高考數(shù)學(xué) 2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題（解析版）

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)乙卷）

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

2+i

Z=7—

1設(shè)l+i'+i-,貝|z=（）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【解析】

【分析】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)z的值，然后利用共軟復(fù)數(shù)的定義確定其共朝復(fù)數(shù)即可.

ii（2i）2i-l_

【詳解】由題意可得z=:,2±=1==12i

l+i2+i51-1+ii2-1

則彳=1+2i.

故選：B.

2.設(shè)集合0=1i,集合M={x|x<l},N={x[—l<x<2},則{x|xN2}=（）

A.樂(lè)（MN）B.N

C.七（MfN）D.M

【答案】A

【解析】

【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為2}即可.

【詳解】由題意可得"N={x]x<2],則袈（MA^）={x|x>2},選項(xiàng)A正確;

^M={x|x>l},則N._e"={x|x>—1},選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

M2V={x|-l<x<l},則用（McN）={x|xW—1或Ml},選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

eN={x|xW—1或x?2},則”U詼N={x|x<l或x?2},選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：A.

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該零件的表面積為（

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其表面積即可.

【詳解】如圖所示，在長(zhǎng)方體ABC。—A4GR中，AB=BC=2,懼=3,

點(diǎn)K為所在棱上靠近點(diǎn)耳,￡,2,A的三等分點(diǎn),O,L,M,N為所在棱的中點(diǎn),

則三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體為長(zhǎng)方體ABCD-A4CR去掉長(zhǎng)方體ONIQ-LMHBX之后所得的幾何體,

該幾何體的表面積和原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積相比少2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,

其表面積為：2x(2x2)+4x(2x3)-2x(lx1)=30.

故選：D.

4.已知/(x)=/—是偶函數(shù)，則。=()

e1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

%/\%I%(a-'I

【詳解】因?yàn)?—為偶函數(shù)，則f(x\_4一必=工一一㈢—qe二e_J=o；

e這一1Jv7Jv'e公一]e一這一1e以一1

又因?yàn)閄不恒為0,可得1一6("一1卜=0，即eX=e("T)3

則x=(a—l)x,即l=a—1,解得a=2.

故選：D.

5.設(shè)。為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域｛(x,y)|l?x2+y2K4｝內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A,則直線

7T

OA的傾斜角不大于一的概率為()

4

1111

A.-B.—C.-D.-

8642

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)閰^(qū)域｛(九，則七三+^^可表示以^^⑼圓心，外圓半徑尺=2，內(nèi)圓半徑廠=1的圓環(huán),

則直線04的傾斜角不大丁的部分如陰影所示在第一象限部分對(duì)應(yīng)的圓心角ZMON=-,

4

2義兀

結(jié)合對(duì)稱性可得所求概率41.

rD==

2兀4

故選：C.

歹八

(兀2兀'

6.已知函數(shù)/(x)=sin(5+0)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線x=巴和x==為函數(shù)y=/(x)的圖像

63

的兩條對(duì)稱軸，則—行"]=()

V一立B.--C.ID.更

2222

【答案】D

【解析】

5兀

【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入％=-不即可得到答案.

12

（兀2兀）

【詳解】因?yàn)?（幻=sin（（yx+9）在區(qū)間了,§單調(diào)遞增，

LL…T2兀兀兀LCLIE271

所以一=------=—，且G>0,則7=兀，w=—=2,

2362T

當(dāng)％=乙時(shí)，/(力取得最小值，則2.至+0=2E—四，kwZ,

662

則夕=2E—g,keZ,不妨取左=0,則/(x)=sin[2x—g

故選：D.

7.甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有

()

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【解析】

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有C；種情況,

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A；種,

根據(jù)分步乘法公式則共有C/A；=120種，

故選：C.

8.已知圓錐尸。的底面半徑為e，O為底面圓心，PA,尸8為圓錐的母線，ZAOB=nO°,若Q45的面

積等于%8,則該圓錐的體積為（）

4

A.兀B.C.3下D.3a兀

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓錐的高，求出體積作答.

