陜西省渭南市2023屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(Ⅰ)理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

渭南市2023屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（I）數(shù)學(xué)試題（理科）

命題人：王建龍韓黎波蔡雯偉

注意事項(xiàng)：

1.本試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答卷前務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡和答題紙上.

3.將選擇題（答案Il填涂在答題卡上，非選擇題按照題號(hào)完成在答題紙上的指定區(qū)域內(nèi).

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知集合A={T124},B={x∣*2-2χ≤o},則ArB=（）

A.{-l,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

K答案HB

R解析』

K祥解D根據(jù)交集的定義計(jì)算.

K詳析11對(duì)于集合B,X2-2X≤0,X（X-2）≤0,.?.0≤X≤2,:.A（B={l,2}；

故選：B.

2.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足z?（l+2i）=∣-3+4i∣,貝IJZ的虛部是（）

A.2B.2iC.-2D.-21

R答案XC

K解析H

K祥解U先求出∣-3+4i∣的值，然后兩邊同除l+2i,最后用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.

K詳析U?.?z?（l+2i）=卜3+倒

55(l-2i)5(l-2i)

.?.z?(l+2i)=5,即

l+2i-(l+2i)(l-2i)~~5~

所以Z的虛部是-2.

故選：C

3.已知向量”=(1,2),∕J=(W,2—m)，若a_L/j，則Ibl=()

A.√3B.2√5C.2√3D.20

K答案，B

R解析H

K祥解Il根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得m=4,再求向量的模:

詳析》解：由a_Lb，得m+4—2m=0,則加=4,即/?=（4,一2）

所以IOI=J42+(—2)2=26.

故選：B

Lχ2,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

4.已知拋物線y

4

A.°`?B.C.(1,0)D.(0,1)

K答案》D

R解析2

R祥解U

將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程,確定焦點(diǎn)位置，根據(jù)公式計(jì)算即可.

K詳析H解：拋物線y-V化為X2=4y,

4

/.〃=2

：拋物線f=4y開口向上，焦點(diǎn)在V軸正半軸，

焦點(diǎn)為（θ,日），BP（0,1）.

故選：D.

H點(diǎn)石成金』》拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧：

（D利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.

5.2022年6月5日上午10時(shí)44分，我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長(zhǎng)征二號(hào)F運(yùn)載火箭，將神舟十四號(hào)載

人K船和3名中國(guó)航天員送入太空這標(biāo)志著中國(guó)空間站任務(wù)轉(zhuǎn)入建造階段后的首次載人飛行任務(wù)正式開啟.

火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪音，已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)d（x）（單位：dB）與聲強(qiáng)X（單位：W/mD滿足

γ

1（力=10電/產(chǎn).若人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為50dB,且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為

103則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為（）

A.13()dBB.14()dBC.15()dBD.160dB

K答案，B

K解析』

K祥解』設(shè)人交談時(shí)的聲強(qiáng)為為，從而得到外=1(尸，求出火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為1()9x10-7=102,代入

K解析》式求出R答案》.

R詳析力設(shè)人交談時(shí)的聲強(qiáng)為4,則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為10晨1,

7

則50=1Olg渦，解得：%1=κr,

則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為109x10-7=102,將其代入"(χ)=lOIg方7中，得：

1∩2

J(IO2)=IOlg????-=140dB,故火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為］40dB.

故選：B

6.如圖,在直三棱柱ABC-ABCl中，AA=2A3=2AC,且45_LACE分別是棱BC,BB］的中點(diǎn)，

則異面直線4。與GE所成角的余弦值是()

√57

A.城B.逅r

969

K答案』A

工解析H

K祥解》根據(jù)線線平行可得NAOF或其補(bǔ)角是異面直線4。與GE所成的角，利用三角形三邊關(guān)系，由

余弦定理即可求解.

