2023-2024學(xué)年中考數(shù)學(xué) 三角形問題【含答案】

專題10三角形問題

典例剖析

【考點(diǎn)1】三角形基礎(chǔ)知識(shí)

【例1】1.（2020?湛江）如圖，在AZSC中，N/=30°,Z5=50°,C。平分NZC8,則/HOC的度

數(shù)是（）

A.80°B.90°C.100°D.110°

【答案】C

【分析】

在AZBC中，利用三角形內(nèi)角和為180。求N/C8,再利用C。平分N/C8,求出4c。的度數(shù)，再在

△4CD利用三角形內(nèi)角和定理即可求出/ADC的度數(shù).

【詳解】

?.?在AZBC中，Z/1=30°,Z5=50°.

ZACB=\80°-/LA-Z5=l80°-30°-50°=l00°.

CD平分ZACB.

：.ZACD=-ZACB=-x\00°=50°.

22

ZADC=\80°-ZJ-cr>=180°-30°-50°=100°.

故選c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的內(nèi)角和和角平分線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【變式1-1】（2020?浙江紹興?中考真題）長(zhǎng)度分別為2,3,3,4的四根細(xì)木棒首尾相連，圍成一個(gè)三角形

（木棒允許連接，但不允許折斷），得到的三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】

利用三角形的三邊關(guān)系列舉出所圍成三角形的不同情況，通過比較得到結(jié)論.

【詳解】

①長(zhǎng)度分別為5、3、4,能構(gòu)成三角形，且最長(zhǎng)邊為5；

②長(zhǎng)度分別為2、6、4,不能構(gòu)成三角形；

③長(zhǎng)度分別為2、7、3,不能構(gòu)成三角形；

④長(zhǎng)度分別為6、3、3,不能構(gòu)成三角形；

綜上所述，得到三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查構(gòu)成三角形的條件，三角形的三邊關(guān)系，解題中運(yùn)用不同情形進(jìn)行討論的方法，注意避免遺漏構(gòu)

成的情況.

【變式1-2](2020?甘肅天水?)一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,第三邊長(zhǎng)是方程8x+12=0的根,

則該三角形的周長(zhǎng)為.

【答案】13

【分析】

先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的長(zhǎng)，則該三角形的周長(zhǎng)可求.

【詳解】

解：Vx2-8x+12=0,

/.(x-2)(x-6)=0,

/.xi=2,*=6,

?.?三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,第三邊長(zhǎng)是方程/_8/12=0的根，當(dāng)尸2時(shí)，2+2V5,不符合題意，

，三角形的第三邊長(zhǎng)是6,

該三角形的周長(zhǎng)為：2+5+6=13.

故答案為：13.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的一:邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2】全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用

【例2】(2020?遼寧鞍山?中考真題)如圖，在四邊形力中，N8=NQ=90。，點(diǎn)E,尸分別在48,AD

上，AE—AF,CE=CF,求證：CB=CD.

I)

【答案】見解析

【分析】

連接AC,證明△ACE^^ACF,得到NCAE=NCAF,再利用角平分線的性質(zhì)定理得到CB=CD.

【詳解】

解：連接AC,

VAE=AF,CE=CF,AC=AC,

/.△ACE^AACF（SSS）,

；.NCAE=NCAF,

VZB=ZD=90°,

；.CB=CD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是連接AC,證明三角形全等.

【變式2-1】（2020?山東東營(yíng)?中考真題）如圖1,在等腰三角形力8c中，/么=120°,工8=4。,點(diǎn)￡）、E

分別在邊4c上，AD=AE,連接BE,點(diǎn)、M、N、P分別為DE、BE、3c的中點(diǎn).

圖2

（1）觀察猜想

圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關(guān)系是，尸的大小為

（2）探究證明

把ANOE繞點(diǎn)力順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接加尸、BD、CE,判斷△AWP的形狀，并說明

理由；

（3）拓展延伸

把A/OE繞點(diǎn)Z在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若［。=1,48=3,請(qǐng)求出△朋NP面積的最大值.

【答案】（I）相等，60°；（2）△腦VP是等邊三角形，理由見解析；（3）面積的最大值為JJ.

【分析】

（1）根據(jù)"ZA^12O°,AB=AC,AD=AE,點(diǎn)、M、N、P分別為DE、BE、的中點(diǎn)"，可得

MN//BD,NP//CE,根據(jù)三角形外角和定理，等量代換求出NWNP.

（2）先求出△力8。絲△ZCE,得出4=根據(jù)MN〃BD,NP//CE,和三角形外角和定

理，可知MN=PN,再等量代換求HINMNP,即可求解.

（3）根據(jù)8O4Z6+/。，可知BD最大值，繼而求出△MVP面積的最大值.

