第6章 MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算

第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.1數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析6.2多項(xiàng)式計(jì)算6.3數(shù)據(jù)插值6.4曲線擬合

第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.1數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常需要對(duì)各種數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，以便為科學(xué)決策提供依據(jù)。這些統(tǒng)計(jì)處理包括求數(shù)據(jù)序列的最大值和最小值、和與積、平均值和中值、累加和與累乘積、標(biāo)準(zhǔn)方差和相關(guān)系數(shù)、排序等，MATLAB提供了相關(guān)的函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。6.1.1最大值和最小值第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算MATLAB提供了求數(shù)據(jù)序列最大值的函數(shù)max和求最小值的函數(shù)min，它們的調(diào)用格式和操作過(guò)程類(lèi)似。1．求向量的最大值和最小值求向量X的最大值的函數(shù)有兩種調(diào)用格式，分別是：①y=max(X)：返回向量X的最大值，并存入y。如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。②[y,k]=max(X)：返回向量X的最大值，并存入y，最大值的序號(hào)存入k。如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。求向量X的最小值的函數(shù)是min(X)，用法和max(X)相同。例如，求向量x的最大值，命令如下：>>x=[-43,72,9,16,23,47];>>y=max(x) %求向量x中的最大值y=72>>[y,k]=max(x) %求向量x中的最大值及該元素的位置y=72k=2第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算2．求矩陣的最大值和最小值求矩陣A的最大值的函數(shù)有3種調(diào)用格式，分別是：①max(A)：返回一個(gè)行向量，向量的第i個(gè)元素是矩陣A的第i列上的最大值。②[Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號(hào)。③max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1時(shí)，該函數(shù)和max(A)等價(jià)；dim取2時(shí)，該函數(shù)返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A矩陣的第i行上的最大值。求矩陣最小值的函數(shù)是min，其用法和max函數(shù)相同。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算>>A=[13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1];>>max(A,[],2)%求每行最大值ans=78635631>>max(A)%求每列最大值ans=7863563>>max(max(A))%求整個(gè)矩陣的最大值，也可使用max(A(:))ans=563例6-1求矩陣A每行及每列的最大值，并求整個(gè)矩陣的最大值。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算3．兩個(gè)向量或矩陣對(duì)應(yīng)元素的比較函數(shù)max和min還能對(duì)兩個(gè)同型的向量或矩陣進(jìn)行比較，調(diào)用格式為：①U=max(A,B)：A、B是兩個(gè)同型的向量或矩陣，結(jié)果U是與A、B同型的向量或矩陣，U的每個(gè)元素等于A、B對(duì)應(yīng)元素的較大者。②U=max(A,n)：n是一個(gè)標(biāo)量，結(jié)果U是與A同型的向量或矩陣，U的每個(gè)元素等于A對(duì)應(yīng)元素和n中的較大者。min函數(shù)的用法和max函數(shù)相同。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例如，求兩個(gè)2×3矩陣x、y所有同一位置上的較大元素構(gòu)成的新矩陣p。命令如下：>>x=[4,5,6;1,4,8];>>y=[1,7,5;4,5,7];>>p=max(x,y)%在x、y同一位置上的兩個(gè)元素中找出較大值p=476458上例是對(duì)兩個(gè)同樣大小的矩陣操作，MATLAB還允許對(duì)一個(gè)矩陣和一個(gè)常數(shù)或單變量操作。例如：>>p=max(x,4.5)p=4.50005.00006.00004.50004.50008.0000第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.1.2求和與求積數(shù)據(jù)序列求和用sum函數(shù)。設(shè)X是一個(gè)向量，A是一個(gè)矩陣，sum函數(shù)的調(diào)用格式為：①sum(X)：返回向量X各元素的和。②prod(X)：返回向量X各元素的乘積。③sum(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的元素和。④prod(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的元素乘積。