2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高三年級(jí)上冊(cè)期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題及答案

高三

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中檢測(cè)試題

高三數(shù)學(xué)2022.11.9

(全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)符合要求)

1.已知全集［/={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={1,2,3,4},則(CuA/)ClN=

A.{5}B.{3,4}C.{3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

2.匕則電的值為

l+tanl5°

A.1B?3C?道D.也

32

3.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑，上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑

恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)，即：圓柱的內(nèi)切

球體積與圓柱體積比為定值，則該定值為

1233

A.B.C.D.

2342

4.Q-2)(W的展開式中x的系數(shù)為

A.-280B.-40C.40D.280

5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時(shí)介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等

的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為原大

正方形的面積為S,小正方形的面積為S2,若隊(duì)=5,則sina+cosa的值為

A.逆B.氈—D.&

5555

6.已知函數(shù)段)的導(dǎo)函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(x),則不等式加)>2e%osx在區(qū)間(0,'上的解集

A.(0,/B.g,?D.(0,,

試題

高三

7.甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次(骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能為1,2,3,4,5,6),并分別

記錄自己每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四人根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)自己的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別做了如下描述，可以判

斷一定出現(xiàn)6點(diǎn)的描述是

A.中位數(shù)為4,眾數(shù)為4B.中位數(shù)為3,極差為4

C.平均數(shù)為3,方差為2D.平均數(shù)為4,25百分位數(shù)為2

8.若。巧，6=(即，c=4,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a,b,c的大小關(guān)系為

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分)

9.設(shè)函數(shù)Hx),g(x)的定義域都為R,且"v)>0,g(x)>0,風(fēng)燈是減函數(shù)，g(x)是增函數(shù)，則

下列說法中正確的有

A.負(fù)x)+g(x)是增函數(shù)B./*)—g(x)是減函數(shù)

?是減函數(shù)

c.y(x)g(x)是增函數(shù)D.

g(x)

10.下列說法中正確的有

A.若a>b>0,則B.若a〈bV0,c〈d,則ac<hd

ab

33

C.若a<b,c〈d,則a—d<h—cD.若a<h,則Q2Vb2

11.已知奇函數(shù)y［x)=3sin(?r+s)—cos(力式+夕)3>0,<兀)的最小正周期為兀，將函數(shù)

/(X)的圖象向右平移］個(gè)單位，得到函數(shù)雙外的圖象，則下列說法中正確的有

A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線*="對(duì)稱

B.當(dāng)xG［0,今時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值是一S

C.函數(shù)g(x)在區(qū)間［—匹，2］上單調(diào)遞增

66

D.若函數(shù)y=g(x)—《》一?)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則所有零點(diǎn)之和為工

62

12.已知函數(shù)y(x)及其導(dǎo)函數(shù)/(x)的定義域都為R,犬0)=0,Hl—2x)=H2x-l),41一工2)一

/(l+x2)+4x2=0,則下列說法中正確的有

A.導(dǎo)函數(shù)/(X)為奇函數(shù)B.2是函數(shù)Hx)的一個(gè)周期

C./(2A)=4A2/eZ)D./(2023)=4046

試題

高三

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知sin（a+*=￥，則cos（2a+：）=.

14.已知直線了=履曲線y=k>gzx的切線，則實(shí)數(shù)%=.

15.圖1是一枚質(zhì)地均勻的骰子，圖2是一個(gè)正六邊形（邊長(zhǎng)為1個(gè)單位）棋盤，現(xiàn)通過擲骰

子的方式玩跳棋游戲，規(guī)則是：先將一棋子放在正六邊形/5CDE廠的頂點(diǎn)/處.如果擲出

的點(diǎn)數(shù)為d=1，2,3,4,5,6）,則棋子就按順時(shí)針方向行走，個(gè)單位，一直循環(huán)下去.則

某人拋擲兩次骰子后棋子恰好有又回到點(diǎn)A處的所有不同走法共有種.