【詳解】

（1）由題意知：AB=AC,AD=AE,且點(diǎn)“、N、P分別為DE、BE、8c的中點(diǎn)，

；.BD=CE,MN//BD,NP//CE,MN」BD,NP=—EC

22

，MN=NP

XVMN//BD,NP//CE,NA=120°,AB=AC,

；.NMNE=NDBE,ZNPB=ZC,ZABC=ZC=30°

根據(jù)三角形外角和定理，

得NENP=NNBP+NNPB

ZMNP=ZMNE+ZENP,ZENP=ZNBP+ZNPB,

ZNPB=ZC,ZMNE=ZDBE,

NMNP=NDBE+NNBP+NC

=ZABC+ZC=60°.

（2）△仞叱是等邊三角形.

理由如下：

如圖，由旋轉(zhuǎn)可得NB4D=NC4E

在△ABD和△ACE中

AB^AC

<NBAD=NCAE

AD=AE

:."BD會(huì)"CE（SAS）

：.BD=CE,NABD=NACE.

???點(diǎn)M、N分別為DE、BE的中點(diǎn)，

.?.MN是的中位線，

；.MN：BDAMN//BD

2

同理可證PNACERPNHCE

2

MN=PN,AMNE=/DBE,ZNPB=/ECB

■：NMNE=2DBE=NABD+NABE=NACE+ZABE

NENP=ZEBP+NNPB=2EBP+ZECB

ZMNP=ZMNE+4ENP=ZACE+AABE+Z.EBP+NECB

=N4BC+NACB=60°.

在△A/NP中

VZMNP=60°,MN=PN

:.AMNP是等邊三角形.

（3）根據(jù)題意得:BD<AB+AD

即8。44，從而MVW2

△MNP的面積=LMN?昱MN=?MN?.

224

4MNP面積的最大值為百.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形中點(diǎn)的性質(zhì)、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí);

正確掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2】(2020?山東煙臺(tái)?中考真題)如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是

直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF,連接CF.

(問題解決)

(1)如圖1,若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF=CD；

(類比探究)

(2)如圖2,若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE,CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明

理由.

【答案】(I)見解析；(2)FC=CD+CE,見解析

【分析】

(1)在CD上截取CH=CE,易證ACEH是等邊三角形，得出EH=EC=CH,證明△DEHgAFEC(SAS),

得出DH=CF,即可得出結(jié)論：

(2)過D作DG〃AB,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,由平行線的性質(zhì)易證/GDC=NDGC=60。，得出4GCD

為等邊三角形，則DG=CD=CG,證明△EGDgAFCD(SAS),得出EG=FC,即可得出FC=CD+CE.

【詳解】

(1)證明：在CD上截取CH=CE,如圖1所示：

「△ABC是等邊三角形，

/.ZECH=60°,

/.△CEH是等邊三角形，

；.EH=EC=CH,ZCEH=60°,

VADEF是等邊三角形，

???DE=FE,ZDEF=60°,

???NDEH+NHEF=NFEC+NHEF=60。，

???NDEH=NFEC,

在ADEH和AFEC中，

DE=FE

vZDEH=ZFEC,

EH=EC

AADEH^AFEC(SAS),

???DH=CF,

???CD=CH+DH=CE+CF,

???CE+CF=CD；

(2)解：線段CE,CF與CD之間的等量關(guān)系是FC=CD+CE；理由如下:

VAABC是等邊三角形，

???NA=NB=60。，

過D作DG〃AB,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖2所示：

??'GD〃AB,

AZGDC=ZB=60°,ZDGC=ZA=60°,

???NGDC=NDGC=60。，

???△GCD為等邊三角形，

???DG=CD=CG,ZGDC=60°,

VAEDF為等邊三角形，

???ED=DF,ZEDF=ZGDC=60°,

AZEDG=ZFDC,

在Z^EGD和ZiFCD中，

ED=DF

<ZEDG二ZFDC,

DG=CD

AAEGD^AFCD(SAS),

，EG=FC,

???FC=EG=CG+CE=CD+CE.

E

Bd、zD

S2G

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；作輔助線構(gòu)建等

邊三角形是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)3】等腰三角形與等邊三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用

[例3]（2020?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?中考真題）（1）（操作發(fā)現(xiàn)）

如圖1,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△48C的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

①請(qǐng)按要求畫圖：將AZBC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C'.連

接83'；

②在①中所畫圖形中，ZAB'B=

（2）（問題解決）

如圖2,在中，BC=1,ZC=90°,延長(zhǎng)CA到D,使CD=1,將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

到AE,連接DE,求/ADE的度數(shù).