【詳解】在中，NAO5=120°，而04=03=6,取A3中點(diǎn)C,連接OC,PC,有

OC±AB,PC±AB,如圖,

NABO=30，OC=—,AB=2BC=3,由的面積為噸，M-x3xPC=^

2424

解得PC=浮，于是P0=yjpc2-oc2=，（孚）2—吟）2=病,

所以圓錐的體積VugjixOAZxpoMl兀xiJ^fxCnj^.

故選：B

9.已知.ABC為等腰直角三角形，A3為斜邊，△A3。為等邊三角形，若二面角C—A3—￡＞為150°,

則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（）

A1B要c也D-

5555

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【詳解】取A3的中點(diǎn)E,連接CEDE,因?yàn)?ABC是等腰直角三角形，且A3為斜邊，則有CE1AB,

又△A3。是等邊三角形，則。石工43,從而NCED為二面角C—AB—￡＞的平面角，即NC￡r＞=150,

n

顯然?！?lt;^?！?及。區(qū)。E<=平面8￡,于是AB/平面CDE,又ABu平面ABC，

因此平面CDE_L平面ABC,顯然平面CDEc平面43。=。石，

直線CDu平面CDE,則直線CD在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,

從而N75CE為直線CD與平面ABC所成的角，令A(yù)B=2,則CE=1,￡>E=百，在11cDE中，由余弦

定理得:

CD=\ICE2+DE2-2CE-DEcosZCED=

DFCD73sin150也

由正弦定理得二-----------,即sin/DCE=

sinZDCEsinZCED幣―2幣，

顯然NDCE是銳角,cosZDCE=Jl-siYNDCE=

所以直線CD與平面ABC所成的角的正切為正

5

故選：C

10.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為夸，集合S=kosa〃HeN*｝,若5=｛。,4，則()

11

A.-1B.——C.0D.=

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作

答.

2冗2冗2兀

【詳解】依題意，等差數(shù)列｛〃〃｝中，=弓+(M―1),?-=?-幾+(4——),

顯然函數(shù)y=cos[T〃+(a「$)]的周期為3,而〃eN*，即cos?！白疃?個(gè)不同取值，又

{cos〃〃|nGN*}={a.b],

則在cosq,cosGCOS/中，cosa{=cosa2wcos/或cosqcosa2=cos,

2兀9JTJT

于是有cose=cos(8H---),即有e+(6H---)=2kjt,keZ,解得8=左?！?keZ,

333

LLr、t,?1z7兀、r/1兀、47171727兀1

所以上eZ,ab=COS(KTI--)cos[(E-y)+—J=-cos(E--)coskn--coskncos—.

故選：B

2

11.設(shè)A,B為雙曲線d一匕=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是()

9

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得心/左=9,對(duì)于A、B、D：通過(guò)聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)

于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.

【詳解】設(shè)人(%,%),5(%2，%)，則A3的中點(diǎn)”[七三

2J

可得L=二，左=+=q，

石-x2—+'2玉+X?

2

(2

r2%.1

Q

因?yàn)锳,3在雙曲線上，貝1][，兩式相減得(z才―x

.一.=1

2_2

所以七8?左="；；=9.

X1-Xj

對(duì)于選項(xiàng)A：可得左=1,月隹=9,則AB:y=9x—8,

\=9x-8

聯(lián)立方程<2/_，消去y得72尤2—2X72X+73=0,

19

此時(shí)△=(-2x72『-4x72x73=-288<0,

所以直線A8與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤;

995

對(duì)于選項(xiàng)B：可得左二一2,左筋二一],則=

[95

y=——x——

22

聯(lián)立方程<2，消去>得4512+2X45%+61=0,

r2y7

[9

此時(shí)4=（2x45）2-4x45x61=-4x45x16<0,

所以直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：可得攵=3,&1s=3,則AB:y=3x

由雙曲線方程可得a=1力=3,則AB：y=3x為雙曲線的漸近線,

所以直線A8與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

997

對(duì)于選項(xiàng)D：k=4-,k.?——，則AB:y=—x—，

444

■44

聯(lián)立方程｛2，消去＞得63/+126x—193=0,

此時(shí)A=1262+4X63X193>0，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；

故選：D.