⑤sum(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于sum(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的各元素之和。⑥prod(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于prod(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的各元素乘積。數(shù)據(jù)序列求積用prod函數(shù)，其使用方法與sum函數(shù)相同。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-2求矩陣A的每行元素之和和全部元素之和。命令如下：>>A=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];>>S=sum(A,2)S=102642>>sum(S)ans=78第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.1.3平均值和中值數(shù)據(jù)序列的平均值指的是算術(shù)平均值。所謂中值，是指在數(shù)據(jù)序列中其值的大小恰好處在中間的元素。例如，數(shù)據(jù)序列-2，5，7，9，12的中值為7，即它的大小恰好處于數(shù)據(jù)序列各個(gè)值的中間，這是數(shù)據(jù)序列為奇數(shù)個(gè)的情況。如果為偶數(shù)個(gè)，則中值等于中間的兩數(shù)之平均值。例如，數(shù)據(jù)序列-2，5，6，7，9，12中，處于中間的數(shù)是6和7，故其中值為6.5。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算求矩陣和向量元素的平均值的函數(shù)是mean。設(shè)X是一個(gè)向量，A是一個(gè)矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為：①mean(X)：返回向量X的算術(shù)平均值。②mean(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的算術(shù)平均值。③mean(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于mean(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的算術(shù)平均值。求中值的函數(shù)是median，其調(diào)用方法和mean函數(shù)相同。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例如，求向量x的平均值，命令如下：>>x=[9,-2,5,6,7,12];>>mean(x)ans=6.1667第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.1.4累加和與累乘積設(shè)U=(u1，u2，u3，…，un)是一個(gè)向量，V、W是與U等長(zhǎng)的另外兩個(gè)向量，并且稱V為U的累加和向量，W為U的累乘積向量。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函數(shù)能方便地求得向量和矩陣元素的累加和與累乘積向量，它們的調(diào)用格式相同，其中cumsum函數(shù)的調(diào)用格式為：①cumsum(X)：返回向量X累加和向量。②cumsum(A)：返回一個(gè)矩陣，其第i列是A的第i列的累加和向量。③cumsum(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于cumsum(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)矩陣，其第i行是A的第i行的累加和向量。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-3求s=1！+2！+…+6！的值。命令如下：>>x=cumprod(1:6)x=12624120720>>s=sum(x)s=873第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.1.5標(biāo)準(zhǔn)差與相關(guān)系數(shù)1．求標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)于具有n個(gè)元素的數(shù)據(jù)序列x1、x2、x3、…、xn，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式如下：或者其中第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算MATLAB提供了計(jì)算數(shù)據(jù)序列的標(biāo)準(zhǔn)差的函數(shù)std。對(duì)于向量X，std(X)返回一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)于矩陣A，std(A)返回一個(gè)行向量，它的各個(gè)元素便是矩陣A各列或各行的標(biāo)準(zhǔn)方差。std函數(shù)的一般調(diào)用格式為：Y=std(A,flag,dim)其中，dim取1或2。當(dāng)dim=1時(shí)，求各列元素的標(biāo)準(zhǔn)差；當(dāng)dim=2時(shí)，則求各行元素的標(biāo)準(zhǔn)差。flag取0或1，當(dāng)flag=0時(shí)，按S1所列公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差；當(dāng)flag=1時(shí)，按S2所列公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。默認(rèn)取flag=0，dim=1。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-4對(duì)二維矩陣x，從不同維方向求出其標(biāo)準(zhǔn)方差。>>x=[4,5,6;1,4,8]%產(chǎn)生一個(gè)二維矩陣xx=

