汽車振動學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用電子課件

第2章單自由度系統(tǒng)的振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動2.4汽車車身單自由度系統(tǒng)的振動

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

2.1.1無阻尼的自由振動無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動微分方程：

由方程可知：由于質(zhì)量和剛度恒為正數(shù)，故在單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動中的位移和加速度方向始終相反。

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動微分方程式的通解為：，時(shí)，代入（2-5）可得：當(dāng)由上式可知，單自由度系統(tǒng)的自由振動由二個(gè)頻率相同的簡諧振動合成，由諧波的合成可知，二個(gè)頻率相同的簡諧振動合成后仍然同頻率的簡諧振動，即：（2-5）（2-6）其中：

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動由此可知，單自由度系統(tǒng)不論受怎樣的初始干擾，其自由振動是一個(gè)簡諧振動，其固有振動圓頻率（naturalangularfrequency）為：(rad/s)固有頻率（naturalfrequency）為：

（Hz）固有周期（naturalperiod）為：(s)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1.2具有粘性阻尼的自由振動

有阻尼單自由振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為：

式中：

為無阻尼固有角頻率；

為阻尼比。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

對于有阻尼的單自由度系統(tǒng)的自由振動，除了與系統(tǒng)的初始條件有關(guān)外，還與系統(tǒng)中阻尼的性質(zhì)和大小有關(guān)。1．小阻尼情形即欠阻尼時(shí)系統(tǒng)的自由振動形式如下：

式中：為振幅；為衰減系數(shù)；

為有阻固有頻率；為相位角。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動由曲線及式（2-13）可知：欠阻尼的系統(tǒng)作減幅振動，振幅隨時(shí)間的增加而按指數(shù)衰減，振動趨于消失。單自由度系統(tǒng)的阻尼系數(shù)：2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2．臨界阻尼情形，此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動情形如下：

式中：

運(yùn)動衰減曲線見圖2.4。此時(shí)系統(tǒng)作逐漸返回平衡位置的非周期性運(yùn)動，是從振動過渡到不振動的臨界。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

3．大阻尼情形，即過阻尼時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動形式如下

運(yùn)動衰減曲線見圖2.5。此時(shí)系統(tǒng)不振動，只作緩慢地返回其平衡位置的運(yùn)動。其運(yùn)動是非周期的。

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動摩擦阻尼的所產(chǎn)生的阻力雖與運(yùn)動速度的大小無關(guān)，但與運(yùn)動的方向有關(guān)。摩擦阻力的方向始終與運(yùn)動方向相反，其大小與摩擦部的摩擦系數(shù)及正壓力有關(guān)，一般來說是個(gè)定值，其運(yùn)動方程式為：

2.1.3具有摩擦阻尼的自由振動上式整理得：其中：是符號函數(shù)。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

運(yùn)動方程的解為：式中這兩個(gè)特定系數(shù)由振動的初始條件決定。當(dāng)時(shí)，其通解為2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

圖2.6為摩擦阻尼的自由振動的振動波形。該波形與粘性阻尼的自由振動有相似性,但當(dāng)波形的極值進(jìn)入時(shí)，由于摩擦阻力大于彈簧恢復(fù)力，將不會回到原始位置。2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動2.2.1簡諧激振力作用下系統(tǒng)的響應(yīng)

單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵的作用下，所產(chǎn)生的振動稱為單自由度系統(tǒng)對簡諧激勵的響應(yīng)。其中包括由初始條件決定的隨時(shí)間逐漸減小的自由振動和由激勵函數(shù)決定的受迫振動。由于阻尼的存在，自由振動將會很快消失，是系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)；只剩下由激勵函數(shù)所引起的等幅振動，稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動圖2.7簡諧激勵的作用下的自由度系統(tǒng)1.振動方程和穩(wěn)定解

圖2.7所示的單自由度系統(tǒng)在激振外力的作用下，其運(yùn)動微分方程為：

全解為：

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動其中是對應(yīng)的齊次方程的通解，即前述自由振動的解。在小阻尼狀態(tài)下

是非其次方程的特解，特解的形式也是簡諧函數(shù)，其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：

式中：-------穩(wěn)態(tài)振動的振幅

------頻率比

----激振頻率

-----相位角

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動2.系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性在簡諧激勵引起的受迫振動中，振幅隨頻率比的變化而變化的規(guī)律，稱為系統(tǒng)的幅頻特性；激振力與位移之間的相位差隨頻率比的變化而變化的規(guī)律，稱為系統(tǒng)的相頻特性。2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動系統(tǒng)在靜態(tài)力作用下所產(chǎn)生的靜位移；振幅與靜位移之比，稱為振幅放大率，即：

，即很小時(shí)，，振幅接近靜變位。，即時(shí)，達(dá)到最大值，振幅比靜變位成倍的放大，系統(tǒng)產(chǎn)生共振。

，即很大時(shí)，，振幅小于靜變位。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動強(qiáng)迫振動的響應(yīng)與激振力的頻率雖然相同，但存在相位差，其具體關(guān)系見下式及圖2.9。從圖可看到，共振時(shí)，無論系統(tǒng)的阻尼大小如何，受迫振動的位移總是比激振力滯后90°

。對無阻尼系統(tǒng)，

，即時(shí)，振動的位移與激振力同相位，即

，即時(shí)，振動的位移與激振力相位相反

，即

對有阻尼系統(tǒng)，振動位移與激振力之間的相位差隨頻率比的增加而逐漸增加，不發(fā)生突然變化，但在共振點(diǎn)前后變化較大。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動2.2.2簡諧支承激振下系統(tǒng)的響應(yīng)

1.運(yùn)動方程的建立和系統(tǒng)的響應(yīng)運(yùn)動微分方程為：

或：其中：2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動振動響應(yīng)的振幅和相位差

:2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動2.幅頻響應(yīng)特性和相頻響應(yīng)特性

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動從圖中可知：

，即很小時(shí)，，響應(yīng)的振幅接近于支承的振幅，系統(tǒng)接近于平動。，即時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振，放大因子達(dá)到最大值，振幅的大小主要決定于系統(tǒng)的阻尼比，阻尼越大，振幅越小。

，即時(shí)，無論系統(tǒng)的阻尼值如何，

都等于1；并且只要，響應(yīng)的振幅值要小于支承運(yùn)動的振幅。

，即很大時(shí)，，響應(yīng)的振幅大大小于支承的振幅。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動2.2.3機(jī)械阻抗和導(dǎo)納

1．機(jī)械阻抗

機(jī)械阻抗是描述系統(tǒng)輸入和輸出之間關(guān)系的一個(gè)非常重要的物理量，它只與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，與激勵力的類型和大小無關(guān)。只是在不同類型激勵力作用下它的表達(dá)形式不同而已。而機(jī)械導(dǎo)納與機(jī)械阻抗是一對互為倒數(shù)的物理量，一般來說，凡以激振力與響應(yīng)的比值被稱為機(jī)械阻抗；若以響應(yīng)比激振力則被稱為機(jī)械導(dǎo)納。2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動位移阻抗

位移導(dǎo)納

速度阻抗

速度導(dǎo)納

加速度阻抗

加速度導(dǎo)納

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動2.傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是描述線性定常系統(tǒng)輸入與輸出的一種函數(shù)。其定義為：當(dāng)初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出（響應(yīng)）與輸入（激勵）的拉普拉斯變換（以下簡稱拉氏變換）之比。求傳遞函數(shù)的步驟為：（1）列出系統(tǒng)的微分方程；（2）假設(shè)全部初始條件等于零，取微分方程的拉氏變換；（3）求輸出量與輸入量之比。2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動設(shè)有一個(gè)線性定常系統(tǒng)，其微分方程為：對式兩端進(jìn)行拉氏變換，并令其初始條件為零，即得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：式中：為的拉氏變換；

