河北省秦皇島市深河鄉(xiāng)北莊河中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

河北省秦皇島市深河鄉(xiāng)北莊河中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤2016π），則函數(shù)f（x）的各極大值之和為（）A． B．C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】先求f′（x）=2exsinx，這樣即可得到f（π），f（3π），f（5π），…，f為f（x）的極大值，并且構(gòu)成以eπ為首項(xiàng)，e2π為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求f（x）的各極大值之和即可．【解答】解：：∵函數(shù)f（x）=ex（sinx﹣cosx），∴f′（x）=[ex（sinx﹣cosx）]′=ex（sinx﹣cosx）+ex（cosx+sinx）=2exsinx；令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）；∴當(dāng)2kπ＜x＜2kπ+π時(shí)，f′（x）＞0，原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+2π時(shí)，f′（x）＜0，原函數(shù)單調(diào)遞減；∴當(dāng)x=2kπ+π時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，此時(shí)f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]=e2kπ+π；又∵0≤x≤2016π，∴0和2016π都不是極值點(diǎn)，∴函數(shù)f（x）的各極大值之和為：eπ+e3π+e5π+…+e2015π=，故選：D．2.下列各式中與相等的是（

）A．

B．C．

D．

參考答案：B3.已知兩點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，且，設(shè)等于

（

）

A．

B．2

C．1

D．

參考答案：C4.已知圓,圓,分別是圓上的動(dòng)點(diǎn),為軸上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：A略5.已知三次函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍為（）Ａ．或

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．以上皆不正確參考答案：D6.離心率為，且過(guò)點(diǎn)（2,0）的焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．

B．

C．

D．參考答案：D已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，若橢圓過(guò)點(diǎn)，則，又由其離心率為，即，則，，即，故選D.

7.一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18，則該數(shù)列的第項(xiàng)等于A.27

B．

C．

D．8參考答案：B8.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略9.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則（

）

A．

B．7

C．6

D．參考答案：A10.設(shè)全集，，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是

.（用數(shù)字作答）參考答案：4012.對(duì)于函數(shù)f（x）=（2x﹣x2）ex（1）是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）是f（x）的極小值，是f（x）的極大值；（3）f（x）有最大值，沒(méi)有最小值；（4）f（x）沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值．其中判斷正確的是．參考答案：（2）（3）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令f'（x）=0求出x，在根據(jù)f'（x）的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可確定（1）不正確，（2）正確，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷極大值即是原函數(shù)的最大值，無(wú)最小值，（3）正確，（4）不正確，從而得到答案．【解答】解：f′（x）=ex（2﹣x2），由f′（x）=0得x=±，由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，由f′（x）＞0得﹣＜x＜，∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，﹣），（，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（﹣，），故（1）不正確；∴f（x）的極大值為f（），極小值為f（﹣），故（2）正確．∵x＜﹣時(shí)，f（x）＜0恒成立，在（﹣，）單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=時(shí)取極大值，也是最大值，而當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→﹣∞∴f（x）無(wú)最小值，但有最大值f（）則（3）正確．從而f（x）沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值，則（4）不正確．故答案為：（2）（3）13.已知函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（2，0），如圖所示．則下列說(shuō)法中不正確的編號(hào)是

．（寫出所有不正確說(shuō)法的編號(hào)）（1）當(dāng)x=時(shí)函數(shù)取得極小值；（2）f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)；（3）c=6；（4）當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極大值．參考答案：（1）【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判出極值點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（1，0）和（2，0）兩點(diǎn)，得到c的值，然后注意核對(duì)4個(gè)命題，則答案可求．【解答】解：由f（x）=x3+bx2+cx，所以f′（x）=3x2+2bx+c．由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x∈（﹣∞，1），（2，+∞）時(shí)f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)f′（x）＜0．所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，1），（2，+∞）減區(qū)間為（1，2）．則函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得極大值，在x=2時(shí)取得極小值．由此可知（1）不正確，（2），（4）正確，把（1，0），（2，0）代入導(dǎo)函數(shù)解析式得，解得c=6．所以（3）正確．故答案為（1）．14.計(jì)算

。參考答案：略15.雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則這雙曲線的離心率為___。參考答案：

解析：漸近線為，其中一條與與直線垂直，得

16.在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率為_______.參考答案：17.函數(shù)y=lg（12+x﹣x2）的定義域是

．參考答案：{x|﹣3＜x＜4}【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】令12+x﹣x2＞0，解不等式即可．【解答】解：由12+x﹣x2＞0，即x2﹣x﹣12＜0解得﹣3＜x＜4．所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|﹣3＜x＜4}．故答案為：{x|﹣3＜x＜4}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)定義域的求解，屬基礎(chǔ)題，難度不大．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，3a7=a42，a2=2a1，在等差數(shù)列{bn}中，b3=a4，b15=a5（1）求證：Sn=2an﹣3（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由3a7=a42，a2=2a1，可得=，解得q，a1．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．【解答】（1）證明：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵3a7=a42，a2=2a1，∴=，q=2．解得a1=3．∴an=3×2n﹣1，Sn==3×2n﹣3．∴Sn=2an﹣3．（2）解：設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，b3=a4=3×23=24，b15=a5=3×24=48．∴48=24+12d，解得d=2．∴bn=24+2（n﹣3）=2n+18．==2．∴數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn=2+…+=2=．19.在銳角△ABC中，求證：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC．參考答案：【考點(diǎn)】不等式的證明．【分析】充分利用銳角△ABC這個(gè)條件得A+B＞，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性比較sinA與cosB大小即可．【解答】證明：∵△ABC是銳角三角形，A+B＞，∴∴sinA＞sin（），即sinA＞cosB；同理sinB＞cosC；sinC＞cosA，∴sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC．20.已知公差為d的等差數(shù)列{an}和公比q<0的等比數(shù)列{bn}·a1=b1=1，a2+b2=1，a3+b3=4．

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.參考答案：略21.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立級(jí)坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）若射線，分別與l交于A，B兩點(diǎn)，求；（Ⅱ）若P為曲線C上任意一點(diǎn)，求P到直線l的距離的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的直角坐標(biāo).參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）點(diǎn)到直線的距離最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為【分析】（Ⅰ）先求出A,B的坐標(biāo)，再利用余弦定理解答得解；（Ⅱ）先求出曲線C的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求到直線的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).【詳解】解：（Ⅰ）直線，令，得，令，得，，.又，，.（Ⅱ）曲線的直角坐標(biāo)方程，化為參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的直角坐標(biāo)方程為，到直線的距離.令，即時(shí)到直線的距離最大，.【點(diǎn)睛】本題主要余弦定理解三角形和極坐標(biāo)下兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，考查曲線參數(shù)方程里函數(shù)的最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.22.（本小題滿分12分）為增強(qiáng)市民節(jié)能環(huán)保意識(shí)，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者，他們的年齡情況如下表所示．（Ⅰ）頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補(bǔ)全頻率分布直方圖（如圖），再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在[30，35)歲的人數(shù)；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加中心廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人，記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在[30，35)的人數(shù)為500×