24.4弧長(zhǎng)和扇形面積教師版

★★★☆☆☆24.4弧長(zhǎng)和扇形面積★★★☆☆☆【過關(guān)筆記】三、弧長(zhǎng)公式在半徑為R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C=2πR，所以1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是2πR360，即πR180。于是n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l=注意：在弧長(zhǎng)公式中，n和180都不帶單位“度”。四、扇形的面積公式1.定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形。如圖，陰影部分扇形記做扇形OAB，白色部分扇形記做扇形OACB。2.扇形面積公式（1）在半徑為R的圓中，圓心角為n°的扇形的面積是（2）用弧長(zhǎng)表示扇形面積為S扇形=12五、圓錐1.概念：圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的幾何體。2.母線：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線。如圖，PA和PB。3.圓錐側(cè)面展開圖：沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，可以得到，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形；所以圓錐底面圓周長(zhǎng)=側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)4.r2+h2=母線2；5.圓錐的側(cè)面積和全面積：S側(cè)=πr母線；S全=πr母線+πr2【成長(zhǎng)例題】例題11一個(gè)扇形的半徑長(zhǎng)為5，且圓心角為60°，則此扇形的弧長(zhǎng)為π例題12一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是cm，半徑是6cm，則此扇形的圓心角是36度例題13已知扇形的弧長(zhǎng)為8π，圓心角為60°，則它的半徑為24例題14（19?鞍山）如圖，AC是⊙O的直徑，B，D是⊙O上的點(diǎn)，若⊙O的半徑為3，∠ADB＝30°，則的長(zhǎng)為2π．14圖22圖例題21有一個(gè)半徑為3的圓中畫一個(gè)扇形，圓心角為120°，該扇形面積為3π 例題22如圖，扇形的弧長(zhǎng)是20π，面積是240π，則此扇形的圓心角的度數(shù)是150°．例題23（19?錦州）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，邊長(zhǎng)AB＝2，則扇形AOB的面積為．23圖31圖例題31（2019·一中·月考）如圖，一張扇形紙片OAC，∠AOC＝120°，OA＝8，連接AB，BC，AC，若OA＝AB，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．例題32如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝4，半圓繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A′的位置，則圖中陰影部分的面積為2π．32圖33圖例題33（2020·十七中·期中）如圖，將一塊實(shí)心三角板和實(shí)心半圓形量角器按圖中方式疊放，三角板一直角邊與量角器的零刻度線所在直線重合，斜邊與半圓相切，重疊部分的量角器弧對(duì)應(yīng)的圓心角（∠AOB）為120°，BC的長(zhǎng)為2，則三角板和量角器重疊部分的面積為．例題34（2020·七中·期中）如圖，分別以等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB＝2，則萊洛三角形的面積（即陰影部分面積）為（D）A． B． C．2 D．2例題41（2019·育才·第三次月考）一圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)3，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為6π．例題42（2020·一中·月考）圓錐的母線長(zhǎng)5cm，底面半徑長(zhǎng)3cm，那么它的側(cè)面展開圖的圓心角是216度．例題43在學(xué)校組織的實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)制作了一個(gè)圓錐模型，它的底面半徑為5，側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐的母線長(zhǎng)為10例題44（19?營(yíng)口）圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為216°，母線長(zhǎng)為5，該圓錐的底面半徑為3．【過關(guān)練習(xí)】練習(xí)11一個(gè)扇形的圓心角為120°，它所對(duì)的弧長(zhǎng)為6πcm，則此扇形的半徑為9cm練習(xí)12已知圓錐的底面半徑為20，側(cè)面積為600π，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為30．練習(xí)13（2019·一中·月考）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為8cm的半圓，則該圓錐的底面半徑為4cm．練習(xí)14（2020·十七中·期中）若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是（B）A．90° B．120° C．150° D．180°練習(xí)15（2019·育才·期中）如圖，用一個(gè)半徑為20cm，面積為150πcm2的扇形鐵皮，制作一個(gè)無(wú)底的圓錐（不計(jì)接頭損耗），則圓錐的底面半徑r為7.5cm．15圖16圖練習(xí)16如圖1，OC是⊙O的半徑，弦AB垂直平分OC，垂足為點(diǎn)D，AB＝6cm，連接OA，OB，將圖中陰影部分的扇形OAB剪下圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（如圖2），則圓錐的底面圓半徑是2cm．練習(xí)17把一個(gè)半徑為3cm的圓片，剪去一個(gè)圓心角為120°的扇形后，用剩下的部分做成一個(gè)圓錐，那么這個(gè)圓錐的高為5cm．練習(xí)18（2020·七中·期中）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝4，扇形的圓心角θ＝120°，則該圓錐母線l的長(zhǎng)為12．18圖21圖22圖練習(xí)21如圖，點(diǎn)A、B在⊙O上，且AO＝2，∠AOB＝120°，則陰影部分面積為﹣．