為的拉氏變換；

為拉氏算子。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動作為傳遞函數(shù)的一個(gè)特例，頻率響應(yīng)函數(shù)（以下簡稱頻響函數(shù)）是簡諧激勵下的傳遞函數(shù)。其定義為：在定常線性系統(tǒng)中，當(dāng)初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出與輸入的傅里葉變換（以下簡稱傅式變換）之比。其數(shù)學(xué)表達(dá)式可從式中令求得：式中：為的傅式變換；

為的拉氏變換。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動名稱傳遞函數(shù)（任意激勵）頻響函數(shù)（簡諧激勵）位移導(dǎo)納（動柔度）位移阻抗（動剛度）速度導(dǎo)納（機(jī)械導(dǎo)納）速度阻抗（機(jī)械阻抗）加速度導(dǎo)納（機(jī)械慣性）加速度阻抗（動態(tài)質(zhì)量）表2.1傳遞函數(shù)的不同表達(dá)形式2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動2.3.1一般周期激振下系統(tǒng)的響應(yīng)

由于任何周期函數(shù)都可按傅立葉級數(shù)分解為一系列頻率成整數(shù)倍數(shù)關(guān)系的簡諧函數(shù)，因此對于具有一般周期的激振力或支承運(yùn)動，其線性振動系統(tǒng)的響應(yīng)便可按疊加原理將每一單獨(dú)的簡諧函數(shù)作用的響應(yīng)求出后，再全部疊加起來便可得到總的響應(yīng)。

2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動

設(shè)一般周期激振力作用于有阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，其運(yùn)動方程式為：

因第一項(xiàng)是常力，當(dāng)它作用于系統(tǒng)時(shí)只會影響系統(tǒng)的平衡位置。如果坐標(biāo)原點(diǎn)選在新的平衡位置上，則系統(tǒng)的響應(yīng)與該項(xiàng)無關(guān)。此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定解為：

2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動2.3.2任意激振下系統(tǒng)的響應(yīng)在許多實(shí)際問題中，對系統(tǒng)的激振并非周期性的，而是任意的時(shí)間函數(shù)，或是極短時(shí)間間隔內(nèi)的沖擊作用，當(dāng)激振作用的時(shí)間比系統(tǒng)的固有時(shí)間更短時(shí)，稱為沖擊。對于任意激振，系統(tǒng)沒有穩(wěn)定響應(yīng)，只有瞬態(tài)響應(yīng)。在激振力作用停止后，系統(tǒng)按固有頻率作自由振動。瞬態(tài)響應(yīng)和自由振動就構(gòu)成了任意激勵的響應(yīng)。

2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動1．杜哈梅積分法

杜哈梅積分法的基本思想是將激振力分解為一系列脈沖的連續(xù)作用，各脈沖的大小和作用時(shí)間由決定。先求出每個(gè)脈沖單獨(dú)作用下系統(tǒng)的響應(yīng)，然后按線性系統(tǒng)的疊加原理將其疊加起來，即得出系統(tǒng)對激振的響應(yīng)。

2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動系統(tǒng)在初始條件下的響應(yīng)：

通過對上式的積分求得：

上式為杜哈梅積分式。

杜哈梅積分的解即為系統(tǒng)的初始條件為零時(shí)的全解，包括了瞬態(tài)振動及穩(wěn)定振動。

2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動2.單位脈沖響應(yīng)函數(shù)法單位脈沖函數(shù)即函數(shù)，這是一個(gè)廣義函數(shù)，有如下定義：

及

上式即定義單位脈沖函數(shù)的沖量為一個(gè)單位，利用上述特征，我們可以定義一個(gè)發(fā)生在某時(shí)刻的單位脈沖函數(shù)：

及

2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)將作自由振動，得系統(tǒng)的響應(yīng)為：上式即為系統(tǒng)單位脈沖瞬間的響應(yīng)方程，并記作，即稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。

系統(tǒng)若在激振力作用下，在時(shí)刻，產(chǎn)生的沖擊輸入為，系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)則為，故欲求系統(tǒng)在時(shí)刻的響應(yīng)，無疑應(yīng)為之間的沖擊響應(yīng)全部疊加，即

2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動3.傅氏積分法若把非周期激振視為具有無限長周期激振時(shí)，也可以把此任意激振表示成傅氏級數(shù)形式，而用一般的方法求解。非周期激振可表示為：

（2-49）（2-50）2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動式（2-50）稱為函數(shù)的傅氏積分；相應(yīng)的式（2-49）叫做傅氏反變換（或反傅氏變換）。

由式（2-49）和式（2-50）所聯(lián)系的兩個(gè)量和稱為一個(gè)傅氏變換對。

通常，響應(yīng)也是非周期的，它可以用傅氏積分式表示為：式中，，是對響應(yīng)作傅氏變換。它表示輸出和輸入傅氏變換之比等于確定的頻率響應(yīng)函數(shù)（簡稱頻響函數(shù)）。

（2-51）2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動在一般情況下，線性單自由度系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)式可寫為：

它的模：

和幅角：

2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動單位脈沖輸入的響應(yīng)就是脈沖響應(yīng)函數(shù)，其傅氏變換：

其輸出的傅氏變換為：代入式（2-51）得單位脈沖的輸出響應(yīng)，即脈沖響應(yīng)函數(shù)：顯然，能由此式直接寫出：（2-53）（2-54）式（2-53）和（2-54）表示頻率響應(yīng)函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對。2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動綜合上述可知：系統(tǒng)的動態(tài)特性在頻率域內(nèi)能用頻率響應(yīng)函數(shù)來描述；而在時(shí)間域內(nèi)可用脈沖響應(yīng)函數(shù)來描述。這兩種情況可用圖2.12所示的方框圖來說明。圖2.12系統(tǒng)動態(tài)特性圖2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動4.拉氏變換法因?yàn)楦凳献儞Q對函數(shù)有一定的限制，因此，工程上許多函數(shù)不能采用傅氏變換，這使傅氏變換的應(yīng)用有一定的局限性。為了克服這一缺點(diǎn)，在傅氏變換的基礎(chǔ)上，引入求解線性系統(tǒng)振動比較有效的拉氏變換法。函數(shù)的拉氏變換記為，是由下列無窮積分定義的變量的函數(shù)：式中，是一個(gè)復(fù)數(shù)參量。2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動根據(jù)這個(gè)定義可求得導(dǎo)函數(shù)的拉氏變換：式中，是在時(shí)的值，如表示質(zhì)量的振動位移，則表示初始位移。

同樣可求得二階導(dǎo)函數(shù)的拉氏變換：式中，是在時(shí)的值，表示質(zhì)量的初始速度。2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動利用上述關(guān)系對任意激振作用下的微分方程：等式兩邊取拉氏變換后，整理得:式中：是激振函數(shù)的拉氏變換。

若不計(jì)隨時(shí)間衰減的齊次解，令，則可得到激振和響應(yīng)間拉氏變換的比例關(guān)系。

式中，，分別表示與的拉氏變換；稱為系統(tǒng)的廣義阻抗。

2.3非簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動的倒數(shù)為：

稱為系統(tǒng)的導(dǎo)納或叫做傳遞函數(shù)，常用表示，即：由此可見，傳遞函數(shù)可視為一個(gè)代數(shù)運(yùn)算子，它作用在激振的拉氏變換上就可得到響應(yīng)的拉氏變換。然后根據(jù)拉氏反變換的定義和公式，便可求出系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)：（）2.4汽車車身單自由度系統(tǒng)的振動

2.4.1系統(tǒng)的運(yùn)動方程

圖2.14汽車車身單自由度系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)動的微分方程為：

此方程的解是自由振動齊次方程的解與非齊次方程特解之和組成。汽車懸架系統(tǒng)阻尼比的數(shù)值通常在0.25左右，屬于小阻尼，此時(shí)齊次方程的通解為：

其中：（2-61）2.4汽車車身單自由度系統(tǒng)的振動2.4.2系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特征系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，記為

式中，復(fù)振幅，

代入式（2-63）得：（2-63）寫成指數(shù)形式時(shí)