R詳析2如圖，在棱CG上取一點(diǎn)尸，使得CG=4CF,取CG的中點(diǎn)連接BM,DF,A,F,

由于V,E分別是棱CG,B4的中點(diǎn)，所以BE=C?M,BE∕/ClM,故四邊形BMCg為平行四邊形，進(jìn)而

CxEHBM,

又因?yàn)椤?戶是8C,CM的中點(diǎn)，所以DF//BM,所以DF〃C∣E,則NAoF或其補(bǔ)角是異面直線A,。與

GE所成的角?

設(shè)AB=2,則C產(chǎn)=l,GE=3,4Z>=CD=e,

22122

從而DF=√CF+CD=區(qū)AD=y∣AAi+AD=342,AxF=y∣AiC;+CtF=√B，

2√6

故

CoS/A1DF="'I：

2×√3×3√2~9~

故異面直線4。與GE所成角的余弦值是城?

9

7.為了激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，某學(xué)校開展利用數(shù)學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)bg。的比賽，其中某位同學(xué)利用函數(shù)圖

象設(shè)計(jì)了如圖的/og。，那么該同學(xué)所選的函數(shù)最有可能是()

A./(x)=XSinX-CoSXB./(x)=SinX-XCOSX

C./(?)=X2+2cosxD./'(X)=2SinX+d

K答案HA

K解析H

R祥解』將圖形置于直角坐標(biāo)系中，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性即可得結(jié)果.

K詳析》將圖形置于直角坐標(biāo)系中，如圖所示：

由圖易知該函數(shù)為偶函數(shù)，

對(duì)于選項(xiàng)B,滿足/(T)=-SinX+xcosx=-∕(x),即/(x)為奇函數(shù)，故可排除;

對(duì)于選項(xiàng)D,滿足x)=-2SinX+/，即/(x)為非奇非偶函數(shù)，故可排除；

對(duì)于選項(xiàng)C,∕,(x)=2x-2sinx,

令g(x)=∕'(X)=2x-2SinX,所以g'(x)=2—2cosxN。在(0,+00)恒成立,

所以尸(司=2》-251門在((),+8)單調(diào)遞增，

所以/'(x)>/'(O)=。在(0,+⑹恒成立，

BP/(x)=x2+2cosX在(0,+∞)單調(diào)遞增，故排除；

(?COSa

8.若a∈0,一,tan2a=-----------,貝(Jcosa=()

I2)2-sinσ

?1B而C?Db

4444

K答案DB

R解析D

K祥解》利用正切二倍角公式即同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)得到Sina='，CoSa=巫.

44

田L(fēng)LPCCoSa*,u2tanaCOSa

Kr7詳析Xtan2a=--------變形τr為-------L=----------，

2-sina1—tan"a2-sina

2sinαcosαCoSa

即ort——?--------?—=-----------，

cos'a-sirra2-Sina

因?yàn)棣羨∣0,]),所以CoSa>(),Sina>0,

所以4sinα—sin?a=cos2a，

因?yàn)閟iVa+cos?a=1，所以4sina=l,解得：Sina=一，

4

因?yàn)閟in?α+cos?α=1，cosa>0,解得：COSa=把5.

4

故選：B

,、flog,X,XNi,I/、/、

9.已知函數(shù)/(x)=｛玲，在R上單調(diào)遞增的概率為且隨機(jī)變量J~N(",1).則P(0<4≤l)

X+ζ,XV1,

等于()

K附：若J~N(4,O?2),則尸(M-bWxWM+b)=0.6827,

P(μ-2σ≤x4∕z+2(τ)=0.9545.∑

A.0.1359B.0.1587C.0.2718D.0.3413

K答案》A

K解析X

K祥解11根據(jù)已知條件可求出“=-!，則4~N(-1,F).根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求得.

K詳析D使/(x)在R上單調(diào)遞增的充要條件是4+1≤log?1=0,即J≤-l,故PC≤-1)=;.

由于隨機(jī)變量J~N(",1),則α=-l,即J~N(-1,E),即〃=-1,Cr=L

故尸(一2≤J≤0)=P(4-b≤J≤"+b)=0.6827,

P(-3≤J≤l)=P(4-2b≤J≤4+2σ)=0.9545,

所以P(O<J≤1)=P(-1<J≤1)—P(—l<J≤0)=gχ[P(-3≤J≤1)-P(—2≤0≤0)]

=∣×(0.9545-0.6827)=0.1359.