練習(xí)22（2020·十七中·期中）如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的頂點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，點(diǎn)E在OB的延長(zhǎng)線上，若正方形CDEF的邊長(zhǎng)為2，則圖中陰影部分的面積為（A）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8練習(xí)23（2020·一中·月考）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在⊙O上，若AB＝2cm，⊙O的半徑為2cm，則陰影部分的面積是（12﹣3﹣π）cm2．（結(jié)果保留根號(hào)和π）23圖24圖練習(xí)24（2019·育才·第三次月考）14．（3分）（2018?平邑縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，將Rt△ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△ADE，則BC掃過的面積為π．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AB＝4，AC＝2，∴BC掃過的面積為：＝π，練習(xí)31（2020·七中·期中）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，OC∥BD，交AD于點(diǎn)E，連結(jié)BC．（1）求證：AE＝ED（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的長(zhǎng)．【解答】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴．練習(xí)32（2019·育才·第三次月考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD與BC是⊙O的直徑，延長(zhǎng)線段AC至點(diǎn)G，使AG＝AD，連接DG交⊙O于點(diǎn)E，EF∥AB交AG于點(diǎn)F．（1）求證：EF與⊙O相切．（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面積．【解答】（1）證明：如圖1，連接OE，∵OD＝OE，∴∠D＝∠OED，∵AD＝AG，∴∠D＝∠G，∴∠OED＝∠G，∴OE∥AG，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵EF∥AB，∴∠BAF+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝90°，∵OE∥AG，∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，∴OE⊥EF，∴EF與⊙O相切；（2）解：如圖2，連接OE，過點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H，∵AC＝4，∴CH＝，∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，∴四邊形OEFH是矩形，∴，在Rt△OHC中，OC＝＝＝4，∵OA＝AC＝OC＝4，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∴S扇形OAC＝＝．

24.4作業(yè)一．選擇題（共10小題）作業(yè)1如圖，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分點(diǎn)，連接OC并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D．若OC＝3，CD＝2，則圓心O到弦AB的距離是（）A．6 B．9﹣ C． D．25﹣3【解答】解：如圖：過O作OG⊥AB于G，根據(jù)垂徑定理有：AG＝BG，設(shè)AC＝2a，則CB＝4a，CG＝a，GB＝3a，在Rt△OCG中，OC2＝OG2+CG2＝OG2+a2①在Rt△OBG中，OB2＝OG2+GB2＝OG2+9a2②又OC＝3，OB＝5，代入①②中，解方程得：a2＝2，OG2＝7．所以圓心到弦的距離是．故選：C．作業(yè)2如圖，在⊙O中，∠B＝37°，則劣弧的度數(shù)為（）A．106° B．126° C．74° D．53°【解答】解：連接OA，∵OA＝OB，∠B＝37°∴∠A＝∠B＝37°，∠O＝180°﹣2∠B＝106°．故選：A．作業(yè)3如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若∠ABC＝70°，則∠AOC的度數(shù)等于（）A．140° B．130° C．120° D．110°【解答】解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所對(duì)的圓心角和圓周角，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°；故選：A．作業(yè)4有下列四個(gè)命題：①直徑是弦；②經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓；③三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等；④半徑相等的兩個(gè)半圓是等?。渲姓_的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【解答】解：①經(jīng)過圓心的弦是直徑，即直徑是弦，弦不一定是直徑，故正確；②當(dāng)三點(diǎn)共線的時(shí)候，不能作圓，故錯(cuò)誤；③三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，所以三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等，故正確；④在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧是等弧，所以半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧，故正確．故選：B．作業(yè)5如圖，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，點(diǎn)E是⊙O上一點(diǎn)，且∠AEB＝60°，則∠P的度數(shù)為（）A．120° B．90° C．60° D．75°【解答】解：連接OA、OB．在四邊形PAOB中，由于PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，則∠OAP＝∠OBP＝90°，又∠AOB＝2∠E＝120°，∠P＝60°．故選：C．