初中數(shù)學(xué)120大招-112 等積變換法

等積變換法【規(guī)律總結(jié)】在平面幾何圖形中，我們往往可以根據(jù)同底等高、等底同高、等底等高等等發(fā)現(xiàn)面積相等的圖形，這些圖形有的形狀相同，有的形狀不同，但既然面積與面積之間具有相等關(guān)系，我們就可以相應(yīng)地進(jìn)行一些轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題解決起來(lái)更加簡(jiǎn)便?！镜淅治觥坷?、如圖，在△ABC中，E是BC上的一點(diǎn)，EC=2BE，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，設(shè)△ABC，△ADF，△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，則SA.1

B.2

C.3

D.4【答案】B【解析】【分析】

本題考查三角形的面積，關(guān)鍵知道當(dāng)高相等時(shí)，面積等于底邊的比，根據(jù)此可求出三角形的面積，然后求出差．

S?△ADF-S?△BEF=S?△ABD-S?△ABE，所以求出三角形ABD的面積和三角形ABE的面積即可，因?yàn)镋C=2BE，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且S△ABC=12，就可以求出三角形ABD的面積和三角形ABE的面積．

【解答】

解：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，

∴AD=12AC，

∵S△ABC=12，

∴S△ABD=12例2、閱讀理解

基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積．如圖，AD是△ABC邊BC上的中線，則S△ABD=S△ACD=理由：∵AD是△ABC邊BC上的中線∴BD=CD又∵S△ABD=∴S∴三角形中線等分三角形的面積基本應(yīng)用：

(1)如圖1，延長(zhǎng)△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA.則S△ACD與S△ABC的數(shù)量關(guān)系為：(2)如圖2，延長(zhǎng)△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，延長(zhǎng)△ABC的邊CA到點(diǎn)E，使AE=AC，連接DE.則S△ECD與S△ABC的數(shù)量關(guān)系為：______；(寫出你的理由(3)在圖2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F，使FB=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF(如圖3).則S△EFD與S△ABC的數(shù)量關(guān)系為：(4)拓展應(yīng)用：如圖4，點(diǎn)D是△ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD，CE的中點(diǎn)，且△ABC的面積為18cm2，則△BEF的面積為_(kāi)_____c【答案】(1)S△ABC=S△ACD；

(2)S△CDE【解析】【分析】

本題是考查了三角形的面積及等積變換，本題有一定難度，關(guān)鍵是需要通過(guò)作輔助線，運(yùn)用三角形中線等分三角形的面積才能得出結(jié)果．

(1)由△ABC與△ACD中BC=CD，由三角形中線等分三角形的面積即可結(jié)果;

(2)連接AD，由CD=BC，由三角形中線等分三角形的面積，同理可得△AED與△ADC面積相等，而△CDE面積等于兩三角形面積之和，即可得出結(jié)果;

(3)連接AD，EB，F(xiàn)C，根據(jù)第二問(wèn)的思路，同理可得陰影部分的面積等于6倍的△ABC面積，即可得出結(jié)果;

(4)拓展應(yīng)用：點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，由三角形中線等分三角形的面積，求得S△BCE=12S△ABC，由點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中線等分三角形的面積，求得S△BEF=S∴S故答案為S△ABC(2)連接AD，如圖1所示：

∵BC=CD，三角形中線等分三角形的面積，∴S同理S△ADE∴S故答案為S△CDE(3)連接AD，EB，F(xiàn)C，如圖2所示：

由(2)得：S△CDE同理可得：S△AEF=2S∴S故答案為S△EFD(4)拓展應(yīng)用：∵點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，由三角形中線等分三角形的面積，∴S△ABE=∴S∵點(diǎn)F分別是線段CE的中點(diǎn)，由三角形中線等分三角形的面積，∴S∴S故答案為4.5．例3、如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位．

(1)描出可利用的一個(gè)格點(diǎn)，僅用直尺畫出△ABC的AB邊上的高CD；(2)計(jì)算△ABC的面積為_(kāi)_____________；(3)畫出△ABC向右平移4個(gè)單位后得到的△A(4)圖中AC與A1C1(5)在AC的右側(cè)找出圖中能使S△ABC=S△ABQ的所有格點(diǎn)Q．(分別用Q1、【答案】解：(1)高線CD如圖所示；