故選：A.

10.在一ABC中，內(nèi)角4所。所對(duì)應(yīng)的邊分別為凡瓦0,且QSin23+bsinA=0,若一AsC的面積

S=回，則.ABC面積的最小值為

A.1B.12√3C.8√3D.12

K答案DB

K解析H

R詳析R因?yàn)椤皊in23+AinA=O,所以

sinA?2sinBcosβ+sin5sinA=0∕.2cosβ+l=0/.cosB=——/.B=——,

23

因?yàn)镾=?/?/?，所以LaCSinB=gbacsin—=8b,/.ac=4b.

223

因?yàn)閺?ɑ?+c?-2tzccos-=?2+c2+ac≥3ac=12b.?b≥12

3

因此S=J%≥126,_A3C面積的最小值為126，選B.

1點(diǎn)石成金』：三角形中最值問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為條件最值問(wèn)題:先根據(jù)正、余弦定理及三角形面積公式結(jié)合

已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，利用基本不等式或函數(shù)方法求最值.在利用基本不等式求最值時(shí)，

要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不

等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

11.已知雙曲線C：?-2L=i（a>0,6>0）的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A,2分別為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，以A3為

a2b2

直徑的圓與雙曲線C的兩條漸近線在第一，二象限分別交于尸，Q兩點(diǎn)，若。?！ā甘?。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該

雙曲線的離心率為（）

A.√5B.2C.√3D.√2

K答案』D

K解析D

K祥解D

由己知可得OP尸為等腰三角形，作PWLQb,垂足為M,過(guò)B作BoLX軸，交漸近線第一象限部分于

則RjoMPSRJOBD,利用相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合α,Ac的基本關(guān)系求得的關(guān)系，進(jìn)而求仁

K詳析Il如圖所示，OQPF,???ZAOQ=NOFP,

又雙曲線的漸近線關(guān)于y軸對(duì)稱，???//0月=/40。,二/0叮=/尸0?,;.0/7^為等腰三角形,

作PM±OF7,垂足為M,過(guò)8作3。_L尤軸，交漸近線第一象限部分于D,

則RJOMPSRJOBD,|?；?a,?BD?^仇IoM=寸0可=萬(wàn)。，

i

IoPl=α,IPM=y∣?θP?-?θMf

整理得c'=4α?.?.e=￡=JΣ，

a

故選：D.

K［點(diǎn)石成金D本題考查雙曲線的漸近線和離心率，關(guān)鍵是抓住問(wèn)題的特殊性，適當(dāng)添加輔助線，構(gòu)造相

似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)及C的基本關(guān)系得到α,C的關(guān)系，從而求得離心率的值.

12.已知函數(shù)/(x),g(x),g'(x)的定義域均為R,g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù).若g(x)為偶函數(shù)，且

/(x)+g'(x)=l,/(x)-g'(4-X)=L則以下四個(gè)命題:①g'(2022)=0;②g(x)的圖象關(guān)于直線χ=2

20222023

對(duì)稱；③Z〃&)=2022；④Z/(A)=2023中一定成立的是()

k=?4=1

A.①④B.②③C.①②③D.①②④

II答案』D

K解析U

K祥解油g(x)為偶函數(shù)可得g'(x)為奇函數(shù),繼而得到g'(x)是以4為周期的周期函數(shù),即可判斷①③④,

/(χ)+g'(χ)=ι

可得g'(χ)=-g'(4-x),繼而得至IJg(X)=g(4-x),即可判斷②

/(?v)-g,(4-Λ)=l

由伍)一可得一

工詳析X對(duì)②:Xg,(4r)=l'g'3=g"r)'^(x)+C1=^(4-x)+C2(C1

與。2為常數(shù))，

令尤=2,則g(2)+G=g(2)+G,所以CI=C2，則g(x)=g(4-X),

故g(x)的圖象關(guān)于直線X=2對(duì)稱，②正確;