比較以上兩式可以看出，。它是輸出、輸入諧量的幅值比，稱為幅頻特征。表示輸出與輸入諧量的相位差，稱為相頻特征。

2.4汽車車身單自由度系統(tǒng)的振動對式（2-61）進(jìn)行傅里葉變換或?qū)⒏鲝?fù)振幅代入該式，令，，，，得復(fù)數(shù)方程：并由此得頻響函數(shù)：將頻率比

（）和阻尼比代入上式，得：

此式的模為幅頻特征性，即：（2-66）2.4汽車車身單自由度系統(tǒng)的振動圖2.15為用雙對數(shù)坐標(biāo)畫出的式（2-66）所示的幅頻特征。2.4汽車車身單自由度系統(tǒng)的振動1）低頻段在這一頻段，略大于1，不呈現(xiàn)明顯的動態(tài)特征，懸架的阻尼比對這一頻段的影響不大。

2）共振段在這一頻段，出現(xiàn)峰值，將輸入位移放大，加大懸架的阻尼比可使共振峰明顯下降。

3）高頻段在時(shí)，，與無關(guān)，在時(shí)，對輸入位移起衰減作用，懸架阻尼比減小對減振有利。

第3章二自由度振動系統(tǒng)3.1二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動3.3有阻尼二自由度振動系統(tǒng)3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)3.1二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程圖3-1二自由度振動系統(tǒng)系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程可根據(jù)動力學(xué)原理或運(yùn)用拉格朗日第二類方程建立如下：

將上式縮寫成矩陣形式可得：

或（3-3）3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動無阻尼的二自由度振動系統(tǒng)的微分方程式為：

或（3-4）（3-5）3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動3.2.1固有頻率和固有振型為討論系統(tǒng)的固有特性，令激勵，則式(3-5)變?yōu)椋?/p>

其解的形式為：其中位移坐標(biāo)幅值向量為：

（3-6）代入式(3-6)得：這是廣義的特征值問題。

3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動適當(dāng)選取坐標(biāo)系可使慣性矩陣對角，而剛度矩陣是對稱的，因此上式可寫成：

有非零解的條件是特征矩陣的值為零。即：展開得：此為系統(tǒng)的頻率方程，亦稱特征方程。

（3-9）3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動特征方程的特征根為：

其中：分別將代入式(3-9)即可得相應(yīng)的振幅比。

由上可知：及只決定于系統(tǒng)本身的物理特性，而與外部激勵及初始條件無關(guān)。

3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動3.2.2對初始激勵的響應(yīng)二自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動微分方程式(3-4)是由二個(gè)二階微分方程組成的齊次方程組。根據(jù)系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，二自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動的解是兩種不同頻率的主振動的疊加，有如下形式：

3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動式中：是任意常數(shù)，由初始條件決定。當(dāng)t=0,時(shí)，任意常數(shù)為：3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動3.2.3對簡諧激勵的響應(yīng)當(dāng)二自由度系統(tǒng)的各質(zhì)量上受有頻率相同的諧波激勵時(shí)，運(yùn)動微分方程為：

式中：

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可表示為：

（3-16）代入式(3-16)可得：上述系數(shù)矩陣記作；3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動令，于是得，則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：式中：則：3.3有阻尼二自由度振動系統(tǒng)3.3.1對初始激勵的響應(yīng)

當(dāng)沒有激勵作用于二自由度阻尼系統(tǒng)時(shí)，式(3-3)變?yōu)橐韵滦问剑?/p>

方程的通解為：代入上式得：

有非零解的條件是：展開得：對于圖3-1所示系統(tǒng)，上式為：3.3有阻尼二自由度振動系統(tǒng)1.小阻尼情形

上式的系數(shù)全為正數(shù)，故解只能是負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)。即存在三種可能：(1)全是負(fù)實(shí)數(shù)；(2)兩對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)；(3)兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)和一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)。方程的通解為：

3.3有阻尼二自由度振動系統(tǒng)2.大阻尼情形

如果系統(tǒng)阻尼非常大，特征方程的根全是負(fù)實(shí)根，響應(yīng)將不具有振動形式。此時(shí)解為：3.臨界阻尼情形臨界阻尼時(shí)，特征方程的根是兩個(gè)負(fù)實(shí)根和一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，此時(shí)的響應(yīng)也不具有振動形式。3.3有阻尼二自由度振動系統(tǒng)3.3.2對外激勵的響應(yīng)當(dāng)有外激勵作用于二自由度阻尼系統(tǒng)時(shí)，式(3-3)變?yōu)橐韵滦问剑浩浞€(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)數(shù)形式為：

代入上式得：式中系數(shù)矩陣記作，且設(shè)為對角型，則：（3-33）令并代入式(3-33)得：

3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)3.4.1汽車車身車輪振動系統(tǒng)的運(yùn)動方程與振型分析圖3-2汽車車身車輪二自由度振動系統(tǒng)的模型圖3-2為汽車車身車輪二自由度振動系統(tǒng)的模型，其運(yùn)動方程為：無阻尼自由振動時(shí)，運(yùn)動方程變成：

3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)由運(yùn)動方程可知，和的振動是相互耦合的。若車輪不動（）則得：

這相當(dāng)于只有車身的單自由度無阻尼自由振動，其車身部分的固有圓頻率（偏頻）為

即：同樣，若車身不動（），則相當(dāng)于只有車輪的單自由度無阻尼自由振動。

其車輪部分的固有圓頻率即：

3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)無阻尼自由振動時(shí)，設(shè)兩個(gè)質(zhì)量以相同的圓頻率和相位角作簡諧振動，振幅為和，則解為；；代入微分方程組，并將；代入上式，可得此方程有非零解的條件是和的系數(shù)行列式為零。整理得

上式稱為系統(tǒng)的頻率方程或特征方程，它的兩個(gè)根為雙質(zhì)量系統(tǒng)的主頻率（3-42）3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)設(shè)某一汽車rad/s；車身與車輪的質(zhì)量比；輪胎與懸架的剛度比，則將上述關(guān)系代入式（3-42）可得：

代入確定兩個(gè)主振型的中和的振幅比

一階主振型

二階主振型

3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)車身和車輪兩自由度系統(tǒng)的主振型如圖3-3所示。

圖3-4車身和車輪兩自由度系統(tǒng)的主振型3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)3.4.2車身車輪振動系統(tǒng)的傳遞特性對于車身車輪的二自由度振動系統(tǒng)設(shè)輸入為：則輸出有：；代入可得：3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)由上式，可得，及的頻率響應(yīng)函數(shù)。其中3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)由此可得車身車輪兩個(gè)輸出相對于路面輸入的幅頻特性如下。

式中：

---------為頻率比，

---------為懸架阻尼比。

3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)圖3-4，圖3-5分別示出了車身車輪的幅頻特性，。

圖3-4車輪的幅頻特性圖3-5車身的幅頻特性從曲線上可看出，對于這個(gè)車身車輪二自由度的振系，當(dāng)激振頻率接近系統(tǒng)的兩階固有頻率和時(shí)，都會發(fā)生共振，車身位移的幅頻特性和車輪位移的幅頻特性，有低頻、高頻兩個(gè)共振峰。3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)得到頻率響應(yīng)函數(shù)后，根據(jù)式（2-38）求響應(yīng)的傅氏變換，即其中，路面不平激勵的傅氏變換。對上式進(jìn)行傅氏反變換：這樣，就可以最終得到車身與車輪響應(yīng)的時(shí)域解為3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)3.4.3雙軸汽車振動模型圖3-14雙軸汽車的振動模型3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)根據(jù)圖3-14可寫出車身的平面運(yùn)動微分方程：

即：（3-51）3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)設(shè)，代入上式，并引入下列參數(shù)：3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)于是將式（3-51）簡化為求，對應(yīng)于輸入的頻率響應(yīng)函數(shù)，。