12.已知（。的半徑為1,直線以與：。相切于點(diǎn)4直線與交于8,C兩點(diǎn)，。為BC的中點(diǎn),

若|PO|=JL則的最大值為（）

A.女1+2行

B.

22

C.1+72D.2+V2

【答案】A

【解析】

【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得申.力）

1V2個(gè)1V2

sin(2a—?sin2a+J然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定9.正￡）

2222

的最大值.

【詳解】如圖所示，|QA|=1,|OP|=、/1,則由題意可知:NAPO=45,

由勾股定理可得PA=_042=1

7T

當(dāng)點(diǎn)位于直線P0異側(cè)時(shí)，設(shè)NOPC=aOVa?一,

則：PAPD=I^A||PD|COS

=lxVicoscircosa+—

cosa——cosa----sma

=cos2a-sinacosa

1+cosla1.小

=------------sin2a

22

jrjr

，當(dāng)2。-7=-4時(shí)，/>A.p￡）有最大值1.

JT

當(dāng)點(diǎn)A。位于直線P0同側(cè)時(shí)，設(shè)NOPC=a,0<a<-,

a」］

則:PA-PD=1|-|PD|cos

4J

=1x^/2cosacosa--

I4j

仄(0A/2.

="2cosa——cos6ZH-----sma

=cos2a+si?nacosa

1+cosla1.c

=------------b—sin2a

22

iV2.r.吟

=—+——sin2a+—

22I4J

c//1t-iI冗_(dá)TCTC

0<a<—?jiǎng)t一《2OH——<—

4f442

.?.當(dāng)2a+/=q時(shí)，pA.po有最大值匕

422

綜上可得，申的最大值為l±Yi.

,'2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問(wèn)題，考查了

學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問(wèn)題的能力.

二、填空題

13.已知點(diǎn)A。,⑹在拋物線C：/=2四上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.

9

【答案】一

4

【解析】

【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為X=-3,最后利

4

用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離即可.

【詳解】由題意可得：了=2pxl,則2p=5,拋物線的方程為y=5%,

準(zhǔn)線方程為x=°,點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離為i-

4

9

故答案為：一.

4

x-3y<-1

14.若無(wú)，y滿足約束條件<x+2y<9,則z=2x—y的最大值為.

3x+y>l

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，轉(zhuǎn)化為截距最值討論即可.

【詳解】作出可行域如下圖所示：

z=2x-y,移項(xiàng)得y=2x-z,

設(shè)4(5,2),顯然平移直線y=2%使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,此時(shí)截距-z最小，則z最大,

代入得z=8,

故答案為：8.

aa

15.已知［an］為等比數(shù)列,a2a4a5=，9io=-8，則%=.

【答案】—2

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對(duì)出。4%=%%,化簡(jiǎn)得1，聯(lián)立。必0=-8求出=一2,最后得

55

%=axq-q=q=—2.

【詳解】設(shè)｛%｝的公比為q(qwo),則。2。4。5=。346=44,，顯然。，戶0,

則為=/，即則44=1,因?yàn)?40=-8,則.〃悶9=一8,

則45=(/)3=_8=(_2):貝ijq3=—2,則%=/q.q5=/=_2,

故答案為：-2.

16.設(shè)ae(O,l),若函數(shù)/(力=優(yōu)+(l+a)”在(0,+")上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.

【解析】

【分析】原問(wèn)題等價(jià)于/'(無(wú))="Ina+(1+。丫In(1+a)20恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形,

可得>一_魯由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)。的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)

Va)In+

數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得了'(%)=優(yōu)111〃+(1+〃)尤111(1+〃)20在區(qū)間(0,+8)上恒成立，

1+6Z>―皿；；：。)在區(qū)間(°，+。)上恒成立，

則(1+〃)'ln(l+a)N-優(yōu)Ina,即

a

故Iff一瑞上而。+臼1，2),故叩+a)〉。,

+>一Ina故更匚

即《I7

故<a<B

0<tz<10<2

結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故答案為:

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)

相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的

伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為七，K[=1,2,…,10).試驗(yàn)結(jié)果如下:

試驗(yàn)序號(hào)i12345678910

伸縮率演545533551522575544541568596548

伸縮率K536527543530560533522550576536

記4=%—x(i=l,2,…,10),記4/2,…,Zio的樣本平均數(shù)為I,樣本方差為$2.

