14.3.2公式法（一）平方差公式（解析版）

14.3.2公式法（一）平方差公式知識(shí)點(diǎn)管理知識(shí)點(diǎn)管理歸類探究夯實(shí)雙基，穩(wěn)中求進(jìn)歸類探究知識(shí)點(diǎn)一：因式分解-平方差公式要點(diǎn)一、公式法——平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.要點(diǎn)二、因式分解步驟（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，先提取公因式；（2）如果各項(xiàng)沒有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解（以后會(huì)學(xué)到）．要點(diǎn)三、因式分解注意事項(xiàng)（1）因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；（2）最終把多項(xiàng)式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．題型一：判斷能否利用平方差公式因式分解【例題1】（2022·山東濟(jì)南·八年級(jí)期末）下列式子中，能運(yùn)用平方差公式分解因式的是（）A．﹣4a2+b2 B．x2+4 C．a(chǎn)2+c2﹣2ac D．﹣a2﹣b2【答案】A【分析】根據(jù)平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、-4a2+b2=（b+2a）（b-2a），故A符合題意；B、x2+4不能運(yùn)用平方差公式分解因式，故B不符合題意；C、a2+c2-2ac=（a-c）2，故C不符合題意；D、-a2-b2不能運(yùn)用平方差公式分解因式，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式1-1】（2022·廣東江門·一模）下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)分析解答．【詳解】解：因式分解的平方差公式為，能運(yùn)用平方差公式分解因式的是，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法：平方差公式，熟記平方差公式是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·安徽·宿松縣新安初級(jí)中學(xué)一模）下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式分解因式的是（

）A．x2+y2 B．-x2+y2 C．-4x-4y2 D．-x2-y2【答案】B【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．【詳解】解：能運(yùn)用平方差公式分解因式的是-x2+y2=（y+x）（y-x）．其余的都不符合，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式分解因式，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·浙江湖州·七年級(jí)期末）下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式分解因式的是（）A．a(chǎn)2+b2 B．2a﹣b2 C．a(chǎn)2﹣b2 D．﹣a2﹣b2【答案】C【分析】根據(jù)平方差公式判斷即可；【詳解】A．a(chǎn)2+b2不能運(yùn)用平方差公式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．2a﹣b2不能運(yùn)用平方差公式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．a(chǎn)2﹣b2能運(yùn)用平方差公式分解，故此選項(xiàng)正確；D．﹣a2﹣b2=-（a2+b2）不能運(yùn)用平方差公式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了公式法分解因式，熟記平方差公式是解題關(guān)鍵．題型二：平方差公式因式分解【例題2】（2022·云南玉溪·八年級(jí)期末）分解因式：=___________．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式分解即可．【詳解】m2-9=m2-32=(m+3)(m-3)故答案為：（m+3）(m-3)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式2-1】（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室八年級(jí)期末）因式分解：______．【答案】【分析】利用平方差公式分解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平方差公式．【變式2-2】（2020·遼寧錦州·八年級(jí)期末）因式分解：a2b2﹣1＝_____．【答案】(ab+1)(ab-1)【分析】運(yùn)用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：a2b2﹣1＝(ab)2-12=(ab+1)(ab-1),故答案為：(ab+1)(ab-1)．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握運(yùn)用平方差公式分解因式是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2021·浙江杭州·中考真題）因式分解：（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平方差公式因式分解即可．【詳解】解：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查利用平方差公式進(jìn)行因式分解，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．題型三：先提公因式再平方差公式因式分解【例題3】（2022·湖南懷化·中考真題）因式分解：_____．【答案】【分析】根據(jù)提公因式法和平方差公式進(jìn)行分解即可．【詳解】解：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法和平方差公式，熟練掌握提公因式法和平方差公式是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式3-1】（2021·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校八年級(jí)月考）將多項(xiàng)式分解因式為________．【答案】【分析】先提取公因式，再對(duì)余下的多項(xiàng)式運(yùn)用平方差公式繼續(xù)分解．【詳解】解：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．【變式3-2】（2022·浙江紹興·七年級(jí)階段練習(xí)）把下列各式因式分解：【答案】【分析】原式提取公因式后，再利用平方差公式分解即可；解：；【點(diǎn)睛】本題考查提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解．熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2021·山東）分解因式：﹣=______．【答案】【分析】利用平方差公式分解即可．【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了用平方差公式分解因式，關(guān)鍵是掌握平方差公式的特征：是兩項(xiàng)，且異號(hào)；每項(xiàng)的絕對(duì)值可表示為一個(gè)數(shù)的平方．題型四：兩次平方差公式因式分解【例題4】（2021·湖南七年級(jí)期中）分解因式：x4﹣1＝__________________．【答案】．【分析】首先把式子看成x2與1的平方差，利用平方差公式分解，然后再利用一次即可．【詳解】解：x4﹣1＝（x2＋1）（x2﹣1）＝（x2＋1）（x＋1）（x﹣1）．故答案是：（x2＋1）（x＋1）（x﹣1）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，熟練公式是解決本題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式4-1】（2021·山東棗莊·八年級(jí)階段練習(xí)）因式分解：3m4﹣48．【答案】【分析】先提公因式，然后利用平方差公式分解即可．解：3m4﹣48＝3（m4﹣16）＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，用到了提公因式法與公式法，解題的關(guān)鍵是注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．【變式4-2】（2022·山東青島·八年級(jí)期中）分解因式：=___________．【答案】(a+3b)(a－3b)(a2+9b2)【分析】運(yùn)用兩次平方差公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：原式=(a+3b)(a－3b)(a2+9b2)．故答案為：(a+3b)(a－3b)(a2+9b2)．【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解，解題關(guān)鍵是掌握a2-b2=(a+b)(a-b)．