(2)8；

(3)如圖，△A1B1C1為所作；

(4)平行且相等；【解析】【分析】

本題考查了作圖-平移變換，高線的作法，網(wǎng)格中三角形的面積計(jì)算方法，涉及了割補(bǔ)法計(jì)算面積，屬于中檔題．

(1)根據(jù)作高線的方法，作出高即可；

(2)根據(jù)割補(bǔ)法，算出△ABC的面積即可；

(3)根據(jù)圖形平移的性質(zhì)，畫出△A1B1C1即可；

(4)根據(jù)平移的性質(zhì)，可得出AC與A1C1的關(guān)系；

(5)首先根據(jù)△ABC的面積，根據(jù)同底等高進(jìn)而得出Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

【解答】

解：(1)見(jiàn)答案；

(2)△ABC的面積=5×7-12×2×6-12×1×3-12×5×7-2×1

=35-6-1.5-17.5-2

=35-27

=8；

【好題演練】一、選擇題如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上的一點(diǎn)，已知AC=CD=5，AD=6，BD=52，則△ABC的面積是(

)A.18

B.36

C.72

D.125【答案】A【解析】【分析】

本題考查的是勾股定理，三角形的面積，面積法有關(guān)知識(shí)，先作輔助線，AE⊥CD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，然后根據(jù)勾股定理，可以得到CF的長(zhǎng)，再根據(jù)等積法可以得到AE的長(zhǎng)，然后即可計(jì)算出△ABC的面積．【解答】

解：作AE⊥CD于點(diǎn)E，作CF⊥AD于點(diǎn)F，

∵AC=CD=5，AD=6，CF⊥AD，

∴AF=3，∠AFC=90°，

∴CF=AC2-AF2=4，

∵CD·AE2=AD·CF2，

∴5AE2=6×42，

解得．AE=245

如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊AB，BC的長(zhǎng)分別是6和8，則點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是(

)A.4.8

B.5

C.6

D.7.2【答案】A【解析】略

如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，PO交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作弦，若PA=2PE=4，則BC的長(zhǎng)為(

)A.125

B.185

C.245【答案】B【解析】【分析】

本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn).根據(jù)切線的性質(zhì)和勾股定理先求得圓的半徑，再利用面積相等和平行線的性質(zhì)求得OD的長(zhǎng)，最后利用勾股定理和垂徑定理即可得到答案

【解答】

解：如圖，連接OB，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PO交PO于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC交BC于點(diǎn)D，

∵PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，PA=2PE=4，

∴PB=PA=4，OB⊥PB，PE=2，

設(shè)圓的半徑為r，則2+r2=42+r2，

解得，r=3，

∵S△POB=12PO·BF=12PB·OB

∴12×2+3×BF=12×4×3，

解得，如圖，在?ABC中，已知D、E、F分別是BC、AD、CE的中點(diǎn)，且S?ABC?=?4?cm2，則圖中?BEF的面積是(

A.2?cm2

B.1?cm2

C.【答案】B【解析】【分析】

本題主要考查了三角形面積的等積變換：若兩個(gè)三角形的高(或底)相等，其中一個(gè)三角形的底(或高)是另一三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍．結(jié)合圖形直觀解答．

如圖，因?yàn)辄c(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分別是BC、AD的中點(diǎn)，△EBC與△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等積變換可解答．

【解答】

解：如圖，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，

∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12EC，高相等；

∴S△BEF=12S△BEC，

D、E分別是BC、AD的中點(diǎn)，同理得，

S△EBC=12S△ABC，

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-2,0)，(2,0)，點(diǎn)C在y軸正半軸上，且OC=AB.將線段AB平移至線段CD，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C點(diǎn)，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D點(diǎn)，連接AC，BD.當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，若△PCD與△ACP的面積相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(????)．A.(2,0)或(-6,0) B.(2,0)

C.(-6,0) D.(-2,0)或(-6,0)【答案】A【解析】【分析】

本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，

三角形的面積，熟記平移變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀是解題的關(guān)鍵．

由三角形的面積得出CD?OC=AP?OC.即可得AP=CD=4，則可得出答案．

【解答】

解：(1)∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-2,0)，(2,0)，∴OA=2，OB=2，∴AB=4，∵OC=AB，∴OC=4，∵將線段AB平移至線段CD，∴CD=4，∴D(4,4).由平移性質(zhì)可知：CD=AB=4，∵S△PCD=12∴CD?即AP=CD=4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)或(-6,0)．