⑴求z，S2;

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果

z>2j—，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，

Vio

否則不認(rèn)為有顯著提高)

【答案】(1)Z=11，$2=61；

(2)認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

【解析】

【分析】(1)直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出京亍，再得到所有的z,.值，最后計(jì)算出方差即可；

(2)根據(jù)公式計(jì)算出2、忙的值，和三比較大小即可.

Vio

【小問(wèn)1詳解】

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548「6r

x=-------------------------------------------------=552.3,

10

536+527+543+530+560+533+522+550+576+536

7==541.3,

10

=552.3-541.3=11,

的值分別為：9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

痂2_(9T1)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

s—

10

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知:彳=H,2J—=276?!=V244,故有222」

VioVio

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

18.在ABC中，已知NBAC=120°,AB=2,AC=1.

(1)求sinZABC；

(2)若。為8C上一點(diǎn)，且NB4D=90。，求八位)。的面積.

【答案】（1）

14

⑵亙

10

【解析】

【分析】（1）首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)的值為BC=",然后由余弦定理可得cosB=%^，最后由同

14

角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB=叵；

14

S1

⑵由題意可得產(chǎn)2=4,則SO8=￡S”BC，據(jù)此即可求得八4。。的面積.

、XACD5

【小問(wèn)1詳解】

由余弦定理可得：

BC2=a2=b2+c2—2bccosA

=4+l-2x2xlxcos120=7，

222

n?r?a+c-b7+4-15用

則3C=B，COSB=-------------------=--------------尸=

2ac2x2x414

sinB=Vl-cos2B=.^1--=.

V2814

小問(wèn)2詳解】

S—xABxADxsin90

由三角形面積公式可得乎也=吊------------------=4,

%AC。-xACxADxsin30

2

則S/vtco=三Sa詆=_xf-x2xlxsiiil2011=噂，

JJ\乙JJ-\J

19.如圖，在三棱錐尸—ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2及,PB=PC=瓜,BP,AP,BC

的中點(diǎn)分別為Q,E,O,AD=y/5DO）點(diǎn)/在AC上，BF±AO.

p

(1)證明：EFV/平面ADO；

(2)證明：平面ADO_L平面BEF；

(3)求二面角D—AO—C的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析；(3)YZ.

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

(2)由(1)的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.

(3)由(2)的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小問(wèn)1詳解】

連接。E,。尸，設(shè)=則3/=34+4/=(1—r)R4+tBC,AO=-BA+^BC,BFLAO,

1216

則BFAO=[(l-t)BA+tBC]\-BA+-BC)=(t-T)BA+-tBC2=4(Z-1)+4r=0,

22

解得f=則產(chǎn)為AC的中點(diǎn)，由D,E,O,歹分別為尸6PA3cAe的中點(diǎn)，

2

于是DE//AB,DE=LAB,OF//AB,OF=LAB,即DE//OF,DE=O尸，則四邊形ODEF為平行四

22

邊形，

EF//DO,EF=DO,又平面ADO,DOu平面AD。，

所以EE//平面ADO.

p

【小問(wèn)2詳解】

由(1)可知EFI/OD,則A0=C,O0=^，得AD=#DO=^

22

因此0。2+4。2=A￡)2=",則0￡>，A0,有所，A0,

2

又AOLBF,BFEF=F,平面巫戶,

則有40,平面5即，又AOu平面AD0,所以平面ADO,平面BEF.

