2022-2023學年高一數(shù)學 人教A版2019必修第一冊 同步講義 第18講 對數(shù)及對數(shù)式運算5大?？碱}型總結 含解析

第18講對數(shù)及對數(shù)式運算5大?？碱}型總結

【考點分析】

考點一：對數(shù)式的運算

①對數(shù)的定義：一般地，如果，=N（">O且αwl）,那么數(shù)X叫做以。為底N的對數(shù)，記作

x=loguN,讀作以。為底N的對數(shù)，其中。叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

②常見對數(shù)的寫法：

1.一般對數(shù)：以。（。>0且αwl）為底，記為log：,讀作以“為底N的對數(shù);

2.常用對數(shù)：以10為底，記為IgN;

3.自然對數(shù)：以e為底，記為InM;

③對數(shù)的性質(zhì)：

1.特殊對數(shù)：log：=。；log：=l;其中α>0且4wl

2.對數(shù)恒等式："喈=N（其中α>0且4≠1,N>0）

3.對數(shù)換底公式：log，=譬也如：logs7=瞥I=黑=罟.

log,αIog25Ig5In7

倒數(shù)原理：log/=rL如：?og32=--!—.

∣0giaIog23

約分法則：log,,O?logjbc=log“c

④對數(shù)的運算法則：

M

1.logβ(MN)=IoguM+IogaN-2.log?—=logπM-log?N；

17

3.1ogb"=-Iogb(ιn,neR)4.金以"=6和logah=h.

amfli

【題型目錄】

題型一：對數(shù)的定義

題型二：指數(shù)對數(shù)的互化

題型三：對數(shù)的運算求值

題型四：換底公式的應用

題型五：對數(shù)式的應用題

【典型例題】

題型一：對數(shù)的定義

【例1】（2021?全國高一課前預習）在人=1。&34W（3-24）中，實數(shù)”的取值范圍為.

23

【答案】12

3,33,2

3a-l>0

【解析】由題意，要使式子6=1。團3啟）（3-2。）有意義，則滿足?3α-l≠l,

3-2a>0

解得或即實數(shù)〃的取值范圍為d[0d）.故答案為:

【題型專練】

I.(2022江蘇省江陰市第一中學高一期中)使式子log(3i)(3-x)有意義的X的取值范圍是

()

112

A.x>3B.x<3C.-VX<3D.一<x<3且x≠-

333

【答案】D

【分析】對數(shù)函數(shù)中，底數(shù)大于0且不等于1,真數(shù)大于0,列出不等式，求出尢的取值范

圍.

3x-l>0

12

【詳解】由題意得：3犬-1≠1,解得：-<x<3>x≠-.

33

3-x>0

故選：D

2.(2022全國?高一課時練習)若1。即+*)(1-外有意義，則實數(shù)k的取值范圍是.

【答案】(To)U(0,1)

【分析】結合對數(shù)性質(zhì)建立不等關系，即可求解.

l+?>0

【詳解】若iog("")(ιτ)有意義，則滿足1+壯1,解得&e(τo)5°,1)?

l-?>0

故答案為：(T,0)U(0,l)

題型二：指數(shù)對數(shù)的互化

【例1】(2022全國高一專題練習)將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式.

2

(1)53=125；(2)4-=—；(3)Iog3-5-=-3.

1627

【答案】(DIog5125=3；(2)log4-?=-2;(3)37=L

162/

32

【解析】(I)V5=125,Λlog5l25=3.(2)'：4-=^-,Λlog4-^=-2.

1616

(3)*.*?og?—=-3,33=—

32727

【題型專練】

1.(2022全國高一課前預習)把下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式.

(1)2-=：；

O

⑵(3)/

(3)lg--=-3.

Iooo

【答案】(I)log」=_3；(2)1°g∣?=α.(3)10-3=*

^871000

【解析】(1)由2-3=J可得log，=_3：

OO

(2)由(1=b得l°gj”;

(3)由1g」一=-3可得KT'=」一.

10001000

2.(2022全國高一課時練習)指數(shù)式和對數(shù)式互相轉(zhuǎn)化：

(I)/=〃=____________.(2)33=—?=>

(3)Iog2?=-4=>.(4)Iog28=3=>.

43

【答案】Ina=4Iog3—=-32~——2=8

【解析Iah=N<=>b=IOgaN(a>0,a≠1,2V>0).故答案為：］∏α=4,Iog--——3,2江=—,

32716

23=8.