故選A．

如圖，四邊形ABGH、四邊形BCFG、四邊形CDEF都是正方形，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥HC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥HD于點(diǎn)N，則CNBM=(????)A.12 B.22 C.?53【答案】B【解析】【分析】

本題主要考查的是勾股定理及三角形的面積，設(shè)AB=a，求出AC、HD的長(zhǎng)，再求出△HBC和△HCD的面積，再求出CN：BM的值即可．

【解答】

解：設(shè)AB=a，

則HC=a2+2a2=5a，HD==a2+3a2=10a，

又∵S△HBC二、填空題如圖，E、F是平行四邊形ABCD的邊AB、CD上的點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)P，BF與CE相交于點(diǎn)Q.若S△APD=15cm2，S△BQC=25【答案】40【解析】【分析】

本題綜合性較強(qiáng)，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答此題關(guān)鍵是作出輔助線，找出同底高的三角形．

連接E、F兩點(diǎn)，由三角形的面積公式我們可推出S△ADF=S△DEF，所以S△APD=S△EPF=15cm

∵△ADF與△DEF同底等高，∴S即S△ADF即S△APD∴陰影部分的面積為S△EPF故答案為40．

如圖，點(diǎn)E、F是平行四邊形ABCD的邊AB、DC上的點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)P，BF與CE相交于點(diǎn)Q，若S△APD=14cm2，S△BCQ=16cm2【答案】30c【解析】如圖，連結(jié)EF．

∵△ADF與△DEF同底等高，

∴S△ADF=S△DEF，即S△ADF-S△DPF=S△DEF-S

如圖，圓心角為90°的扇形CAB內(nèi)，以BC為直徑作半圓，連接AB.若陰影部分的面積為5π-5，則AC=_____．

【答案】2【解析】解：將原圖區(qū)域劃分為四部分，陰影部分分別為S1，S2；兩塊空白分別為S3，S4，連接DC，如下圖所示：

由已知得：三角形ABC為等腰直角三角形，S1+S2=5π-5，

∵BC為直徑，

∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，

故CD=DB=DA，

∴D點(diǎn)為BC中點(diǎn)，由對(duì)稱性可知CD與弦CD圍成的面積與S3相等．

設(shè)AC=BC=x，

則S扇ACB-S3-S4=S1+S2，

其中S扇ACB=如圖所示，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，實(shí)線所圍成的圖形的面積是_________．【答案】50【解析】【分析】

本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，面積及等積變換的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形全等求出AF、AG、GC、CH的長(zhǎng)，本題比較簡(jiǎn)單，但是計(jì)算時(shí)要細(xì)心．根據(jù)AE⊥AB，BC⊥CD且AB=AE，BC=CD等條件可以證明△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH，即可求出AF、AG、GC、CH的長(zhǎng)，然后根據(jù)梯形的面積公式和三角形的面積公式即可求出圖中實(shí)線所圍成的圖形面積．

【解答】

解：∵EF⊥FG，BG⊥AC，

∴∠EFA=∠AGB=90°，∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠ABG=90°，

∵AE⊥AB，

∴∠EAB=90°，∠EAF+∠BAG=90°，

∴∠EAF=∠ABG，

又AE=AB，

∴△AEF≌△BAG(AAS)，

∴AF=BG=3，AG=EF=6，

同理可證△BCG≌△CDH，

∴GC=DH=4，CH=BG=3，

∴FH=FA+AG+GC+CH=16，

∴圖中實(shí)線所圍成的圖形面積=S直角梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△CDH如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作EA⊥CA交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若AB=3，BC=4，則AOAE

的值為_(kāi)_______．

【答案】7【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；在利用三角形相似的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)．也考查了矩形的性質(zhì)．作BH⊥OA于H，利用矩形的性質(zhì)得OA=OC=OB，∠ABC=90°，則根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AC=5，AO=OB=52，接著利用面積法計(jì)算出BH=125，于是利用勾股定理可計(jì)算出OH=710，然后證明△OBH∽△OEA，最后利用相似比可求出OAAE的值．

【解答】

解：作BH⊥OA于H，如圖，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴OA=OC=OB，∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AC=32+42=5，