（3）（拓展延伸）

如圖3,在四邊形ABCD中，AE±BC.垂足為E,ZBAE=ZADC,BE=CE=1,CD=3,AD=kAB(k

為常數(shù)），求BD的長(zhǎng)（用含k的式子表示）.

圖1

【答案】（1）①見解析,

【分析】

（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)方向畫出圖形即可.

②只要證明AABB，是等腰直角三角形即可.

（2）如圖2,過點(diǎn)E作EH_LCD交CD的延長(zhǎng)線于H.證明AABC絲4EAH（AAS）即可解決問題.

(3)如圖3中，由AE±BC,BE=EC,推出AB=AC,將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到^ACG,連接DG.則

BD=CG,只要證明NGDC=90。，可得CG=JQG?+CD?,由此即可解決問題.

【詳解】

解：(1)①如圖，4ABC即為所求.

圖1

②由作圖可知，AABB，是等腰直角三角形，

AZAB,B=45°,

故答案為45.

(2)如圖2中，過點(diǎn)E作EH_LCD交CD的延長(zhǎng)線于H.

圖2

,/NC=ZBAE=NH=90。，

.??NB+NCAB=90。，NCAB+NEAH=90。,

AZB=ZEAH,

VAB=AE,

AAABC^AEAH(AAS),

/.BC=AH,EH=AC,

VBC=CD,

ACD=AH,

???DH=AC=EH,

???NEDH=45。，

AZADE=135°.

(3)如圖③中，VAE±BC,BE=EC,

，AB=AC,將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到^ACG,連接DG.則BD=CG,

圖③

VZBAD=ZCAG,

/.ZBAC=ZDAG,

：AB=AC,AD=AG,

/.NABC=NACB=NADG=NAGD,

/.△ABC^AADG,

VAD=kAB,

???DG=kBC=2k,

VZBAE+ZABC=90°,ZBAE=ZADC,

AZADG+ZADC=90°,

AZGDC=90°,

???CG=^DG2+CD2=44^+9?

?*BD=CG=，4儲(chǔ)+9?

【點(diǎn)睛】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等

三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全

等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

【變式3-1】（2020?四川涼山?中考真題）如圖，點(diǎn)P、Q分別是等邊A48c邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除

外），點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā).

圖1圖2

(1)如圖1,連接AQ、CP求證：AABQS\CAP

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AQ、CP相交于點(diǎn)M,NQA/C的大小是否變化？

若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù)

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P、Q在AB、BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí);直線AQ、CP相交于M,的大小是否變

化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析；(2)不變；60°；(3)不變；120。.

【分析】

(1)根據(jù)點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)，可得BQ=AP,結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)證全

等即可：

(2)由(1)中全等可得/CPA=/AQB,再由三角形內(nèi)角和定理即可求得/AMP的度數(shù)，再根據(jù)對(duì)頂角

相等可得NQWC的度數(shù)；

(3)先證出△C8P三△ZC0,可得NQ=/P,再由對(duì)頂角相等，進(jìn)而得出NQMC=NCBP=120。.

【詳解】

解：(1)證明：?.?三角形ABC為等邊三角形，

，AB=AC,ZABC=ZCAB=60°,

1?點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)，

r.BQ=AP,

在aABQ與4CAB中，

AB=AC

?NABC=NCAB

BQ=AP

\ABQ^\CAP{SASY

(2)角度不變，60°,理由如下：

MBQ=NCAP

，NCPA=NAQB,

在AAMP中，

ZAMP=180°-(ZMAP+ZCPA)=180°-(ZMAP+ZAQB)=ZABC=60°,

/.ZQMC=ZAMP=60°,

故NQMC的度數(shù)不變，度數(shù)為60。.

(3)角度不變，120。，理由如下：

當(dāng)點(diǎn)P、Q在AB、BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

有AP=BQ,；.BP=CQ

VZABC=ZBCA=60°,

.,.ZCBP=ZACQ=120°,

BC=AC

<NCBP=NACQ

BP=CQ

：.^CBP/\ACQ(SAS)

：.ZQ=ZP,

VZQCM=ZBCP,

?,.ZQMC=ZCBP=120°,

故NQMC的度數(shù)不變，度數(shù)為120°.

【點(diǎn)睛】

本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)

證全等是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2](2020?吉林中考真題)如圖，△Z8C是等邊三角形，AB=4cm，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)4出發(fā)，以2cm/s

的速度沿向點(diǎn)8勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)尸作交折線NC—C3于點(diǎn)。，以P。為邊作等邊三角形

PQD,使點(diǎn)力,。在尸。異側(cè).設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)(O<x<2),△P。。與△N8C重疊部分圖

形的面積為歹卜機(jī)2).

（1）力尸的長(zhǎng)為cm（用含x的代數(shù)式表示）.