對(duì)①：???g(x)為偶函數(shù)，則g(x)=g(τ),

，g'(x)=-g'(T),則g'(x)為奇函數(shù)，

故g'(x)=-g'(4r)=g,(x-4),即g'(x+4)=g,(x),則g，(x)是以4為周期的周期函數(shù),

由g'(x)=-g'(4-x)，令χ=2,則g，⑵=-g，⑵,可得/(2)=0,故g'(2022)=g'(2)=0,①正

確；

由g'(x)=-g'(4r),令x=l,則g'(l)=-g'(3),即g'(l)+g'(3)=0,

令X=0,則g'(0)=-g'(4)=0,即((4)=0,

故g")+g'(2)+g'(3)+g'(4)=0,則g'(4Z+l)+g'(4Z+2)+g'(4%+3)+g'(4%+4)=0(ZwN),

對(duì)③：由/(χ)+g'(χ)=L即/(χ)=l-g'(χ),則

202220222022

X"后)=2[1—g")]=2022—Xg")=2022—[g，(l)+g<2)]=2022—g〈l),

k≈?k=lk=?

由于無(wú)法得出g'(l)的值，③錯(cuò)誤；

202320232023

對(duì)④：￡/(Z)=￡[l—g'(Z)]=2023-￡g'(&)=2023—[g〈l)+g'(2)+g<3)]=2023,④正確.

*-1*=1*=1

故選：D.

Kr點(diǎn)石成金D方法r點(diǎn)石成金』：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱

性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的K解析』式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函

數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x+y>2

13.若實(shí)數(shù)X,>滿足約束條件,x+2y≤4,則z=2x-y的最大值是.

J≥0

K答案，8

K解析D

R祥解11由題中條件作出平面區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義分析運(yùn)算.

χ+y>2

K詳析D由<x+2y≤4,作出平面區(qū)域，如圖所示，

y>0

?.?z=2x-y,即y=2x-z,表示斜率為2,橫截距為!■的直線,

當(dāng)直線y=2x-z過(guò)點(diǎn)A(4,0)時(shí)，橫截距取到最大值，

故z=2x-y的最大值是ZmaX=2x4-O=8.

14.杜甫的“三吏三別”深刻寫出了民間疾苦及在亂世中身世飄蕩的孤獨(dú)，揭示了戰(zhàn)爭(zhēng)給人民帶來(lái)的巨大不

幸和困苦.“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼關(guān)吏》，“三別”是指《新婚別》《無(wú)家別》《垂老別》.語(yǔ)

文老師打算從“三吏”中選二篇，從“三別”中選一篇推薦給同學(xué)們課外閱讀，那么語(yǔ)文老師選的三篇中

含《新安吏》和《無(wú)家別》的概率是.

K答案』I

K解析D

K祥解D寫出從“三吏”中選兩篇，從“三別”中選一篇的樣本空間，寫出事件“語(yǔ)文老師選的三篇中含

《新安吏》和《無(wú)家別》”的樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得R答案Il.

In羊析男將《新安吏》《石壕吏》《潼關(guān)吏》分別記為隊(duì)從c,《新婚別》《無(wú)家別》《垂老別》分別記為"、

e、f,

從“三吏”中選兩篇，從“三別”中選一篇的樣本空間為八={。/必,。戾,。紗,。?！?。。6,。＜/,?,。(",》。,},

共9個(gè)樣本點(diǎn)，

記事件A為“語(yǔ)文老師選三篇中含《新安吏》和《無(wú)家別》”，

則A={0%,oce},共2個(gè)樣本點(diǎn)，故P(A)=?∣,

故K答案X為：三2

15.將函數(shù)/(x)=4COSIX和直線g(x)=x-l的所有交點(diǎn)從左到右依次記為A，A2,...,A,,,若

..uuu?uuiruuιr

P(0,√3),則PAi+PA2+...+PA.=.

R答案110

K解析D

K祥解》根據(jù)題意作出兩個(gè)函數(shù)的圖象分析交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)向量的和即可求解.

