函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)級數(shù)

第七節(jié)傅里葉級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)或余弦級數(shù)一、三角級數(shù),三角函數(shù)系的正交性1精品PPT·值得借鑒第一頁，共五十七頁。一.三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，接觸兩類基函數(shù)：

函數(shù)在一點的性質(zhì)

周期函數(shù)(整體性質(zhì))Fourier級數(shù)三角級數(shù)表達周期函數(shù)2精品PPT·值得借鑒第二頁，共五十七頁。諧波分析稱為三角級數(shù).簡單的周期運動

:復(fù)雜的周期運動

:得級數(shù)(一)三角級數(shù)表達周期函數(shù)3精品PPT·值得借鑒第三頁，共五十七頁。1757年,法國數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽引起的攝動時,大膽地采用了三角級數(shù)表示函數(shù):1759年,拉格朗日在對聲學(xué)的研究中使用了三角級數(shù).1777年,歐拉在天文學(xué)的研究中,用三角函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角函數(shù)時的系數(shù).也就是現(xiàn)今教科書中傅立葉級數(shù)的系數(shù).4精品PPT·值得借鑒第四頁，共五十七頁。PPT內(nèi)容概述第七節(jié)傅里葉級數(shù)。三、正弦級數(shù)或余弦級數(shù)。精品PPT·值得借鑒。一.三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性。1757年,法國數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽引起的攝動時,。1777年,歐拉在天文學(xué)的研究中,用三角函數(shù)的正交性。這為傅立葉級數(shù)題奠定了物理基礎(chǔ),促進了它的發(fā)展.。1822年,傅立葉在?熱的解析理論?一書中。對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的,特殊的情形。上的積分等于0.。上的積分不等于0.。但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在。定理(收斂定理,展開定理)。設(shè)f(x)是周期為2的。并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:。(證明略)。為f(x)的傅里葉系數(shù).。將f(x)展成傅里葉級數(shù).。2)傅氏級數(shù)的部分和逼近。f(x)的情況見右圖.。傅里葉級數(shù)展開式的意義——函數(shù)的整體逼近.。解:將f(x)延拓成以。2為周期的函數(shù)F(x),。不同頻率余弦波逐個疊加成鋸齒波第五頁，共五十七頁。

在歷史上,三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解微分方程

1753年.丹

貝努利首先提出將弦振動方程的解表示為是分不開的.三角級數(shù)的形式,這為傅立葉級數(shù)題奠定了物理基礎(chǔ),促進了它的發(fā)展.

1822年,傅立葉在?熱的解析理論?一書中對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的,特殊的情形采用的三角級數(shù)方法進行加工處理,發(fā)展成一般理論.傅立葉指出:可以展開成級數(shù)6精品PPT·值得借鑒第六頁，共五十七頁。其中~7精品PPT·值得借鑒第七頁，共五十七頁。證:同理可證:正交,上的積分等于0.即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(二)、三角函數(shù)系的正交性8精品PPT·值得借鑒第八頁，共五十七頁。上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束9精品PPT·值得借鑒第九頁，共五十七頁。二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)問題:2.展開的條件是什么?且能展開成三角級數(shù)10精品PPT·值得借鑒第十頁，共五十七頁。(利用正交性)11精品PPT·值得借鑒第十一頁，共五十七頁。(利用正交性)12精品PPT·值得借鑒第十二頁，共五十七頁。傅里葉系數(shù)13精品PPT·值得借鑒第十三頁，共五十七頁。代入傅里葉系數(shù)的三角級數(shù)稱為傅里葉級數(shù)問題:在什么條件下函數(shù)可以展開成傅里葉級數(shù)?狄利克雷于1829年第一次對于傅立葉級數(shù)的收斂性給出了嚴(yán)格的證明.得到了現(xiàn)今教科書中的所謂狄利克雷判定準(zhǔn)則.14精品PPT·值得借鑒第十四頁，共五十七頁。定理(收斂定理,展開定理)設(shè)

f(x)是周期為2

的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有

x

為間斷點其中(證明略

)為f(x)

的傅里葉系數(shù)

.

x

為連續(xù)點注意:

函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.簡介目錄上頁下頁返回結(jié)束15精品PPT·值得借鑒第十五頁，共五十七頁。則有則有有既16精品PPT·值得借鑒第十六頁，共五十七頁。例1.

設(shè)

f(x)是周期為2

的周期函數(shù),它在上的表達式為解:

先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級數(shù).