（2）當(dāng)點(diǎn)。落在邊8c上時(shí)，求x的值.

（3）求V關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

【答案】（l）2x；（2）］；（3）當(dāng)0<x4|■時(shí)，y=3?M當(dāng)2<x〈l時(shí)，夕=一生叵/+18岳—66；

3332

當(dāng)l<x<2時(shí)，y=^-（x-2）2-

【分析】

（1）根據(jù)“路程=速度x時(shí)間”即可得；

（2）如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得NN=N8=NOPQ=60°,PQ=OP,再根據(jù)垂直的

定義可得ZAQP=NBPD=30°，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得AQ=BP,最后在Rt^APQ

中，利用直角三角形的性質(zhì)列出等式求解即可得；

22

（3）先求出點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)x的值，再分0<x4—、一<x〈l和l<x<2三種情況，然后分別利川等

33

邊三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)、以及三角形的面積公式求解即可得.

【詳解】

（1）由題意得：AP=2x{cm）

故答案為：2x；

（2）如圖，?.?"8。和都是等邊三角形

NA=NB=乙DPQ=60°,PQ=DP

???PQLAB,即NAPQ=NBPQ=90°

NAQP=90°-NN=30°,乙BPD=ABPQ-乙DPQ=30°

N4=NB

在“PQ和ABDP中，\ZAQP=NBPD=30°

PQ=DP

；.AAPQ*BDP(AAS)

AQ=BP

■：AB-4,AP=2x

:.AQ=BP=AB-AP=4-2x

?.?在中，乙4。尸=30。

AP=^AQ,即2x=g(4-2x)

2

解得x=一；

3

（3）?.?△NBC是等邊三角形

AC=BC=AB=4

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，AP=^AQ=^x4=2

則2x=2,解得x=l

結(jié)合（2）的結(jié)論，分以下三種情況：

2

①如圖1,當(dāng)0<x（一時(shí)，重疊部分圖形為△尸。。

由（2）可知，等邊的邊長(zhǎng)為尸。=百力尸=2后

由等邊三角形的性質(zhì)得：PQ邊上的高為*PQ=3x

則歹=1?2瓜?3%=3岳2

2

2

②如圖2,當(dāng)一<x?l時(shí)，重疊部分圖形為四邊形EFPQ

3

?;NB=60°,NBPD=30。

ZBFP=180°-N8-NBPD=90°

則在心抨中，BF=^BP=^4-2x)=2-x,PF=&F=6Q-X)

：.DF=PD-PF=2瓜-73(2-x)=3瓜-2百

EFr-

在RtLDEF中,tanZ)=—,即環(huán)=tan60。?。b二

DF

則y—S四邊形=S陋口—'Rt&DEF

=3y/3x2--DFEF

2

=3岳2,曰?瓜_26尸

=—+氐—6百

2

③如圖3,當(dāng)l<x<2時(shí)，重疊部分圖形為AMP。

同②可知，BM=^BP=^(4-2x)=2-x,PM=y^BM=6(2—x)

在火/AA/P。中，tan/A/PQ=避，即"0=tan60°?PM=JJPW

PM

則蚱工4=;所聞0

=-y--[V3(2-x)]2

=亭(>2f

22oi

綜上，當(dāng)0<x4]時(shí)，y=3氐2；當(dāng)]<x?l時(shí)，丁=十第瓜一6百；當(dāng)l<x<2時(shí),

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識(shí)

點(diǎn)，較難的是題(3),依據(jù)題意，正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)4】直角三角形的性質(zhì)

【例4】(2020?云南中考真題)如圖，四邊形48CD是菱形，點(diǎn)//為對(duì)角線力C的中點(diǎn)，點(diǎn)E在Z3的延

長(zhǎng)線上，CELAB,垂足為E，點(diǎn)廠在工。的延長(zhǎng)線上，CF上AD,垂足為

(1)若NBAD=60。,求證：四邊形CE/7F是菱形；

(2)若CE=4,的面積為16,求菱形/BCD的面積.

【答案】(1)證明見解析；(2)20.

【分析】

(1)由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和30度直角三角形性質(zhì)性質(zhì)可證EH=CE=CF=FH=LAC,

2

即可證明結(jié)論；

(2)由根據(jù)三角形面積求法可求/E,設(shè)在用AffCE,由勾股定理列方程即可求出菱形邊長(zhǎng)，進(jìn)

而可求面積.