3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)同理，可求出，，對應(yīng)于輸入的頻率響應(yīng)函數(shù)，。

根據(jù)以上的結(jié)果，便可寫出完全確定的頻率響應(yīng)矩陣：第4章多自由度系統(tǒng)的振動4.1多自由度振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)4.3多自由度系統(tǒng)的響應(yīng)4.4拉格朗日方程在振動分析中的應(yīng)用4.5汽車多自由度振動模型4.1多自由度振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程可根據(jù)動力學(xué)原理或運(yùn)用拉格朗日第二類方程建立如下。其一般可寫成矩陣形式如下：

（4-2）對于個(gè)自由度系統(tǒng)，慣性矩陣，剛度矩陣及阻尼矩陣都是矩陣。

其固有頻率及固有振型可通過求解系統(tǒng)的無阻尼自由振動方程得到。

設(shè)解的形式為：代入式(4-2)得：這是廣義的特征值問題。

（4-4）4.1多自由度振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式特征矩陣兩特征方程分別為：

將特征行列式展開后，得到一個(gè)的階的多項(xiàng)式。對于正定系統(tǒng)，求解該式后可得到的個(gè)大于零的正實(shí)根，稱為特征值。將特征值開方后可求得個(gè)，稱為系統(tǒng)的固有頻率。在大多數(shù)情況下，這個(gè)固有頻率互不相等，可由小到大，按次序排列為，并分別稱為一階固有頻率，二階固有頻率，。。。，階固有頻率。系統(tǒng)的固有頻率，只與系統(tǒng)本身的系統(tǒng)本身的物理特性有關(guān)，而與外部激勵及初始條件無關(guān)。4.1多自由度振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式圖4.1三自由度振動系統(tǒng)及其主振型圖4.1所示的系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式為：寫成矩陣形式為：4.1多自由度振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式令，，

則系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別為：

由特征方程可得系統(tǒng)的固有頻率為：4.1多自由度振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式將固有頻率帶入（4-4），并令第一元素為1，可得系統(tǒng)的固有振型如下：

系統(tǒng)的模態(tài)矩陣為：4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)4.2.1固有振型的正交性

由式(4-4)可得：

用左乘式(4-6)的兩端得；

（4-6）（4-7）將式(4-7)的兩端分別轉(zhuǎn)置并用右乘得：（4-8）（4-9）式(4-8)～(4-9)得：

4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)當(dāng)時(shí)，必有：同樣可得：式(4-11)表示不同模態(tài)的固有振型對于慣性矩陣的正交性，式(4-12)表示不同模態(tài)的固有振型對于剛度矩陣的正交性。

（4-11）（4-12）4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)4.2.2模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)

應(yīng)用模態(tài)矩陣作為變換矩陣，可對以下廣義坐標(biāo)的運(yùn)動方程：作坐標(biāo)變換并在等式兩邊左乘后，得到以下的運(yùn)動方程：4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)由于主模態(tài)固有振型對都有正交性，即因此上式變?yōu)椋夯颍?.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)將模態(tài)質(zhì)量矩陣正則化為單位矩陣得：

即：式中：

稱為關(guān)于模態(tài)質(zhì)量矩陣的正則振型。

稱為正則化因子。

4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)圖4.1所示系統(tǒng)的模態(tài)矩陣為：

由此可得系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量矩陣和模態(tài)剛度矩陣如下：

4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)則歸一化因子所組成的矩陣為：正則振型矩陣為：4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)正則模態(tài)質(zhì)量矩陣為：正則模態(tài)剛度矩陣為：4.3多自由度系統(tǒng)的響應(yīng)4.3.1無阻尼系統(tǒng)對初始激勵的響應(yīng)

正則坐標(biāo)下無阻尼自由振動方程為：

這個(gè)方程是各自獨(dú)立的，因而可運(yùn)用單自由度情形的解法分別求解。

設(shè)物理坐標(biāo)系中的初始條件時(shí)，，。

由正則變換可得正則坐標(biāo)下的初始條件時(shí)，，。

當(dāng)時(shí)，

為系統(tǒng)對初始條件的正則響應(yīng)，同樣再由正則變換變回原物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。

4.3多自由度系統(tǒng)的響應(yīng)4.3.2模態(tài)阻尼

對于有阻尼系統(tǒng)，由于它的阻尼矩陣對于固有振型不一定正交，則方程的阻尼項(xiàng)不能解除耦合。要使以上的模態(tài)分析法同樣適用于阻尼系統(tǒng)，阻尼矩陣必須滿足以下條件：

即主模態(tài)固有振型不僅對是正交性，而且對是正交的。要使上式成立，阻尼必須是比例粘性阻尼。即阻尼矩陣必須是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合。4.3多自由度系統(tǒng)的響應(yīng)嚴(yán)格來說，滿足要求的比例粘性阻尼，應(yīng)具有的必要而充分的條件是：對于滿足比例粘性阻尼的方程作坐標(biāo)變換，則有：

或

式中，為模態(tài)阻尼矩陣。為階模態(tài)阻尼系數(shù)。4.4拉格朗日方程在振動分析中的應(yīng)用多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程除了用傳統(tǒng)的力學(xué)分析來求得外，還常用拉格朗日法來得到系統(tǒng)方程組。拉格朗日法是從能量的觀點(diǎn)建立系統(tǒng)的動能、勢能和功之間的標(biāo)量關(guān)系，研究靜、動力學(xué)問題的一種方法。

其處理的方法為：取自由度系統(tǒng)的個(gè)互為獨(dú)立的變量，，，…，為廣義坐標(biāo)，則拉格朗日方程的形式為（）4.4拉格朗日方程在振動分析中的應(yīng)用根據(jù)的不同表達(dá)形式，拉格朗日方程存在以下的幾種表達(dá)方式：（1）當(dāng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，即系統(tǒng)作用的主動力僅為勢力時(shí)，廣義力可以表達(dá)為式中，為系統(tǒng)的勢能。則保守系統(tǒng)的拉格朗日方程可表示為（）4.4拉格朗日方程在振動分析中的應(yīng)用（2）當(dāng)系統(tǒng)除了勢力作用以外，還存在其他非勢力的作用，則將這部分非勢力的虛功記為式中，為非勢力廣義力。因此，此時(shí)拉格朗日方程推廣到非保守系統(tǒng)，可表示為（）（3）如果將因?yàn)槟芰亢纳⒑瘮?shù)引起的阻尼力也從其他的非勢力的廣義力中分離來，并使僅代表外部作用的廣義激振力（力或力矩等），則可將非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程改寫為（）4.4拉格朗日方程在振動分析中的應(yīng)用圖4.2所示的系統(tǒng)為多自由度有阻尼振動系統(tǒng)。利用拉格朗日方法該振動系統(tǒng)建立微分方程，其拉格朗日方程形式為

（）4.4拉格朗日方程在振動分析中的應(yīng)用三自由度系統(tǒng)的振動微分方程組可表示為

將上述方程組改寫為矩陣形式，即4.4拉格朗日方程在振動分析中的應(yīng)用上式可簡寫為其中：

-------為質(zhì)量矩陣；

------為阻尼矩陣；

------為阻尼矩陣；

4.5汽車多自由度振動模型4.5.1汽車車身車輪的四自由度模型汽車的四自由度振動模型如圖4.3所示在此模型中，主要有車身的垂直、俯仰兩個(gè)自由度和前后車軸質(zhì)量兩個(gè)垂直自由度，共四個(gè)自由度。4.5汽車多自由度振動模型汽車四自由度模型的運(yùn)動方程可由以下兩種方式給出。若根據(jù)車身質(zhì)心處的垂向振動量和俯仰角，運(yùn)動方程可以表示為：4.5汽車多自由度振動模型當(dāng)俯仰角較小時(shí)，近似有：因此，運(yùn)動方程式可表達(dá)成另一種形式：對傳統(tǒng)的被動懸架系統(tǒng)而言，其前、后懸架力分別為：