456148>>y1=std(x,0,1)y1=2.12130.70711.4142>>y2=std(x,1,1)y2=1.50000.50001.0000>>y3=std(x,0,2)y3=1.00003.5119>>y4=std(x,1,2)y4=0.81652.8674第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算2．相關(guān)系數(shù)對(duì)于兩組數(shù)據(jù)序列xi、yi（i=1，2，…，n），可以由下式計(jì)算出兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)：第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算①corrcoef(X,Y)：其中，X、Y是向量。corrcoef(X,Y)返回序列X和序列Y的相關(guān)系數(shù)，得到的結(jié)果是一個(gè)2×2矩陣，其中對(duì)角線上的元素分別表示X和Y的自相關(guān)系數(shù)，非對(duì)角線上的元素分別表示X與Y的相關(guān)系數(shù)和Y與X的相關(guān)系數(shù)，兩個(gè)是相等的。corrcoef(X,Y)與corrcoef([X,Y])等價(jià)。②corrcoef(X)：對(duì)于一般的矩陣X，corrcoef(X)返回從矩陣X形成的一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣。此相關(guān)系數(shù)矩陣的大小與矩陣X一樣。系數(shù)矩陣中第i行第j列的元素代表原矩陣X中第i個(gè)列向量和第j個(gè)列向量的相關(guān)系數(shù)。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-5生成滿足正態(tài)分布的10000×5隨機(jī)矩陣，然后求各列元素的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差，再求這5列隨機(jī)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣。>>X=randn(10000,5);>>M=mean(X)M=0.0059-0.0005-0.0036-0.0036-0.0104>>D=std(X)D=0.98790.99840.99260.98941.0131>>R=corrcoef(X)R=1.00000.0115-0.00130.01540.00420.01151.00000.0025-0.0109-0.0066-0.00130.00251.0000-0.0159-0.00570.0154-0.0109-0.01591.00000.00350.0042-0.0066-0.00570.00351.0000>>R=corrcoef(X(:,1),X(:,2))%X前兩列的相關(guān)系數(shù)R=1.00000.01150.01151.0000第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.1.6排序?qū)ο蛄吭剡M(jìn)行排序是一個(gè)經(jīng)常性的操作，MATLAB中對(duì)向量X進(jìn)行排序的函數(shù)是sort(X)，函數(shù)返回一個(gè)對(duì)X中的元素按升序排列的向量。sort函數(shù)也可以對(duì)矩陣A的各列或各行重新排序，其調(diào)用格式為：[Y,I]=sort(A,dim,mode)其中，Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中的位置。dim指明對(duì)A的列還是行進(jìn)行排序，若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排。dim默認(rèn)取1。mode指明按升序還是按降序排序，'ascend'按升序，'descend'按降序。mode默認(rèn)取'ascend'。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-6對(duì)下列矩陣做各種排序。命令如下：>>A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13];>>sort(A) %對(duì)A的每列按升序排序>>sort(A,2,'descend')%對(duì)A的每行按降序排序>>[X,I]=sort(A) %對(duì)A按列排序，并將每個(gè)元素所在行號(hào)送矩陣I第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.2多項(xiàng)式計(jì)算在MATLAB中，n次多項(xiàng)式用一個(gè)長(zhǎng)度為n+1的行向量表示，缺少的冪次項(xiàng)系數(shù)為0。如果n次多項(xiàng)式表示為：P(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0則在MATLAB中，P(x)表達(dá)為向量形式：[an,an

1,an

