2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 空間向量與立體幾何 作業(yè)

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共4。分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.已知向量a=（2,-3,5）與向量5=（-4,尤，y）平行，則尤，y的值分別是（）

A.6和一10B.一6和10

C.16和一10D.6和一10

—4xV

=

A［由ci//b9得2=「=5，「?x=6,y-10.］

2.已知直線a的方向向量為a,平面a的法向量為“，下列結(jié)論成立的是（）

A.若〃〃小則a〃a

B.若Q_LM,則a_La

C.若a//n,則a.La

D.若a_L〃,則alla

C［由直線的方向向量與平面的法向量的定義知應(yīng)選C,對于選項D,直線〃在平面a

內(nèi)，也滿足a_L〃.］

3.平面。的一個法向量〃=（1,-1,0）,則y軸與平面a所成的角的大小為（）

,兀G兀-兀C371

A-6B-4C-3D.不

n-s_也

B[y軸的方向向量s=(0,1,0),cos(w,s)即y軸與平面a所成角

=麗=―2'

的正弦值是坐,故其所成的角是去］

4.平行六面體ABCD-AiBiGA，向量壺,AZ),看i兩兩的夾角均為60°,且I低1=1,府I

=2,|詞=3,則|啟|等于()

A.5B.6C.4D.8

A[設(shè)A8=a,AD=b,AAi=cf則AG=a+b+c,[啟][2=°2+力2+。2+24協(xié)+2萬?。+2c?〃

=25,因此|/J=5.]

5.已知a=(2,—1,3),6=(—1,4,—2),c=(7,5,2),若a,b,c三向量共面，則

實數(shù)力等于()

.62「63「60-65

A.-B.-C.萬D.—

D[Va,萬不共線，:?存在％,y,使c=xa+yb.

2x-y=7,

:?<—x+4y=5,解得2=寫.]

、3x-2y=丸，

6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD1

底面ABC。，M為底面ABC。內(nèi)的一個動點，且滿足MP=MC.則點M在正方形ABC。內(nèi)的

軌跡為（）

A[如圖，以。為原點，DA,0c分別為x,y軸建立如圖所示空

間直角坐標(biāo)系，設(shè)欣%y,0）,設(shè)正方形邊長為a,則尸修，0,坐a

C(0,a,0),則\MP\=^\Kx~^+/+(一坐,.由

|MP|=|MC|得x=2y,所以/在正方形A8CZ）內(nèi)的軌跡為一條直線y=$.]

7.正方體A8CZX4/1C1Q1中，M,N分別為棱441和的中點，則sin（CM,加V〉

的值為（）

A.|B.羋C.羋D.|

B[設(shè)正方體棱長2,以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,?？谒谥本€分別

為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可知而=（2,-2,1）,加V=（2,

-~1-?-?4、/5

2,-1）,cosaCM,DiN）=~g,sin（CM,DiN〉=g-]

8.已知正方體ABCD-AiBiCiDr的棱長為3,點H在棱44i上，且Hh=1,尸是側(cè)面BCCiBi

內(nèi)一動點，HP=g則”的最小值為（）

A.^/13—2B.y[13—3

C.行一2D.V15-3

A[法一：作于G（圖略），則BiG=l,所以GP=2,所以點尸的軌跡是以G

為圓心，2為半徑的圓弧，所以CP的最小值為CG—2=M15—2.

法二：分別以CD,CB,CCi為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則H(3,3,2),

設(shè)尸(0,y,z),由HP=g,得(0—3)2+。一3)2+(2—2)2)=灰，所以(y—3)2+(z—2尸=4,

所以CP的最小值為(0—0)2+(3—0)2+(2—0)2)—2=行-2.]

二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分)

9.點M在z軸上，它與經(jīng)過坐標(biāo)原點且方向向量為s=(l,-1,1)的直線/的距離為加，

則點"的坐標(biāo)是()

A.(0,0,-3)B.(0,0,3)

C.(0,0,小)D.(0,0,一小)

AB[設(shè)M(0,0,z),直線的一個單位方向向量so=pF，—坐，甯,故點M到直線/

的距離而2一|血80|2=叱2Vz2=加,解得z=±3.]

10.如圖，在正三棱錐尸-4BC中，。是側(cè)棱P4的中點，。是底面ABC的中心，則下列

四個結(jié)論中，對任意正三棱錐尸-43C,不成立的是()

A

AB

A.0?！ㄆ矫鍼BCB.ODLPA

C.ODLACD.PA=2OD

AB[取8C中點Af,連接AM,PM,貝UOGAM,

'：AO=2OM,：.OD與PM不平行，

...OO〃平面尸BC不成立，即A不成立;

連接OP,

\'OA^OP,。為心中點，

；.0￡>_LE4不成立，即B不成立；

:尸-4BC為正三棱錐，C.BCLPM.

