安徽省A10聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

1號(hào)卷·A10聯(lián)盟2023級(jí)高一下學(xué)期2月開(kāi)年考數(shù)學(xué)（人教A版）本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第I卷選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解出指數(shù)不等式，得到集合，再解出一元二次不等式得到集合，最后根據(jù)集合的交并補(bǔ)即可.【詳解】由題意得，，或，或，，故選：B.2.若，則（）A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】把指數(shù)式化對(duì)數(shù)式，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)一步化簡(jiǎn)即可.詳解】由，得，，，.故選:C.3.已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為（）A. B.4 C. D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本不等式及題中條件建立不等式，解出即可.【詳解】，，，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為8.故選：D.4.點(diǎn)從出發(fā)，沿著單位圓順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可知不妨設(shè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的角為，再利用誘導(dǎo)公式求出，，即可得解.【詳解】因?yàn)椋圆环猎O(shè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的角為，則，，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為即.故選：C.5.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】由題意得，，，，，，.故選：D.6.已知角，滿(mǎn)足，，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)商數(shù)關(guān)系得到，再利用兩角和與差的余弦公式計(jì)算即可.【詳解】，，，，，故選：A.7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出不等式組，解出即可.【詳解】由題意得，，解得.故選：C.8.如圖，在扇形中，，，點(diǎn)P在弧上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），分別在點(diǎn)作扇形所在圓的切線(xiàn)，，且，交于點(diǎn)C，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，則的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，.設(shè)，，利用直角三角函數(shù)以及切線(xiàn)的性質(zhì)表示出，再利用三角恒等變形公式及基本不等式求最值.【詳解】連接，.設(shè)，，在中，，由得，.在中，，，.令，則，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列計(jì)算中正確是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用三角恒等變形的公式逐一計(jì)算判斷.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的新函數(shù)是奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.若方程在上有且只有6個(gè)根，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，利用函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】由圖象得，，，而，則，，由的圖象過(guò)點(diǎn)，得，解得，而的周期有，即，解得，因此，，A正確；函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的新函數(shù)是，非奇非偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；顯然，若方程在上有且只有6個(gè)根，則，D正確.故選：AD11.已知是定義在R上的偶函數(shù)，若，，且，恒成立，且，則滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)m的值可能為（）A. B. C.1 D.3【答案】ABD【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)條件確定其單調(diào)性和奇偶性，然后利用單調(diào)性和奇偶性來(lái)解不等式即可.【詳解】由已知等價(jià)于，令，則，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以是偶函數(shù)，且.因?yàn)?，即，即，所以或，解得?故選：ABD.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則____________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，即可求出函數(shù)解析式，最后代入求值即可.【詳解】設(shè)，則，解得，所以，則.故答案：13.函數(shù)的值域是____________.【答案】【解析】【分析】分離常數(shù)后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域，逐步計(jì)算即可.【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，所以，即函?shù)的值域是.故答案為：.14.中國(guó)茶文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，博大精深，茶水的口感與茶葉的類(lèi)型和水的溫度有關(guān)，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.為了控制水溫，某研究小組聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規(guī)律：設(shè)物體的初始溫度是，經(jīng)過(guò)后的溫度是T，則，其中表示環(huán)境溫度，h為常數(shù).該研究小組經(jīng)過(guò)測(cè)量得到，剛泡好的綠茶水溫度是，放在的室溫中，以后茶水的溫度是，在上述條件下，大約需要再放置__________能達(dá)到最佳飲用口感.（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】13.3【解析】【分析】根據(jù)題意列出等式，可得，根據(jù)條件列出方程，解出即可.【詳解】由題意得，，即，則.設(shè)大約需要再放置能達(dá)到最佳飲用口感，則，即，則，所以，解得.故答案為：13.3.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，命題“，”是真命題.（1）求實(shí)數(shù)a的取值集合B；（2）在（1）的條件下，若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式有解，列式求解即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用充分不必要條件的定義，借助集合包含關(guān)系求解即得.【小問(wèn)1詳解】由命題“，”是真命題，得，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值集合.【小問(wèn)2詳解】顯然，由“”是“”的充分不必要條件，得真包含于，則或，解得或，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.16.近年來(lái)，我國(guó)逐漸用風(fēng)能等清潔能源替代傳統(tǒng)能源，目前利用風(fēng)能發(fā)電的主要手段是風(fēng)車(chē)發(fā)電.如圖，風(fēng)車(chē)由一座塔和三個(gè)葉片組成，每?jī)蓚€(gè)葉片之間的夾角均為，現(xiàn)有一座風(fēng)車(chē)，塔高100米，葉片長(zhǎng)40米.葉片按照逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，并且每5秒旋轉(zhuǎn)一圈，風(fēng)車(chē)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)時(shí)某葉片的一個(gè)端點(diǎn)P在風(fēng)車(chē)的最低點(diǎn)（此時(shí)P離地面60米）.設(shè)點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)t（秒）后離地面的距離為S（米），則S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為.（1）求的解析式；（2）求葉片旋轉(zhuǎn)一圈內(nèi)點(diǎn)P離地面的高度不低于80米的時(shí)長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中條件寫(xiě)出方程組，解出即可；（2）根據(jù)題中條件建立不等式，解出即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，風(fēng)車(chē)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)時(shí)某葉片的一個(gè)端點(diǎn)P在風(fēng)車(chē)的最低點(diǎn)，設(shè)為，則，由題意得，，，解得，所以.注：寫(xiě)成也給分.【小問(wèn)2詳解】令，則，即，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，，所以葉片旋轉(zhuǎn)一圈內(nèi)點(diǎn)P離地面的高度不低于80米的時(shí)長(zhǎng)為秒.17.已知函數(shù).（1）若，且，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若，函數(shù)的定義域?yàn)镮，存在，使得在上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，解出方程即可；（2）考查函數(shù)的單調(diào)性，可得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的根，換元后轉(zhuǎn)化關(guān)于λ的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，，列出不等式組，解出即可.【小問(wèn)1詳解】若，且，則，令，則，解得，即函數(shù)的零點(diǎn)為0.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以函?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镮，存在，使得在上的值域?yàn)?，故，所以關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的根，所以，即有兩個(gè)不同的根.令，則，則關(guān)于λ的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，，所以，解得，故實(shí)數(shù)t的取值范圍為.18.已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）設(shè)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后根據(jù)條件得的值，再將轉(zhuǎn)化為用表示，代入的值計(jì)算即可；（2）先根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，然后將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解即可.【小問(wèn)1詳解】由已知，若，則，即，所以；【小問(wèn)2詳解】由題意得，，所以，因?yàn)椋?，所?由題意可知不等式在上恒成立，即在上恒成立，所以，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.19.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且?dāng)時(shí)，.（1）判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）解不等式：；（3）已知，，若對(duì)，，使得成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【答案】（1）奇函數(shù)，理由見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）通過(guò)賦值法，利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；（2）考查函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式求解即可；（3）根據(jù)題意知，即，分類(lèi)討論求得，解出不等式即可.【小問(wèn)1詳解】為奇函數(shù).令，則，解得.令，則，即，又的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以為奇函數(shù).【小問(wèn)2詳