4.5汽車多自由度振動模型4.5.2整車七自由度模型圖4.4整車七自由度模型4.5汽車多自由度振動模型在俯仰角和側(cè)傾角較小時(shí)，車身四個(gè)端點(diǎn)（A、B、C和D）處的垂向位移有如下關(guān)系：

因而，車身質(zhì)心處的垂向運(yùn)動微分方程為：車身俯仰運(yùn)動方程為：4.5汽車多自由度振動模型車身側(cè)傾運(yùn)動方程為：四個(gè)非簧載質(zhì)量的垂向運(yùn)動微分方程為：4.5汽車多自由度振動模型4.5.3扭振系統(tǒng)模型與分析以某六缸發(fā)動機(jī)貨車動力傳動系統(tǒng)為例，其扭振系統(tǒng)力學(xué)模型如圖4.5所示，符號說明及參數(shù)值見表4.1。4.5汽車多自由度振動模型1.當(dāng)量轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算當(dāng)量轉(zhuǎn)動慣量是指傳動系統(tǒng)中與曲軸不同速旋轉(zhuǎn)零部件的轉(zhuǎn)動慣量換算成與曲軸同速旋轉(zhuǎn)條件下的轉(zhuǎn)動慣量。例如當(dāng)車輪滾動半徑為時(shí)，車輛平動質(zhì)量的當(dāng)量轉(zhuǎn)動慣量記為，等于2.當(dāng)量扭轉(zhuǎn)剛度的計(jì)算設(shè)半軸軸段的實(shí)際扭轉(zhuǎn)剛度為，輪胎實(shí)際扭轉(zhuǎn)剛度為，則其相應(yīng)的當(dāng)量扭轉(zhuǎn)剛度分別為：

4.5汽車多自由度振動模型3.扭振系統(tǒng)的運(yùn)動方程根據(jù)所建立的系統(tǒng)扭振模型，可寫出系統(tǒng)運(yùn)動方程如下：將系統(tǒng)微分方程組改寫成矩陣形式的動力學(xué)方程通式，即：4.5汽車多自由度振動模型式中，轉(zhuǎn)動慣量陣

阻尼陣

剛度陣

角位移矢量

若以發(fā)動機(jī)激勵為系統(tǒng)輸入陣，則：4.5汽車多自由度振動模型4.固有頻率與振型分析在不考慮外部激勵情況下，系統(tǒng)無阻尼自由振動可寫成如下齊次方程：假定系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，各圓盤作同頻率、同相位，僅振幅不同的簡諧運(yùn)動，則微分方程組式有如下形式的解：（4-66）（4-67）將式（4-67）代入式（4-66），可得：根據(jù)線性代數(shù)可知，只有當(dāng)矩陣的行列式為零時(shí)，上式才有非零解，系統(tǒng)的特征方程即為：（4-68）（4-69）4.5汽車多自由度振動模型根據(jù)式（4-69）求得的特征值就是扭振系統(tǒng)的固有圓頻率，其對應(yīng)的特征矢量就是該固有頻率所對應(yīng)的振型。此外，可根據(jù)求得的振型畫出振型圖，并將振型圖中振幅為零的質(zhì)點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。本例計(jì)算得出的六節(jié)點(diǎn)以下的固有頻率及其振型如表4.2示，振動頻率為5.3Hz的單節(jié)點(diǎn)振型圖如圖4.6所示。

圖4.6振動頻率為5.3Hz的單節(jié)點(diǎn)振型圖第5章隨機(jī)振動理論5.1隨機(jī)振動概述5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算5.4隨機(jī)振動在汽車振動分析中的應(yīng)用5.1隨機(jī)振動概述對于汽車而言，最典型的非確定性振動是由于路面不平度引起的汽車振動。這些振動的共同特征是系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)在事先都無法利用時(shí)間的確定性函數(shù)予以描述，我們稱這種不確定性的振動過程為隨機(jī)振動。

隨機(jī)振動的數(shù)學(xué)描述為隨機(jī)過程。隨機(jī)過程為大量現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，因此，需要在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行同樣的試驗(yàn)。

例如，在同樣的道路以及同樣的行駛工況下進(jìn)行次道路行駛試驗(yàn)，記錄車身上特定點(diǎn)加速度的時(shí)間歷程。每次的記錄稱為一個(gè)樣本函數(shù)。隨機(jī)過程為所有樣本函數(shù)的集合，記作。在任一采樣時(shí)刻，隨機(jī)過程的各個(gè)樣本函數(shù)值都不相同，構(gòu)成隨機(jī)變量。

5.1隨機(jī)振動概述對于隨機(jī)過程的研究不是局限于樣本函數(shù)本身，而是在于隨機(jī)過程的總體統(tǒng)計(jì)特性。例如，隨機(jī)過程在時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合平均為再如，隨機(jī)過程在時(shí)刻和的兩個(gè)隨機(jī)變量和，對于各樣本的和的乘積的集合平均為5.1隨機(jī)振動概述如果隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)與采樣時(shí)刻無關(guān)，則稱隨機(jī)過程為（弱）平穩(wěn)過程。對于平穩(wěn)過程，均值為常數(shù)，即自相關(guān)函數(shù)僅僅是時(shí)間差的函數(shù)，即如果平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)可以利用任何一個(gè)足夠長的樣本函數(shù)的時(shí)間平均值來計(jì)算，即5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性5.2.1幅值域（時(shí)域）特性（1）均值對于連續(xù)的隨機(jī)過程：對于隨機(jī)過程的離散數(shù)據(jù)系列：（2）方差和標(biāo)準(zhǔn)差對于連續(xù)的隨機(jī)過程：對于隨機(jī)過程的離散數(shù)據(jù)系列：方差的計(jì)算公式為：

方差的開方值稱為標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算公式為：

對于連續(xù)的隨機(jī)過程：對于隨機(jī)過程的離散數(shù)據(jù)系列：5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性（3）均方值和有效值對于連續(xù)的隨機(jī)過程：對于隨機(jī)過程的離散數(shù)據(jù)系列：均方值的計(jì)算公式為：

在工程應(yīng)用中，經(jīng)常希望利用一個(gè)當(dāng)量幅值來表示信號的大小，即稱為有效值，它是均方值的根值，也稱為均方根值。計(jì)算公式為：對于連續(xù)的隨機(jī)過程：對于隨機(jī)過程的離散數(shù)據(jù)系列：（4）均值、方差和均方值之間的關(guān)系均方值等于方差與均值的平方之和，即5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性圖5.1所示的三角波的方程為：

計(jì)算得均值為：

均方值為：

方差為：5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性5.2.2相關(guān)域特性自相關(guān)函數(shù)表征隨機(jī)過程在一個(gè)時(shí)刻和另外一個(gè)時(shí)刻采樣值之間的相互依賴程度，即表征信號隨機(jī)變化的程度。表征隨機(jī)過程在時(shí)刻和的相關(guān)性的自相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式為5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性5.2.3頻率域特性對于隨機(jī)過程在頻率域內(nèi)的描述，主要是應(yīng)用功率譜密度函數(shù)來表征隨機(jī)振動過程在各頻率成分上的統(tǒng)計(jì)特性。平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)為自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，即其逆變換為以上兩式構(gòu)成傅里葉變換對，稱為維納—辛欽關(guān)系式。如果，則

5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性在隨機(jī)振動中，表示能量在各圓頻率上的分布密度。根據(jù)其物理意義可知，。

由此可知，為的偶函數(shù)。5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性在整個(gè)頻率域內(nèi)定義的為雙邊功率譜。在非負(fù)頻率范圍內(nèi)定義的功率譜稱為單邊功率譜，記作。

單邊譜和雙邊譜的關(guān)系為

實(shí)際計(jì)算功率譜時(shí)，通常利用頻率代替圓頻率，則維納—辛欽關(guān)系式變化為（5-25）式（5-25）變化為5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性5.2.4隨機(jī)振動的概率分布（1）基本概念如圖5.2所示的隨機(jī)過程，中小于的概率，記為，即