【詳解】

解：：四邊形Z3C。是菱形，ZBAD=60°,

，ABAC=30°,

?：CELAB.,

：.EC=-AC,

2

又,：AH=CH，

：.EH^-AC,

2

EH=CE==AC

2

同理可得：CF=FH==AC,

2

:.EH=CE=CF=FH，即：四邊形CE//是菱形；

(2)■：/\ACE=-AE?CE,

2

.」心4=16,

2

AE—8，

在四邊形48CQ是菱形中，設(shè)Z3=8C=x,則BE=4E-4B=8-x

在Rt/\BCE中，EC2+BE2=BC2<

：.42+(8-x)2=x2,

解得x=5,

，菱形ABCD面積=ABy.CE=5x4=20.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，涉及了直角三角形性質(zhì)和勾股定理.解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用直角三角形

性質(zhì)得出線段之間發(fā)熱關(guān)系.

【變式4-1](2019?黑龍江中考真題)一張直角三角形紙片Z8C,ZACB=90°，AB=10,AC=6,

點(diǎn)D為8c邊上的任一點(diǎn),沿過點(diǎn)。的直線折疊，使直角頂點(diǎn)。落在斜邊A8上的點(diǎn)E處，當(dāng)ABDE是直

角三角形時(shí)，則的長(zhǎng)為.

【答案】3或1

【解析】

【分析】

依據(jù)沿過點(diǎn)D的直線折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，當(dāng)4BDE是直角三角形時(shí)，分兩種情

況討論：/口￡8=90。或/13口￡=9()。，分別依據(jù)勾股定理或者相似三角形的性質(zhì)，即可得到CD的長(zhǎng)

【詳解】

分兩種情況：

①若ZDEB=90"，則NAED=90°=ZC.CD=ED,

連接則RtMCD三RtMEAD(HL),

：.AE=AC=6,B￡=10-6=4.

設(shè)CD=OE=x，則BD=8—x,

?;RtMDE中,DE2+BE2=BD2

x2+42-(8-x)2,

解得x=3,

/.CD=3；

②若N8DE=9(r，則NCOE=ZDER=NC=9(X，CD=DE,

：.四邊形COE廠是正方形，

NAFE=Z.EDB=90°，NAEF=ZB,

\AEF?\EBD，

.AF_EF

"~ED~~BD'

設(shè)CD=x，則斯=Z)P=x,AF=6-x,BD=8-x,

6-xx

----=-----,

X8-x

24

解得x=一，

7

綜上所述，的長(zhǎng)為3或,，

故答案為：3或日24.

【點(diǎn)睛】

此題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于畫出圖形

【變灰4-2］（2020?海南中考真題）如圖，在Rt"BC中，NC=90°,NABC=30°,AC=1cm,將Rt^ABC

繞點(diǎn)Z逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到&八仿'。'，使點(diǎn)C'落在48邊上，連接88'，則的長(zhǎng)度是（）

C.yficmD.2y[3cm

【答案】B

【分析】

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，/CAB=/BAB'=60°，進(jìn)而得出A"8為等邊三角形，進(jìn)而求出88'=48=2-

【詳解】

解：?；NC=90°,ZABC=30°,AC=1cm,

由直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可知，

，AB=2AC=2cm,

又ZCAB=900-48C=90°-30°=60°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：/CAB=NBAB'=60；且4B=4B，

力*為等邊三角形,

???BB=AB=2-

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形中30。角所對(duì)的宜角邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，熟練掌握其性質(zhì)是解決此類

題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)5】相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用

[例5](2020?上海中考真題)已知：如圖，在菱形48。中，點(diǎn)E、尸分別在邊N8、上，BE=DF,

CE的延長(zhǎng)線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

(1)求證：△BECS/\BCH；

(2)如果求證：AG=DF.

【分析】

(1)先證明尸且△C8E,進(jìn)而得到NOC尸=N8CE,再由菱形對(duì)邊C￡)〃8H,得至ljN，=NOCF,進(jìn)而

ZBCE=ZH即可求解.

BFAFBFAG

⑵由B—BTE,得到一=——，再利用/G〃8C,平行線分線段成比例定理得到一=—,再結(jié)合

ABEBABBC

已知條件即可求解.

【詳解】

解：⑴???四邊形488是菱形,

：.CD=CB,ZD=ZB,CDI/AB.

'：DF=BE,

:.ACDF絲ACBEISAS),

：.ZDCF=ZBCE.

'JCD//BH,

：.ZH=NDCF,

：.NBCE=NH.且

:.△BECs^BCH.

(2)；BE2=AB?AE,

.BE_AE

"7B~~EB'

\'AG//BC,

.AEAG

"~BE~BC'

.BEAG

"^B~BC'

,:DF=BE,BC=AB,

：.BE=AG=DF,

即AG=DF.

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型.

【變式5-1](2020?山東濟(jì)南?中考真題)在等腰ZU8C中，AC=BC,是直角三角形，ND4E=90。,

ZADE=—ZACB,連接8。，BE,點(diǎn)尸是BD的中點(diǎn),連接CF.