【小問(wèn)3詳解】

過(guò)點(diǎn)。作07///B尸交AC于點(diǎn)H,設(shè)A。BE=G,

由AOL3尸，得HOLAO,且切=』AH,

3

又由(2)知，OD±AO,則N0OW為二面角D—AO—C的平面角,

因?yàn)镈,E分別為P5,PA的中點(diǎn)，因此G為,Q鉆的重心，

1113

即有OG=—AO,GE=—BE,又FH=—AH,即有￡>〃=—Gf\

3332

3_15

4+5-34+6-PA2[f.

cosZABD=-二^二2x2x8'解得私=內(nèi)，同理得="

2x2x——

2

、2<

(1V6落

2_5

于是BE2+EF?=BF?=3,即有助_LM，則GR2=—x-------——,

327\3

“而"廠<153VI5{15

從而GF=-----，DH=-x------=------，

3232

在△OW中'OH=LBF=^OD=^DH=^

6+3_15

=正,

于是cosNDOH=」）友=-與,sinZDOH

2x——x——一y

22

所以二面角D—AO—C的正弦值為YZ

2

20.已知橢圓C:與+==l（a〉》〉0）的離心率是@，點(diǎn)4（—2,0）在C上.

ab3

（1）求C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（—2,3）的直線交C于尸,Q兩點(diǎn)，直線ARAQ與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明：線段MN

的中點(diǎn)為定點(diǎn).

22

【答案】（1）^+―=1

94

（2）證明見(jiàn)詳解

【解析】

分析】（1）根據(jù)題意列式求解。，仇。，進(jìn)而可得結(jié)果；

（2）設(shè)直線尸。的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證工：-為定值即可.

2

【小問(wèn)1詳解】

b=2a=3

由題意可得＜a2=b'+c2解得|b=2

c\/5

e---——

、a3

所以橢圓方程為二+二=1.

94

小問(wèn)2詳解】

由題意可知：直線尸。的斜率存在，設(shè)PQ:y=左（*+2）+3,。（%,％）,。（々,%），

y=攵（％+2）+3

聯(lián)立方程1y22

,消去y得：（4/+9）尤2+8左（2左+3）尤+16（r+3左）=0,

工+匕=1

194

貝UA=64左2（2左+3）2-64（4左2+9）（^+30=一1728女>0,解得左<0,

8左（2左+3）16（公+3左）

可得%+%=-=--------

4二+91-4k2+9

因?yàn)?（—2,0）,則直線AP:y=」^（x+2）,

X］十N

令A(yù)°'解得廣*

,即

I%+2

同理可得含

則玉+2'2+2_兇石+2）+3][k（々+2）+3]

—I

2%+2%+2

［何+（2左+3）］（%2+2）+［仇+（2左+3）］（石+2）2gx2+（4左+3）（須+々）+4（2女+3）

（石+2）（々+2）玉%2+2（玉+尤2）+4

32k（k2+3k）8/（4左+3）（21+3）

+4（24+3）W8

24k2+9

4左+9---------二---二3

16伏？+3k）16M2k+3）36

+4

4r+94k2+9

所以線段尸。的中點(diǎn)是定點(diǎn)（0,3）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟

（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值;

(2)證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無(wú)

關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；

(3)得出結(jié)論.

21.已知函數(shù)1/(%)=—F<7Iln(l+x).

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，求曲線丁=/(力在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線關(guān)于直線x=b對(duì)稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說(shuō)明

理由.

(3)若/(尤)在(0,+")存在極值，求a的取值范圍.

【答案】(1)(ln2)x+y-ln2=0；

(2)存在。=—,b=—滿足題意，理由見(jiàn)解析.

22

【解析】

【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求

解切線方程即可；

(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)6的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性利用特殊值法可

得關(guān)于實(shí)數(shù)。的方程，解方程可得實(shí)數(shù)。的值，最后檢驗(yàn)所得的。涉是否正確即可；

(3)原問(wèn)題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)g(x)=G：2+x—然后對(duì)函數(shù)求

導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論aWO,1和0<a〈工三中情況即可求得實(shí)數(shù)。的取值

22

范圍.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=—1時(shí)，=|---l)n(x+l),

則/'(x)=--yxln(x+l)+f--l^|x^—,

據(jù)此可得/(l)=0,/'(l)=_ln2,

函數(shù)在處的切線方程為y—0=—ln2(x—1),

即(ln2)x+y-ln2=0.