圖5.2累積概率的計(jì)算方法5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性由此可以得到圖5.3所示的累積概率分布函數(shù)，取值在0~1之間。圖5.3累積概率和概率密度函數(shù)5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性如果要求取值位于和之間的概率，應(yīng)為引入概率密度函數(shù)，為

與二者存在以下關(guān)系：

另外

這說明，曲線下面的面積總和為1。5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過程時(shí)域統(tǒng)計(jì)特性與概率密度函數(shù)的關(guān)系為均值

方差均方值

5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性（2）概率分布正態(tài)分布和瑞利分布是兩種最常見的概率分布，數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為正態(tài)分布

瑞利分布

5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計(jì)特性兩種概率分布的函數(shù)如圖5.4和5.5所示。圖5.4正態(tài)分布圖5.5瑞利分布5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算5.3.1線性系統(tǒng)隨機(jī)激勵響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性線性系統(tǒng)在任意激勵下的解可以根據(jù)杜哈梅積分寫出：將積分的上、下限擴(kuò)展為和不影響積分結(jié)果，即5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算因?yàn)榧顬槠椒€(wěn)隨機(jī)過程，因此，響應(yīng)也是平穩(wěn)隨機(jī)過程，其統(tǒng)計(jì)特性可以按照以下的方法進(jìn)行計(jì)算。（1）均值（2）自相關(guān)函數(shù)5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算（3）激勵與響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)（4）響應(yīng)自譜5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算（5）均方值當(dāng)激勵為白噪聲時(shí)，激勵譜為常數(shù)，所以積分，其中，的求解見表5.1。5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算（6）激勵與響應(yīng)的互譜對激勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)作傅里葉變換得到互譜，即（7）譜相干函數(shù)對于線性系統(tǒng)：5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算上述的分析結(jié)果對于SISO（單輸入單輸出）、SIMO（單輸入多輸出）和MIMO（多輸入多輸出）系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)問題同樣適用。

對于MIMO系統(tǒng)相對比較復(fù)雜，假設(shè)自由度線性系統(tǒng)受到個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)激勵，則第個(gè)坐標(biāo)對于沿第個(gè)坐標(biāo)的激勵的的脈沖響應(yīng)函數(shù)為，頻率響應(yīng)函數(shù)為，它們構(gòu)成脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣和頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣，即

5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算將和排成陣列，即忽略中間的推導(dǎo)過程，得到響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性的計(jì)算公式為：（1）響應(yīng)的自相關(guān)矩陣（2）響應(yīng)的自譜矩陣（3）響應(yīng)的自相關(guān)矩陣（4）激勵與響應(yīng)的互譜矩陣5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算5.3.2線性系統(tǒng)傳遞特性頻率響應(yīng)函數(shù)是指初始條件為零時(shí)系統(tǒng)的輸出與輸入的傅里葉變換的比值。其求解的基本過程為：1）列出系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程；2）假設(shè)全部初始條件為零，對微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換；3）求系統(tǒng)的輸出量與輸人量之比；4）將代入輸出量與輸入量的比值，得到頻率響應(yīng)函數(shù)。5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算圖5.6所示的為汽車車身單質(zhì)量系統(tǒng)振動模型：圖5.6汽車車身單質(zhì)量振動系統(tǒng)（1）系統(tǒng)的微分方程為（2）拉氏變換（3）輸入輸出比值（4）頻率響應(yīng)函數(shù)5.4隨機(jī)振動在汽車振動分析中的應(yīng)用對于圖5.6所示的汽車單質(zhì)量系統(tǒng)振動模型，若路面不平度的激勵譜為，其中，為車速

求得頻率響應(yīng)函數(shù)為：

則

所以，響應(yīng)的均方值為其中：得到5.4隨機(jī)振動在汽車振動分析中的應(yīng)用圖5.7所示的為汽車雙質(zhì)量系統(tǒng)振動模型：

圖5.7汽車的車身車輪雙質(zhì)量振動系統(tǒng)系統(tǒng)的振動微分方程為寫成矩陣形式為5.4隨機(jī)振動在汽車振動分析中的應(yīng)用兩邊進(jìn)行拉氏變換，得到5.4隨機(jī)振動在汽車振動分析中的應(yīng)用將代入上式，得到頻率響應(yīng)函數(shù)為即其中，5.4隨機(jī)振動在汽車振動分析中的應(yīng)用（1）響應(yīng)的均值響應(yīng)的均值為

（2）響應(yīng)的功率譜（3）響應(yīng)的均方值第6章汽車發(fā)動機(jī)的振動分析6.1發(fā)動機(jī)振動的干擾力和力矩6.2發(fā)動機(jī)振動的隔振分析6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)6.1發(fā)動機(jī)振動的干擾力和力矩6.1.1單缸發(fā)動機(jī)的激勵源討論發(fā)動機(jī)振動時(shí),在保持重心位置和總質(zhì)量不變的條件下，把整套曲柄連桿機(jī)構(gòu)的質(zhì)量用集中在曲柄銷與活塞銷上的兩質(zhì)量代替。曲柄連桿機(jī)構(gòu)可簡化為圖6.1所示的系統(tǒng)。

6.1發(fā)動機(jī)振動的干擾力和力矩活塞的運(yùn)動方程式及活塞的運(yùn)動速度和加速度為：

其中：6.1發(fā)動機(jī)振動的干擾力和力矩對于不同的值，可算出各項(xiàng)系數(shù)的值。如略去高階微小量，用前面兩項(xiàng)近似表示，則

6.1發(fā)動機(jī)振動的干擾力和力矩集中質(zhì)量的往復(fù)慣性力的大小等于質(zhì)量與活塞加速度的乘積，而方向與加速度方向相反，即

其中：

--------一級往復(fù)慣性力--------二級往復(fù)慣性力

--------四級往復(fù)慣性力

6.1發(fā)動機(jī)振動的干擾力和力矩往復(fù)慣性力也是一個(gè)收斂很快的三角級數(shù)，二級以上的慣性力很小，略去不計(jì)，于是可把集中質(zhì)量的往復(fù)慣性力近似的表示為當(dāng)發(fā)動機(jī)工作時(shí)，作用在曲柄連桿機(jī)構(gòu)上的主動力是式中：

--------活塞頂面上氣體的爆發(fā)壓力；

--------活塞直徑。（6-6）6.1發(fā)動機(jī)振動的干擾力和力矩圖6.2單缸發(fā)動機(jī)6.1發(fā)動機(jī)振動的干擾力和力矩根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，系統(tǒng)加上移動質(zhì)量和轉(zhuǎn)動質(zhì)量的慣性力和后，可利用平衡條件來分析受力情況。寫出活塞的受力平衡方程：

由此可解出連桿的軸向力和活塞的側(cè)向壓力：分析曲軸的受力情況?？汕蟪銎仁骨S旋轉(zhuǎn)的主動力矩：6.1發(fā)動機(jī)振動的干擾力和力矩由曲軸的平衡方程求得：解出支承的反作用力：根據(jù)作用力和反作用力定律，可確是作用在發(fā)動機(jī)缸體上的氣體壓力，（作用在氣缸頂）；通過活塞作用在缸體上的側(cè)壓力；通過曲軸作用在主軸承上的壓力。如圖6.2（c）所示。6.1發(fā)動機(jī)振動的干擾力和力矩6.1.2多缸發(fā)動機(jī)的激勵源多缸直列汽車發(fā)動機(jī)，可視為由曲軸連接起來的幾個(gè)發(fā)動機(jī)。作用在整個(gè)缸體上的干擾力，應(yīng)是各單缸體受到的干擾力組成的一組空間力系。如圖6.3所示。一般情況下，此力系可簡化為圖6.4所示的受力情況，圖中的干擾力和干擾力矩按下式計(jì)算。圖6.3多缸發(fā)動機(jī)的受力情況圖6.4缸體受力情況6.1發(fā)動機(jī)振動的干擾力和力矩設(shè)以表示第個(gè)曲柄相對于第一個(gè)曲柄的夾角，于是

