高中數學 指數 專項訓練（解析版）

4.1指數

基礎鞏固

1.（2023春?河北石家莊?高一?？茧A段練習）式子J（兀-4『+"（3-兀丫的值為（

A.7—2兀B.27r—7C.—1D.1

【答案】A

【分析】利用指數幕的運算性質即可得出.

【詳解】4y+，（3-無［=|兀-4|+3—兀=4-兀+3-兀=7-2兀.

故選：A.

2.（2022秋,江蘇連云港?高一統(tǒng)考期中）下列運算結果中正確的是（）

C.=aD.'（―兀,=_兀

【答案】D

【分析】根據有理數指數幕、根式的運算法則計算可得答案.

【詳解】對于A選項，a3-a4=a3+4=a7,故A錯誤；

對于B選項，（-a2）3=-a6,故B錯誤；

對于C選項，當時，裕=a，當。＜0時，聒=-a，故C錯誤；

對于D選項，n（-兀）5=-n,故D正確.

故選：D.

3.（2022秋?廣東佛山,高一統(tǒng)考期中）*-2）5+J（TI-4）2的值為（）

A.2~7iB.71-6C.6—71D.71—2

【答案】A

【分析】由根式的性質求解即可.

【詳解】因為,（-2）5+J（兀-4）2=—2+］兀-4］=—2+4—兀=2—兀.

故選：A.

4.（2022秋?高一?？紗卧獪y試）已知。>0,則等于（）

13

A.a2B.小

1

C.a2D.a

【答案】A

【分析】根據指數幕運算求解.

【詳解】由題意可得：J,-L

故選：A.

5.（2022?全國?高一專題練習）下列根式、分數指數累的互化中，正確的是（）

A.—y[x=（—x）2（XWO）B.3_3/^

中#0）D.獷=3（y<0）

【答案】C

【分析】利用分數指數幕與根式的互化公式逐個判斷即可.

【詳解】A中，_&=_￡（XWO）,故A錯誤；

-11

B中，尤3=k，故B錯誤；

中/0）,故C正確；

D中，獷=（_y/（y<0）,故D錯誤.

故選：C.

6.（2023秋?高一課時練習）已知正數。、b滿足祈石x版^=5,貝1]。+36的最小值為（）

A.25B.24C.27D.5

【答案】C

【分析】利用指數運算可得出巳3+94=1,將代數式。+36與3一+4：相乘，展開后利用基本不等式可求得a+3b

abab

的最小值.

3434

v5=Vi25xV625所以，丁廠匕

因為0、b均為正數，所以，a+3Z)=(a+3Mf-+-L15+—+—>15+2.p^=27,

yabJba\ba

[a=9

當且僅當L4時，等號成立，

\b=6

因此，a+3b的最小值為27.

故選：C.

7.（2022秋?浙江寧波?高一校聯考期中）（IV化簡后的結果為（）

23

\7

A.2萬B.C.D.2%

【答案】C

【分析】根據根式、指數基運算求得正確答案.

5

2%--2

—=263=2^

【詳解】22

VV

故選：C

8.（2023?江蘇?高一假期作業(yè)）若中。0,則使府7=-2"成立的條件可能是（）

A.x>0,j?>0B.x>0,j/<0

C.x>0,j；>0D.x<0/<0

【答案】B

【分析】由根式的性質求解即可.

【詳解】因為而于=|2xy|=-29,所以xyWO,

又因為中工0,所以孫<0.

貝I]x>0,”0或x<0,y>0

故選：B.

9.（2023秋?高一課時練習）下列等式一定成立的是（）

1311o?Q

AB2CD.

-a^.a^=a-a^a=0-）=?a2=Q6

【答案】D

【分析】根據分數指數幕的運算法則計算可得；

【詳解】對于A：攜一/,故A錯誤;

+

對于B：-5.2-a~22_,故B錯誤;

對于C：（a3）2=a6,故C錯誤;

對rt于TD：.?1三1產11"1，故,.D正確;

故選：D

【答案】D

【分析】利用指數幕的運算性質求解.