圖1圖2

16.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為

“陽馬”.現(xiàn)有一“陽馬”的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長(zhǎng)為4,則該“陽

馬”的內(nèi)切球表面積為,內(nèi)切球的球心和外接球的球心之間的距離為.

四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）

已知命題：VxG[0,1],x2+x-"?<0是真命題.

（1）求實(shí)數(shù)m的取值集合4

（2）設(shè)集合8=3竺二?>（）｝（其中。>0）,若“xGZ”是“xeB”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)

x+2

a的取值范圍.

試題

高三

18.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(對(duì)=加0+《是R上的奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)若存在實(shí)數(shù)fG[O,2],使得/(?—幻+大2一初20成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

19.(本小題滿分12分)

在平面四邊形45。中，ZA=120°,AB=AD,BC=2,CD=3.

⑴若cos/C2O=U,求sinC；

16

(2)記四邊形N8C。的面積為S,求S的最大值.

20.(本小題滿分12分)

如圖，在體積為1的四棱錐產(chǎn)一Z88中，ZABC=90°,AD//BC,4D=4B=旭,BC

=23，CD±PB,PB=PD.

(1)證明：平面平面/8CZ)；

(2)若點(diǎn)E為棱BC上一動(dòng)點(diǎn)，求直線PE與平面PAD所成角的正弦值的最大值.

試題

高三

21.(本小題滿分12分)

甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)行“趣味投籃比賽”，制定比賽規(guī)則如下：每輪比賽中甲、乙兩人各

投一球，兩人都投中或者都未投中則均記。分；一人投中而另一人未投中，則投中的記1

分，未投中的記一1分設(shè)每輪比賽中甲投中的概率為之乙投中的概率為L(zhǎng)甲、乙兩人投籃

相互獨(dú)立，且每輪比賽互不影響.

(1)經(jīng)過1輪比賽，記甲的得分為X,求X的分布列和期望；

⑵經(jīng)過3輪比賽，用P.(〃=l,2,3)表示第〃輪比賽后甲累計(jì)得分低于乙累計(jì)得分的概率，

研究發(fā)現(xiàn)點(diǎn)(〃，2,3)均在函數(shù)兀0="小一產(chǎn))的圖象上，求實(shí)數(shù)機(jī)，s,f的值.

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)｛x)=(x—配左+2)0,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù);(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，

⑴若/(x)Wl恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；

(ii)若/(x)存在最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

試題

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中檢測(cè)試題

高三數(shù)學(xué)202211.9

（全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)符合要求）

1.已知全集。={1.2,3.4,5},集合2；,N=H，2,3,4；.則（gW）OV=

A.{5；B.{3,4}C.{3,4.5}D.{I,2.3,4,5）

【答案】B

【解析】q；A/={3,4,5},?M）nN={3,4},選B.

2.匕型絲的值為

1+tan150

A.IB.3C.加D.也

32

【答案】c

l-tan15°_tan450-tan15°

【解析】=tan(45°-15°)=y-，選C.

I+tan15°-1+tan45°tan15°

3.占希騰數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑，上刻著一個(gè)園柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑

恰好與圓柱的高相等,相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn),即:圓柱的內(nèi)切

球體積與惻柱體積比為定值，則該定值為

I2八33

A.1B.-C.-D.-

2342

【答案】B

4

【解析】設(shè)內(nèi)切球半徑為我，匕=］乃川

）1V2

圓柱的高為2H，底面半徑為R，匕=萬屋2/?=2乃/?3,r，選B.

4.（工一2）（小一半戶的展開式中X的系數(shù)為

A.-280B.-40C.40D.280

【答案】A

6

【解析】展開式第，?+i項(xiàng)*=c：(4尸

r=3,XC：(-2)3=-160X；r=2,-2C1(-2)2X=-I20X

的系數(shù)為-280，選A.