題型三：對數(shù)的運算求值

【例1】(2022?浙江?高考真題)已知2"=5,log83=b,則平3=()

255

A.25B.5C.D.

93

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，幕的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出.

【詳解】因為，25

2"=5?=10g83=^log23即236=3,所以4〃厘

^9^

故選：C.

【例2】(2022陜西.長安一中高一期中)設函數(shù)小)="?2(2-X)，X<1,則

2Λ^,,Λ≥1

/(-2)?/(Iog26)=()

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【分析】根據(jù)給定分段函數(shù)直接計算即可得解

【詳解】函數(shù)則—+bg-M-=

所以A-2）?∕（log26）=9.

故選：C

【例3】（2022全國高一專題練習）計算：（1）Iog625-Iog53-Iog96=

(2)(Iog25+Iog40.2)(Iog52+Iog250.5)=.

⑶log?log^-1°g5∣=---------------

(4)(log23+Iog49+Iog827+L+Iogy3")■Iog9\/32=.

⑸log6(√2+√3+72-√3)=-----------------

【答案】1；-12mg

2

【解析】(1)J?jζ=Iog65?Iog53-?og?,6=2Iog65-log,3×?Iog36=Iog65?log,3?log,6

=lg5?3lge??

?g6lg5Ig3

⑵原式=Iog25+log,log,2+log,"∣=log,√5?log,√2

1,u1,Cl

=-?θg25×-lθg52=-

32

(3)原式=log?5-2.log?2"?log,3^=-2Iog25×(-3)log,2×(-2)Iog53

=-12Iog25Iog32Iog53=-12

23π

(4)=(log23+Iog223+log2,3+L+log2,,3)?Iogv√?

工55

,

=(log23+log23+log23+L+Iog23)?log?,2'=ΛIog23×—logj22=-

2

(5)Q21og6(√2+√3+√2-√3)=log6(√2+√3+√2-√3)=Iog66=I

所以原式g

故答案為：1,?>—12,?,?

42/

【例4】（2022?全國?高一課時練習）已知log”"/…??∣）=5,則

IoguX：+IogIl后+…+log?X篇=?

【答案】10

【分析】由同底數(shù)對數(shù)加法公式以及l(fā)og“N'=引og"N,可得答案.

【詳解】因為log?(V?????∣)=5.所以IogeX；+log"考+…+log,,?2∣

=Iogn儲?W....?)=2log,,(XlX2-X202l)=IO.

故答案為：10.

【例5】(2022?陜西?西安市雁塔區(qū)第二中學高二期末(文))計算：

l.lo+e,"2-0.5^2+lg25+21g2=

【答案】1

【分析】根據(jù)指數(shù)的運算以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可求出.

【詳解】原式=l+2-4+2(lg5+lg2)=-1+2=1.

故答案為：1.

21

【例6】(2021?江蘇省沐陽高級中學高一期中)已知x>O,y>O,且Ig2'+lg8>=lg2,則一+一

χy

的最小值為.

【答案】5+2√6

21(91A

【分析】由lg2'+lg8''=lg2可得x+3y=1,則7+=++化簡后利用基本不等

式可求得答案

【詳解】因為Ig2"lg8'=lg2,所以Ig(2'?8，)=lg2"3，=ig2,

所以x+3y=l,

因為x>0,y>0,

所以2+?L=[2+?l]α+3y)

Xy?χy)

=2+=+3

Xy

≥5+2也?±=5+2屈,

VXy

當且僅當"=二即X=遙-2,y=匕色時取等號，，

Xy3

2I.L

所以一+一的最小值為5+2指，

故答案為：5+2C

【題型專練】

1.(2020全國卷I)設。廄4=2,則4一"二()

【答案】B

?11

【詳解】因αlog34=log34"=2,所以4"=32=9,故4-"=%=上

2.(2022.陜西?寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末(文))若"X)=：八，則〃0)+/(16)=

[log2x(x>1)

【答案】5

【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，直接代值計算作答.

【詳解】因函數(shù)/(x)=F(X"),，所以"0)+"16)=3°+log,16=l+4=5.

.log2x(x>1)

故答案為：5

3.(2022長沙市明德中學高一開學考試)計算：lg√5+2啕3+bg2」+J12+inl=____

162

【答案】~~

【解析】原式=fg5+3-4+警+0=J(lg5+lg2)-1=-；.故答案為：一；

20fo2

4.(2022?江蘇?高一)i+M(lg2)+lg21g5+lg5-3-'=

【答案】?

