初中數(shù)學(xué)120大招-80 一線三等角模型

幾何模型3—一線三等角模型【模型介紹】一線三等角：兩個(gè)三角形中相等的兩個(gè)角落在同一條直線上，另外兩條邊所構(gòu)成的角與這兩個(gè)角相等，這三個(gè)相等的角落在同一直線上，故稱“一線三等角”如下圖所示，一線三等角包括一線三直角、一線三銳角、一線三鈍角【解題關(guān)鍵】構(gòu)造相似或是全等三角形【典型例題】【題型一：一線三直角模型】如圖，若∠1、∠2、∠3都為直角，則有△ACP∽△BPD．【例1】如圖1所示，已知△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，直線m經(jīng)過點(diǎn)C，過A、B（1）如圖1，當(dāng)直線m在A、B兩點(diǎn)同側(cè)時(shí)，求證：EF=（2）若直線m繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置時(shí)（BF<AE），其余條件不變，猜想EF與AE，（3）若直線m繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)（BF>AE）其余條件不變，問EF與AE，【答案】（1）見解析；（2）EF=（3）EF=【解析】（1）證明：∵AE⊥EF，BF∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，∴∠EAC=∠FCB，在△EAC和△∠AEC∴△EAC∴CE=BF∵EF=∴EF=（2）解：EF=∵AE⊥EF，BF∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，∴∠EAC=∠FCB，在△EAC和△∠AEC∴△EAC∴CE=BF∵EF=∴EF=（3）解：EF=∵AE⊥EF，BF∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，∴∠EAC=∠FCB，在△EAC和△∠AEC∴△EAC∴CE=BF∵EF=∴EF=【練1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直線y=-3x向上平移3個(gè)單位，與y軸、x軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC．若反比例函數(shù)y=kxA．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】解：過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，作CF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖所示，∵CE⊥x軸，CF⊥y軸，∴∠ECF＝90°．∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，∴∠ACF＝∠BCE．在△ACF和△BCE中，∠AFC∴△ACF≌△BCE（AAS），∴S△ACF＝S△BCE，∴S矩形OECF＝S四邊形OBCA＝S△AOB＋S△ABC．∵將直線y＝?3x向上平移3個(gè)單位可得出直線AB，∴直線AB的表達(dá)式為y＝?3x＋3，∴點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B（1，0），∴AB＝∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC=∴S矩形OECF＝S△AOB＋S△ABC＝12×1×3＋1∵反比例函數(shù)y=kx（x∴k＝4，故選C．【練2】如圖，直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，∠OBA=60°，若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=A．y=-3x B．y=3x【答案】C【解析】解：作AD⊥x軸于D，BC⊥∵∠AOB=90°，∴∠BAO∴OB=∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=∴xy=∵∠AOD+∠BOC∴∠BOC∴Rt△BOC∽R(shí)t△OAD，∴S△∵S△∴S△即12∴k=1∵k<0∴k=-1∴經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為y=-故選：C．【練3】如圖，已知l1∥l2∥lA．13B.617C．5【答案】D【解析】如圖，過點(diǎn)A作AD⊥l1于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥l1于點(diǎn)B，設(shè)l1，l∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°∴△ACD≌△CBE∴CD=BE=1在Rt△ACD中AC=AD在等腰直角△ABC中AB=2AC=2∴sin故選：D【練4】如圖1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)B，過A作AD⊥ED于D，過C作CE⊥ED于E.則易證△ADB≌△BEC．這個(gè)模型我們稱之為“一線三垂直”.它可以把傾斜的線段AB和直角∠ABC轉(zhuǎn)化為橫平豎直的線段和直角，所以在平面直角坐標(biāo)系中被大量使用.模型應(yīng)用：(1)如圖2，點(diǎn)A（0，4)，點(diǎn)B(3，0），△ABC是等腰直角三角形．①若∠ABC＝90°，且點(diǎn)C在第一象限，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②若AB為直角邊，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖3，長方形MFNO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)的坐標(biāo)為（8，6），M、N分別在坐標(biāo)軸上，P是線段NF上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PN＝n，已知點(diǎn)G在第一象限，且是直線y＝2x一6上的一點(diǎn)，若△MPG是以G為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo).【答案】（1）①（7,3）；②（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）（4，2）、(20【解析】解：（1）①如圖，過C作CD垂直于x軸，根據(jù)“一線三垂直”可得△AOB≌△BDC，∴AO=BD，OB=CD，∵點(diǎn)A（0，4)，點(diǎn)B(3，0），∴AO=4，OB=3

，∴OD=3+4=7，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7,3）；②如圖，若AB為直角邊，點(diǎn)C的位置可有4處，a、若點(diǎn)C在①的位置處，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7,3）；b、若點(diǎn)C在C1的位置處，同理可得，則點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（4c、若點(diǎn)C在C2的位置處，則C1、C1∵點(diǎn)A（0，4)，點(diǎn)C1（4,7），∴點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（-4d、若點(diǎn)C在C3的位置處，則C3、C關(guān)于點(diǎn)∵點(diǎn)B(3，0），點(diǎn)C（7,3），∴點(diǎn)C3的坐標(biāo)為（-1,綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）當(dāng)點(diǎn)G位于直線y=2x-6上時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)G在矩形MFNO的內(nèi)部時(shí)，如圖，過G作x軸的平行線AB，交y軸于A，交直線NF于點(diǎn)B，設(shè)G（x，2x-6）；則OA=2x-6，AM=6-（2x-6）=12-2x，BG=AB-AG=8-x；則△MAG≌△GBP，得AM=BG，即：12-2x=8-x，解得x=4，∴G（4，2）；當(dāng)點(diǎn)G在矩形MFNO的外部時(shí)，如圖，過G作x軸的平行線AB，交y軸于A，交直線NF的延長線于點(diǎn)B，設(shè)G（x，2x-6）；則OA=2x-6，AM=（2x-6）-6=2x-12，BG=AB-AG=8-x；則△MAG≌△GBP，得AM=BG，即：2x-12=8-x，解得x=∴G(20綜上，G點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）、(20【題型二：一線三銳角與一線三鈍角】如圖，若∠1、∠2、∠3都為銳角，則有△ACP∽△BPD．證明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3∴∠C＝∠DPB，∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD如圖，若∠1、∠2、∠3都為鈍角，則有△ACP∽△BPD．