考研數(shù)學(xué)一線性代數(shù)公式

1、行列式

I.〃行列式共有儲個元素，展開后有”!項，可分解為2"行列式;

2.行列式的重要公式：

①、主對角行列式：主對角元素的乘積；

rt(rt-l)

②、副對角行列式：副對角元素的乘積x(-l)k

③、上、下三角行列式(|\=|\|)：主對角元素的乘積;

④、|，|和|/|：副對角元素的乘積x(T)2；

4nAr0A

⑤、拉普拉斯展開式：==|川網(wǎng)、c=(-ir-|A||B|

CBOB1111B

⑥、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積;

3.證明|A|=0的方法：

①、|A|=-|A|；③構(gòu)造齊次方程組有=0,證明其有非零解；④證明r(A)<〃⑤證明0是其特征值;

2、矩陣

A是”階可逆矩陣：

O|A|#O(是非奇異矩陣)；

or(A)="(是滿秩矩陣)

oA的行(列)向量組線性無關(guān)；

今齊次方程組人=0有非零解；

<?V*eR"-Ar=Z>總有唯一解；

。4與E等價；

oA可表示成若干個初等矩陣的乘積；

oA的特征值全不為0;

oA『A是正定矩陣；

。4的行(列)向量組是R"的一組基；

oA是R"中某兩組基的過渡矩陣；

2.對于”階矩陣4：AX=A：A=\A\E無條件恒成立；

3.(1)*=(￡尸(A-')r=(Ar)-'(A*[=(4)*

(AB)T=BrAr(AB)*=5*4"=B'A^1

4.矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和;

5.關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均4、B可逆：

4

若4=，則：I、同=閭閡⑷；II、A-1

(主對角分塊)③、已：丫(副對角分塊)

18OA-O

-A'CB'

(拉普拉斯)⑤、(拉普拉斯)

B'

3、矩陣的初等變換與線性方程組

I.一個/nx”矩陣A,總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：F=\JJ；

\/mxn

等價類：所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣;

對于同型矩陣4、B,若/?(4)=r(5)oAB；

2.行最簡形矩陣：

①、只能通過初等行變換獲得；②、每行首個非0元素必須為1;③、每行首個非0元素所在列的其他元

素必須為0；

3.初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)

①、若(A,E)'(E,X),則A可逆，且X=T;

②、對矩陣(A,B)做初等行變化，當(dāng)A變?yōu)镋時，B就變成A'5,即：B)；

③、求解線形方程組：對于〃個未知數(shù)"個方程-=),如果(A?)'(E,x),則A可逆，且x=

4.初等矩陣和對角矩陣的概念：

①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；

’4、

②、A=4,左乘矩陣A,4乘A的各行元素；右乘，4乘A的各列元素；

③、對調(diào)兩行或兩列，符號且=E(i,j),例如：1=1;

、UIL

5.矩陣秩的基本性質(zhì)：

①、0Wr(4.“)Wmin(m,")；②、r(Ar)=r(A)；③、若AB,則r(4)=r(8)；④、若P、0可逆，則

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；(可逆矩陣不影響矩陣的秩)⑤、max(r(A),r(B))<r(A,B)<r(4)+r(B)；(X)

⑥、r(A+B)<r(A)+r(B)；(:※)⑦、r(AB)4min(r(A),r(5))；(X)

⑧、如果A是mx”矩陣，B是”xs矩陣，且AB=0,貝I」：(:※)

I、8的列向量全部是齊次方程組AX=0解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論)；

II>r(A)+r(B)<n

⑨、若4、8均為”階方陣，則r(A8)2r(A)+r(5)-〃；

6.三種特殊矩陣的方幕：

①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣(向量)x行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)合律；

'Iac、

②、型如015的矩陣：利用二項展開式；③、利用特征值和相似對角化：

、001?