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束17精品PPT·值得借鑒第十七頁，共五十七頁。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束18精品PPT·值得借鑒第十八頁，共五十七頁。1)

根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于2)傅氏級數(shù)的部分和逼近說明:f(x)的情況見右圖.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束19精品PPT·值得借鑒第十九頁，共五十七頁。

不同頻率正弦波逐個疊加成方波物理意義20精品PPT·值得借鑒第二十頁，共五十七頁。21精品PPT·值得借鑒第二十一頁，共五十七頁。22精品PPT·值得借鑒第二十二頁，共五十七頁。23精品PPT·值得借鑒第二十三頁，共五十七頁。24精品PPT·值得借鑒第二十四頁，共五十七頁。25精品PPT·值得借鑒第二十五頁，共五十七頁。傅里葉級數(shù)展開式的意義——函數(shù)的整體逼近.26精品PPT·值得借鑒第二十六頁，共五十七頁。解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.例227精品PPT·值得借鑒第二十七頁，共五十七頁。28精品PPT·值得借鑒第二十八頁，共五十七頁。29精品PPT·值得借鑒第二十九頁，共五十七頁。非周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)并且滿足收斂定理的條件，可利用周期的延拓展開成傅里葉級數(shù)，30精品PPT·值得借鑒第三十頁，共五十七頁。周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數(shù)定義在[–

,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)展開法其它機動目錄上頁下頁返回結(jié)束31精品PPT·值得借鑒第三十一頁，共五十七頁。例3.

將函數(shù)級數(shù).則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉2

為周期的函數(shù)F(x),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束32精品PPT·值得借鑒第三十二頁，共五十七頁。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束33精品PPT·值得借鑒第三十三頁，共五十七頁。物理意義不同頻率余弦波逐個疊加成鋸齒波34精品PPT·值得借鑒第三十四頁，共五十七頁。利用此傅氏展開式求幾個特殊的級數(shù)的和35精品PPT·值得借鑒第三十五頁，共五十七頁。36精品PPT·值得借鑒第三十六頁，共五十七頁。例4.將函數(shù)展成傅里葉級數(shù),其中E為正常數(shù).解:延拓成以2

為周期的函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束37精品PPT·值得借鑒第三十七頁，共五十七頁。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束38精品PPT·值得借鑒第三十八頁，共五十七頁。例5解39精品PPT·值得借鑒第三十九頁，共五十七頁。

三、正弦級數(shù)或余弦級數(shù)

1.奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)40精品PPT·值得借鑒第四十頁，共五十七頁。證奇函數(shù)同理可證(2)．偶函數(shù)證畢41精品PPT·值得借鑒第四十一頁，共五十七頁。定義42精品PPT·值得借鑒第四十二頁，共五十七頁。解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.例１43精品PPT·值得借鑒第四十三頁，共五十七頁。和函數(shù)圖象44精品PPT·值得借鑒第四十四頁，共五十七頁。45精品PPT·值得借鑒第四十五頁，共五十七頁。觀察兩函數(shù)圖形46精品PPT·值得借鑒第四十六頁，共五十七頁。2.在[0,]上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓正弦級數(shù)f(x)在[0,]上展成機動目錄上頁下頁返回結(jié)束47精品PPT·值得借鑒第四十七頁，共五十七頁。例1.

將函數(shù)分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù).

解:

先求正弦級數(shù).去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束48精品PPT·值得借鑒第四十八頁，共五十七頁。注意:在端點x=0,

,級數(shù)的和為0,與給定函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束因此得

f(x)=x+1的值不同.

49精品PPT·值得借鑒第四十九頁，共五十七頁。50精品PPT·值得借鑒第五十頁，共五十七頁。再求余弦級數(shù).將則有作,偶周期延拓機動目錄上頁下頁返回結(jié)束51精品PPT·值得借鑒第五十一頁，共五十七頁。說明:

令

x=0可得即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束52精品PPT·值得借鑒第五十二頁，共五十七頁。53精品PPT·值得借鑒第五十三頁，共五十七頁。內(nèi)容小結(jié)1.周期為2

的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理其中注意:

若為間斷點,則級數(shù)收斂于機動目錄上頁下頁返回結(jié)束54精品PPT·值得借鑒第五十四頁，共五十七頁。2.周期為2

的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)

奇函數(shù)正弦級數(shù)

偶函數(shù)余弦級數(shù)3.在[0,]上函數(shù)的傅里葉展開法

作奇周期延拓,展開為正弦級數(shù)

作偶周期延拓,展開為余弦級數(shù)1.

在[0,]上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎?答:

不唯一,延拓方式不同級數(shù)就不同.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)55精品PPT·值得借鑒第五十五頁，共五十七頁。傅里葉(1768–1830)法國數(shù)學(xué)家.

他的著作《熱的解析理論》(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性書中系統(tǒng)的運用了三角級數(shù)和三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分.

最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的文獻,

他深信數(shù)學(xué)是解決實際問題傅里葉分析對近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.56精品PPT·值得借鑒第五十六頁，共五十七頁。狄