2

(1)當(dāng)NC48=45。時(shí).

①如圖1,當(dāng)頂點(diǎn)。在邊ZC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出/以8與NC歷1的數(shù)量關(guān)系是.線段5E與線段CF

的數(shù)量關(guān)系是;

②如圖2,當(dāng)頂點(diǎn)。在邊Z8上時(shí)，(1)中線段與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予

證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；

學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：

思路一：作等腰A/BC底邊上的高CM,并取8E的中點(diǎn)M再利用三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來解決問題；

思路二：取OE的中點(diǎn)G,連接/G,CG,并把AC4G繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全

等或相似有關(guān)知識(shí)來解快問題.

(2)當(dāng)/。8=30。時(shí)，如圖3,當(dāng)頂點(diǎn)。在邊/C上時(shí)，寫出線段8E與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

E

圖1圖2圖3

【答案】。)①NEAB=ZABC,CF=-BE；②仍然成立，證明見解析；(2)BE=2^CF，理由見

2

解析.

【分析】

(I)①如圖1中，連接8E,設(shè)DE交AB于T.首先證明=4瓦8。=3E,再利用直角三角形斜邊中

線的性質(zhì)解決問題即可.②解法一：如圖2-1中，取的中點(diǎn)A/,8E的中點(diǎn)N,連接CM,MV.證明

△CMFQ&BMN(SZS),可得結(jié)論.解法二：如圖2-2中，取OE的中點(diǎn)G,連接力G,CG,并把AC4G

繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ACBT,連接D7,GT,8G.證明四邊形8EGT是平行四邊形，四邊形。G87

是平行四邊形，可得結(jié)論.

(2)結(jié)論：BE=2也CF.如圖3中，取力8的中點(diǎn)7,連接C7,FT.證明△BNESACTP,可得結(jié)論.

【詳解】

解：(1)①如圖1中，連接8E,設(shè)DE交4B于T.

圖1

,:CA=CB,/C48=45。，

.?.NC/B=4BC=45。，

NACB=90°,

VZADE=—ZACB=45°,ZDAE=9Q0,

2

：.ZADE=ZAED=45°,

:.AD=AE,

■：ZDAE=90°,

NEAB=ZDAT=/ABC=45°,

：.AT1.DE,DT=ET,

：.AB垂直平分DE,

:.BD=BE,

VZZ?CD=90°,DF=FB,

1

:?CF=—BD,

2

：.CF=-BE.

2

故答案為：NEAB=/ABC,CF=-BE.

2

②結(jié)論不變.

解法一：如圖2-1中，取45的中點(diǎn)M,8E的中點(diǎn)M連接CM,MN.

：.CMLAB,CM=BM=AM,

由①得：AD=AE,

設(shè)/。=力七=?.FM=x,DM=a,

??,點(diǎn)/是8。的中點(diǎn)，

則DF=FB=a+x,

?：AM=BM,

...y+a=a+2x,

：.y=2x,HPAD=2FM,

?：AM=BM,EN=BN,

:,AE=2MN,MN〃AE,

:.MN=FM,/BMN=/EAB=90。,

：.4CMF=NBMN=90。,

.KMFABMN(S4S),

:,CF=BN,

■:BE=2BN,

1

:.CF=—BE.

2

解法二：如圖2-2中，取。E的中點(diǎn)G,連接ZG,CG,并把AdG繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到，

連接。7,GT,BG.

圖2?1

：AD=AEfZEAD=90°fEG=DG,

\AGVDE,ZEAG=ZDAG=45O,AG=DG=EG,

/ZCJB=45°,

?.NC4G=90。，

\ACLAG.

\AC//DE,

：/ACB=NCBT=90°,

\ACHBT,

\AC//BT//DE,

:AG=BT,

*.DG=BT=EG,

,?四邊形8EGT是平行四邊形，四邊形QGBT是平行四邊形,

??3。與G7互相平分，BE=GT,

.?點(diǎn)尸是的中點(diǎn)，

?.BD與GT交于點(diǎn)、F,

??GF=FT,

由旋轉(zhuǎn)可得；CG=CT/GCT=90°,

??.△GC7是等腰直角三角形，

：.CF=FG=FT,

：.CF=-BE.

2

（2）結(jié)論：BE=2也CF.

理由：如圖3中，取Z8的中點(diǎn)7,連接C7,FT.

：.ZCAB=ZCBA=30°,ZACB=120°,

"：AT=TB,

：.CTLAB,

—30。=空=烏

AT3

：?AT=Vkr,

：?4B=2辰T，

*：DF=FB,AT=TB,

C.TF//AD,AD=2FT,

:?NFTB=NCAB=30°,

<NCTB=NDAE=9。。,

；?NCTF=NB4E=60。,

?.?ZADE=—NACB=60°,

2

ApL

tan600=——=V3,

AD

:.AE=￡AD=26FT,

，紀(jì)=越=26

CTFT

：.ABAES^CTF,

.?.里=弛=26,

CFCT

???BE=2辰F.