K詳析D如圖可知：函數(shù)/(x)=4CoSmX和直線g(x)=x-l共有5個(gè)交點(diǎn)，依次為4,4,44,4,

其中4(1,0),

?.?函數(shù)/(x)=4cos5x和直線g(χ)=x-i均關(guān)于點(diǎn)A(ι,o)對(duì)稱，則A，4,A,,4關(guān)于點(diǎn)A(ι,o)對(duì)

稱,

UUUlUUUUlUUULlllU

16.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接

觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng)(如圖甲)，利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī).勒洛四面體是以正

四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正

四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,則勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為；用過(guò)AB,C三點(diǎn)的平面去

截勒洛四面體，所得截面的面積為,

K解析》

R祥解R空1：根據(jù)題意，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，設(shè)該球與勒洛四面體

的一個(gè)切點(diǎn)E，連接3E,則氏0,E三點(diǎn)共線，且。為該球球心，也是正四面體ABCD的中心，再求正

四面體的外接球半徑即可得以勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑；空2：再結(jié)合勒洛四面體的構(gòu)成可知過(guò)

A民C三點(diǎn)的截面面積為3個(gè)半徑為I,圓心角為60°的扇形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的面積，

再計(jì)算即可得K答案》.

K詳析2空I：根據(jù)題意，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，

如圖1,點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，。為該球球心，

由正四面體的性質(zhì)可知該該球球心。為正四面體ABCO的中心，半徑為0E,

連接的，則8,0,E三點(diǎn)共線，此時(shí)JBE=1，80為正四面體的外接球的半徑，

由于正四面體43Cr)的棱長(zhǎng)為1,其可以在棱長(zhǎng)為YZ的正方體中截出,

2

所以正四面體ABaD的外接球的半徑即為棱長(zhǎng)為正的正方體的外接球半徑，即正方體體對(duì)角線的一半,

2

則B0=—>

4

故勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑OE=I-逅

4

空2：如圖2,根據(jù)勒洛四面體的構(gòu)成可知，過(guò)A,B,C三點(diǎn)的截面面積為3個(gè)半徑為1,圓心角為6()。的扇

形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的面積，

所以所得截面的面積為巴15.

2

故K答案?為小生Tl

圖1圖2

Rr點(diǎn)石成金』』方法L點(diǎn)石成金」:

①由勒洛四面體分析內(nèi)切球的球心所在的位置，結(jié)合正方體求其半徑；

②分析可知勒洛四面體面積最大的截面即經(jīng)過(guò)四面體ABC。表面的截面，計(jì)算出該截面面積，可得結(jié)果.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)

試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.設(shè)數(shù)列｛4｝的前W項(xiàng)和為S“，已知q=3,是公差為2的等差數(shù)列.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式;

1、

(2)設(shè)"1=———，求數(shù)列｛f5｝前〃項(xiàng)和

anan+?

R答案]⑴an=4π-l

K解析》

qS],〃=1,

K祥解Il(I)求出申=3,從而利用等差數(shù)列求和公式求出S,,=2"+N,再利用為=<

[S,,-S,^n≥2^

出R答案X

(2)裂項(xiàng)相消法求和.

R小問(wèn)1詳析卜

?.?q=3,

.?0=3,

1

S

Λ—=3+(n-1)×2=2n+1,

n

,2

..Sn=2n+n,

當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-Sn,i=4rt-l,

又q=3適合上式，因此α,,=4〃-1；

K小問(wèn)2詳析』

______

(4H—l)(4n+3)4V4π-14〃+3J

故［=，『一』+4.，+---q=q

"4(377114n-l4n+3)12n+9

18.在多面體ABCoE中，平面Aa>EJ_平面ABC,四邊形4CDE為直角梯形，CDHAE,AC±AE,ABLBC,

CD=I,AE=AC=2,尸為OE的中點(diǎn)，且點(diǎn)G滿足EB=4EG?

B

(1)證明：GF//平面A8C；

(2)當(dāng)多面體ABCQE的體積最大時(shí)，求二面角A-B￡。的正弦值.

