《彈性力學(xué)》試題參考答案與彈性力學(xué)復(fù)習(xí)題

彈性力學(xué)復(fù)習(xí)資料

一、簡答題

V1.試寫出彈性力學(xué)平面問題的根本方程.它們揭示的是那些物理量之間的相互關(guān)系？在應(yīng)用這些

方程時.應(yīng)注意些什么問題？

答：平面問題中的平衡微分方程：揭示的是應(yīng)力分量與體力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意兩個微分方

程中包含著三個未知函數(shù)ox、oy、Txy=iyx.因此.決定應(yīng)力分量的問題是超靜定的.還必須考慮

形變和位移.才能解決問題。

，平面問題的幾何方程：揭示的是形變分量與位移分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意當(dāng)物體的位移分量完

全確定時.形變量即完全確定。反之.當(dāng)形變分量完全確定時.位移分量卻不能完全確定。

J平面問題中的物理方程：揭示的是形變分量與應(yīng)力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意平面應(yīng)力問題和平

面應(yīng)變問題物理方程的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

V2.按照邊界條件的不同.彈性力學(xué)問題分為那幾類邊界問題？試作簡要說明。

答：按照邊界條件的不同.彈性力學(xué)問題分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和

混合邊界問題。

位移邊界問題是指物體在全部邊界上的位移分量是的.也就是位移的邊界值是邊界上坐標(biāo)的函數(shù)。

應(yīng)力邊界問題中.物體在全部邊界上所受的面力是的.即面力分量在邊界上所有各點都是坐標(biāo)的函

數(shù)。

混合邊界問題中.物體的一局部邊界具有位移.因而具有位移邊界條件；另一局部邊界則具有應(yīng)力

邊界條件。

V3.彈性體任意一點的應(yīng)力狀態(tài)由幾個應(yīng)力分量決定？試將它們寫出。如何確定它們的正負(fù)號？

答：彈性體任意一點的應(yīng)力狀態(tài)由6個應(yīng)力分量決定.它們是：6（、C7y,CTz>Txy>Tyz,>Tzxo正面上的應(yīng)力

以沿坐標(biāo)軸正方向為正.沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為負(fù)。負(fù)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為正.沿坐標(biāo)軸正方向

為負(fù)。

V4.在推導(dǎo)彈性力學(xué)根本方程時.采用了那些根本假定？什么是“理想彈性體〃？試舉例說明。

答：答：在推導(dǎo)彈性力學(xué)根本方程時.采用了以下根本假定：

〔1〕假定物體是連續(xù)的。

〔2〕假定物體是完全彈性的。

〔3〕假定物體是均勻的。

〔4〕假定物體是各向同性的。

〔5〕假定位移和變形是微小的。

符合〔1〕~〔4〕條假定的物體稱為“理想彈性體〃。一般混凝土構(gòu)件、一般土質(zhì)地基可近似視為“理

想彈性體"。

V5.什么叫平面應(yīng)力問題？什么叫平面應(yīng)變問題？各舉一個工程中的實例。

答：平面應(yīng)力問題是指很薄的等厚度薄板只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的

面力.同時體力也平行于板面并且不沿厚度變化。如工程中的深梁以及平板壩的平板

支墩就屬于此類。

平面應(yīng)變問題是指很長的柱型體.它的橫截面在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長

度變化的面力.同時體力也平行于橫截面而且也不沿長度變化.即內(nèi)在因素和外來作

用都不沿長度而變化。

無效6.在彈性力學(xué)里分析問題.要從幾方面考慮？各方面反映的是那些變量間的關(guān)系？

答：在彈性力學(xué)利分析問題.要從3方面來考慮：靜力學(xué)方面、幾何學(xué)方面、物理學(xué)方面。

平面問題的靜力學(xué)方面主要考慮的是應(yīng)力分量和體力分量之間的關(guān)系也就是平面問

題的平衡微分方程。平面問題的幾何學(xué)方面主要考慮的是形變分量與位移分量之間的

關(guān)系.也就是平面問題中的幾何方程。平面問題的物理學(xué)方面主要反映的是形變分量與應(yīng)力分量

之間的關(guān)系.也就是平面問題中的物理方程。

V7.按照邊界條件的不同.彈性力學(xué)平面問題分為那幾類？試作簡要說明

答：按照邊界條件的不同.彈性力學(xué)平面問題可分為兩類：

〔1〕平面應(yīng)力問題：很薄的等厚度板.只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力。這一類

問題可以簡化為平面應(yīng)力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存在

O\、by、T孫=7/三個應(yīng)力分量。

〔2〕平面應(yīng)變問題：很長的柱形體.在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變化的面力.而且體力

也平行于橫截面且不沿長度變化。這一類問題可以簡化為平面應(yīng)變問題。例如擋土墻和重力壩的受力分

析。該種問題Txz-Ta=0；7yz=%=。而一般%并不等于零。

V8.什么是圣維南原理？其在彈性力學(xué)的問題求解中有什么實際意義？

圣維南原理可表述為：

如果把物體的一小局部邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力〔主矢量相同.對于同一點的

主矩也相同〕.那麼近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變.但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計.