【點(diǎn)睛】

本題屬于相似形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，

相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相

似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

【變式5-2】(2020?湖南益陽(yáng)?中考真題)定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的

夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)''四邊形，簡(jiǎn)稱"直等補(bǔ)''四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問

題：

(1)如圖1,正方形/8CZ)中，E是上的點(diǎn)，將ABCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn),使3c與氏4重合，此時(shí)點(diǎn)E的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)R在ZX4的延長(zhǎng)線上，則四邊形8EZ/為“直等補(bǔ)”四邊形，為什么？

(2)如圖2,已知四邊形48CD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC=5,CL)=1,>48,點(diǎn)8到直線

的距離為

①求8E的長(zhǎng).

②若"、N分別是4B、Z0邊上的動(dòng)點(diǎn)，求AWC周長(zhǎng)的最小值.

ADAA

「ErC

/【答案】(1)見

BCBCBC

12備用圖

解析；⑵①BE=4：②AWC周長(zhǎng)的最小值為8及

【分析】

(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證得NF+NBED=NBEC+/BED=180°,

NFBE=/ABF+/ABE=NCBE+NABE=90°,BF=BE,進(jìn)而可證得四邊形BE。門為"直等補(bǔ)'’四邊形;

(2)如圖2,將aABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ACBF,可證得四邊形EBFD是正方形，則有BE=FD,

設(shè)BE=x,則FC=x-l,由勾股定理列方程解之即可：

(3)如圖3,延長(zhǎng)CD到P,使DP=CD=1,延長(zhǎng)CB到T,使TB=BC=5,則NP=NC,MT=MC,

由△MNC的周長(zhǎng)=MC+MN+NC=MT+MN+NP》PT知，當(dāng)T、M、N、P共線時(shí)，△MNC的周長(zhǎng)取得最小

值PT,過P作PH_LBC交BC延長(zhǎng)線于H,易證△BFCs/\PHC,求得CH、PH,進(jìn)而求得TH,在RtaPHT

中，由勾股定理求得PT，即可求得周長(zhǎng)的最小值.

【詳解】

(1)如圖1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZF=ZBEC,ZABF=ZCBE,BF=BE

VZBEC+ZBED=180°,ZCBE+ZABE=90°,

/.ZF+ZBED=180°,

ZABF+ZABE=900即NFBE=90°,

故滿足“直等補(bǔ)”四邊形的定義，

四邊形BEDF為"直等補(bǔ)''四邊形；

(2)?..四邊形Z8CZ)是"直等補(bǔ)''四邊形，AB=BC,

；.NA+/BCD=180°,ZABC=ZD=90°,

如圖2,將4ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到aCBF,

則NF=/AEB=90°,ZBCF+ZBCD=180°,BF=BE

AD,C、F共線，

四邊形EBFD是正方形，

，BE=FD,

設(shè)BE=x,則CF=x-l,

在RtZXBFC中,BC=5,

由勾股定理得：X2+(X-1)2=25,即》2一%一12=0，

解得：x=4或x=-3(舍去)，

ABE=4

E

//(3)如圖3,延長(zhǎng)CD到P,使DP=CD=1,延長(zhǎng)CB到T,使TB=BC=5,

5^--------7C

F

圖2

則NP=NC,MT=MC,

.?.△MNC的周長(zhǎng)=MC+MN+NC=MT+MN+NPNPT

當(dāng)T、M、N、P共線時(shí)，Z^MNC的周長(zhǎng)取得最小值PT,

過P作PH_LBC,交BC延長(zhǎng)線于H,

VZF=ZPHC=90°,ZBCF=ZPCH,

?,.△BCF^APCH,

.BCBF_CF

"~PC~~PH~~CH'

543

u即n-------=----,

2PHCH

解得：CH=%PH4

*、人「「656

在RtZ\PHT中，TH=5+5+-=—,

55

PT=yjPH2+HT2=872，

AA/NC周長(zhǎng)的最小值為872.

【點(diǎn)睛】

本題是一道四邊形的綜合題，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程、相似

三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)的最值問題等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，分析圖形，尋

找相關(guān)信息的聯(lián)系點(diǎn)，借用類比等解題方法確定解題思路，進(jìn)而進(jìn)行推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算.

