第02講一元二次方程的解法（5個知識點(diǎn)8類題型18道強(qiáng)化訓(xùn)練）-八年級數(shù)學(xué)下冊學(xué)與練（浙教版）（原卷版）

第02講一元二次方程的解法（5個知識點(diǎn)+8類題型+18道強(qiáng)化訓(xùn)練）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.用開平方法解一元二次方程；2.用配方法解一元二次方程；3.用公式法解一元二次方程；4、用因式分解法解一元二次方程；5、根的判別式的應(yīng)用；1.掌握用開平方法解一元二次方程；2.掌握用配方法解一元二次方程；3掌握.用公式法解一元二次方程；4、掌握用因式分解法解一元二次方程；5、掌握根的判別式的應(yīng)用；知識點(diǎn)一：一元二次方程的解法1．明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．體會不同解法的相互的聯(lián)系；4．值得注意的幾個問題：(1)開平方法：對于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負(fù)數(shù)，可用開平方法求解.形如的方程的解法：當(dāng)時，;當(dāng)時，;當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根?！炯磳W(xué)即練1】1．（2023下·浙江溫州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則b的取值范圍是（）A． B． C． D．（2）配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的方程，再運(yùn)用開平方法求解。配方法的一般步驟：①移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；②“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；③配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；④求解：若時，方程的解為，若時，方程無實(shí)數(shù)解。【即學(xué)即練2】2．（2023上·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）用配方法解方程，變形后的結(jié)果正確的是（）A． B．C． D．（3）公式法：一元二次方程的根當(dāng)時，方程有兩個實(shí)數(shù)根,且這兩個實(shí)數(shù)根不相等；當(dāng)時，方程有兩個實(shí)數(shù)根,且這兩個實(shí)數(shù)根相等，寫為；當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：①把一元二次方程化為一般式；②確定的值；③代入中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；④若代入求根公式求值，否則，原方程無實(shí)數(shù)根。（因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）【即學(xué)即練3】3．（2023下·浙江麗水·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的方程，當(dāng)時，方程的解為（

）A．， B．，C． D．（4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個為0，即：若，則；②因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得到兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。（5）選用適當(dāng)方法解一元二次方程①對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應(yīng)注意二次根式的化簡問題。②方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不要忘記對字母的取值進(jìn)行討論?！炯磳W(xué)即練4】4．（2023下·浙江·八年級專題練習(xí)）方程的解是（）A．， B．，C．， D．，知識點(diǎn)二：根的判別式的應(yīng)用了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程（）①當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根；（當(dāng)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；）②當(dāng)方程無實(shí)數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2．常見的問題類型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況①先計(jì)算出判別式（關(guān)鍵步驟）；②用配方法將判別式恒等變形；③判斷判別式的符號；④總結(jié)出結(jié)論.（4）分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時未指明是二次方程，后面也未指明兩個根，那一定要對方程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0，一元二次方程可能會有兩個實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)根。（5）一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識綜合命題，解答時要在全面分析的前提下，注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧（6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題【即學(xué)即練5】5．（2023下·浙江溫州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則的值可以是（

）A． B． C． D．題型01解一元二次方程——直接開方法1．（2024上·江蘇·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的根是（

）A． B．2 C．或 D．2或2．（2024上·云南昭通·九年級統(tǒng)考期末）方程的根是（

）A． B． C． D．無實(shí)數(shù)根3．（2024上·北京海淀·九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程有整數(shù)根，則整數(shù)的值可以是（寫出一個即可）．4．（2024上·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的根是．5．（2023上·廣西柳州·九年級統(tǒng)考期中）解方程：．題型02解一元二次方程——配方法1．（2023上·湖南衡陽·九年級校考期中）用配方法解方程．下列配方結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）用配方法解方程，變形后的結(jié)果正確的是（）A． B．C． D．3．（2024上·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程配方后得到方程，則的值為．4、（2022上·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）將方程用配方法化為，則．5、（2024上·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?1)；(2)．題型03配方法的應(yīng)用1．（2024上·福建泉州·八年級校考期末）不論x為何值，的值總是（

）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．非正數(shù)2．（2023上·遼寧鞍山·九年級校考階段練習(xí)）用配方法解一元二次方程時，將它化為的形式，則的值為（