彈性力學(xué)的問題求解中可利用圣維南原理將面力分布不明確的情況轉(zhuǎn)化為靜力等效但分布表達(dá)明確

的情況而將問題解決。還可解決邊界條件不完全滿足的問題的求解。

V9.什么是平面應(yīng)力問題？其受力特點如何.試舉例予以說明。

答：平面應(yīng)力問題是指很薄的等厚度板.只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力.這

一類問題可以簡化為平面應(yīng)力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存在

o\、cry>"三個應(yīng)力分量。

無效10.什么是“差分法〃？試寫出根本差分公式。

答；所謂差分法.是把根本方程和邊界條件〔一般為微分方程〕近似地改用差分方程〔代數(shù)方程〕來表

示.把求解微分方程的問題改換成為求解代數(shù)方程的問題。根本差分公式如下：

二、計算題

1.過P點的應(yīng)力分量%=15Mpa,嗎=25Mpa,rxy=2QMpa。求過P

點./=cos30°、m=cos60°斜面上的X、、Kv、o心rNo

解：XN=/cr*+T盯=cos30°xl5+cos60°x20=22.99Mpa

2.在物體內(nèi)的任一點取一六面體.x、y^z方向的尺寸分別為dx、dy、dz?試依據(jù)下列圖證明：

d(rTdr

3+*+*+y=o。

dydzdx

證明：

化簡并整理上式.得：

3.圖示三角形截面水壩.材料的比重為p.承受比重為丫液體的壓力.已求得應(yīng)力解為

ax=ax+by

,%=cx+dy-儂?試寫出直邊及斜邊上的邊界條件。

rxy=-dx-ay

解：由邊界條件

左邊界：I=cos0,m=—sin0

右邊界：I=-1,zw=0

4.一點處的應(yīng)力分量=30吸〃，%=-25必?。，％=50M?a.試求主應(yīng)力丐、b2以及b1與

x軸的夾角。

解：

5.在物體內(nèi)的任一點取一六面體.x、v、z方向的尺寸分別為dx、dy、dz。試依據(jù)下列圖證明：

&dxdy

證明：

化簡并整理上式：

6.圖示懸臂梁只受重力作用.而梁的密度為p.設(shè)應(yīng)力函數(shù)。=A-+&2）+。到2+“3恒能滿足

雙調(diào)和方程。試求應(yīng)力分量并寫出邊界條件。

解：

所設(shè)應(yīng)力函數(shù)。

相應(yīng)的應(yīng)力分量為：

%=零=2許6%

邊界條件為：

上外表〔*?！?要求

%=〔一J>)y=O=0?8=0

均=（一%）尸。=0?A=0

斜邊界：y=xtg。,/=-sina,m=cosa,邊界條件得:

《彈性力學(xué)》試題參考答案〔答題時間：100分鐘〕

一、填空題〔每題4分〕

1.最小勢能原理等價于彈性力學(xué)根本方程中：平衡微分方程.應(yīng)力邊界條件O

V2.一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足：平衡微分方程.相容方程〔變形協(xié)調(diào)條件〕o

3.等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中.淚xdy=M的物理意義是桿端截面上剪應(yīng)力對轉(zhuǎn)軸的矩等于

桿截面內(nèi)的扭矩Mo

4.平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法中.Airy應(yīng)力函數(shù)。在邊界上值的物理意義為邊界上某一點〔基準(zhǔn)

點〕至ij任一點夕卜力的矩。

5.彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量表示為：

0v/+Xj=0.o

二、簡述題〔每題6分〕

V1.試簡述力學(xué)中的圣維南原理.并說明它在彈性力學(xué)分析中的作用。

圣維南原理：如果物體的一小局部邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力〔主矢與主

矩相同］.則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變.但遠(yuǎn)處的應(yīng)力所受影響可以忽略不計。

作用：〔1〕將次要邊界上復(fù)雜的面力〔集中力、集中力偶等〕作分布的面力代替。

〔2〕將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。

2.圖示兩楔形體.試分別用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)寫出其應(yīng)力函數(shù)。的別離變量形式。

題二〔2〕圖

(p{x,y')=ax~+bxy+cy2、(p(x,y)=ax3+bx2y+cxy2+dy3

LaJ<lbJ<

3.圖示矩形彈性薄板.沿對角線方向作用一對拉力2板的幾何尺寸如圖.材料的彈性模量E泊松

比〃□試求薄板面積的改變量AS。

題二〔3〕圖

設(shè)當(dāng)各邊界受均布壓力g時.兩力作用點的相對位移為△/。由￡=4(1—得.