BC±AM,；.BC_L平面

：.OD±BC,即C成立；

；尸。垂直于平面ABC,0A屬于平面A3C,

垂直于。4,三角形A。尸為直角三角形.

?。為AP的中點，：.PA=20D.

即D成立.故選AB.]

11.下列結(jié)論不正確的是()

A.兩條異面直線所成的角與這兩直線的方向向量所成的角相等.

B.直線與平面所成的角等于直線與該平面法向量夾角的余角.

C.二面角的大小一定等于該二面角兩個面的法向量的夾角.

D.若二面角兩個面的法向量的夾角為120。，則該二面角的大小等于60。或120。.

[答案]ABC

12.已知點尸是平行四邊形ABC。所在平面外一點，如果筋=(2,-1,-4),元)=(4,

2,0),AP=(-1,2,-1),則下列結(jié)論正確的是()

A.AP±AB

B.APIAD

C.廉是平面ABC。的法向量

D.AP//BD

ABC[VABAP=0,ADAP=0,：.AB±AP,ADLAP,則選項A和B都正確；又E與

方)不平行，，還是平面48。的法向量，故C正確；'：BD=Ab-AB=(2,3,4),崩=(一1,

2,-1),...礪與弱不平行，故D錯誤.]

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上)

13.已知向量”=(1,1,尤)，Z>=(1,2,1),c=(l,1,1),若|c—a|=2,則苫=；

若(c—a)_L(2Z(),則x=.(本題第一空3分，第二空2分)

—1或31[：c=(l,1,1),a=(l,1,x),；.c—a=(0,0,\~x),

由|c一a|=2,得N(1—X)2=2,；.x=—1或3;

當(dāng)(c-a)J_(2①時，.：(c-a)?(2Z?)=(0,0,1一x)(2,4,2)=2(1一勸=0,]

14.若直線/的方向向量與平面a的法向量的夾角等于120。，則直線/與平面a所成的

角為?

30°[由題設(shè)，/與a所成的角6?=90°—(180°—120°)=30°.]

15.平面a經(jīng)過點A(0,0,2)且一個法向量〃=(1,-1,-1),則平面a與x軸的交點

坐標(biāo)是?

(-2,0,0)【設(shè)平面a與x軸的交點為M(x,0,0),則AM=(x,0,-2),

又平面a的一個單位法向量是〃o=C，—3—2J,

所以點Af到平面a的距離d=|4W-“o|=雪=0,得x=-2,

故x軸與平面a的交點坐標(biāo)是(一2,0,0).］

16.已知三棱錐P-A8C各頂點的坐標(biāo)分別是P(—1,0,0),A(0,1,0),8(—4,0,0),

C(0,0,2),則該三棱錐底面ABC上的高/?=.

,\/21

［由已知，AP=(—1,—1,0),A5=(—4,—1,0),AC=(0,—1,2).設(shè)平面ABC

的法向量〃=(%,y,z),

nAB=—4x—y=09\y=-4x,

<則j_取％=—1,得”=(—1,4,2).

n-AC=-y+2z=0,)乜

\n^AP\|-lX(-l)+(-l)X4+0X2|叵.

則2F=-g1)2+42+22=7.］

三、解答題(本大題6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)如圖，在△ABC中，ZABC=60°,NBAC=90。，AD是BC上的

高，沿把△AB。折起，使/BDC=90。.

(1)證明：平面平面3OC；

(2)設(shè)E為8C的中點，求蕊與防夾角的余弦值.

［解］(1)證明：：折起前是BC邊上的高,

.?.當(dāng)△43。折起后，AD1DC,ADLDB,又。

平面BDC,

平面ABD,

平面平面BDC.

⑵由NBDC=90。及(1)知DA,DB,。。兩兩垂直，不妨設(shè)|。2|=1,以。為坐標(biāo)原點,

以DB,DC,ZM所在直線為x,以z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

易得：0(0,0,0),5(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,小),心|,0

所以AE=(；,I，一小)，DB=(1,0,0),

__1

.,T*-*x京法,調(diào)

?.cos(AE,DB)=―—.后=22

\AE\-\DB\IX^/y

F—A/22

所以AE與￡)8夾角的余弦值是看

18.(本小題滿分12分)如圖，在正方體A8CD-481Goi中，E、F分別是8歷、CD的中

點.

⑴證明：AD±DiF；

(2)求AE與。1尸所成的角；

(3)證明：平面AEO_L平面4FD1.

［解］以。為原點，DA,DC,Od為無，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).設(shè)正方體

的棱長為1,則有4(1,0,0),《1,1,2J，*，；，0),A(0,0,1),4(1,0,1).

(1)證明：由石=(一1,0,0),￡>=(0,一1),得最)?67=0,

：.AD±DiF.

(2)由麻=(0,1,*赤=(0,T)得，AE-D^F=0,

：.AE±DiF,

：.AE與DiF所成的角為90°.

