16.1二次根式2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期重點(diǎn)題型方法與技巧（人教版）

第十六章二次根式16.1二次根式1二次根式的定義我們把形如a(a叫做被開方數(shù)；叫做二次根式.【例】2,a-1a≥12二次根式有意義的條件二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于0，即要使得a有意義，則a≥0【例】要使得x-1有意義，則x3二次根式的性質(zhì)（1）雙重非負(fù)性：a中a≥0，a≥0（2）(a【例】(3)2（3）a2=【例】32=3，(-3)2【題型1】二次根式的定義【典題1】已知下列各式：10,-x2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解析10,-x故選：D．【鞏固練習(xí)】1.下列各式是二次根式的是()A．3 B．-1 C．35 D．答案A解析A、3是二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；B、-1沒有意義，故本選項(xiàng)不符合題意；C、35D、π-4中π﹣4＜0，不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．2.下列式子中，是二次根式的是()A．-3 B．38 C．a(chǎn)-1(a<1) D答案D解析A．-3中的﹣3＜0，該代數(shù)式無意義，不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B．38的根指數(shù)是3C．a(chǎn)＜1，則a﹣1＜0，a-1無意義，不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．a(chǎn)2故選：D．3.下列式子一定是二次根式的是()A．-x-2 B．x C．x2+2 D答案C解析∵x2≥0，∴x2+2≥2，∴x2而-x-2、x和x2-2中的被開方數(shù)均不能保證大于等于故選：C．4.下列式子中，是二次根式的有()個(gè)①x2+2；②3x；③313A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析①x2+2、④③31②3x中當(dāng)x＜0時(shí)，不是二次根式，故不符合題意．綜上所述，二次根式的個(gè)數(shù)是2．故選：B．【題型2】二次根式有意義的條件【典題1】若代數(shù)式x+3|x|-2-11-2x有意義，則x解析若代數(shù)式x+3|x|-2必有&x+3?0&|x|-2≠0&1-2x>0，解得-3?x<12且x≠【鞏固練習(xí)】1.若ab是二次根式，則a，b應(yīng)滿足的條件是(A．a(chǎn)，b均為非負(fù)數(shù) B．a(chǎn)，b同號(hào) C．a(chǎn)≥0，b＞0 D．a(chǎn)答案D解析∵ab是二次根式，∴aA、a、b可以都是負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、a＝0可以，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、a、b可以都是負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、ab故選：D．2.已知代數(shù)式x-3有意義，則x的值可能是()A．4 B．2 C．1 D．0答案A解析代數(shù)式x-3有意義，則x﹣3≥0，解得：x≥3，故x的值可能是4，故選：A．3.若2x-1是二次根式，則x的取值范圍是(A．x為非負(fù)數(shù) B．x≠1 C．x≥1 D．x＞1答案D解析根據(jù)題意得：x﹣1＞0，解得x＞1．故選：D．4.要使式子3x+9x-2有意義，x的取值范圍是(A．x≥﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x≤﹣3且x≠2 D．x＞﹣3且x≠2答案B解析由題意得：&3x+9?0&x-2≠0，解得x≥﹣3且x≠2故選：B．5.已知a滿足|2017-a|+a-2018=a，則a﹣20172的值是答案2018解析∵|2017-a|+a-2018=a，∴a﹣故a≥2018，則原式可變?yōu)椋篴﹣2017+a-2018＝a，故a﹣2018＝20172，則a﹣20172＝2018．故答案為：2018．【題型3】二次根式的性質(zhì)與化簡【典題1】已知1＜a＜3，那么化簡代數(shù)式1-2a+a2-aA．5﹣2a B．2a﹣5 C．﹣3 D．3解析∵1＜a＜3，∴a﹣1＞0，a﹣3＜0，∴1-2a+a故選：B．【典題2】閱讀下面的解題過程體會(huì)如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題化簡：(1-3x解：隱含條件1﹣3x≥0，解得x?1∴1﹣x＞0．∴原式＝(1﹣3x)﹣(1﹣x)＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．【啟發(fā)應(yīng)用】(1)按照上面的解法，試化簡(x-3)【類比遷移】(2)實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：a2(3)已知a，b，c為ABC的三邊長．化簡：(a+b+c)解析(1)隱含條件2﹣x≥0，解得：x≤2，∴x﹣3＜0，∴原式＝(3﹣x)﹣(2﹣x)＝3﹣x﹣2+x＝1；(2)觀察數(shù)軸得隱含條件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；(3)由三角形的三邊關(guān)系可得隱含條件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝(a+b+c)+(﹣a+b+c)+(﹣b+a+c)+(﹣c+b+a)＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c．【鞏固練習(xí)】1.計(jì)算(-11)2的結(jié)果為A．﹣11 B．11 C．±11 D．121答案B解析∵(-11)2故選：B．2.化簡(3-π)2得(A．π﹣3 B．3﹣π C．﹣π﹣3 D．π+3答案A解析(3-π)2=|3-π|=π-33.