【小問(wèn)2詳解】

由函數(shù)的解析式可得/=(x+a)In[:+1],

1x_l_1

函數(shù)的定義域滿足一+1=——>0,即函數(shù)的定義域?yàn)?―8,—l)D(0,+8),

定義域關(guān)于直線了=-工對(duì)稱，由題意可得人=-,，

22

a

取"7=5可得〃1)=/(—2),

即(a+l)ln2=(a-2)ln；,則a+l=2—a,解得a=g,

經(jīng)檢驗(yàn)〃=—,b=—滿足題意，故。=—力=—.

2222

即存在a=』,b=-」?jié)M足題意.

22

【小問(wèn)3詳解】

由函數(shù)的解析式可得/'(￡)=[-(■]山(》+1)+1+/1[,

由/(%)在區(qū)間(0,+。)存在極值點(diǎn)，則/'(X)在區(qū)間(0,+")上存在變號(hào)零點(diǎn)；

令,力(川)+[*2=0，

則一(九+1)1!1(%+1)+(%+0￥2)=0,

令g(x)=4+%—(x+1)1n(x+1)，

/(X)在區(qū)間(。,+8)存在極值點(diǎn)，等價(jià)于g(X)在區(qū)間(0,+8)上存在變號(hào)零點(diǎn),

g'(x)=2依-ln(x+l),g"(x)=2a-------

JC+1

當(dāng)aWO時(shí)，g'(%)<0，g(x)在區(qū)間(O,+“)上單調(diào)遞減，

此時(shí)g(x)<g(°)=。，g(x)在區(qū)間(0,+。)上無(wú)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)2a時(shí)，由于缶<1，所以g"(x)>O,g'(￡)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增,

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,g(x)>g(O)=O,

所以g(x)在區(qū)間(0,+“)上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；

1,..z11

當(dāng)0<。<一時(shí)，由g(x)x=2a-----=0可得x=----1f

2x+12a

當(dāng)—時(shí)，g"(x)<0,g'(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe[(-l,+oo]時(shí)，g"(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增，

故g'(x)的最小值為—1]=1-2a+In2a,

_rI1

令機(jī)(x)=l-x+lnx(O<x<l),則〃(％)=----->0,

函數(shù)鞏力在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，772(%)<m(l)=O,

據(jù)此可得1—x+lnx<0恒成立，

則8—1]=1—2a+1”2a<0，

令/z(x)=lnx-12+%(x>0),貝ij=-2x+x+l,

x

當(dāng)xe(O,l)時(shí),"(x)>O,/z(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，〃(力<0,人(力單調(diào)遞減,

故/z(x)4〃⑴=0,即InxWf—x(取等條件x=l),

所以g'(x)=2ax—ln(x+l)〉2ax—(x+l)~-(x+l)=lax-^x1+x),

g'(2a-1)〉2a(2a—1)-[(2a-l)2+(2a-l)]=0,且注意到g'(0)=0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:g'(%)在區(qū)間(0,+。)上存在唯一零點(diǎn)看.

當(dāng)xe(0,%)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)減，

當(dāng)xe(%,+oo)時(shí),g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(%)<g⑼=0.

令〃(x)=lnx-g\-￡|,則〃'⑺=遇[1+、'(J)?0,

則”(九)單調(diào)遞減，注意到“⑴=0,

故當(dāng)xG(1,+co)時(shí)，[nx-'lx—]<0,從而有Inxv,1%—),

所以g(x)=or2+x-(x+l)ln(x+l)

>cix^+x_(x+1)x—(x+1)-----

v72v7x+1

a-1x2+-,

2

,i

令T所以

x~+5=0得刀21^—,g

l-2a

所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（。,+8）上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.

綜合上面可知:實(shí)數(shù)。得取值范圍是

【點(diǎn)睛】（1）求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等

函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.

（2）根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0