5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時(shí)介紹了“趙家弦圖”，它是由四個(gè)全等

的直角?:角形與一個(gè)小1E方形拼成的大正方形如圖所示，記直角?:角形較小的銳角為a,大

正方形的面枳為S”小正方形的面積為S?,若，4=5,則sma+cosa的值為

8

5

【答案】A

【解析】不妨設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為I,則大正方形邊長(zhǎng)為石

設(shè)直角三角形短邊長(zhǎng)為Q,則另一條直角邊為a+1

,,?2

a2+(a+1)2=5,:.a=\,sina=-^,cosa=-y=

sina+cosa=-y=,選A.

6.已知函數(shù)人x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)滿足/(x)=/b)則不等式_/(x)>20co&t在區(qū)間(0,?上的解集

為

A.(0,3B.(",?C.(p：)D.(0,；)

【答案】C

【解析】f\x)=f(x),則可以等于c*,即/(x)=c、

2

—

/(x)>2e3cosxoe3-2cosx>0

*才

x?0―――一

令g(x)=c3-2cosx,g'(x)=c3+2sin.v>0

g(x)在,g(x)H|=g<x<3，選C

kZ)JJ2

7.甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次(骰了他現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能為1,2,3,4.5.6),并分別

記錄自己每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),四人根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)自己的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別做「如下描述，可以判

斷?定出現(xiàn)6點(diǎn)的描述是

A.中位數(shù)為4,眾數(shù)為4B.中位數(shù)為3,極差為4

C.平均數(shù)為3,方差為2D.平均數(shù)為4,25百分位數(shù)為2

【答案】I)

【解析】對(duì)于A,4,4,4,4,4滿足條件，設(shè)出現(xiàn)6點(diǎn)，不滿足題意

對(duì)于B,1,3,3,3,5滿足條件，設(shè)出現(xiàn)6但，不滿足題意

對(duì)于C,X1+與+X3+X4+=15,

1【(而-+(32-3)2+(均-3)2+(X4-3)2+區(qū)-3)2]=2

取X]=6，則X?+戈3+*4+=9,

(七-3)2+區(qū)-3)2+(七-3)2+(看-3)2=1

2222

.-.(X2-3)<1,(X3-3)<1,(X4-3)<1,(X5-3)<1

.,.均廣3戶4，/這4個(gè)數(shù)可以是4,3,3,3與2,3,3,3與*2+勺+*4+x$=9矛盾，

.??不存在6點(diǎn)，選D.

25百分位是2,5x25%=1.25，,第2個(gè)數(shù)是2，則前兩項(xiàng)和W4

后三項(xiàng)和216,一定有6點(diǎn)，，選D.

8.若b=(%°，c=e；其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則“，b,c的大小關(guān)系為

o9

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

3

【解析】InxWx-l(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取"=”)

10|0fI01010

建/，】。建<四<Ine9，B即n—<c9,即b<c

99991919J

119-9

0<x<I時(shí)e"<----,.e.e9<-,e°<-e，即c<a

1—x88

:.b<c<a，選B.

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分)

9.設(shè)函數(shù)凡丫)，儀x)的定義域都為R,且<x)>0,g(x)>0,兒0是減函數(shù)，儀x)是增函數(shù),則

卜列說法中正確的仃

A.<x)+g(x)是增函數(shù)B.凡x)—g(x)是減函數(shù)

C.火》)點(diǎn).丫)是增函數(shù)D.&1是減函數(shù)

奴x)

【答案】BD

【解析】無去判斷/(X)+g(X)增減性，A錯(cuò).

/'(x)<0,g?x)>0,y=f(x)-g(x),y=f\x)-gf(x)<0-gr(x)<0

y=f(x)-g(x)\,B對(duì).

/(x)=(g],g(x)=21〃x)g(x)為曾減性，C錯(cuò).

i.:/(x)，=/'(x)g(x)-/(x)g'(x)°-〃x)g'(x)

一就西G(x)燈

10.下列說法中正確的有

A.若。>6>0,則B.若aVbVO,c〈d,則acV6d

ab

C.若a<b,c<d,則a—dV6—cD.若a3Vb3,則東

【答案】AC

【解析】a>b>Q，則,A對(duì).

ab

。二-2,6=-1,。=\.d=2,ac=bd,B錯(cuò).

a<b,c<d,-d<-c,：.a-d<b-c,C對(duì).

a=-2力=1滿足，＜b3不滿足/＜必，D錯(cuò)，選AC.