作業(yè)6△ABC的內(nèi)切圓⊙O和各邊分別相切于D，E，F(xiàn)，則O是△DEF的（）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【解答】解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OD＝OE＝OF，∴點(diǎn)O是△DEF的外心，∴O是△DEF三邊垂直平分線的交點(diǎn)；故選：D．作業(yè)7已知正六邊形的邊長(zhǎng)為10cm，則它的邊心距為（）A．cm B．5cm C．5cm D．10cm【解答】解：如圖，∵在正六邊形中，OA＝OB＝AB，∴在Rt△AOG中，OA＝AB＝10，∠AOG＝30°，∴OG＝OA?cos30°＝10×＝5．故選：C．作業(yè)8正六邊形的半徑為R，則它的邊心距為（）A．R B．R C．R D．R【解答】解：如圖所示，∵正六邊形的半徑是OA＝OB＝R，∴∠AOB＝（）°＝60°，∠AOD＝∠AOB＝30°，∴OD＝OA?cos30°＝R．故選：B．作業(yè)9現(xiàn)有30%圓周的一個(gè)扇形彩紙片，該扇形的半徑為40cm，小紅同學(xué)為了在“六一”兒童節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)上表演節(jié)目，她打算剪去部分扇形紙片后，利用剩下的紙片制作成一個(gè)底面半徑為10cm的圓錐形紙帽（接縫處不重疊），那么剪去的扇形紙片的圓心角為（）A．9° B．18° C．63° D．72°【解答】解：20π＝解得：n＝90°，∵扇形彩紙片是30%圓周，因而圓心角是108°∴剪去的扇形紙片的圓心角為108°﹣90°＝18°．剪去的扇形紙片的圓心角為18°．故選：B．作業(yè)10如圖，把⊙O1向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得⊙O2，兩圓相交于A、B，且O1A⊥O2A，則圖中陰影部分的面積是（）A．4π﹣8 B．8π﹣16 C．16π﹣16 D．16π﹣32【解答】解：根據(jù)勾股定理可得：O1A2+O2A2＝2AO12＝2AO22＝O1O22＝82，∴O1A＝O2A＝4，又l＝＝，扇形面積S1＝rl＝πr2＝π?（4）2＝8π，△ABO2的面積S2＝r2＝16，∴S＝S1﹣S2＝8π﹣16．故選：B．二．填空題（共10小題）作業(yè)11已知⊙O的半徑為5cm，弦AB的長(zhǎng)為8cm，則圓心O到AB的距離為3cm．【解答】解：作OC⊥AB于C點(diǎn)，利用垂徑定理可知，AB＝2BC，∴BC＝4cm，再利用勾股定理可知，CO2+BC2＝BO2，CO＝＝3，圓心O到AB的距離CO為3cm．作業(yè)12如圖，A、B、C是⊙O上三點(diǎn)，∠ACB＝30°，則∠BAO的度數(shù)是60度．【解答】解：連接OB∵∠ACB＝30°∴∠AOB＝2∠ACB＝60°∵OA＝OB∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣60°）÷2＝60°．作業(yè)13如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是上兩點(diǎn)，∠ADC＝120°，則∠BAC的度數(shù)是30度．【解答】解：∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝120°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°．故答案為：30．作業(yè)14如圖⊙O為正△ABC的外接圓，OD∥AB（其中D為外接圓上的點(diǎn)），則∠BCD＝15度．【解答】解：連接BO，∵△ABC是正三角形，AB＝BC，∴∠ABO＝∠ABC＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°，∴∠BCD＝∠BOD＝15°．故答案為：15．作業(yè)15△ABC是半徑為2的圓的內(nèi)接三角形，若BC＝2，則∠A的度數(shù)為60°或120°．作業(yè)16已知圓O的直徑為6cm，如果直線l上的一點(diǎn)C到圓心O的距離為3cm，則直線l與圓O的位置關(guān)系是相交或相切．作業(yè)17已知：如圖，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)A在CD的延長(zhǎng)線上，AB切⊙O于點(diǎn)B，若∠A＝30°，OA＝10，則AB＝5．作業(yè)18正六邊形的邊長(zhǎng)為8cm，則它的面積為96cm2．【解答】解：如圖所示，正六邊形ABCD中，連接OC、OD，過O作OE⊥CD；∵此多邊形是正六邊形，∴∠COD＝＝60°；∵OC＝OD，∴△COD是等邊三角形，∴OE＝CE?tan60°＝×＝4cm，∴S△OCD＝CD?OE＝×8×4＝16cm2．∴S正六邊形＝6S△OCD＝6×16＝96cm2．作業(yè)19已知：扇形OAB的半徑為12厘米，∠AOB＝150°，若由此扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐底面圓的半徑是5厘米．【解答】解：半徑為12的扇形的弧長(zhǎng)是＝10π，圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)，因而圓錐的底面周長(zhǎng)是10π，設(shè)圓錐的底面半徑是r，則得到2π這個(gè)圓錐底面圓的半徑是5厘米．作業(yè)20如圖，三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，則圖中陰影部分面積的和是（結(jié)果保留π）．【解答】解：根據(jù)圖示知，∠1+∠2＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴圖中陰影部分的圓心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2＝135°，∴陰影部分的面積應(yīng)為：S＝＝．故答案是：．三．解答題（共5小題）作業(yè)21已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC、OD分別交AB于點(diǎn)E、F，且OE＝OF．求證：AE＝BF．【解答】證明：如圖，過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，則AM＝BM．又∵OE＝OF∴EM＝FM，∴AE＝BF．作業(yè)22如圖，已知⊙O的弦AB，E，F(xiàn)是弧AB上兩點(diǎn)，＝，OE、OF分別交于AB于C、D兩點(diǎn)，求證：AC＝BD．【解答】證明：連接OA、OB，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵＝，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD．作業(yè)23如圖，鈍角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是邊AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O