K答案IJ(I)證明見K解析D

⑵叵

7

R解析』

"羊解IIQ)先證四邊形CQNM為平行四邊形，進(jìn)而可得CMHDN,又中位線定理得GFHDN,則GFHCM,

再由線面平行的判定定理即可證結(jié)論.

(2)過(guò)B作BHLAC交AC于"，由多面體ABCDE體積最大得BH最大，可知8”=1，H為AC的中點(diǎn)，

從而建立空間直角坐標(biāo)系，求面ABE與面。BE的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示即可求二面角A-

BE-。的正弦值.

K小問(wèn)1詳析2

取48,EB中點(diǎn)M,N,連接CM,MN,ND,

在梯形ACz)E中，。￡>//隹且￡^=3￡4,

而用，N分別為BA,BE中點(diǎn)，

B

：.MNHEA,MN=gEA,

.?MN∕∕CD,MN=CD,即四邊形CnMW是平行四邊形，.,.CMHDN,

又EG=LEB,N為EB中點(diǎn)，

4

：.G為EN中點(diǎn),又F為ED中點(diǎn),

：.GFUDN,故GFMCM,

又CMU平面ABC,G尸Z平面ABC,GF//平面ABC.

小問(wèn)2詳析』

在平面ABC內(nèi)，過(guò)B作BH_LAC交AC于從

平面ACDEX5FffiABC,平面ACDE1平面ABC=AC,BHU平面ABC,BHLAC,

.?.8H，平面ACDE,則BH為四棱錐B-ACZ)E的高，

又底面ACoE面積確定，要使多面體ABeOE體積最大，即8,最大，

連結(jié)HE，易得HF"AE,易知HB,HC,HF兩兩垂直,

以H為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系H-xyz,

：.A(0,-l,0),B(l,0,0),E(0,-l,2),D(0,l,l),

則AB=(1,1,0),8E=(T-1,2),。E=(O,-2,1),

nl?AB-0即口%+fy+=2°z∣S取&=/(IT0)、，

設(shè)nl=(χ,y,z∣)為平面ABE的一個(gè)法向量，貝卜

%.BE=O

,、w??DE=0?-2y7+Z2=O.、

設(shè)口=(孫必，22)為平面。叫的一個(gè)法向量，貝叼2,即〈---,?。?(3,1,2),

%?BE=0LX2-必+2z2=0

二面角A—BE—力的正弦值為JI-CoS

19.某企業(yè)研發(fā)了一種新藥，為評(píng)估藥物對(duì)目標(biāo)適應(yīng)癥患者的治療作用和安全性，需要開展臨床用藥試驗(yàn),

檢測(cè)顯示臨床療效評(píng)價(jià)指標(biāo)A的數(shù)量y與連續(xù)用藥天數(shù)X具有相關(guān)關(guān)系.隨機(jī)征集了一部分志愿者作為樣本

參加臨床用藥試驗(yàn)，并得到了一組數(shù)據(jù)(x,?,y),i=l,2,3,520,其中七表示連續(xù)用藥i天，K表示相應(yīng)的

臨床療效評(píng)價(jià)指標(biāo)A的數(shù)值.根據(jù)臨床經(jīng)驗(yàn)，剛開始用藥時(shí)，指標(biāo)A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y的

變化趨緩.經(jīng)計(jì)算得到如下一些統(tǒng)計(jì)量的值：

2020202020

2

∑Xi=60,∑yi=l200,Z(Xj-X)=80,Z(%-用2=9000Z(X二χ)(y.-y)=800.

Z=I/=1/=1Z=I/=1

(I)求樣本(%,y)(i=l,2,L,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(2)新藥經(jīng)過(guò)臨床試驗(yàn)后，企業(yè)決定通過(guò)兩條不同的生產(chǎn)線每天8小時(shí)批量生產(chǎn)該商品，其中第1條生產(chǎn)

線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率為().(X)9,第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)

不合格藥品的概率為().006,兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)不合格藥品相互獨(dú)立.

(i)隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品，求該藥品不合格的概率；

(ii)若在抽查中發(fā)現(xiàn)3件不合格藥品，求其中至少有2件藥品來(lái)自第1條生產(chǎn)線的概率.