由式（6-6）得6.1發(fā)動機(jī)振動的干擾力和力矩于是總鉛垂干擾力為水平干擾力僅與旋轉(zhuǎn)慣性力的水平分量有關(guān)6.1發(fā)動機(jī)振動的干擾力和力矩繞水平軸轉(zhuǎn)動的干擾力矩等于各缸鉛垂干擾力對軸的力矩，即繞鉛垂軸的干擾力矩等于各缸水平干擾力對軸之矩，它僅與旋轉(zhuǎn)慣性力有關(guān)，即：6.1發(fā)動機(jī)振動的干擾力和力矩繞曲軸軸線的干擾力矩是與慣性力及氣體壓力有關(guān)的周期函數(shù)，表示成如下的三角級數(shù)為：由上分析可以看出，作用在直列多缸發(fā)動機(jī)上的干擾力和干擾力矩都是曲軸轉(zhuǎn)角的周期函數(shù)，它們將引起發(fā)動機(jī)和車架的振動，為了減小這種有害的振動，除合理布置曲柄間的相互位置、采取有效的平衡方法和點(diǎn)火順序來消除或減少干擾外，還應(yīng)采取隔振措施來減少發(fā)動機(jī)傳給車架的干擾力。

6.2發(fā)動機(jī)振動的隔振分析6.2.1發(fā)動機(jī)的垂直振動圖6.6發(fā)動機(jī)的垂直振動運(yùn)動微分方程式：

即微分方程式的解為6.2發(fā)動機(jī)振動的隔振分析式中：若不計(jì)支承系統(tǒng)的阻尼（c=0），則發(fā)動機(jī)的鉛垂振動規(guī)律式可簡化成如下形式

6.2發(fā)動機(jī)振動的隔振分析6.2.3回轉(zhuǎn)力矩引起的發(fā)動機(jī)振動發(fā)動機(jī)繞曲軸中心振動的微分方程

式中：

-------發(fā)動機(jī)對于曲軸中心線的轉(zhuǎn)動慣量。

令把上式簡化為：6.2發(fā)動機(jī)振動的隔振分析采用第2章所介紹的方法，可求出上式的解：其中：

在的無阻尼情況時(shí)，上式可簡化為：6.2發(fā)動機(jī)振動的隔振分析6.2.4發(fā)動機(jī)繞橫軸的振動根據(jù)圖6.7，發(fā)動機(jī)繞水平橫軸振動的微分方程式為

或令

于是上式可簡化為6.2發(fā)動機(jī)振動的隔振分析此微分方程式的解為其中6.2發(fā)動機(jī)振動的隔振分析為了減小繞橫軸的振動，發(fā)動機(jī)驅(qū)動軸B端后支承與發(fā)動機(jī)A端前支承的連線，應(yīng)通過發(fā)動機(jī)的重心，如圖6.8所示。另外，前、后支承彈簧的剛度與總剛度之間成下面的比例關(guān)系：這樣布置的發(fā)動機(jī)彈性支承，就能夠使垂直方向的振動和繞水平橫軸的回轉(zhuǎn)振動兩者的合成振動減小。圖6.8發(fā)動機(jī)支承6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)6.3.1發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)概述發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)的最基本的功能是：

（1）固定并支承汽車動力總成；（2）承受動力總成內(nèi)部因發(fā)動機(jī)旋轉(zhuǎn)和平移質(zhì)量產(chǎn)生的往復(fù)慣性力及力矩；（3）承受汽車行駛過程中作用于動力總成上的一切動態(tài)力；（4）隔離由于發(fā)動機(jī)激勵而引起的車架或車身的振動；（5）隔離由于路面不平度以及車輪所受路面沖擊而引起的車身振動向動力總成的傳遞。

下面介紹幾種常用的懸置材料。

6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)1.橡膠懸置為降低振動、提高乘坐舒適性，人們進(jìn)行了懸置元件本身結(jié)構(gòu)性能的設(shè)計(jì)，把橡膠硫化到各種形狀金屬骨架上面，形成了各式結(jié)構(gòu)的橡膠懸置。橡膠懸置由于其結(jié)構(gòu)緊湊，價(jià)格便宜，便于維護(hù)，使用壽命長等優(yōu)點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用。但是橡膠懸置在高頻時(shí)具有較大的動剛度，并且橡膠材料耐溫、耐油性能較差，通常用天然橡膠制成的減振橡膠塊，不能在70℃以上的高溫下使用。這些特性限制了橡膠懸置的進(jìn)一步發(fā)展，促使技術(shù)人員開發(fā)新一代懸置系統(tǒng)。

6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)2.液壓懸置液壓懸置能夠獲得廣泛的應(yīng)用主要取決于兩個(gè)方面的原因，其一是由于轎車設(shè)計(jì)向著大扭矩、輕量化方向發(fā)展，其二是液壓懸置具有頻變和幅變特性的優(yōu)點(diǎn)。液壓懸置經(jīng)歷了不斷發(fā)展和完善的過程，現(xiàn)在應(yīng)用的主要有簡單節(jié)流孔式、慣性通道式、慣性通道——解耦膜式等幾種。

簡單節(jié)流孔式慣性通道式慣性通道——解耦膜式6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)3.半主動懸置

半主動懸置按其結(jié)構(gòu)方式和工作原理可以分為：控制節(jié)流孔開度的半主動懸置、電流變液體半主動懸置、磁流變液體半主動懸置等幾種。用電磁閥控制半主動液壓懸置6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)4．主動懸置主動懸置一般由被動式液壓懸置、作動器、傳感器和控制機(jī)構(gòu)組成。1988年P(guān)eterL．Graf等人設(shè)計(jì)了一種采用液壓作動器的主動懸置。

1994年德國人MichaelMuller等研究了帶有電磁作動器的主動液壓懸置

1995年日本人，ToshiyukiShibayama等發(fā)表文章介紹了他們應(yīng)用壓電陶瓷作動器的發(fā)動機(jī)主動懸置

2002年南韓人Y-W-Lee，把電磁作動器與液壓懸置的解耦盤連接，形成一個(gè)作動的活塞，直接驅(qū)動液壓懸置內(nèi)的液體，改變懸置的動剛度，降低振動的幅值

2002年加拿大人M．S．Foumani利用形狀記憶合金的形狀記憶效應(yīng)設(shè)計(jì)了一種形狀記憶金屬式的主動懸置

2003年日本五十鈴公司日刊采用了電磁作動器與液壓懸置結(jié)合，對重型柴油機(jī)振動實(shí)施主動控制6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)6.3.2發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)的動力學(xué)模型動力總成懸置系統(tǒng)就簡化成一個(gè)六自由度的剛體振動模型。如圖6.12所示。

圖6.12發(fā)動機(jī)與其懸置系統(tǒng)1.發(fā)動機(jī)振動時(shí)的動能發(fā)動機(jī)振動時(shí)的動能應(yīng)為其隨質(zhì)心平動動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能之和，即6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)發(fā)動機(jī)的總動能為

6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)寫成矩陣形式

其中稱為發(fā)動機(jī)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，它是一個(gè)對稱矩陣。是系統(tǒng)廣義速度列陣。6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)如果是發(fā)動機(jī)總成的慣性主軸，則，此時(shí)可把發(fā)動機(jī)總成的動能表示成：此時(shí)相應(yīng)的質(zhì)量矩陣是對角矩陣6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)2.發(fā)動機(jī)振動時(shí)的勢能支承點(diǎn)離開平衡位置的位移矢量為

比較等式兩端系數(shù)得

6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)用矩陣表示式中是由支承點(diǎn)位置決定的矩陣。6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)支承系統(tǒng)的勢能式中6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)3.發(fā)動機(jī)在車架上的自由振動微分方程求得發(fā)動機(jī)系統(tǒng)的動能和勢能后，就可利用拉格朗日方程寫出系統(tǒng)的自由振動微分方程。由于我們所研究的系統(tǒng)是保守的機(jī)械系統(tǒng)，因此，自由振動的一般式為拉格朗日方程式