已知ab＜0，則a2b化簡后為(A．a(chǎn)b B．-ab C．a(chǎn)-b 答案B解析∵a2≥0，ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴a2故選：B．4.化簡9-6x+x2+(2x-7A．3x﹣10 B．3x+10 C．10﹣3x D．10x﹣3答案A解析由題意得，2x﹣7≥0，∴x≥3.5，∴9-6x+x故選：A．5.如果一個(gè)三角形的三邊長分別為12、k、72，則化簡k2-12A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k答案D解析∵一個(gè)三角形的三邊長分別為12、k、7∴72∴3＜k＜4，k2=(故選：D．6.已知16-x2-4-x2答案3解析∵16-x而16-x∴22∴16-x故答案為：327.閱讀材料：如果我們能找到兩個(gè)正整數(shù)x，y使x+y＝a且xy＝b，這樣a+2b=(x)2+(y)2+2x?y=(x+y)2答案2+解析11+2=4故答案為：2+78.觀察：①3-22=2-1，②5-26=3-2，③7-43答案17-12解析通過觀察等式的中被開方數(shù)與等式的序號(hào)的關(guān)系找到規(guī)律為：第n個(gè)式子為：2n+1-2n(n+1)∴第8個(gè)等式的是：2×8+1-29×8即：17-122故答案為：17-122【A組基礎(chǔ)題】1.下列各式中①a；②b+1；③a2；④a2+3；⑤x2-1A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)答案B解析∵式子a(a≥0)是二次根式，∴a，b+1，x2∵a2≥0，∴a2+3＞0，∴a2，a故選：B．2.若代數(shù)式xx-2有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2答案D解析由題意得x≥0且x﹣2≠0，解得x≥0且x≠2，故選：D．3.已知18n是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為(A．4 B．3 C．2 D．1答案C解析當(dāng)n＝2時(shí)，18n所以最小的正整數(shù)n為2．故選：C．4.下列式子正確的是()A．(-9)2=-9 B．25=±5 C．3答案C解析根據(jù)二次根式的性質(zhì)：A、(-9)2=9，故A錯(cuò)誤；B、25C、屬于立方根的運(yùn)算，故C正確；D、(-2)2故選：C．5.某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)二次根式a2=|a|后，研究了如下四個(gè)問題，其中錯(cuò)誤的是(A．在a＞1的條件下化簡代數(shù)式a+a2-2a+1的結(jié)果為2aB．a(chǎn)+a2-2a+1的值隨a變化而變化，當(dāng)C．當(dāng)a+a2-2a+1的值恒為定值時(shí)，字母a的取值范圍是D．若a2-2a+1=(a-1)答案B解析a2當(dāng)a＞1時(shí)，a+a當(dāng)a＝1時(shí)，a+a2-2a+1＝a+a﹣1＝2a﹣1當(dāng)a＜1時(shí)，a+a2-2a+1＝a﹣a+1因此A選項(xiàng)、C選項(xiàng)、D選項(xiàng)均正確，只有B選項(xiàng)不正確，故選：B．6.已知x，y為實(shí)數(shù)，且y=x-9-9-x+4，則x答案5解析依題意得：&x-9?0&9-x?0，解得x＝9所以y＝4故x+y=3+2故答案為：5．7.化簡：2＜x＜4時(shí)，x2-4x+4-x答案2x﹣6解析∵2＜x＜4，∴x﹣2＞0，x﹣4＜0，∴原式==x-2-4+x=2x-6．故答案為：2x﹣6．8.已知m是2的小數(shù)部分，則m2+1m答案2解析原式=m∵m為2小數(shù)部分，∴m＝2﹣1，∴1m∴m＜1m原式=1故答案為：2．9.探究過程：(1)62+13；(2)132+27；(3)觀察計(jì)算過程：62132252(1)按照上面的思路解法，計(jì)算492(2)請(qǐng)你用含n(n＞0)的式子表示上面過程中的規(guī)律；(3)應(yīng)用根據(jù)上面解題方法解決下面的數(shù)學(xué)問題：如圖，已知圖1是邊長為756和1513的兩個(gè)正方形，圖2是由圖1通過切割后拼成的一個(gè)大正方形，請(qǐng)求出大正方形的邊長．答案(1)50；(2)n2+2n+1解析(1)由題意可得，492(2)由探究規(guī)律可得，n2(3)設(shè)大正方形的邊長為a，由圖1和圖2的面積相等可得：7562+(1513)2=a2∴a=756即大正方形的邊長為757．10.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們一般先仔細(xì)閱讀題干，找出有用信息作為已知條件，然后利用這些信息解決問題，但是有的題目信息比較明顯，我們把這樣的信息稱為顯性條件；而有的信息不太明顯，需要結(jié)合圖形、特殊式子成立的條件、實(shí)際問題等發(fā)現(xiàn)隱含信息作為條件，我們把這樣的條件稱為隱含條件；所以我們?cè)谧鲱}時(shí)，要注意發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件．閱讀下面的解題過程，體會(huì)如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題．化簡：(1-3x解：隱含條件1﹣3x≥0，解得x?1∴1﹣x＞0，∴原式＝(1﹣3x)﹣(1﹣x)＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．(1)試化簡：(x-3)(2)已知a、b滿足(2-a)2=a+3,答案(1)1；(2)±14解析(1)隱含條件2﹣x≥0，解得：x≤2，所以(x-3)2-(2-x)2＝3﹣x﹣(2﹣x)＝3﹣x(2)∵(2-a)若a≥2，則a﹣2＝a+3，不成立，故a＜2，∴2﹣a＝a+3，∴a=-1∵a-b+1＝a﹣b+1，∴a﹣b+1＝1或0，∴b＝-12或∴ab＝±14【B組提高題】1.實(shí)數(shù)a、b滿足a2-4a+4+36-12a+a2=10-|b+4|-|b-2|，則a2答案52解析原式變形為(a-2)∴|a﹣2|+|a﹣6|+|b+4|+|b﹣2|＝10，∴a到2和6的距離之和是4，b到﹣