∑(%,-%)(＞；-y)

附：相關(guān)系數(shù)r=J“，√Σal.414.

χ22

J∑(l-^)∑(yl-y)

Y/=I1=1

R答案』⑴0.94

27

(2)(i)0.008；(H)—

32

K解析，

21

R祥解H(1)帶相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算即可；(2)(i)記事件P(Bi)=-,P(B2)=-,

P(Al4)=0.009,P(AI與)=0.006計(jì)算即可；(ii)根據(jù)條件概率計(jì)算得

3

P(BJA)=-,再由服從二項(xiàng)分布解決即可.

4

R小問(wèn)1詳析』

樣本(冷,)(，=1,2,1,2())相關(guān)系數(shù)為

20

∑u,-%xx-y)歷

,日=/8。0=處.°0.94.

βθ；√80×90003

22

J∑(^-^)∑(yi-y)

V/=!/=I

R小問(wèn)2詳析》

(i)設(shè)A=”隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品為不合格”,

g="隨機(jī)抽取一件藥品為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，鳥="隨機(jī)抽取一件藥品為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”,

21

則P(B1)=∣,P(B2)=又P(AIq)=0.009,P(AIB2)=0.∞6,

于是P(A)=尸(A(Blβ2))^P(ABlAB2)=P(AB1)+P(AB2)

21

=P(Bl)P(AIBI)+P(B2)P(AIB2)=-X0.009+§x0.006=0.008.

(H)在抽查中發(fā)現(xiàn)的任一件不合格藥品來(lái)自第1條生產(chǎn)線的概率為：

_xn∩∩o

P(M)=P(A)P(A4)=3=3,

P(4∣4)=

P(A)-P(A)-0.008~4

故3件不合格藥品中至少有2件藥品來(lái)自第1條生產(chǎn)線的概率為

P=C彳4臼+小因=經(jīng)

UJUJ⑷32

20.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng).某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的

數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如圖)

步驟1：設(shè)圓心是E，在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為F：

步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過(guò)點(diǎn)尸；

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；

步驟4：不停重復(fù)步驟2和3,就能得到越來(lái)越多的折痕.

已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為6的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)尸到圓心E的距離為4,按上述

方法折紙.

(1)以點(diǎn)F、E所在的直線為X軸，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)Q(LO)且不與y軸垂直的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，在X軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)

T(t,0),使得直線T70，7N斜率之積為定值？若存在，求出該定點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

K答案D(1)土λ+匕v=I

95

(2)存在點(diǎn)T(3,0),使得直線TM與77V斜率之積為定值-H.

9

K解析H

K祥解》(1)根據(jù)橢圓的定義對(duì)照折紙的方法求出。力,C；

(2)設(shè)直線/的方程，與橢圓方程聯(lián)立，再根據(jù)斜率的定義求解即可.

K小問(wèn)1詳析》

如圖，以EE所在的直線為X軸，F(xiàn)E的中點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系

設(shè)Λ∕(x,y)為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知，∣Λ∕耳+∣ME∣=∣AE∣=6>∣石可=4,

所以M點(diǎn)軌跡是以F,E為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2α=6的橢圓,

因?yàn)?c=4,2a=6,所以c=2,a=3,

則從=/_￠2=5,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+22=1；

95

K小問(wèn)2詳析］

由己知：直線/過(guò)Q(1,O),設(shè)/的方程為χ=my+l,由題意小必定是存在的,

22

±_.y_=]

聯(lián)立兩個(gè)方程得《95，消去X得（5裙+9）V+10/“），-40=0,

X=my+\

Δ-IOOm2+160（5m2+9）＞0得加∈R,

TO（*）

設(shè)則另+必=

M（ApyJ,N（Λ2,%）,5：；°；；'Xy2

Snr+9

為=_________3V?________

x2-t^myl+l-f）（n^2+l-r）

=_______________y1y2_______________

22

myly2+∕7z(l-r)(y,+j2)+(l-/)'

-40

將⑴代入上式，可得上式二5二一9)病+9(IV廣

要使勺河M7TV為定值，則有9—*=0，/=9,

又?一1>0,1=3,此時(shí)kTM?kTN=——,

.?.存在點(diǎn)7(3,0),使得直線TM與TN斜率之積為定值-2；

221∩

綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為±+±=1,存在點(diǎn)τ(3,θ),使得直線刀0與TTV斜率之積為定值-一.