∴AO=OB=52，

∵12BH?AC=12AB?BC，

∴BH=3×45=125，

在Rt△OBH中，如圖，在三角形ABC中，AB⊥AC于點(diǎn)A，AB=6，AC=8，BC=10，點(diǎn)P是線段BC上的一點(diǎn)，則線段AP的最小值為_(kāi)___________．

【答案】24【解析】【分析】

此題考查了垂線的概念與性質(zhì)，掌握好等積變換法是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)等積變換法得出AP的距離．

【解答】

解：∵點(diǎn)A到BC的最小值是自A點(diǎn)向BC作垂線，

又∵AB⊥AC，AB=6，AC=8，BC=10，

∴S三角形ABC=12AB×AC=12AP×BC，

6×8=10AP，三、解答題如圖，所有小正方形的邊長(zhǎng)都為1，A,B,C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上．

(1)過(guò)點(diǎn)B畫直線AC的垂線，垂足為G;

(2)比較BC與BG的大?。築C_______BG(填“>”“<”或“=”)，理由是_________;

(3)線段BG的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到直線________的距離

(4)三角形ABC的面積=________，已知AC=5，求BG的長(zhǎng)=_______．【答案】解：(1)如圖所示，BG即為所求；

(2)>；垂線段最短

；

(3)AC；

(4)6.5，2.6．【解析】【分析】

本題主要考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握垂線段的定義和性質(zhì)及割補(bǔ)法求三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)．

(1)根據(jù)垂線的定義，結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)作圖即可得；

(2)根據(jù)垂線段的性質(zhì)求解可得；

(3)根據(jù)點(diǎn)到直線的定義即可解答；

(4)先利用割補(bǔ)法求△ABC得面積，再利用12×AC×BG=S△ABC求解可得．

【解答】

解：(1)見(jiàn)答案；

(2)BC>BG，理由是點(diǎn)到直線的所有線段中，垂線段最短，

故答案為>、垂線段最短

；

(3)線段BG的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到直線AC的距離，

故答案為AC；

(4)S△ABC=4×4-12×1×4-12×1×3-12×4×3=6.5，

∵AC=5，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF?=?45°，AQ⊥EF于點(diǎn)Q，求證：AQ?=?AD．

【答案】

證明：延長(zhǎng)CD到P，使DP=BE.連接AP．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠B=∠ADC=90°，

在△ABE和△ADP中，

AB=AD,∠B=∠ADP=90°BE=DP

△ABE≌△ADP(SAS)

∴AE=A，∠BAE=∠DAP

∵∠EAF=45°

∴∠PAF=∠DAF+∠DAP=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，

在△AFE和△AFP中，

∵AE=AP∠EAF=∠PAFAF=AF

∴△AFE≌△AFP(SAS)，

∴EF=FP，S△AFE=【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)的知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．

利用輔助線及正方形的性質(zhì)可證明△ABE≌△ADP(SAS)得到：AE=AP，∠BAE=∠DAP，又∠EAF=45°，則∠PAF=∠DAF+∠DAP=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，從而證得△AFE≌△AFP(SAS)，由面積相等可得結(jié)論．

如圖，AB是⊙O的直徑，C是BD的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD交CE于點(diǎn)F．

(1)求證：CF=BF;(2)若CD=6，AC=8，求⊙O的半徑及CE的長(zhǎng)．【答案】(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠ECB=90°又∵C是BD的中點(diǎn)，∴CD=CB又∵∠CDB=∠A，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF．(2)解：∵BC=CD∵∠ACB=90°，∴⊙O的半徑為5，∵S∴CE=BC?AC【解析】【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．

(1)要證明CF=BF，可以證明∠1=∠2；AB是⊙O的直徑，則∠ACB=90°，又知CE⊥AB，則∠CEB=90°，則∠2=90°-∠ACE=∠A，∠1=∠A，則∠1=∠2；

(2)在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2(1)如圖①，AD是△ABC的中線．△ABD與△ACD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

(2)若三角形的面積記為S，例如：△ABC的面積記為S△ABC.如圖②，已知S△ABC=1.△ABC的中線AD、CE相交于點(diǎn)O，求四邊形BDOE的面積．