題型五：含多項(xiàng)式平方差公式因式分解【例題5】（2021·東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）有一個(gè)因式是，則另一個(gè)因式為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先因式分解，再確定另一因式．【詳解】解：，∴另一個(gè)因式為D．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式因式分解，掌握因式分解方法是解題關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式5-1】（2021·河北唐山市·九年級(jí)一模）當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，代數(shù)式一定是下面哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)（）A．3 B．5 C．7 D．8【答案】D【分析】利用平方差公式化簡即可得到答案．【詳解】解：==8n，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查因式分解的計(jì)算公式—平方差公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2021·全國八年級(jí)專題練習(xí)）因式分解：=_________．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式分解因式即可．【詳解】解：原式故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用平方差公式進(jìn)行因式分解；關(guān)鍵在于掌握好平方差公式，能觀察出代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征．【變式5-3】（2021·全國八年級(jí)專題練習(xí)）把分解因式得_______．【答案】【分析】利用平方差公式分解因式．【詳解】解：原式＝，故填：．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解?運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．題型六：利用平方差公式簡便運(yùn)算【例題6】（2021·河南）計(jì)算：20212﹣20202＝_____．【答案】4041【分析】由平方差公式進(jìn)行因式分解，即可得到答案．【詳解】解：；故答案為：4041．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式進(jìn)行化簡．【變式6-1】（2019·上海市嘉定區(qū)華江中學(xué)七年級(jí)月考）簡便計(jì)算：7.292﹣2.712=__．【答案】45.8【解析】7.292﹣2.712=(7.29+2.71)(7.29-2.71)=10×4.58=45.8.點(diǎn)睛：本題主要考查了平方差公式，熟練應(yīng)用平方差公式，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），可簡化計(jì)算過程．題型七：利用平方差公式因式分解計(jì)算【例題7】（2022·山東菏澤·七年級(jí)期中）若，，則__________．【答案】3【分析】根據(jù)平方差公式分解因式，再代入求值即可．【詳解】解：=3×1=3，故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，掌握平方差公式是關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式7-1】（2022·上海市復(fù)旦初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）方程組的解是_____．【答案】【分析】先對(duì)①因式分解得到（x+y）（x﹣y）＝3③，然后再將②代入③得可得x﹣y＝﹣3④，然后②、④兩式采用加減消元法求解即可．【詳解】解：，由①得（x+y）（x﹣y）＝3③，把②代入③得﹣（x﹣y）＝3，∴x﹣y＝﹣3④，②+④得2x＝﹣4，∴x＝﹣2，把x＝﹣2代入②得﹣2+y＝﹣1，∴y＝1，∴方程組的解為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組、因式分解的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，掌握運(yùn)用加減消元法和代入消元法成為解答本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·四川成都·八年級(jí)期末）若，則代數(shù)式的值為______．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式因式分解，再整體代換即可求出答案．【詳解】解：由題意，原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平方差公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式7-3】（2022·廣東·深圳市龍崗區(qū)龍城初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）已知，，則的值是______．【答案】20【分析】將因式分解，帶入即可求解.【詳解】解：，∵，.∴原式．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．【變式7-4】（2021·遼寧）如果，，那么的值為______．【答案】54【分析】先利用平方差公式分解因式，再代入求值，即可．【詳解】解：===2×9×3=54，故答案是：54．【點(diǎn)睛】本題主要考查代數(shù)式求值，掌握平方差公式，進(jìn)行分解因式，是解題的關(guān)鍵．鏈接中考體驗(yàn)真題，中考奪冠鏈接中考【真題1】（2020·廣西柳州·中考真題）下列多項(xiàng)式中，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（）A．a(chǎn)2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a(chǎn)2+b2 D．a(chǎn)2+2ab+b2【答案】A【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，兩個(gè)平方項(xiàng)，并且符號(hào)相反，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特點(diǎn)，能用平方差公式進(jìn)行因式分解；B、﹣a2﹣b2兩平方項(xiàng)符號(hào)相同，不能用平方差公式進(jìn)行因式分解；C、a2+b2兩平方項(xiàng)符號(hào)相同，不能用平方差公式進(jìn)行因式分解；D、a2+2ab+b2是三項(xiàng)，不能用平方差公式進(jìn)行因式分解．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了用平方差公式進(jìn)行因式分解．熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．平方差公式：．【真題2】（2022·湖南·中考真題）因式分解：__．【答案】【分析】直接利用平方差公式分解即可得．【詳解】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)晴】本題考查了公式法因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．【真題3】（2022·貴州遵義·中考真題）已知，，則的值為__________．【答案】8【分析】根據(jù)平方差公式直接計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，，∴故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．【真題4】（2022·湖南株洲·中考真題）因式分解：x2-25=_____________．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式分解因式即可．【詳解】解：==故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，掌握是解題的關(guān)鍵．【真題3】（2021·廣東·中考真題）若且，則_____．【答案】【分析】根據(jù)，利用完全平方公式可得，根據(jù)x的取值范圍可得的值，利用平方差公式即可得答案．【詳解】∵，∴，∵，∴，∴=，∴==，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式及平方差公式，準(zhǔn)確運(yùn)用公式是解題的關(guān)鍵．滿分沖刺能力提升，突破自我滿分沖刺【拓展1】（2021·江蘇高港實(shí)驗(yàn)學(xué)校）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則代數(shù)式的值為_______________．【答案】6．【分析】將所求代數(shù)式中的因式分解，再把代入，化簡即可．【詳解】解：，把代入得，再把代入得；故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值和因式分解以及整式計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練利用因式分解把所求代數(shù)式變形，然后整