二項(xiàng)分布高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

7.4.1二項(xiàng)分布2008年北京奧運(yùn)會姚明高舉國旗51枚金牌21枚銀牌28枚銅牌100枚獎牌世界第一俺投籃，也是講概率地??！Ohhhh，進(jìn)球拉?。?！第一投，我要努力！又進(jìn)了，不愧是姚明?。。〉诙?，動作要注意??！這都進(jìn)了??！太離譜了！第三投，厲害了?。。　谒耐?，大灌藍(lán)哦??！姚明作為中鋒，罰球命中率為0.8，假設(shè)他每次命中率相同，請問他11投7中的概率是多少?觀察下列一次隨機(jī)試驗(yàn)的共同點(diǎn)：1、擲一枚硬幣出現(xiàn)的結(jié)果正面朝上；反面朝上2、檢驗(yàn)一件產(chǎn)品合格；不合格3、飛碟射擊中靶；脫靶4、醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)陰性；陽性只包含兩個可能結(jié)果的試驗(yàn)叫伯努利試驗(yàn)我們將一個伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).顯然，n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征:(1)同一個伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；“重復(fù)”意味著各次試驗(yàn)的概率相同.(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.思考下面3個隨機(jī)試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)?如果是，那么其中的伯努利試驗(yàn)是什么?對于每個試驗(yàn)，定義“成功”的事件為A，那么A的概率是多大?重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)是多少?(1)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次.(2)某飛碟運(yùn)動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)射擊3次.(3)一批產(chǎn)品的次品率為5%，有放回地隨機(jī)抽取20件.是,P(A)＝0.5,

n＝10；是,

P(A)＝0.8,

n＝3；是,P(A)＝0.05,n＝20.在伯努利試驗(yàn)中，我們關(guān)注某個事件A是否發(fā)生，而在n重伯努利試驗(yàn)中，我們關(guān)注事件A發(fā)生的次數(shù)X.進(jìn)一步地，因?yàn)閄是一個離散型隨機(jī)變量，所以我們實(shí)際關(guān)心的是它的概率分布列.例如，對產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)，隨機(jī)抽取n件，我們關(guān)心樣本中不合格品數(shù)的概率分布列.問題3：姚明罰球1次，命中目標(biāo)的概率是0.8，他投籃3次，恰好投中1次的概率為多少？用Ai表示“第i次投中”(i＝1,2,3)，則X=1的概率分布列為

探究姚明罰球投籃一次，投中的概率為0.8.連續(xù)3次投籃，投中數(shù)X的概率分布列是怎樣的?解：用Ai表示“第i次投中”(i＝1,2,3)，則X的概率分布列為由于3次投籃恰好1次投中

(或

2次投中

)的所有可能結(jié)果的概率相等，故為了簡化表示，投中次數(shù)X的分布列可表示為連續(xù)射擊4次，中靶次數(shù)X＝2的結(jié)果有中靶次數(shù)X的分布列為思考如果連續(xù)投籃4次，類比上面的分析，表示投中次數(shù)X等于2的結(jié)果有哪些?寫出中靶次數(shù)X的分布列.我們把上面這種分布稱為二項(xiàng)分布.一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為3.二項(xiàng)分布如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~B(n,p).思考對比二項(xiàng)分布與二項(xiàng)式定理，你能看出它們之間的聯(lián)系嗎?服從二項(xiàng)分布的事件A恰好發(fā)生k次的概率正好是二項(xiàng)式定理展開式的第k＋1項(xiàng)，故有（其中k=0，1，2，···，n）試驗(yàn)總次數(shù)事件A發(fā)生的概率事件A發(fā)生的次數(shù)（1）姚明罰球投籃一次，投中的概率為0.8，連續(xù)3次投籃，投中數(shù)為X.X~B(,)

30.8姚明作為中鋒，罰球命中率為0.8，假設(shè)他每次命中率相同，請問他11投7中的概率是多少?

例1將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求:(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率.解：設(shè)A＝“正面朝上”，(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率為則P(A)＝0.5.用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(10,0.5).(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)，等價于4≤X≤6，

于是所求概率為例1將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求:(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布的三個前提條件：(1)每次試驗(yàn)都是在同一條件下進(jìn)行的；(2)每一次試驗(yàn)都彼此相互獨(dú)立；(3)每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果只有兩個，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.只有這三個條件均滿足時才能說明隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，其事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率可用下面公式計(jì)算.歸納：

一般地，確定一個二項(xiàng)分布模型的步驟如下:

(1)明確伯努利試驗(yàn)及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p；

(2)確定重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n，并判斷各次試驗(yàn)的獨(dú)立性；

(3)設(shè)X為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(n,p).變式1某射手射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8，求這名射手在5次射擊中.(1)恰有3次擊中目標(biāo)的概率；