2,…,a1,a0]。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.2.1多項(xiàng)式的四則運(yùn)算1．多項(xiàng)式的加減運(yùn)算MATLAB沒(méi)有提供專門(mén)進(jìn)行多項(xiàng)式加減運(yùn)算的函數(shù)。事實(shí)上，多項(xiàng)式的加減運(yùn)算就是其所對(duì)應(yīng)的系數(shù)向量的加減運(yùn)算。對(duì)于次數(shù)相同的兩個(gè)多項(xiàng)式，可直接對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)向量進(jìn)行加減運(yùn)算。如果多項(xiàng)式的次數(shù)不同，則應(yīng)該把低次的多項(xiàng)式系數(shù)不足的高次項(xiàng)用0補(bǔ)足，使同式中的各多項(xiàng)式具有相同的次數(shù)。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例如，計(jì)算(x3-2x2+5x+3)+(6x-1)，對(duì)于和式的后一個(gè)多項(xiàng)式6x-1，它僅為1次多項(xiàng)式，而前面的是3次。為確保兩者次數(shù)相同，應(yīng)把后者的系數(shù)向量處理成[0,0,6,-1]。命令如下：>>a=[1,-2,5,3];>>b=[0,0,6,-1];>>c=a+bc=1-2112第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算2．多項(xiàng)式乘法運(yùn)算函數(shù)conv(P1,P2)用于求多項(xiàng)式P1和P2的乘積。其中，P1、P2是兩個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)向量。例6-7求多項(xiàng)式x4+8x3-10與多項(xiàng)式2x2-x+3的乘積。命令如下：>>A=[1,8,0,0,-10];>>B=[2,-1,3];>>C=conv(A,B)C=

215-524-2010-30執(zhí)行結(jié)果得到一個(gè)6次多項(xiàng)式：2x6+15x5-5x4+24x3-20x2+10x-30第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算3．多項(xiàng)式除法函數(shù)[Q,r]=deconv(P1,P2)用于對(duì)多項(xiàng)式P1和P2作除法運(yùn)算。其中，Q返回多項(xiàng)式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。這里，Q和r仍是多項(xiàng)式系數(shù)向量。deconv是conv的逆函數(shù)，即有P1=conv(P2,Q)+r。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-8求多項(xiàng)式x4+8x3-10除以多項(xiàng)式2x2-x+3的結(jié)果。>>A=[1,8,0,0,-10];>>B=[2,-1,3];>>[P,r]=deconv(A,B)P=0.50004.25001.3750r=000-11.3750-14.1250第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.2.2多項(xiàng)式的導(dǎo)函數(shù)求多項(xiàng)式的導(dǎo)函數(shù)用polyder函數(shù)，其調(diào)用格式如下。①p=polyder(P)：求多項(xiàng)式P的導(dǎo)函數(shù)。②p=polyder(P,Q)：求P·Q的導(dǎo)函數(shù)。③[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的分子存入p，分母存入q。上述函數(shù)調(diào)用中，參數(shù)P、Q是多項(xiàng)式的向量表示，結(jié)果p、q也是多項(xiàng)式的向量表示。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-9求有理分式的導(dǎo)數(shù)。命令如下：>>P=1;>>Q=[1,0,5];>>[p,q]=polyder(P,Q)p=-20q=1010025第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.2.3多項(xiàng)式的求值MATLAB提供了兩種求多項(xiàng)式值的函數(shù)：polyval與polyvalm，它們的輸入?yún)?shù)均為多項(xiàng)式系數(shù)向量P和自變量x。兩者的區(qū)別在于前者是代數(shù)多項(xiàng)式求值，而后者是矩陣多項(xiàng)式求值。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算1．代數(shù)多項(xiàng)式求值polyval函數(shù)用來(lái)求代數(shù)多項(xiàng)式的值，其調(diào)用格式為：Y=polyval(P,x)若x為一數(shù)值，則求多項(xiàng)式在該點(diǎn)的值；若x為向量或矩陣，則對(duì)向量或矩陣中的每個(gè)元素求其多項(xiàng)式的值。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-10已知多項(xiàng)式x4+8x3-10，分別取x=1.2和一個(gè)2×3矩陣為自變量，計(jì)算該多項(xiàng)式的值。命令如下：>>A=[1,8,0,0,-10];%4次多項(xiàng)式系數(shù)>>x=1.2;%取自變量為一數(shù)值>>y1=polyval(A,x)y1=5.8976>>x=[-1,1.2,-1.4;2,-1.8,1.6];%給出一個(gè)矩陣x>>y2=polyval(A,x)%分別計(jì)算矩陣x中各元素為自變量的多項(xiàng)式之值y2=-17.00005.8976-28.110470.0000-46.158429.3216第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算2．矩陣多項(xiàng)式求值polyvalm函數(shù)用來(lái)求矩陣多項(xiàng)式的值，其調(diào)用格式與polyval相同，但含義不同。polyvalm函數(shù)要求x為方陣，它以方陣為自變量求多項(xiàng)式的值。設(shè)A為方陣，P代表多項(xiàng)式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含義是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))而polyval(P,A)的含義是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-11仍以多項(xiàng)式x4+8x3-10為例，以2×2矩陣為自變量分別用polyval和polyvalm計(jì)算該多項(xiàng)式的值。