11.已知奇函數(shù)/tr)=3sin(ozr+3)—cos(0x+“)(s＞O,OV9V完)的最小正周期為元,將函數(shù)

人幻的圖象向行平移:個(gè)單位，得到函數(shù)熟幻的圖象，則卜列說法中正確的外

6

A.函數(shù)雙刈的圖象關(guān)「有線x=；；時(shí)稱

B.,*Ue[o.，時(shí)，函數(shù)樂外的最小值是一S

C.函數(shù)g)在區(qū)間[一：，上單調(diào)遞增

D.若函數(shù)尸亦)一心一。有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則所仃零點(diǎn)之和為四

62

【答案】ABD

2兀

【解析】/(x)=2sinf+?,/=--—7CICD=2

/(x)=2sin(2x+s-§,/(x)為奇函數(shù)，"=看，，/(x)=2sin2x

g(x)=/(x-j=2sin2x——1,2^-1=、時(shí).='^|■兀，A對(duì).

0<x<—=>0<2x<^=>-—<2x-—<,-Jr=——-<sinf2A--(<1

2333213yl

=>-V3<g(x)W2,B對(duì)

g(x)關(guān)于x=[不對(duì)稱，2萬e

,g(x)不可能在Z,C錯(cuò)

1212Loo66

g(.v)關(guān)于fg,01又寸稱J=A(x一過15,。

16)\

g(x)=A(x-g)有三個(gè)根，其中一個(gè)根。，另兩個(gè)根關(guān)于J對(duì)稱

X]+x>+Xj=2x—+—=—D又寸選ABD.

~662tt

12.已知函數(shù)人制及其導(dǎo)函數(shù)/(x)的定義域都為R,火0)=0,/(l-lr)=/(lr-l),川一小)一

5

4+W)+婷=0,則卜列說法中正確的有

A.導(dǎo)函數(shù)/(x)為奇函數(shù)B.2是函數(shù)/lx)的一個(gè)周期

C./(2A)=4八(AGZ)D.7(2023)=4046

【答案】A(D

【解析】方法一：/(I-2x)=/(2x-l)o/(x)關(guān)于x=0對(duì)稱o〃x)為偶函數(shù)

o/'(x)為奇函數(shù)，A對(duì).

/(l-x2)-/(x2+l)+4x2=0一=/，-])+4x],

令刀2-1=，，/(/+2)=〃/)+4/+4,;.2不是/(x)的f周期，B錯(cuò)

/,(/+2)=/'(/)+4,.??{/")}為等差數(shù)列

八2023)=八1)+4044,/'⑴=/'(-1)+4—⑴=2,

所以,(2023)=4046,故選項(xiàng)D正確：

7(/+2)-/(/)=4/+4々，

/⑺-f(t-2)=4/./(,+2)_/(0)=Q+="+2)2

/⑵-/(0)=4

f(t+2)=(1+2)2,:.f(2k)=(2k)2=4k2,CM

方法二：???/0-2x)=〃2x—l),二/(幻為偶函數(shù)，.?./'(x)為奇困數(shù)，A正確

由/(1一/)一/(1+%2)+4/=0n/(X2-1)-/(X2+I)+4X2=0

/.f(x+1)-f(x-1)=4x(xN0)n/(x+2)-f(x)=4(x+

若2是/(x)一周期n4(x+1)=0對(duì)VxN-1恒成立矛盾，故B錯(cuò)

對(duì)于C,由/(x+2)-/(x)=4(x+l)n

/(2A)=/(2A)-/(2A-2)+/(2*-2)-/(2^-4)+.-+/(2)-/(0)+/(0)

2k-k

=4(1+3+…+2￡-I)=4.—―=4A2,C正確

對(duì)于D,由/(x+2)-/(x)=4(x+l),xNT=/'(x+2)_/'(x)=4

且/(1)_/(1+》)+4.丫=0=>_/'(17)_/'(]+丫)+4=0=>/'(1)=2

/,(2023)=4043,D正確，選ACD

6

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共2（）分）

13.—知sin（a+三）=二，則cos（2a+-）=______.