）A．1 B． C．4 D．3．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）代數(shù)式的最小值是，當(dāng)取得最小值時，x的值是．4．（2023上·山東青島·九年級?？计谥校┪覀円呀?jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其它重要應(yīng)用．例如：求代數(shù)式的最小值？解答過程如下：解：．，當(dāng)時，的值最小，最小值是0，，當(dāng)時，的值最小，最小值是1，的最小值為1．根據(jù)上述方法，可求代數(shù)式當(dāng)時有最（填“大”或“小”）值，為．5．（2024上·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期末）閱讀與思考【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中非常重要的一種思想方法，它是指將一個式子或其某一部分通過恒等變形，化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決問題．【知識運(yùn)用】周末，明明同學(xué)在復(fù)習(xí)配方法后，他對代數(shù)式進(jìn)行了配方，發(fā)現(xiàn)，明明發(fā)現(xiàn)是一個非負(fù)數(shù)，即，他繼續(xù)探索，利用不等式的基本性質(zhì)得到，即，所以，他得出結(jié)論是的最小值是2，即的最小值是2．明明同學(xué)又進(jìn)行了嘗試，發(fā)現(xiàn)求一個二次三項(xiàng)式的最值可以用配方法，他自己設(shè)計(jì)了兩個題，請你解答．（1）求代數(shù)式的最小值；（2）求代數(shù)式的最值．題型04根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況1．（2024上·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．只有一個實(shí)數(shù)根2．（2023上·遼寧盤錦·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的根的情況是(

)A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根D．無法確定3．（2024上·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程根的判別式的值是．4．（2023上·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）一元二次方程的根的判別式．5．（2024上·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；(2)若，且該方程的兩個實(shí)數(shù)根的積為12，求的值．題型05根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)1．（2024上·河南鶴壁·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽·模擬預(yù)測）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C． D．3．（2024上·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）若一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則的值為．4．（2024·全國·九年級競賽）若關(guān)于的一元二次方程至少有一個整數(shù)根，且為正整數(shù)，則滿足條件的共有個．5．（2024上·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根(1)求m的取值范圍：(2)當(dāng)m取最大整數(shù)時，求方程的兩個根題型06公式法解一元二次方程1．（2024·全國·九年級競賽）若關(guān)于的方程恰有三個根，則的值為（

）A． B．或 C．或 D．或2．（2024上·河南開封·九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程的根為，則這個方程是（

）A． B． C． D．3．（2024上·上海普陀·八年級統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．4．（2023上·青海果洛·九年級統(tǒng)考期末）用公式法解關(guān)于x的一元二次方程，得，則該一元二次方程是．5．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）解方程：．題型07因式分解法解一元二次方程1．（2024上·山東聊城·九年級統(tǒng)考期末）方程的解是（

）A． B．C． D．或2．（2024上·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）若代數(shù)式的值與的值相等，則的值是（

）A． B． C．或1 D．或3．（2024·全國·九年級競賽）設(shè)，是一個直角三角形兩條直角邊的長，且，則這個直角三角形的斜邊長為．4．（2024·全國·九年級競賽）若關(guān)于的一元二次方程有一個根是0，則．5．（2024上·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）解下列方程：(1)；(2)．題型08換元法解一元二次方程1．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）若實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（

）A．5 B．2.5 C．2.5或 D．5或2．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級內(nèi)蒙古師大附中?？计谥校╆P(guān)于的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），則方程的解是（

）A．， B．， C．， D．，3．（2023上·全國·九年級專題練習(xí)）設(shè)a，b是一個直角三角形兩條直角邊的長，且，則這個直角三角形的斜邊長為．4．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級校考階段練習(xí)）若，則的值為．5．（2023上·河南南陽·九年級?？茧A段練習(xí)）請閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為y，則所以．把代入已知方程，得化簡，得故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)；(2)已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)，并寫出系數(shù)a、c的取值范圍．A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2024上·吉林·九年級?？计谀┮辉畏匠痰慕馐牵?/p>

）A． B． C． D．2．（2022·安徽·模擬預(yù)測）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則的值可以是（

）A． B． C．0 D．43．（2024上·北京密云·九年級統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時，將原方程配方成的形式，則k的值為．4．（2024上·陜西西安·九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程（m為常數(shù)）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．5．（2024上·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期末）（1）

（2）6．（2024上·云南昭通·九年級統(tǒng)考期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)；(2)．B能力提升1．（2024上·四川宜賓·九年級統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時，配方正確的是（

）A． B． C． D．2．（2024上·四川瀘州·九年級統(tǒng)考期末）在分式方程中，設(shè)，可得到關(guān)于y的整式方程為（

）A． B． C． D．3．（2024上·江蘇南京·九年級南京外國語學(xué)校仙林分校?？茧A段練習(xí)）如果關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．4．（2024上·重慶潼南·九年級統(tǒng)考期末）方程是關(guān)于的一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，原方程可變?yōu)椋惹蠼?，再求解．在這個過程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，請你用這種思維方式和換元法解決下面的問題：若，則．5．（20