命令如下：>>A=[1,8,0,0,-10]; %多項(xiàng)式系數(shù)>>x=[-1,1.2;2,-1.8]; %給出一個(gè)矩陣x>>y1=polyval(A,x) %計(jì)算代數(shù)多項(xiàng)式的值y1=-17.00005.897670.0000-46.1584>>y2=polyvalm(A,x) %計(jì)算矩陣多項(xiàng)式的值y2=-60.584050.649684.4160-94.3504第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.2.4多項(xiàng)式求根n次多項(xiàng)式具有n個(gè)根，當(dāng)然這些根可能是實(shí)根，也可能含有若干對(duì)共軛復(fù)根。MATLAB提供的roots函數(shù)用于求多項(xiàng)式的全部根，其調(diào)用格式為：x=roots(P)其中，P為多項(xiàng)式的系數(shù)向量，求得的根賦給向量x，即x(1)、x(2)、…、x(n)分別代表多項(xiàng)式的n個(gè)根。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-12求多項(xiàng)式x4+8x3-10的根。命令如下：>>A=[1,8,0,0,-10];>>x=roots(A)x=-8.0194+0.0000i1.0344+0.0000i-0.5075+0.9736i-0.5075-0.9736i第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算若已知多項(xiàng)式的全部根，則可以用poly函數(shù)建立起該多項(xiàng)式，其調(diào)用格式為：P=poly(x)若x為具有n個(gè)元素的向量，則poly(x)建立以x為其根的多項(xiàng)式，且將該多項(xiàng)式的系數(shù)賦給向量P。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-13已知：①計(jì)算f(x)=0的全部根。②由方程f(x)=0的根構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式g(x)，并與f(x)進(jìn)行對(duì)比。命令如下：>>P=[3,0,4,-5,-7.2,5];>>X=roots(P) %求方程f(x)=0的根X=-0.3046+1.6217i-0.3046-1.6217i-1.0066+0.0000i1.0190+0.0000i0.5967+0.0000i>>G=poly(X) %求多項(xiàng)式g(x)G=1.0000-0.00001.3333-1.6667-2.40001.6667第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.3數(shù)據(jù)插值如果要得到這些離散點(diǎn)以外的其他點(diǎn)的數(shù)值，就需要根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。根據(jù)被插值函數(shù)的自變量個(gè)數(shù)，插值問(wèn)題分為一維插值、二維插值和多維插值等；根據(jù)是用分段直線、多項(xiàng)式或樣條函數(shù)來(lái)作為插值函數(shù)，插值問(wèn)題又分為線性插值、多項(xiàng)式插值和樣條插值等。MATLAB提供了一維、二維、N維數(shù)據(jù)插值函數(shù)interp1、interp2和interpn，以及3次樣條插值函數(shù)spline等。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.3.1一維數(shù)據(jù)插值如果被插值函數(shù)是一個(gè)單變量函數(shù)，則數(shù)據(jù)插值問(wèn)題稱為一維插值。一維插值采用的方法有線性方法、最近方法、3次多項(xiàng)式和3次樣條插值。在MATLAB中，實(shí)現(xiàn)這些插值的函數(shù)是interp1，其調(diào)用格式為：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函數(shù)根據(jù)X、Y的值，計(jì)算函數(shù)在X1處的值。其中，X、Y是兩個(gè)等長(zhǎng)的已知向量，分別描述采樣點(diǎn)和采樣值。若同一個(gè)采樣點(diǎn)有多種采樣值，則Y可以為矩陣，Y的每一列對(duì)應(yīng)一組采樣。X1是一個(gè)向量或標(biāo)量，描述欲插值的點(diǎn)，Y1是一個(gè)與X1等長(zhǎng)的插值結(jié)果。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算method用于指定插值方法，允許的取值有：①'linear'：線性插值。線性插值是默認(rèn)的插值方法，它是把與插值點(diǎn)靠近的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)用直線連接，然后在直線上選取對(duì)應(yīng)插值點(diǎn)的數(shù)據(jù)。②'nearest'：最近點(diǎn)插值。根據(jù)插值點(diǎn)與已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的遠(yuǎn)近程度進(jìn)行插值。插值點(diǎn)優(yōu)先選擇較近的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值操作。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算③'pchip'：分段3次Hermite插值。MATLAB中有一個(gè)專門(mén)的3次Hermite插值函數(shù)pchip(X,Y,X1)，其功能及使用方法與函數(shù)interp1(X,Y,X1,'pchip')相同。④'spline'：3次樣條插值。