【考點(diǎn)6】銃角三角函數(shù)及其應(yīng)用

[例6]（2020?山東日照?中考真題）閱讀理解：

如圖1,Rt/XZBC中，a,b,c分別是N/,ZB,NC的對(duì)邊，ZC=90°,其外接圓半徑為R根據(jù)銳角三

角函數(shù)的定義：siM=@,sin5=—,可得一--=--~—c—2R,即：---=---=---=2R,（規(guī)

ccsinAsin5sinAsin5sinC

定sin900=l）.

探究活動(dòng):

如圖2,在銳角中,分別是N4NRNC的對(duì)邊，其外接圓半徑為H,那么：——_______——

sinAsinB

-----（用＞、=或＜連接），并說明理由.

sinC

事實(shí)上，以上結(jié)論適用于任意三角形.

初步應(yīng)用：

在△/8C中，a,b,c分別是NB,NC的對(duì)邊，/力=60。，NB=45。,a=8,求人

綜合應(yīng)用：

如圖3,在某次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小鳳同學(xué)測(cè)量一古塔C。的高度，在/處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂C的仰角為15。，

又沿古塔的方向前行了100根到達(dá)B處，此時(shí)力，B,D三點(diǎn)在一條直線上，在B處測(cè)得塔頂C的仰角為45。,

求古塔8的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.（、方可.732,sinl5o=逅二變）

4

【答案】探究活動(dòng)：=,=,=;初步應(yīng)用：植；綜合應(yīng)用：古塔高度約為36.6m

3

【分析】

探究活動(dòng)：過點(diǎn)C作直徑8交。。于點(diǎn)I）,連接80,根據(jù)圓周角定理和正弦概念即可得出二27?,

sinA

bc

同理得出一一=27?,--=2R,從而得出答案；

sinBsinC

初步應(yīng)用：根據(jù)，一=」一=2及，得出‘一=」一，即可得出b的值；

sin/sin5sin60°sin45°

綜合應(yīng)用：由題意得：Z7）=90°,ZJ=15°,NDBC=45。,46=100,可知N4CB=30。.設(shè)古塔高0C=x,

則8C=、&,災(zāi)解直角三角形即可得H；答案.

【詳解】

a_b_c

解：探究活動(dòng):

sinJsin5sinC

理由如F：

如圖2,過點(diǎn)C作直徑CO交。。于點(diǎn)。，連接8D,

a

/.sirt4=siiiO,sinZ>

2R

.-^—=—=2R

??sinZa，

2R

bc

同理可證：-----=2R,-----=2R,

sinBsinC

a_b

=2%

sinAsinB募

故答案為：=

初步應(yīng)用:

sinAsinB

..8b

sin60°sin45°

8歷

L8sin4508

*r)---------=-=-=--瓜--

"sin60°V33'

T

綜合應(yīng)用：

由題意得：/。=90°,N4=15。，NO2c=45°,48=100,

二ZACB=30°.

設(shè)古塔高DC=x,則BC=，

ABBC

?~\=~■，

sinZ.ACBsinA

.100y[2x

"sin30°-sin150'

100五x

??J_-x/6-^2,

2

：.x=250(痛-旬=50(6-1卜50x0.732=36.6,

古塔高度約為36.6m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理、解直角三角形，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1】（2020?湖北荊門?中考真題）如圖，海島3在海島力的北偏東30°方向，且與海島力相距20

海里，一艘漁船從海島8出發(fā)，以5海里/時(shí)的速度沿北偏東75。方向航行，同時(shí)一艘快艇從海島4出發(fā),

向正東方向航行.2小時(shí)后，快艇到達(dá)C處，此時(shí)漁船恰好到達(dá)快艇正北方向的￡處.

北

（1）求乙4BE的度數(shù);

（2）求快艇的速度及C,E之間的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin15°?0.26,cos15°?0.97,tan15°?0.27,?1.73）

【答案】（1）乙48￡=135°；（2）快艇的速度為9.85海里時(shí)，C,E之間的距離為19.9海里.

【分析】

（1）過點(diǎn)B作BD1AC丁點(diǎn)D,作BF1CE于點(diǎn)E,根據(jù)題意求出NABD和NADE的度數(shù)，即可求解;

（2）求出BE的長(zhǎng)度，根據(jù)解直角三角形求出BF和EF的長(zhǎng)度，在中，求出AD、BD的長(zhǎng)度,

證出四邊形BOC戶為矩形，可求得快艇的速度和CE之間的距離.

【詳解】

（1）過點(diǎn)8作8。_LAC于點(diǎn)D,作BF1CE于點(diǎn)E.

由題意得：ZNAB=30°,NGBE=75。,

■：ANHBD,

二NABD=NNAB=30°,

而NDBE=180°-NGBE=180°-75°=105°

ZABE=ZABD+NDBE=30°+105°=135°.

（2）BE=5x2=T0（海里）

在Rt/\BEF'I',4EBF=90。-7