(3)證明：由⑴(2)可知。F_L平面AE￡),又。F在平面A迅A內(nèi)，

平面A￡?_L平面AFA.

19.(本小題滿分12分)如圖所示，在四棱錐尸-ABCD中，R1_L底面ABC。，AB±AD,

ACLCD,ZABC=6Q°,PA=AB=BC,E是PC的中點.

p

證明：(1)A￡±CZ)；

(2)PD_L平面ABE.

［證明］AB、A。、A尸兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)B4=A8=BC=1,

則P(0,0,1).

(1)VZABC=6Q°,.?.△ABC為正三角形，坐，0),E(j,坐，￡j

設(shè)。(0,y,0),由AC_LCD,得啟?無=0,即y=平，則。(0,羋，0

CD=叉AE=

2'*,。),a坐,a

X/+*X坐=0,

：.AE±CD,AELCD.

(2)法一：：P(0,0,1),.?.防=(0,半，一1),

又矗?麗=坐x半+3x(—i)=o,

：.PD1AE,PD±AE,低=(1,0,0),：.PDAB^0,

：.PD1AB,又A8nAE=A,.?.PZ)_L平面ABE.

法二:AB=(1,0,0),蕊=Q,9,￡),

設(shè)平面ABE的一個法向量為〃=(%,y,Z),

I取y=2,則2=一小，

力+呼=0,

.??n=(0,2,f),

VPD=^0,平,—l),顯然坊=鼻.

'：PD//n,平面ABE,即P￡)J_平面ABE.

20.(本小題滿分12分)如圖，AB是圓的直徑，B4垂直圓所在的平面，C是圓上的點.

C

(1)求證：平面B4C_L平面PBC；

(2)若A2=2,AC=1,B4=l,求二面角C-PRA的余弦值.

［解］⑴證明：由A3是圓的直徑，得ACLBC,

由E4_L平面ABC,2CU平面ABC,得P4_L3C.

又出CAC=A,融u平面B4C,AC<=平面E4C,所以BC_L平面B4c.

因為8CU平面PBC.

所以平面P8C_L平面PAC.

(2)過C作CM〃AP,則CM_L平面ABC.如圖，以點C為坐標(biāo)原點，分別以直線C2,

CA,CM為無軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

C

在Rt^ABC中，因為A3=2,AC=1,所以BC=小.

又因為24=1,所以A(0,1,0),B他,0,0),P(0,1,1).

故辦=(小，0,0),CP=(0,1,1).

設(shè)平面8C尸的法向量為〃1=(尤1,yi,zi),

CB-HI=0,[y[3x\=0,

則J所以J取yi=l,則%=(0,1,—1).

〔"=o.。=0，

因為壽=(0,0,1),贏=電,-1,0),

設(shè)平面A5P的法向量為"2=(X2,>2,Z2),

AP?改=0,

則<

、AB〃2=0,

尸2=0,

所以1小工2一丁2=0,

?。?=1,則"2=(1,小,0).

V3^6

于是COS〈〃1"2〉=2也=4?

由題知二面角C-PRA為銳角，故二面角C-PB-A的余弦值為」

21.(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC-AiBiCi中，ZBCA=90°,AC=BC=2,4在

底面ABC上的射影恰為AC的中點。，又知BAi±ACi.

(1)求證：平面48C；

(2)求二面角A-ArB-C的余弦值.

［解］(1)證明：如圖，設(shè)4。=7(〉0),取AB的中點E,則OE〃BC,因為BC_LAC,

所以￡>E_LAC,又A。_L平面ABC,所以。E,DC,D4兩兩垂直.

以DE,DC,04分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,-1,0),C(0,1,0),8(2,1,0),Ai(0,0,f),Ci(0,2,t),

所以公i=(0,3,t),而i=(-2,-1,f),d=(2,0,0),

由啟i=0,知AG_LCB,又BAJAG,BAiClCB=B,

所以AG_L平面AiBC.

(2)由/i?/i=-3+產(chǎn)=0,得t=3.

設(shè)平面Ai4B的法向量為"=(x,y,z),又看i=(0,1,3)，AB=(2,2,0),

[y+y/3z=0

所以f,取z=l,貝”〃=(小，一小，1).

[2x+2y=0

再設(shè)平面A/。的法向量為m=(〃，v,w),

又占1=(0,-1,小)，d=(2,0,0),

(—V+\[3W=O9R

所以取訕=1,則根=(0,小,1).

,2〃=。,

故cos〈機，〃〉

|/n|*|n|7?

因為二面角A-AiB-C為銳角，所以可知二面角A-AiB-C的余弦值為拳.

22.(本小題滿分12分)如圖，在底面是正方形的四棱錐尸-ABC。中，附，平面A3CD,

BD交AC于點E,歹是PC中點，G為AC上一點.

(1)求證：BDUG；

(2)確定點G在線段AC上的位置，使FG〃平面尸