633

【答案】-

9

、2_5

【解析】cos2a+—=cos2a+—\=]-2sin2a+—|=1-2x

<3JJL6JI6J99

14.已知直線），=h曲線y=log：x的切線，則實(shí)數(shù)4=

1

【答案】

cln2

【解析】切點(diǎn)(與Jog?%)，/=，〃=—

xln2xoln2

切線：y-log,x0=—J—(x-?r0)

Xo】n2

切線過（0,0）“跨1

eln2

15.圖I是?枚質(zhì)地均勻的骰子，圖2是?個(gè)正六邊形（邊長(zhǎng)為1個(gè)單位）棋盤，現(xiàn)通過擲骰

干的方式玩跳棋游戲，規(guī)則是：先將?棋:放在正六邊形/8CCEF的頂點(diǎn)力處.如果擲出

的點(diǎn)數(shù)為2=1，2,3,4,5,6）,則棋廣就按順時(shí)針方向行走，個(gè)單位，?自循環(huán)卜去.則

某人拋擲兩次骰上后棋「恰好有乂回到點(diǎn)4處的所有不同走法共有種.

圖1圖2

【答案】6

【解析】拋骰子兩次回到原點(diǎn)有兩種情形：

第一種：點(diǎn)數(shù)之和為6,共1+5,2+4,3+3,4+2,5+1,5種結(jié)果

第二種：點(diǎn)數(shù)之和為12,有1個(gè)結(jié)果

7

.??回到/點(diǎn)共有6個(gè)結(jié)果.

16.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為

“陽馬現(xiàn)有一“陽馬"的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長(zhǎng)為4,則該“陽

當(dāng)”的內(nèi)切球表面枳為，內(nèi)切球的球心和外接球的球心之間的距離為.

【答案】4乃;與

【解析】方法一：設(shè)內(nèi)切球半徑為，?，/用m=；x9x4=l2

SMI8==gx3x4=6，PB=5，BC=3,

=

SgBC=5X5x3=—=5speD?S/BCD9

1^6+6+y+y+9p=12,:.r=\,S&=4"R2=4;r

將“陽馬”補(bǔ)成方體，則BE的中點(diǎn)為外心坐標(biāo)為"C2)

設(shè)內(nèi)心0(x,乂二)，內(nèi)心到平面力8co的距離為1?.二=1

同理x=>，=】，則。(1,1,),.?.0A/=J"+l=g.

V442

方法二：取尸40的內(nèi)心/,△/<〃)內(nèi)切球半徑r=3+4-3=1

2

過/作/OJ平面產(chǎn)/。，且6=1?.四棱推內(nèi)切螭心為q,

8

且四棱錐的外接球球心。為PC的中點(diǎn)，且。在底面射影為點(diǎn)0,oy平面以g

AQ=6,。在底面射影為〃，:.AQ=右,。河=*，0,0=1,?！?2,

四、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分T分)

已知命題：Vxe[0,1],f+x-,"V0是真命題.

(I)求實(shí)數(shù)，"的取值集合小

(2)設(shè)集合8=國(guó)竺一L＞0}(其中。＞0),若“XG/”是“XG8”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)

x+2

a的取值范闈.

【解析】

(1)/〃>9+x對(duì)Vxe[0,l]S^in〃i>2,/=97"〃>2)

(2)由題意知8,B=-xl.v<-2必>->,

a

18.(本小題滿分12分)

己知函數(shù)兒＜)=，"2+'是R上的奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)"，的值：

(2)若存在實(shí)數(shù)fW[O,2],使得《產(chǎn)一行+yp一砌20成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

9

【解析】

(1)???/(X)為R上的奇函數(shù)，.?./(())=〃7+1=0,m=-}

(2)由/(…)+/(2一切N0=>/(/2_〃)”g2)

??./(工)=，-2'在口上\|,:.r-k<kt-2

2X

:.k(t+\)>t2+2,k>，令f+l=/Mw[l,3]

I，+l,

,r12=M-l)l12=Zl-2A13=/l+3_2^275_2

z+122A

當(dāng)且僅當(dāng)％=時(shí)取“="，.?/226一2.