小華同學(xué)利用(1)的結(jié)論，解決了上述問(wèn)題，解法如下：

連接BO，設(shè)S△BEO=x，S△BDO=y，由(1)結(jié)論可得：S△BCE=S△BAD=12S△ABC=12，S△BCO=2S△BDO=2y，S△BAO=2S△BEO=2x．

則有S△BEO+S△BCO=S△BCES△BAO+S△BDO=S△BAD即x+2y=122x+y=12

所以x+y=13.即四邊形BDOE面積為13．

請(qǐng)仿照上面的方法，解決下列問(wèn)題：

①如圖③，已知【答案】解：(1)S△ABD=S△ACD．

∵AD是△ABC的中線，

∴BD=CD，

又∵△ABD與△ACD高相等，

∴S△ABD=S△ACD．

(2)①如圖3，連接BO，設(shè)S△BFO=x，S△BDO=y，

S△BCF=S△ABD=13S△ABC=13，

S△BCO=3S△BDO=3y，

S△BAO=3S△BFO=3x．

則有：S△BFO+S△BCO=S△BCFS△BDO+S【解析】本題主要考查了面積與等積變換，等底等高的三角形的面積相等等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確分析三角形各部分之間的關(guān)系．

(1)利用等底等高的三角形面積相等求解即可；

(2)①連接BO，設(shè)S△BFO=x，S△BDO=y，根據(jù)三角形間的面積關(guān)系列出方程組求解即可；

②連接BO，設(shè)S如圖，矩形ABCD中，AD=3，AB=4，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與A，C重合)，連接BP，作PE⊥PB，交射線DC于點(diǎn)E，以線段PE，PB為鄰邊作矩形BPEF.過(guò)點(diǎn)P作GH⊥CD，分別交AB、CD于點(diǎn)G、H．

(1)求證：△PGB∽△EHP；

(2)求PEPB的值；

(3)求矩形BPEF的面積的最小值．【答案】(1)證明：∵∠PGB=∠EHP=∠BPE=90°，

∴∠PBG+∠GPB=∠GPB+∠EPH=90°，

∴∠PBG=∠EPH(同角的余角相等)，

∴△PGB∽△EHP；

解：(2)連接BE，

∵PE⊥PB，

∴∠BPE=90°，

∵∠BCE=90°，

∴∠BCE+∠BPE=180°，

∴P，B，E，C四點(diǎn)共圓，

∴∠PBE=∠PCE，

在Rt△BPE與Rt△CDA中，

∠BPE=∠D=90°，∠PBE=∠ACD，

∴Rt△BPE∽R(shí)t△CDA，

∴PEAD=PBDC，

即PEPB=ADDC=34；

(3)方法一：設(shè)AP的長(zhǎng)為x．

∵BC=AD=3，AB=4，

∴Rt△ABC中，由勾股定理可得：

AC=AB2+BC2=32+42=5，

∵cos∠GAP=AGAP=ABAC=45，

∴AG=45AP=45x.

同理，sin∠GAP=GPAP=BCAC=35，則GP=35x.

在Rt△PBG中，PB2=BG2+PG2

=(4-45x)2+(35x)2=x2-325x+16，

∵PEPB=ADDC=34．

∴PE=34PB，

∴S矩形BPEF=PB?PE=34PB2【解析】本題考查了相似綜合題，需要掌握矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)以及二次函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

(1)由∠PGB=∠EHP=∠BPE=90°，利用同角的余角相等證得∠PBG=∠EPH，即可證得結(jié)論；

(2)證得P、B、E、C四點(diǎn)共圓，即可得∠PBE=∠PCE，即可證得△BPE∽△CDA，通過(guò)相似三角形相似比即可得解；

(3)方法一：設(shè)AP=x，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AG、GP、GB，進(jìn)而利用勾股定理用x表示出PB2，根據(jù)矩形面積公式得出二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，即可解決問(wèn)題．

方法二：設(shè)PB=x，則矩形BPEF的面積為S=34x2，可知當(dāng)BP⊥AC時(shí)PB如圖，???ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，A(0,4)，B(-3,0)，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)．

(1)若E為x軸上的點(diǎn)，且SΔAOE=163，求經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線的解析式；

(2)若F為y(3)若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在，請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：(1)∵A(4,0)，

∴OA=4

設(shè)E(x,0)，則

S△AOE=12×OA×x=12×