【詳解】解：原式=1一（1一4）+1|）=l+3x1=1.

故選：D.

11.（2023?全國?高一假期作業(yè)）化簡《a.獷忑=（）

【答案】C

【分析】由根式與有理數指數幕的關系及指數幕運算，化簡為指數累形式即可.

【詳解】由，夕#].&=[".（/.&）邛=a2，a3，a\i=aTi.

故選:c

12.（2021秋?高一課時練習）化簡。-。）加■—市的結果是（）

A.sia-1B.—yja—1C.A-aD.-ijl-a

【答案】B

【分析】先分析。的取值范圍，再進行根式化簡.

【詳解】由題意得，a-l>0,即"1,

所以（?）后F=一F55=一G.

故選：B

fl-

13.（2023?全國?高一假期作業(yè)）設a>0,將/3七表示成分數指數塞的形式，其結果是（）

【答案】C

【分析】根據指數幕的運算性質計算即可得答案

7

6-

-Q

【詳解】解：7^

故選：C

14.（2022秋?江蘇南京?高一?？茧A段練習）若。<2,則底了=.

【答案】2-a

【分析】根據根式的運算求得正確答案.

【詳解】由題意可知，a<2,所以。一2<0,則加_2）6=|"2|=2e

故答案為：2-。

21

15.（2023春?河南洛陽?高一統(tǒng)考期末）83_（-2023）°+［（-2）〔5=.

【答案】5

【分析】利用分數指哥的運算性質求解即可

21

【詳解】83-（-2023）°+［（-2）15

2

=（23）?-1+2

=4-1+2=5,

故答案為：5

16.（2023?山西?高二統(tǒng)考學業(yè)考試）（0.064戶--［+］（-2丫「一16?75=

【答案】了23

【分析】根據指數基的性質進行計算.

［詳解］原式=（0.43）4_］+（—zr4—2"）—。下=0.4T_］+,_'=*_U'空

'）v716821616

故答案為：?23

16

17.（2022秋?江蘇鹽城?高一江蘇省射陽中學?？计谥校┮阎?吃==4,則/+丁=

【答案】194

【分析】將夜+；=4平方可得。+工=14,再將該式平方可得答案.

7aa

【詳角軍】由&+-^==4得（夜+-^=）2=16,gp6Z+—=14,

7a7aa

2

故（ad—）=196,所以/+2H--=196,貝!JQ2_|--=194,

aaa

即a2+a-2=194，

故答案為：194.

]]+X2—2

18.（2022?高一課時練習）已知丫54「5_4，則二---3—=____________.

AIA—J-......

X2+X2-3

【答案】3

【解析】由￡+YT_3可得，x+/=7，X2+X-2=47,代入數據計算即可得出.

人I人一J

【詳解】解：因為晝+3一3,

/2」Y

所以始+-=x+%-1+2=9,

I)

即%+工一1=7,

所以(x+x-)2=x2+婷+2=49,

即4+/=47,

X2+X-2-2尤2+無-2-247-2_45

所以xH

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查了指數與指數幕的運算，屬于中檔題.

19.（2022?高一課時練習）（；尸+（；）。一4?+（0.064）-3=.

【答案】q3

【分析】利用分數指數塞運算求解即可

【詳解】（1）-1+（1）0-42+（0.064）-3=3+1-23+（0.4）-'=-4+|=-|

故答案為一3:

【點睛】本題考查分數指數塞的運算，準確計算是關鍵，是基礎題

20.（2022秋?廣西河池?高一校聯考階段練習）設awR,且//求.