【分析】利用對數(shù)運算及指數(shù)式與對數(shù)式互化計算作答

911

【詳解】0g2)-+lg2Ig5+lg5-3-幅2=]g2Qg2+Ig5)+lg5-(3陶2)T=lg2+lg5-]=].

故答案為：y

log(-x+4),x<2

6.(2022?陜西?交大附中模擬預測(理))設函數(shù)/(X)=2則

2Λ,X>2

/(-4)+∕(log25)=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，判斷自變量取值區(qū)間，再代入計算作答.

log(-x+4),Λ<2

【詳解】因2屋5<23,則2<1%5<3而f(x)=2

2x,x>2

所以/(7)+/(1唯5)=10氏(4+4)+2喝5=3+5=8.

故選：D

7.(2022江蘇高二課時練習)若α>(),b>0,?ga+?gb=?g(a+2h),則2α+h的最小

值為()

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【詳解】因lgα+Igb=Ig(α+2?),所以Igab=Ig(α+2b),所以加=a+?,所以

a+2h

即

ab

log48J

8.(2022全國高一課時練習)if>:2≈+3,°'-Ig3?Iog32-Ig5=

【答案】4

【解析】原式=4+3°-lg3?譬一lg5=4+lTg2-lg5=4.

Ig3

故答案為：4.

9.(2022全國高一課時練習)計算：2(lg0)'+lg√Llg5+加研=

【答案】1

【解析】原式=lg&(21ga+lg5)+J(lg&y-21ga+l

2

=lg√2(lg2+lg5)+^(lg√2-l)

=lg√2+∣lg√2-l∣

=Ig√2+1-Ig√2

=1>

故答案為：1.

題型四：換底公式的應用

【例1】(2022?全國?高一課時練習)已知5"=3,3ft=2,貝∣J∣ogJ0-M=()

A.1B.2C.5D.4

【答案】A

【分析】先求得。力，然后結合對數(shù)運算求得正確答案.

a

【詳解】,?*5=3f3'=2，「?。=bg53,b=Iog32,

log,↑0-ab=Iog5IO-Iog,3×log,2=Iog5IO-Iog53×=log,IO-Iog52=Iog55=1.

?θg?3

故選：A

【例2】(2022全國高一課時練習)設2"=5〃="?，H-+γ=2,則機=()

ab

A.√wB.10C.20D.100

【答案】A

【解析】由2"=5"=m,可得α=log2^,b=Iog5m,

由換底公式得一=Iog,“2,-=Iog5,

abm

所以一+7=Iogw2+Iogw5=Iogw10=2,

又因為m>G,∏f得m=VFo.

故選：A.

【例3】(2022?全國?高一課時練習)己知。=愴2,?=lg3,∣U!jlog365=()

2a+2b2-2a

a+b2a+Ib

【答案】D

【分析】利用對數(shù)的運算法則及性質(zhì)進行運算可得答案.

【詳解】因為α=lg2,?=lg3,所以

一JIg5l-lg2l-a

36Ig362(lg2+lg3)2a+2b'

故選：D.

【例4】(2022?天津?高考真題)化簡(21og43+log83)(log32+log92)的值為()

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.

【詳解】原式=(2Xglog23+glog23)(log32+^Iog12)

43

=-1θg23×21°g32=2'

故選：B

【例5】(2021?江蘇?高一專題練習)若實數(shù)。、b、C滿足25"=403"=2015。=2019,則下

列式子正確的是

—I—=一

ahc

【答案】A

【分析】由指數(shù)式化對數(shù)式，然后利用換底公式得出?=log,0195,?=Iog90l5403,

2ab

1I22

-=Iog2015,利用對數(shù)的運算性質(zhì)和2015=5x403可得出一+不=—成立.

c2019abc

【詳解】由己知，得52"=403"=2015'=2019,得2G=Iog52019,?=Iog4032019,

2

c=log,015019,所以!=log,5,?=Iog2019403,?=Iog20192015,

2abc

而5x403=2015,則log20195+Iog2019403=Iog20192015,

所以4+?=1,即~+τ=~-

2abcabc

故選A.

【題型專練】

rf

1.（2022湖南?長沙麓山國際實驗學校高一開學考試）己知?>0,log5?=aJg?=c,5=10,

則下列等式一定成立的是（）

A.d=acB.a=cdC.c=abD.d=a+c

【答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)運算法則，以及指對互化，即可判斷選項.