19.(本小題滿分12分)

在平面四邊形/8co中，/力=120。，AB=AD,BC=2,CD=3.

(I)若cosZCBD=—?求sinC：

16

(2)記四邊形加sr。的面積為s,求s的最大值.

【解析】

(I)在△8。。中,由余弦定理08。2+4-2?28。?"=9

.\BD---BD-5=Q^4BD2-\}BD-20=0,.?.(48。+5乂8。-4)=0

4

.3岳

BD

:.BD=4,在△BC。中，——-——=>sinC=16

sinCsinZCBD34

V13-12cos<9

(2)設(shè)NBCD=0,:.BD=J13-12cosO,/.AM=

26

_1er—-------V13-I2cos^1_,..

.'.S=-J13-12cos0-----------『-------+--2-3-sin/?

22G2

=^^(!3-12cos0)+3sin0=~~~cos^+3sin0

=兇+2小+一支電+2層雙

12I6)1212

io

D

B

c

20.(本小題滿分12分)

如圖，在體積為I的四棱錐P-XSCD中，ZJfiC=90°,AD//BC,AD=AB=^1,BC

=2祖,CDLPB,PB=PD.

(I)證明：平面PBDLr而ABCD：

(2)若點(diǎn)E為極BC上一動(dòng)點(diǎn)，求宜線PE^平面PAD所成角的正弦值的最大值.

【解析】

(1)證明：在直角梯形488中，???4￡>=力8=&,NBAD=9&.：.BD=2

又：CD=2,8c=2&,/.CD2+BD:=8=BC2,：.Z.CBD=90°,CDLBD

又:CDLPB,P8n8D=8,.?.<7。_1平面/>8。，又vCOu平面/BC。

二平面P8OJL平面48CO

(2)如圖建系,設(shè)E(V2,m,0),->/2<m<>/2

,....,.T,1?.,I(>J2+2>/2)?y/2,,

,?.四棱錐體積為1,，/=一乂--------------h=Inh=I,

32

又；PD=PB,:.P/，￥，11.A0,V2.0),￡>(0,0,0)

麗=惇〃…冬Tb"=停-爭(zhēng))，刀=(。，血，。)

11

設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量〃=(%％,二0)

[V2近

小丁穌+%=n0=口&0_])

、應(yīng)a=0

設(shè)直線PE與平面/MQ所成角為。，

?/?/n2y/2

當(dāng)且僅當(dāng)/〃==，，⑸必"亍

21.(本小題滿分12分)

甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)行“趣味投籃比賽”，制定比賽規(guī)則如下：每輪比賽中甲、乙兩人各

投?球，兩人都投中或者都未投中則均壯。分：一人投中而另一人未投中，則投中的記I

分，未投中的記一1分設(shè)每輪比賽中甲投中的概率為|,乙投中的概率為g甲,乙兩人投籃

相互獨(dú)；/：,且每輪比賽互不影響.

(1)經(jīng)過1輪比賽,記甲的得分為X,求X的分布列和期望:

(2)經(jīng)過3輪比賽,用戶從〃=1,2,3)我示第"輪比賽后甲累計(jì)得分低于乙累計(jì)得分的概率,

研究發(fā)現(xiàn)點(diǎn)("，P"X"=I,2.3)均在函數(shù)/x)=/?(s—「)的圖象上,求實(shí)數(shù)m,s,/的值.

【解析】

(I)X的所有可能取值為：

p（yy=O）=-xl+-xl=-,p（x=\）=-x

3232233

p（X=-l）=lxL=1

326

???X的分布列如下：

X01—1

\_1

P

236