把前面計(jì)算的結(jié)果代入拉格朗日方程式就得發(fā)動機(jī)在懸置上振動的微分方程為避免復(fù)雜的運(yùn)算，我們用矩陣形式表示，即

6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)設(shè)方程解為：代入上式，簡化后得

乘等式兩端得

，則上式簡化為

是矩陣的特征值，而是它的特征向量，矩陣是非對稱矩陣，它的特征值和特征向量都是實(shí)的，可用求解非對稱實(shí)陣的一般方法求得。

6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)6.3.3動力總成懸置系統(tǒng)的隔振1.隔振系統(tǒng)的傳遞率對動力總成來說，激勵力來自發(fā)動機(jī)，基礎(chǔ)是車身或車架，假設(shè)基礎(chǔ)不動。那么，傳遞到基礎(chǔ)上的力的幅值與激勵力的幅值之比的絕對值，稱為傳遞率，其表達(dá)式為式中，

為隔振器阻尼比；為激勵頻率與系統(tǒng)固有頻率之比。6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)2.懸置系統(tǒng)的模態(tài)能量解耦如圖6.11所示，動力總成有6個(gè)自由度，對應(yīng)的有6個(gè)模態(tài)。模態(tài)彼此獨(dú)立的情況，稱為模態(tài)解耦。然而，在實(shí)際工程中，要使所有的模態(tài)完全解耦是不可能的。在某個(gè)頻率下，如果有兩種或兩種以上的模態(tài)存在，即存在兩種或兩種以上的運(yùn)動形式，那么這種多模態(tài)并存的情況稱為模態(tài)耦合。動力總成做自由振動時(shí)，每個(gè)模態(tài)都有一定的能量，系統(tǒng)的能量表示為系統(tǒng)在第階模態(tài)頻率下，所有模態(tài)能量之和為該頻率下模態(tài)總能量，用表示展開得6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)對于第階模態(tài)頻率，作用于第個(gè)廣義坐標(biāo)的能量為那么，在第階模態(tài)頻率，單個(gè)模態(tài)能量與總模態(tài)能量的比值，就表示該階模態(tài)能量的強(qiáng)弱，稱為解耦度，用表示如下：6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)3.模態(tài)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例

某轎車動力總成懸置系統(tǒng)，其慣性參數(shù)如表6.2所列；懸置系統(tǒng)3個(gè)懸置元件的三向剛度列表如表6.3.表6.2動力總成轉(zhuǎn)動慣量表6.3懸置元件三向剛度6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)（1）動力總成懸置系統(tǒng)有限元模型。

圖6.13動力總成懸置系統(tǒng)有限元模型6.3發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)（2）懸置系統(tǒng)模態(tài)分析。

表6.4懸置系統(tǒng)模態(tài)能量分布百分比第7章人體對振動的反應(yīng)和路面輸入

7.1人體對振動的反應(yīng)7.2路面不平度的統(tǒng)計(jì)特性7.3路面輸入模型7.1人體對振動的反應(yīng)7.1.1概述關(guān)于人體對振動的反應(yīng)，首先可將振動輸入按以下屬性分類：

1）振動的幅值和頻率。2）作用的位置和方向。3）作用時(shí)間。人體對振動的反應(yīng)還可以按照各種不同的方式分類，如：健康狀況、舒適程度、工作效能、主觀感覺、暈車反應(yīng)等。

7.1人體對振動的反應(yīng)7.1.2ISO2631標(biāo)準(zhǔn)國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）于1974年頒布了ISO2631的最初版本——《人體承受全身振動評價(jià)指南》。最初的ISO2631標(biāo)準(zhǔn)（1974年版）推薦值均以實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)，被試驗(yàn)者承受垂向、橫向和縱向的不同頻率范圍內(nèi)的正弦波振動，根據(jù)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，以三個(gè)推薦的指標(biāo)來表征加速度界限值，即：（1）暴露界限人體可承受的振動量上限，如超過此界限，可能損害人體健康。（2）疲勞-工效降低界限該指標(biāo)與人能保持工作效能有關(guān)，在此界限內(nèi)，人能夠正常駕駛及操作，如圖7.1所示。。（3）舒適性降低界限保持良好感覺及舒適性界限。這些界限值均以1~80Hz振動頻率范圍內(nèi)不同暴露時(shí)間下的加速度方均根值來表達(dá)。

7.1人體對振動的反應(yīng)圖7.1疲勞-工效降低界限7.1人體對振動的反應(yīng)目前最新的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為ISO2631-1：1997（E）《人體承受全身振動評價(jià)—第一部分：一般要求》，該標(biāo)準(zhǔn)對于評級長時(shí)間作用的隨機(jī)振動和多輸入點(diǎn)多軸向振動環(huán)境對人體影響時(shí)，能與主觀感覺更好的吻合。該標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的人體坐姿受振模型如圖7.2所示，同樣考慮了12個(gè)方向的振動分量對人體振動的綜合影響；其基本頻率范圍擴(kuò)展到0.5～80Hz，規(guī)定了人體對不同軸向分量及不同頻率的振動的不同敏感程度，圖7.3中給出了各振動分量在0.5～80Hz頻率范圍內(nèi)的加權(quán)函數(shù)，表7.1給出了各軸向振動分量的加權(quán)函數(shù)。7.1人體對振動的反應(yīng)圖7.2人體坐姿受振模型圖7.3各振動分量的頻率加權(quán)函數(shù)7.1人體對振動的反應(yīng)對人體舒適性評價(jià)的計(jì)算方法還取決于峰值系數(shù)，其定義為頻率加權(quán)加速度（weightedacceleration）的峰值與方均根值之比。ISO2631-1：1997（E）標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，如果加權(quán)后的峰值系數(shù)＜9時(shí)，可直接采用總加權(quán)加速度方均根值來評價(jià)振動對人體舒適和健康的影響。時(shí)域積分方法求出的方均根值頻率加權(quán)后的加速度方均根值

7.1人體對振動的反應(yīng)其中各軸向頻率加權(quán)函數(shù)可根據(jù)圖7.3中的函數(shù)曲線漸進(jìn)逼近，由以下公式近似表示：

7.1人體對振動的反應(yīng)根據(jù)求出的各軸向加速度方均根值，再根據(jù)表7.1給出的各軸向振動分量的加權(quán)系數(shù)進(jìn)行加權(quán)求和，就得出了總的加權(quán)加速度方均根值，即：

表7.2給出了加權(quán)振級和加權(quán)加速度方均根值與人的主觀感覺之間的關(guān)系。

加速度方均根值

加權(quán)振級

人的主觀感覺<0.315110沒有不舒適0.315～0.63110～116有一些不舒適1.5～1.0114～120相當(dāng)不舒適0.8～1.6118～124不舒適1.25～2.5112～128很不舒適>2.0126極不舒適7.2路面不平度的統(tǒng)計(jì)特性7.2.1路面不平度的測量為了精確預(yù)測車輛對路面激勵輸入的響應(yīng)，首先要做的工作就是對路面本身進(jìn)行恰當(dāng)描述及表達(dá)。獲得路面特征的唯一方法就是測量，有以下幾種測量技術(shù)可供使用：（1）經(jīng)典測量技術(shù)

（2）路面不平度測量儀

（3）非接觸式路面測量裝置

7.2路面不平度的統(tǒng)計(jì)特性通常實(shí)測所得的路面不平度（路面相對基準(zhǔn)平面的高度）是沿道路走向長度的變化函數(shù)，稱為路面不平度函數(shù)（圖7.6）。

圖7.6路面不平度函數(shù)7.2路面不平度的統(tǒng)計(jì)特性7.2.2路面不平度的功率譜密度路面功率譜密度