【詳解】log.b=a,Igb=c,兩式相除得塔^=q,logJO=q,又5"=10,;.log，10=d,所

Tgbcc

以d=q=>cd=a.

c

故選：B.

2.（2022湖北黃石?高一期中）已知。>方>1,若IOg,/+log∕=∣M=凡則α+2Z>=

【答案】8

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、運算法則直接求解.

【詳解】解：由Iog"b+k‰”=（,且IOg（J6?log/=1

所以∣og',"log”a是方程χ2-BX+1=0的兩根，

解得?ɑg*。=2或IOgz,a=g,

y^a>b>l,所以log∕=2,HlJ又aO=b"

從而b2b=b"=>a=2b,且α=/,則匕=2,a=4.

所以4+以=8.

故答案為：8.

3.（2021?上海高一專題練習）已知log32=m,用含〃2的式子表示Iog32l8=.

7M+2

【答案】

5m

r∕g*c1。“18-岷18_1叫2+1%9—1%2+2/+2m+2

【解析】10g321d-?;-------；---^5-------=-----丁一二一.故答案為：——

IOg332Iog325Iog32Sm5m

4.（2022?陜西?交大附中模擬預測（理））若2"=3'=機，且!+9=2,則機=____________

ab

【答案】√6

【分析】由2"=3"=〃?，UJ得。=Iog?"1，b=?og,m,m>0,從而利用換底公式及對數(shù)的

運算性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：因為2"=3"=機，所以α=l0g2m,?=log,m,m>0,又,+:=2,

ab

所以，+4=+=l°g"2+k‰3=log”,（2X3）=2,

abIog2mIog3tn

所以加=6,所以"2=?/e>

故答案為：瓜.

5.（2022.全國?高一單元測試）把滿足Iog23xlog34x…xlog,向（〃+2）,〃eN”為整數(shù)的"叫

作“賀數(shù)”，則在區(qū)間（1,50）內(nèi)所有“賀數(shù)”的個數(shù)是.

【答案】4

【分析】利用換底公式計算可得Iog23xlog34χ…χlog,用（〃+2）=log2（〃+2）,即可判斷.

【詳解】解：因為Iog23χlog34x…XIOg向（〃+2）

喂喂…黑斗智—2）,

Xlog24=2,Iog28=3,Iog216=4,log232=5,Iog264=6,

所以當“+2=4,8,16,32時，log1"+2）為整數(shù)，

所以在區(qū)間。,50）內(nèi)“賀數(shù)”的個數(shù)是4.

故答案為：4

6.若a/均為不等于1的正數(shù)，且滿足α"'=√2,^=〃，且a=Sb,則

1n

------1—=_____.

2m2

【答案】3

【詳解】因所以加=log,,JL因出=b2,所以"=logJ2=Tog2^,所

2

1-log,b121og?b..,,a

—.........7τ+—彳一=-----------?=Iog2tz-log2?=Iog2-,因為α=88,所以

21ogu√22Iogn22b

Iog2=Iog98=3

b

題型五：對數(shù)式的應用題

【例1】在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足

嗎-明=IIg去，其中星等為恤的星的亮度為&(A=1,2).已知太陽的星等是-26.7,天

狼星的星等是

-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()

A.10'°lB.10.1C.lglθ.l

D.IO-'0'

【答案】A

【詳解】設太陽的星等為町=-26.7,對應的亮度為罵，天狼星的星等為m2=T.45,對

應的亮度為E2，

5E5E5EE

則由,“一叫=共含得-1.45+26.7=RgU,即彳IgU=2525,所以IgU=IO.1,所以

2E,2E22t,E,

【例2】(2020?全國m)Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領域.有學者

根據(jù)公

布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)/Q)(f的單位：天)的LogiStiC模型：

ΛO=y-其

中K為最大確診病例數(shù).當/(C=O.95K時，標志著已初步遏制疫情，則r*約為(Inl9*3)

()

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

【詳解】由題意知-~~《E=°?95K，所以;~∕E=°95，即

l+∕ft23S-53)=-L=W2=型，所以］＞洶*-53)=_1,所以ine"MT3)=ln',即

0.9595191919

-0.23(/*-53)=-3,所以t*-53=3-αl3,所以產(chǎn)266

—0.23

【例3】(2021?全國甲卷文)青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測

量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法

的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgk已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)