959

21.已知函數(shù)F(X)=e*(l+ZnIn"),其中相>0,/'(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)當(dāng)機(jī)=1,求/(x)在點(diǎn)(Ij(I))處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)MjC)=Q且〃(X)…I恒成立.

①求m的取值范圍；

②設(shè)函數(shù)/(x)的零點(diǎn)為％,/'(X)的極小值點(diǎn)為求證：χ0>χ1.

K答案』(1)y=2ex-e

(2)①∣,+oo);②詳見K解析R

K解析H

R祥解Il(I)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.

ff∩2I

(2)①先對(duì)函數(shù)/(x)=e*(l+mInX)求導(dǎo)，得到f(x)=e[l+1+mInXJ,推出

∕ι(X)=午1=1+?+minx,求導(dǎo)，得至U/(X)=處F(X>0),解對(duì)應(yīng)不等式，得到〃(X)單調(diào)性,

求出其最小值，再根據(jù)〃(X)Ng恒成立，即可得出結(jié)果；

②先設(shè)g(x)=∕,(x)=e*(1+3+機(jī)InX],求導(dǎo)得g'(x)=e*(1+也-々+機(jī)InX).

?J力J力

設(shè)H(X)=1+---------+mlnx(%>0),對(duì)其求導(dǎo)，判定單調(diào)性，從而得到函數(shù)g(x)單調(diào)性，得到巧是

XX7

35/%

函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)，得到/=%，再由①得機(jī)=一時(shí)，/7(X)N二，推出所以機(jī)InX+-≥加，得到

22X

g(x)≥g(x,)>O,得到函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，再由題意，即可得出結(jié)論成立.

K小問(wèn)1詳析H

加=1時(shí)，/(x)=eA(l+lnx)J'(x)=e'(l+lnx+J,f[l)=2e,〃l)=e,所以函數(shù)在X=I處的切

線方程y-e=2e(%-l),BPy=2ex-e.

K小問(wèn)2詳析》

ffvvt\

①由題設(shè)知，/(x)=e[l+:+〃?InXJ(X>0),

h(x)=?(A)=l+-+m?nx,"(x)=〃("D(X>0),

e?XX

由∕z'(x)>O,得χ>l,所以函數(shù)〃(X)在區(qū)間(l,+∞)上是增函數(shù)；

由/(x)>0,得0<χ<l,所以函數(shù)〃(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù).

故力(X)在X=I處取得最小值，且MI)=I+%

553

由于∕ι(x)≥一恒成立，所以l+m≥-,得“2≥一,

222

所以加的取值范圍為∣,+∞1；

ex∏+-+mlnx1,,/、(2mm1

②設(shè)g(x)=f'(X)=則g(X)=e'1+-------+//Z1lnxI

IXJr)

5-/、.2/77mI/八、

設(shè)H(X)=IH--------+777Inx(x>0),

XX

2m2mmm(x*^-2%+2

則H'(x)——+—+—>0>

2v33

XXXX

3

故函數(shù)”(x)在區(qū)間(O,+?))上單調(diào)遞增，由Q)知，m≥-,

2

1

所以H(I)=m+l>O,H=1-z?7In2<1-In2JΣ<O,

(2

Q/)使得"伍)=0,

故存在χ2∈

所以，當(dāng)O<x<%2時(shí)，H(X)<(),g'(x)<O,函數(shù)g(無(wú))單調(diào)遞減;

當(dāng)x>x2時(shí),H(X)>0,g'(x)>O,函數(shù)g(尤)單調(diào)遞增.

所以多是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)?因此A2=XI，即XIe

3

39,整理得lnx+-≥l,

由①可知，當(dāng)初=一時(shí),h(x)>-,即

22