【答案】4亞

【分析】可對/一“4_2左右同時平方，結合平方關系即可求解

、ii（---Y

22l-1

【詳解】對ci-Cl5一_?乙左右同時平方得a—a=a+a~-2=4=>6z+6z=6

\7

同時由a；=2可判斷0>1，則。-/>0，（〃-/了=（a+0—]-4=32na-aT=4也

故答案為4夜

【點睛】本題考查利用整體法求解表達式數值，和的平方與差的平方的關系，可簡單記為：

(a_J=(a+b)2-4ab

21.（2。22?高一課時練習）計算：黑廠5掂=—?

【答案】1

【分析】由題意結合指數幕的運算法則整理計算即可求得最終結果.

【詳解】因為必有意義，所以。>。，所以原式"+必=”.=「

故答案為1.

【點睛】本題主要考查分數指數幕及其運算法則，屬于基礎題.

22.（2019?浙江,高一專題練習）化簡直正。>0）的結果是______.

X腳X

【答案】1

【分析】將分式化為分式指數累，然后利用指數暴的運算律即可得出結果.

【詳解】由題意得正答=耳=馬=1.

X'yJXXX76XT6

【點睛】本題考查指數事的計算，同時也考查了根式與分數指數幕的互化，考查計算能力，屬于基礎題.

1

r1丁

23.（2021秋?高一課時練習）化簡：（2-a）伍-20（_吟=_.

【答案】（一4尸

【分析】利用分數指數幕的運算法則計算出答案.

11

-1-15「111

［詳解］（2—Q）（。一2）2（-〃）5=（2-Q）（2-4）2（_〃）5=（2_Q）（2_Q）1（_Q/

故答案為：（一〃戶

24.（2023?江蘇?高一假期作業(yè)）計算：后1+4.而球==.

【答案】29

【分析】根據根式的概念和性質求解.

【詳解】原式=3+4X］（-2）［=-3+32=29.

故答案為：29

J.2

25.（2023?高一課時練習）求值：^J+（_5.6）°_^|iJ+0,125^=.

172

【答案】W

【分析】根據分數指數嘉的運算性質即可求解.

￡2

【詳解】+(-5.6)°+0.125-i

17

故答案為：y.

能力提升B組

26.(2021秋?高一?？颊n時練習)(多選題)下列運算正確的是()

A.鼻(3-江=兀_3B.e2x=(ex)2

C.—=a-bD.4ab=J'a-s/b

【答案】ABC

【分析】根據指數幕的運算法則及運算性質，分選項排除即可.

【詳解】對于A,^/(3-K)4=|3-K|=K-3,故A正確；

對于B,e2%=(ex)2,成立，故B正確；

對于C,W(a-b)3=a-b,成立，故C正確；

對于D,由可取。=-1且6=-1，但此時G和6無意義，故D錯誤，

故選：ABC.

27.(2022秋?河南濮陽?高一濮陽一高?？计谥?侈選題)已知。+小=4(〃〉0),則下列選項中正確的有

()

2233x

A.a+a~=14B.a+a~=56C.a2+a~2_D.a—a~=2^3

【答案】AC

【分析】根據各選項式子的結構變形求解即可.

【詳解】解：?.F+QT=4,

a?+〃?=(Q+Q1)—2=14；

cP+Cl3=(Q+Q)(浸-1+a2)，

/+q-3=4x13=52;

故A正確，B錯誤；

,「(Q+Qi)-(Q-Qi)=4,

:.a-a—±2A/^,

故C正確，D錯誤.

故選：AC.

28.（2022秋?高一單元測試）（多選題）已知實數。滿足Q+=4,下列選項中正確的是（）

A.a1+a2=14B.a—ax=2^/3

3_3

11"2+Q2

C./+”_、&D.、—二4

uCl—、/O1

Q]+Q5

【答案】AC

【分析】根據指數幕的運算依次討論各選項即可得答案.