記錄法的數(shù)據(jù)約為(TVlU≈1.259)()

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【詳解】由題意知5+lgV=4.9,所以IgV=-0.1BPV10,a0.8

="=?=W≈1.259

【例4】（2022.全國.模擬預測）地震震級是根據(jù)地震儀記錄的地震波振幅來測定的，一般

采用里氏震級標準.里氏震級（仞）是用距震中100千米處的標準地震儀所記錄的地震波的

最大振幅的對數(shù)值來表示的.里氏震級的計算公式為M=IgA-1虱，其中A是被測地震的最

大振幅，4是“標準地震”的振幅（使用標準地震振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離

造成的偏差）.根據(jù)該公式可知，2021年7月28日發(fā)生在美國阿拉斯加半島以南91公里處

的8.2級地震的最大振幅約是2021年8月4日發(fā)生在日本本州近岸5.3級地震的最大振幅的

（）倍（精確到1）.（參考數(shù)據(jù)：10（MB2.512,1005B3,162,1。2屋631）

A.794B.631C.316D.251

【答案】A

【分析】將阿拉斯加半島的震幅A和II本本州近岸5.3級地震的震幅&表示成指數(shù)形式,

作商即可.

AA

【詳解】由題意"=1駛-IgA）=Ig丁，即丁=Io",則A=A

當M=8.2時，地震的最大振幅A=A）/OS）

當M=5.3時，地震的最大振幅A?=AJO"',

所以A=A4。=IO29=IO04×10°5×102≈2.512×3.162×1∞≈794,

A24?1θ

即Aa794Λ；

故選：A.

【例5】（2022.遼寧?撫順市第二中學三模）一熱水放在常溫環(huán)境下經(jīng)過f分鐘后的溫度T

將合公式：T-Z其中，是環(huán)境溫度，丸為熱水的初始溫度，力稱為半衰

期.一杯85℃的熱水，放置在25℃的房間中，如果熱水降溫到55℃,需要10分鐘，則一

杯100°C的熱水放置在25。C的房間中，欲降溫到55℃,大約需要多少分鐘？（）

(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)

A.11.3B.13.2C.15.6D.17.1

【答案】B

【分析】依題意求出半衰期3再把^的值代入利用換底公式計算，即可求出結果.

【詳解】解：根據(jù)題意，55-25=（芋（85-25）,即（1=g,解得∕z=10,

.?.55-25=(,(100-25)，即f

由I、If?2lg521g2-l2x0.3010-1....

π用lT以一=Iogl-=-7-=------=-----------------≈1.322,

105511-Ig2-0.3010

02

所以f≈13?2;

故選：B

【題型專練】

L（2022?吉林一中高二階段練習（理））深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法,

它是以神經(jīng)網(wǎng)絡為出發(fā)點的.在神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為L=ZIvDV,其

中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，4表示初始學習率，。表示衰減系數(shù)，G表示訓練

迭代輪數(shù)，Go表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為0.5,衰減速

度為18,且當訓練迭代輪數(shù)為18時，學習率衰減為0.4,則學習率衰減到0.1以下（不含

0?l）所需的訓練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010）（）

A.128B.130C.132D.134

【答案】B

【分析】由已知可得。=4],再由0.5x（*4∣ɑ8<0?l,結合指對數(shù)關系及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解

即可.

IOΛ

【詳解】由題設,0.5W=O.4,則。三，

4ɑ-1181g518(1Tg2)

所以0.5x(-)*<0.1,即G>181ogq￡=:≈129.7

5W5Ig5-21g2l-31g2

所以所需的訓練迭代輪數(shù)至少為130次.

故選：B

2.（2022?內(nèi)蒙古包頭?二模（理））在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩

5E

顆星的星等與亮度滿足S-叫=5愴啟，其中星等為"的星的亮度為線（左=1,2）?已知星

A的星等是-3.5,星B的星等是-1.5,則星A與星B的亮度的比值為（）

44c55

a?IO5b?IO5c?IO3d?IO-W

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，運用代入法，結合對數(shù)與指數(shù)的互化公式進行求解即可.

5E.

【詳解】因為％一叫=彳1愴言，星A的星等是一3.5,星B的星等是—1.5,

Z匕2

ccPΔ.P-

所以-1.5-(-3.5)=力g善=愴今===善=10"

25

故選：A

3.（2022福建省安溪第一中學高一月考）某種類型的細胞按如下規(guī)律分裂：每