（證明同銳角）【例2】如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE＝30°．（1）設(shè)BD＝x，AE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長．【答案】（1）y(2)AE＝4－23或AE＝【解析】解（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∴∠ABD＝∠ACB＝30°，∴∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE；∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，過A作AF⊥BC于F，∴∠AFB＝90°，∵AB＝2，∠ABF＝30°，∴AF＝12∴BF＝3，∴BC＝2BF＝23則DC＝23-x，∵△ABD∽△DCE，∴ABBD∴2x化簡得：y=（2）①當(dāng)AD＝DE時(shí)，如圖，△ABD≌△DCE，則AB＝CD，即2＝23x＝23-解得：y＝4-23，即AE②當(dāng)AE＝ED時(shí)，如圖，∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，所以∠DEC＝60°，∠EDC＝90°則ED＝12EC，即y＝12（2－解得y＝23，即AE＝2③當(dāng)AD＝AE時(shí)，有∠AED－∠EDA＝30°，∠EAD＝120°此時(shí)點(diǎn)D和點(diǎn)B重合，與題目不符，此情況不存在．所以當(dāng)△是ADE等腰三角形時(shí)，AE＝4－23或AE＝【練1】如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠BDA=115°時(shí)，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）線段DC的長度為何值時(shí)，△ABD≌△DCE，請(qǐng)說明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由見解析；（3）可以，110°或80°.【解析】解：（1）∵∠B=40°∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；（2）當(dāng)DC=2時(shí)，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，∠ADB∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí)，△ADE的形狀是等腰三角形，∵∠BDA=110°時(shí)，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形狀是等腰三角形；∵當(dāng)∠BDA的度數(shù)為80°時(shí)，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形狀是等腰三角形．【練2】閱讀材料：小胖同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題，如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝22，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝5，求CD的長；小胖經(jīng)過思考后，在CD上取點(diǎn)F使得∠DEF＝∠ADB（如圖2），進(jìn)而得到∠EFD＝45°，試圖構(gòu)建“一線三等角”圖形解決問題，于是他繼續(xù)分析，又意外發(fā)現(xiàn)△CEF∽△CDE．（1）請(qǐng)按照小胖的思路完成這個(gè)題目的解答過程．（2）參考小胖的解題思路解決下面的問題：如圖3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，12∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：E【答案】CD=5；（1）證明見解析；（2）1【解析】解：（1）在CD上取點(diǎn)F，使∠DEF＝∠ADB，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE＝2AD＝2AE，∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°，且∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC，∵∠BDA＝∠DEF，∴△ADB∽△DEF，∴DFAB=DE∵AB＝22，∴DF＝4，又∵∠CDE+∠C＝45°，∴∠CEF＝∠CDE，∴△CEF∽△CDE，∴CECF又∵DF＝4，CE＝5，∴5CF∴CF＝1或CF＝5（舍去），∴CD＝CF+4＝5；（2）如圖3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，∴AB＝AC，AD＝CD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵12∠EAD+∠EBD∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°，∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE，∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE，∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT，∴△DBE∽△ATD，∴BEDT=DEAD，∠ADT∴BEDE=DTAD，且∴BEDE∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD，∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD，∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD，∴△ARE≌△ATD（ASA）∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER，∴∠BED＝∠AER，∴∠AED＝∠BER＝∠EBD，∴RE＝RB＝DT，∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC，∴△ABR≌△ACT（AAS）∴BR＝TC，∴DT＝TC，∴CD＝2DT，∴BEDE=【練3】數(shù)學(xué)模型（“一線三等角”模型）(1)如圖1，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥AD于點(diǎn)D，CE⊥AD于點(diǎn)E．求證：△ABD≌△CAE．(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，A，E都在直線l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若CE＝a，BD＝b，求DE的長度（用含a，b的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，D，E是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，若△ABF和△ACF都是等邊三角形，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)a+b(3)△DEF是等邊三角形，理由見解析．【解析】(1)證明：∵∠1+∠2＝∠2+∠C＝90°，∴∠1＝∠C，在△ABD和△CAE中，∠1=∠C∴△ABD≌△CAE（AAS），(2)解：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝180°﹣α＝∠BAD+∠CAE，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，∠ABD∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∵CE＝a，BD＝b，∴DE＝AD+AE＝BD+CE＝a+b；(3)解：△DEF是等邊三角形，理由如下：∵△ABF和△ACF都是等邊三角形∴AB＝AC，由（2）知：△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∵△ACF是等邊三角形，△ABF是等邊三角形，∴∠CAF＝60°，AB＝AF，∴∠ABD+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠FAE，在△BDF和△AEF中，F(xiàn)B=∴△BDF≌△AEF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝∠AFD+∠BFD＝60°，∴△DEF是等邊三角形．【練4】數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)與應(yīng)用．【學(xué)習(xí)】如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于點(diǎn)C，DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2=∠2