【詳解】解：???〃+〃-1=/+。-2+2=16,/./+。-2=]4,故選項A正確；

{

,/(Q-QTJ=(Q+QT1一4=42一4=12,:.a-a~=±2百,故選項B錯誤;

=Q+2+=4+2=6,/.Q，+Q，=V6,故選項C正確；

3_3/口3/_J_y(J_2In~2

+Q2=q2+Q2=a2+a2(Q+〃-1―J_=Q+QT一1=3,故選項Q錯誤.

‘''J'

故選：AC.

29.（2022秋?云南曲靖?高一校考階段練習）（多選題）若〃GNM^R,則下列四個式子中有意義的是（）

A.玳-7）4"B.玳_7產C.標D.療

【答案】AC

【分析】根據根式的意義逐一判斷可得.

【詳解】因為〃eN,所以4〃為偶數，（-7）4->0,所以而鏟有意義，A正確；

取〃=1,則（-7）3<0,所以,（_7產無意義,B錯誤；

因為行的根指數為奇數，所以行有意義，C正確;

若。<0,則/<0,所以3/無意義，D錯誤.

故選：AC

30.（2022秋?福建福州?高一?？计谥校ǘ噙x題）下列根式與分數指數募的互化中正確的有（）

-_______1

B,鼻(-X)-4=爐(x>0)

【答案】BCD

【分析】根據分數指數幕與根式的互化逐項判斷.

1

【詳解】對于A,_近=_尤3@30），故A不正確;

故選：BCD.

31.（2022秋?廣東湛江?高一湛江二十一中?？计谥校ǘ噙x題）以下化簡結果正確的是（字母均為正數）

（）

1_i

A--Vx=（-x）2B.盼=y3

【答案】BC

【分析】根據分數指數幕和根式化簡，再結合根號下大于等于零，逐一判斷即可得出結論.

【詳解】對于A,=_%（x>0），故A錯誤;

_21

對于B,y]y2=（歹2）6=.3（.>0）,故B正確;

對于c,=>0,y>0)，故c正確;

yjx

x52

-111

對于D,X3=F=菽(X>。)，故D錯誤.

X3

故選：BC

32.（2022秋?廣東惠州?高一統(tǒng)考期末）（多選題）下列各式中成立的是（）

A.1后展一%B.廊=冷

C.[2）=bT（其中a>0,b>0）D.04+2e=1+6

【答案】BD

【分析】根據指數塞的運算法則逐一判斷即可.

【詳解】解：對于A,4_3）2='5=3五=3%=5,故錯誤;

I22、21

對于B,33==33=%，故正確;

對于C,=嗎=/齊,故錯誤;

\a）a

對于D,"+2G=｛（1+廚=1+C，故正確.

故選：BD.

33.（2022秋?青海海東?高一?？茧A段練習）（多選題）下列判斷正確的有（）

B-fa.Ja.元=滔（其中。＞0）

_3

j_3

C.f!6Y4_27

D.m4n8=m2n~3（其中加〉0,H>0）

181J87

【答案】BCD

【分析】根據根式的性質判斷A,根據分數指數塞的運算性質判斷B,C,D.

【詳解】對于選項A《（3-?！?|3-兀|=兀-3,A錯誤;

對于選項B,因為?！?,B正確;

對于選項C,C正確；

（1__3\8

對于選項D,因為加〉0,幾〉0,所以加§=m2n~3，D正確;

7

故選：BCD.

34.（2022秋?陜西西安?高一?？计谥校┯嬎?

1

86VI

(1)a5-b^海+防(a>0,b>0)；

7

o3

74

⑵0.064《(-2p+16-0-75+|-0.0Ip.

【答案】（1）1

,、143

(2)---

80

【分析】運用指數幕的運算法則對（1）（2）進行求解即可.

_434

(86\2Q、.廬?茄

【詳解】（1）心-b5----§-=1;

7b5

1

133

+16"5+卜0.0中=27+(一2尸+(2,廣+0,1

21681080

（1I1222、

35.（2023?全國?高一假期作業(yè)）（1）化簡：-2/歹不-4/必

-2