，Q在直線AB，CD之間，且點P，Q在直線AC的同側(cè)，如圖2，試探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②直線AB∥CD，點P，Q在直線AB，CD之間，且點P，Q在直線AC的兩側(cè)．如圖3，試探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．請在①②任選一個問題進行解答．（3）如圖4，若a∥b，直接寫出圖中x的度數(shù)（不用說理）．【分析】（1）過點P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可得∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+CPE＝180°，根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，即可得出答案；（2）①過點P作PE∥AB，過點Q作QF∥CD，如圖5，根