7.伴隨矩陣：

nr(A)="

①、伴隨矩陣的秩：r(A)=?1r(4)=n-1；

0r(A)<n-1

②、伴隨矩陣的特征值：，(AX=2X,A*=|A|dX#X)；③、A*=|A|A\|A*|=|A|""

8.關(guān)于A矩陣秩的描述：

①、r(A)=n,4中有"階子式不為0,〃+1階子式全部為0；(兩句話)

②、r(A)<n,A中有〃階子式全部為0；③、r(A)>n,A中有〃階子式不為0；

2

9.線性方程組：Ax=b,其中A為mx”矩陣，貝I」：

①、，"與方程的個數(shù)相同，即方程組Ar=8有拉個方程；

②、”與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組4c=b為”元方程；

10.線性方程組依=6的求解：

①、對增廣矩陣5進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）；②、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；

③、特解：自由變量賦初值后求得；

4、向量組的線性相關(guān)性

11.①、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)=-=o有、無非零解；（齊次線性方程組）

②、向量的線性表出=是否有解；（線性方程組）

③、向量組的相互線性表示oAX=5是否有解；（矩陣方程）

12.矩陣A,,,x"與行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組心=0和質(zhì)=0同解；（4“例14）

13.r（Al）=r（A）；（乙1例15）

14.”維向量線性相關(guān)的幾何意義：

①、a線性相關(guān)?a=0；③、a/4線性相關(guān)oa/7共面；

②、a,￡線性相關(guān)oa,￡坐標(biāo)成比例或共線（平行）；

15.線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：

若％,%,.a?線性相關(guān)，則4,%，必線性相關(guān)；

若a「4,,%線性無關(guān)，則a2,,a-必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）

若r維向量組A的每個向量上添上"-r個分量，構(gòu)成w維向量組B：

若4線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若8線性相關(guān)，則4也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）

簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；

16.向量組4（個數(shù)為r）能由向量組B（個數(shù)為s）線性表示，且A線性無關(guān)，則r4s（二版巴工定理7）；

向量組A能由向量組8線性表示，則r（A）4r（8）：（4,定理3）

向量組4能由向量組B線性表示。4V=3有解；or（A）=r（A,5）（以定理2）

向量組A能由向量組B等價or（A）=r（3）=r（A,B）（定理2推論）

17.方陣A可逆o存在有限個初等矩陣匕巴，，耳，使A

①、矩陣行等價：A:80PA=8（左乘，P可逆）。取=0與5*=0同解

②、矩陣列等價：A：5oAQ=5（右乘，?？赡妫?；③、矩陣等價：A~5u>Q40=8（P、?？赡妫?；

18.對于矩陣4“與勒小

①、若A與3行等價，則A與8的行秩相等：

②、若4與B行等價，則4r=0與&=0同解，且4與8的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性;

④、矩陣A的行秩等于列秩；

19.若a*”,則：

①、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，8為系數(shù)矩陣；

②、C的行向量組能由8的行向量組線性表示，A?為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）

20.齊次方程組Br=0的解一定是AB*=0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；

①、ABx=0只有零解nBr=0只有零解；②、Bx=0有非零解=>ARr=0一定存在非零解；

21.設(shè)向量組紇“：&也，也可由向量組q線性表示為：（珞。題19結(jié)論）

（々也，也）=（《,4,,as）K（B=AK）

其中K為sxr,且4線性無關(guān)，則8組線性無關(guān)or（K）=r；（8與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性）

（必要性：r=r（B）=r（AK）<r（K）,r（K）<r,r（K）=r；充分性：反證法）

注：當(dāng)r=s時，K為方陣,可當(dāng)作定理使用；

22.①、對矩陣A?“，存在Q,,,“，AQ=Em=r（A）=,”、Q的列向量線性無關(guān)；（4）

②、對矩陣存在乙曲，PA=E“or（A）="、P的行向量線性無關(guān)；

3

23.若為=〃的一個解，芻4，，:為Ar=0的一個基礎(chǔ)解系，則"二配基，射線性無關(guān)

5、相似矩陣和二次型

1.正交矩陣047=后或4"=A,（定義），性質(zhì)：

①、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即°：勺=｛；:=1,2,”）；

②、若A為正交矩陣，則A"=4『也為正交陣，且|A|=±1；

③、若A、B正交陣，則4