所謂3次樣條插值，是指在每個(gè)分段（子區(qū)間）內(nèi)構(gòu)造一個(gè)3次多項(xiàng)式，使其插值函數(shù)除滿足插值條件外，還要求在各節(jié)點(diǎn)處具有光滑的條件。MATLAB中有一個(gè)專門(mén)的3次樣條插值函數(shù)spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法與函數(shù)interp1(X,Y,X1,'spline')相同。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-14給出以下概率積分的數(shù)據(jù)表如表6-1所示，用不同的插值方法計(jì)算f(0.472)。x0.460.470.480.49f(x)0.48465550.49375420.50274980.5116683>>x=0.46:0.01:0.49;%給出x和f(x)>>f=[0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683];>>formatlong>>interp1(x,f,0.472)%用默認(rèn)方法，即線性插值計(jì)算f(0.472)ans=0.495553320000000>>interp1(x,f,0.472,'nearest')%用最近點(diǎn)插值計(jì)算f(0.472)ans=0.493754200000000>>interp1(x,f,0.472,'pchip')%用3次Hermite插值計(jì)算f(0.472)ans=0.495561119712056>>interp1(x,f,0.472,'spline')%用3次樣條插值計(jì)算f(0.472)ans=0.495560736000000formatshort第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-15某檢測(cè)參數(shù)f隨時(shí)間t的采樣結(jié)果如表6-2，用數(shù)據(jù)插值法計(jì)算t=2，12，22，32，42，52時(shí)的f值。t051015202530f3.10252.256879.51835.92968.84136.25237.9t35404550556065f6152.76725.36848.36403.56824.77328.57857.6>>T=0:5:65;>>X=2:10:52;>>F=[3.2015,2.2560,879.5,1835.9,2968.8,4136.2,5237.9,6152.7,6725.3,6848.3,6403.5,6824.7,7328.5,7857.6];>>F1=interp1(T,F,X)%用線性插值方法插值>>F2=interp1(T,F,X,'nearest')%用最近點(diǎn)插值方法插值>>F3=interp1(T,F,X,'pchip')%用3次Hermite插值方法插值>>F4=interp1(T,F,X,'spline')%用3次樣條插值方法插值第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算6.3.2二維數(shù)據(jù)插值當(dāng)函數(shù)依賴于兩個(gè)自變量變化時(shí)，其采樣點(diǎn)就應(yīng)該是一個(gè)由這兩個(gè)參數(shù)組成的一個(gè)平面區(qū)域，插值函數(shù)也是一個(gè)二維函數(shù)。對(duì)依賴于兩個(gè)參數(shù)的函數(shù)進(jìn)行插值的問(wèn)題稱為二維插值問(wèn)題。同樣，在MATLAB中，提供了解決二維插值問(wèn)題的函數(shù)interp2，其調(diào)用格式為：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)其中，X、Y是兩個(gè)向量，分別描述兩個(gè)參數(shù)的采樣點(diǎn)，Z是與參數(shù)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，X1、Y1是兩個(gè)向量或標(biāo)量，描述欲插值的點(diǎn)。Z1是根據(jù)相應(yīng)的插值方法得到的插值結(jié)果。method的取值與一維插值函數(shù)相同。X、Y、Z也可以是矩陣形式。第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-16設(shè)z=x2+y2，對(duì)z函數(shù)在[0，1]×[0，2]區(qū)域內(nèi)進(jìn)行插值。命令如下：>>x=0:0.1:1;y=0:0.2:2;>>[X,Y]=meshgrid(x,y); %產(chǎn)生自變量網(wǎng)格坐標(biāo)>>Z=X.^2+Y.^2; %求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值>>interp2(x,y,Z,0.5,0.5) %在(0.5,0.5)點(diǎn)插值ans=0.5100>>interp2(x,y,Z,[0.50.6],0.4)%在(0.5,0.4)點(diǎn)和(0.6，0.4)點(diǎn)插值ans=0.41000.5200>>interp2(x,y,Z,[0.50.6],[0.40.5])%在(0.5,0.4)點(diǎn)和(0.6,0.5)點(diǎn)插值ans=0.41000.6200%下一命令在(0.5,0.4),(0.6,0.4),(0.5,0.5)和(0.6,0.5)各點(diǎn)插值>>interp2(x,y,Z,[0.50.6]',[0.40.5])ans=0.41000.52000.51000.6200第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算例6-17某實(shí)驗(yàn)對(duì)一根長(zhǎng)10m的鋼軌進(jìn)行熱源的溫度傳播測(cè)試。用d表示測(cè)量點(diǎn)距離（m），用t表示測(cè)量時(shí)間（s），用c表示測(cè)得各點(diǎn)的溫度（℃），測(cè)量結(jié)果如表6-3所示。

cdt02.557.51009514