E

設(shè)板在力夕作用下的面積改變?yōu)锳5.由功的互等定理有：

將△/代入得：

顯然.A5與板的形狀無關(guān).僅與E〃、/有關(guān)。

4.圖示曲桿.在r=Z?邊界上作用有均布拉應(yīng)力°.在自由端作用有水平集中力P。試寫出其邊界條

件〔除固定端外〕。

題二〔4〕圖

⑴%L=%%L=°；

〔2〕crI=0,7M=0

rIr=aIr=a

〔3〕adr=-Pcos0T-odr=PsinO

Ja3Jaf

5.試簡述拉甫〔Love〕位移函數(shù)法、伽遼金〔Galerkin〕位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的根

本思想.并指出各自的適用性

Love、Galerkin位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的根本思想：

〔1〕變求多個位移函數(shù)M(X,y),v(x,y),w(x,y)或/(廠,。),外(廠,，)為求一些特殊函數(shù).如調(diào)和

函數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。

〔2〕變求多個函數(shù)為求單個函數(shù)〔特殊函數(shù)〕。

適用性：Love位移函數(shù)法適用于求解軸對稱的空間問題；

Galerkin位移函數(shù)法適用于求解非軸對稱的空間問題。

三、計算題

1.圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向.間距為d的集中力作用.單位寬度上集中力的值為

2設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量.并討論所求解的適用范圍。〔提示：取應(yīng)力函數(shù)為

(P=Asin29+39]〔13分〕

題三〔1〕圖

解：很小可近似視為半平面體邊界受一集中力偶〃的情形。

將應(yīng)力函數(shù)9（r,8）代入.可求得應(yīng)力分量:

_1麗?1_

--Asin2,

22

rdrr83廠

邊界條件：

〔1〕（Jd\e=o=0,Tr0\0=o=0;Oo\e=n=0,=0

r^OrwO

代人應(yīng)力分量式.有

-4（2A+B）=0或2A+B=0〔1〕

〔2〕取一半徑為r的半圓為脫離體.邊界上受有：b,，卻，.和Pd

由該脫離體的平衡.得

將Tr8代入并積分.有

Asin2e+@2匹+M=0得BTT+M=0〔2〕

~2

聯(lián)立式〔1〕、〔2〕求得：

B=*=—里A=W

7T7C2jC

代人應(yīng)力分量式.得

2

在2Pdsin2^_n1r2Pdsin0

7irTCr

結(jié)果的適用性：由于在原點附近應(yīng)用了圣維南原理.故此結(jié)果在原點附近誤差較大.離原點較遠(yuǎn)

處可適用。

2.圖示懸臂梁.受三角形分布載荷作用.假設(shè)梁的正應(yīng)力由材料力學(xué)公式給出.試由平衡微分方

程求出r,cr并檢驗該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的相容方程。

y

〔12分〕

題三〔2〕圖

解：〔1〕求橫截面上正應(yīng)力

任意截面的彎矩為Af=—察丁.截面慣性矩為/=%.由材料力學(xué)計算公式有

6/12

⑴

〔2〕由平衡微分方程求7皿、（J

y

du.dr

⑵

平衡微分方程:

⑶

其中.x=o,y=o。將式〔1〕代入式〔2〕.有

積分上式.得

利用邊界條件：jJ.=0?有

22

-^xA+/1(x)=0即力(x)=—&x2"

4/A3114/A3

〔4〕

將式〔4〕代入式〔3〕.有

積分得

利用邊界條件:

得：

由第二式.得

將其代入第一式.得

40Vq。丫_q。v

~2lX~2lX~^~X自然成立。

將力（X）代入（Ty的表達(dá)式.有

〔5〕

所求應(yīng)力分量的結(jié)果:

▼a

⑹

校核梁端部的邊界條件：

〔1〕梁左端的邊界〔X=0〕：

hh

3=0代入后可見：自然滿足。

22

〔2〕梁右端的邊界〔X=/〕：

可見.所有邊界條件均滿足。

檢驗應(yīng)力分量（T2b是否滿足應(yīng)力相容方程：

常體力下的應(yīng)力相容方程為

將應(yīng)力分量工盯,by式〔6〕代入應(yīng)力相容方程.有

、12%

+%）=一獷孫

顯然.應(yīng)力分量CTx，T?,CTy不滿足應(yīng)力相容方程.因而式〔6〕并不是該該問題的正確解。

3.一端固定.另一端彈性支承的梁.其跨度為/.抗彎剛度F/為常數(shù).梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為〃。

梁受有均勻分布載荷q作用.如下圖。試：

〔1〕構(gòu)造兩種形式〔多項式、三角函數(shù)〕的梁撓度試函數(shù)W（X）;

〔2〕用最小勢能原理或Ritz法求其多項式形式的撓度近似解〔取1項待定系數(shù)〕。